高考數(shù)學(xué)理北師大版習(xí)題第十二章概率隨機(jī)變量及其分布第3講幾何概型

第3講幾何概型一、選擇題1.在區(qū)間[－2，3]上隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)x，即x≤1，故所求的概率為()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5) C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,5)解析在區(qū)間[－2，3]上隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)x，且x≤1，即－2≤x≤1，故所求的概率為P＝eq\f(3,5).答案B2.如圖所示，半徑為3的圓中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域，在圓中隨機(jī)扔一粒豆子，它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是eq\f(1,3)，則陰影部分的面積是()A.eq\f(π,3) B.π C.2π D.3π解析設(shè)陰影部分的面積為S，且圓的面積S′＝π·32＝9π.由幾何概型的概率，得eq\f(S,S′)＝eq\f(1,3)，則S＝3π.答案D3.(2015·山東卷)在區(qū)間[0，2]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，則事件“－1≤logeq\s\do9(\f(1,2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1”發(fā)生的概率為()A.eq\f(3,4) B.eq\f(2,3) C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)解析由－1≤logeq\s\do9(\f(1,2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1，得eq\f(1,2)≤x＋eq\f(1,2)≤2，解得0≤x≤eq\f(3,2)，所以事件“－1≤logeq\s\do9(\f(1,2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1”發(fā)生的概率為eq\f(\f(3,2),2)＝eq\f(3,4)，故選A.答案A4.(2017·陜西師大附中檢測)若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入如圖所示的長方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，則質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是()A.eq\f(π,2) B.eq\f(π,4) C.eq\f(π,6) D.eq\f(π,8)解析設(shè)質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)為事件A，則P(A)＝eq\f(陰影面積,長方形面積)＝eq\f(\f(1,2)π×12,1×2)＝eq\f(π,4).答案B5.在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)A.eq\f(π,12) B.1－eq\f(π,12) C.eq\f(π,6) D.1－eq\f(π,6)解析設(shè)“點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1”為事件A.則事件A發(fā)生時(shí)，點(diǎn)P位于以點(diǎn)O為球心，以1為半徑的半球的外部.∴V正方體＝23＝8，V半球＝eq\f(4,3)π·13×eq\f(1,2)＝eq\f(2,3)π.∴P(A)＝eq\f(23－\f(2,3)π,23)＝1－eq\f(π,12).答案B6.已知△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一點(diǎn)D，則使△ABD為鈍角三角形的概率為()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3) C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)解析如圖，當(dāng)BE＝1時(shí)，∠AEB為直角，則點(diǎn)D在線段BE(不包含B，E點(diǎn))上時(shí)，△ABD為鈍角三角形；當(dāng)BF＝4時(shí)，∠BAF為直角，則點(diǎn)D在線段CF(不包含C，F(xiàn)點(diǎn))上時(shí)，△ABD為鈍角三角形.所以△ABD為鈍角三角形的概率為eq\f(1＋2,6)＝eq\f(1,2).答案C7.設(shè)不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,0≤y≤2))表示的平面區(qū)域?yàn)镈，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π－2,2) C.eq\f(π,6) D.eq\f(4－π,4)解析如圖所示，正方形OABC及其內(nèi)部為不等式組表示的區(qū)域D，且區(qū)域D的面積為4，而陰影部分表示的是區(qū)域D內(nèi)到原點(diǎn)距離大于2的區(qū)域，易知該陰影部分的面積為4－π，因此滿足條件的概率是eq\f(4－π,4).故選D.答案D8.(2017·華師附中聯(lián)考)在區(qū)間[0，4]上隨機(jī)取兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y，使得x＋2y≤8的概率為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(3,16) C.eq\f(9,16) D.eq\f(3,4)解析由x，y∈[0，4]知(x，y)構(gòu)成的區(qū)域是邊長為4的正方形及其內(nèi)部，其中滿足x＋2y≤8的區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的陰影部分.易知A(4，2)，S正方形＝16，S陰影＝eq\f(（2＋4）×4,2)＝12.故“使得x＋2y≤8”的概率P＝eq\f(S陰影,S正方形)＝eq\f(3,4).答案D9.已知正三棱錐S－ABC的底面邊長為4，高為3，在正三棱錐內(nèi)任取一點(diǎn)P，使得VP－ABC＜eq\f(1,2)VS－ABC的概率是()A.eq\f(7,8) B.eq\f(3,4) C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)解析當(dāng)點(diǎn)P到底面ABC的距離小于eq\f(3,2)時(shí)，VP－ABC＜eq\f(1,2)VS－ABC.由幾何概型知，所求概率為P＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(7,8).答案A10.設(shè)復(fù)數(shù)z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，則y≥x的概率為()A.eq\f(3,4)＋eq\f(1,2)π B.eq\f(1,2)＋eq\f(1,π) C.eq\f(1,2)－eq\f(1,π) D.eq\f(1,4)－eq\f(1,2π)解析因?yàn)閺?fù)數(shù)z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)且|z|≤1，所以|z|＝eq\r(（x－1）2＋y2)≤1，即(x－1)2＋y2≤1，即點(diǎn)(x，y)在以(1，0)為圓心、1為半徑的圓及其內(nèi)部，而y≥x表示直線y＝x左上方的部分(圖中陰影弓形)，所以所求概率為弓形的面積與圓的面積之比，即P＝eq\f(\f(1,4)·π·12－\f(1,2)×1×1,π·12)＝eq\f(1,4)－eq\f(1,2π).答案D二、填空題11.在區(qū)間[－2，4]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，若x滿足|x|≤m的概率為eq\f(5,6)，則m＝________.解析由|x|≤m，得－m≤x≤m.當(dāng)m≤2時(shí)，由題意得eq\f(2m,6)＝eq\f(5,6)，解得m＝2.5，矛盾，舍去.當(dāng)2＜m＜4時(shí)，由題意得eq\f(m－（－2）,6)＝eq\f(5,6)，解得m＝3.答案312.如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，有一動點(diǎn)在此長方體內(nèi)隨機(jī)運(yùn)動，則此動點(diǎn)在三棱錐A－A1BD內(nèi)的概率為________.解析因?yàn)閂A－A1BD＝VA1－ABD＝eq\f(1,3)AA1×S△ABD＝eq\f(1,6)×AA1×S矩形ABCD＝eq\f(1,6)V長方體，故所求概率為eq\f(VA－A1BD,V長方體)＝eq\f(1,6).答案eq\f(1,6)13.(2016·山東卷)在[－1，1]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)k，則事件“直線y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交”發(fā)生的概率為________.解析直線y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交的充要條件是圓心(5，0)到直線y＝kx的距離小于3.則eq\f(|5k－0|,\r(k2＋1))＜3，解之得－eq\f(3,4)＜k＜eq\f(3,4)，故所求事件的概率P＝eq\f(\f(3,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4))),1－（－1）)＝eq\f(3,4).答案eq\f(3,4)14.(2017·唐山模擬)如圖，將半徑為1的圓分成相等的四段弧，再將四段弧圍成星形放在圓內(nèi)(陰影部分).現(xiàn)在往圓內(nèi)任投一點(diǎn)，此點(diǎn)落在星形區(qū)域內(nèi)的概率為________.解析順次連接星形的四個(gè)頂點(diǎn)，則星形區(qū)域的面積等于(eq\r(2))2－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)×π×12－\f(1,2)×12))＝4－π，又因?yàn)閳A的面積等于π×12＝π，因此所求的概率等于eq\f(4－π,π)＝eq\f(4,π)－1.答案eq\f(4,π)－115.在區(qū)間[－1，4]內(nèi)取一個(gè)數(shù)x，則2x－x2≥eq\f(1,4)的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3) C.eq\f(2,5) D.eq\f(3,5)解析由2x－x2≥eq\f(1,4)，得－1≤x≤2.又－1≤x≤4.∴所求事件的概率P＝eq\f(2－（－1）,4－（－1）)＝eq\f(3,5).答案D16.如圖，“天宮一號”運(yùn)行的軌跡是如圖的兩個(gè)類同心圓，小圓的半徑為2km，大圓的半徑為4km，衛(wèi)星P在圓環(huán)內(nèi)無規(guī)則地自由運(yùn)動，運(yùn)行過程中，則點(diǎn)P與點(diǎn)O的距離小于3km的概率為()A.eq\f(1,12) B.eq\f(5,12) C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,5)解析根據(jù)幾何概型公式，小于3km的圓環(huán)面積為π(32－22)＝5π；圓環(huán)總面積為π(42－22)＝12π，所以點(diǎn)P與點(diǎn)O的距離小于3km的概率為P(A)＝eq\f(5π,12π)＝eq\f(5,12).答案B17.已知平面區(qū)域D＝{(x，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，在區(qū)域D內(nèi)任取一點(diǎn)，則取到的點(diǎn)位于直線y＝kx(k∈R)下方的概率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3) C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)解析由題設(shè)知，區(qū)域D是以原點(diǎn)為中心的正方形，根據(jù)圖形的對稱性知，直線y＝kx將其面積平分，如圖，故所求概率為eq\f(1,2).答案A18.(2017·合肥質(zhì)檢)在區(qū)間[0，π]上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)x，使得sinx∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))的概率為()A.eq\f(1,π) B.eq\f(2,π) C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)解析由0≤sinx≤eq\f(1,2)，且x∈[0，π]，解之得x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,6)π，π)).故所求事件的概率P＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(5,6)π))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－0)),π－0)＝eq\f(1,3).答案C19.(2017·成都診斷)如圖，大正方形的面積是34，四個(gè)全等直角三角形圍成一個(gè)小正方形，直角三角形的較短邊長為3，向大正方形內(nèi)拋撒一枚幸運(yùn)小花朵，則小花朵落在小正方形內(nèi)的概率為()A.eq\f(1,17) B.eq\f(2,17) C.eq\f(3,17) D.eq\f(4,17)解析∵大正方形的面積是34，∴大正方形的邊長是eq\r(34)，由直角三角形的較短邊長為3，得四個(gè)全等直角三角形的直角邊分別是5和3，則小正方形邊長為2，面積為4，∴小花朵落在小正方形內(nèi)的概率為P＝eq\f(4,34)＝eq\f(2,17).答案B20.有一個(gè)底面圓的半徑為1、高為2的圓柱，點(diǎn)O為這個(gè)圓柱底面圓的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,3) C.eq\f(8,9) D.eq\f(π,4)解析V圓柱＝2π，V半球＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(2,3)π，eq\f(V半球,V圓柱)＝eq\f(1,3)，故點(diǎn)P到O的距離大于1的概率為eq\f(2,3).答案A21.(2015·湖北卷)在區(qū)間[0，1]上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)x，y，記p1為事件“x＋y≤eq\f(1,2)”的概率，p2為事件“xy≤eq\f(1,2)”的概率，則()A.p1<p2<eq\f(1,2) B.p2<eq\f(1,2)<p1C.eq\f(1,2)<p2<p1 D.p1<eq\f(1,2)<p2解析(x，y)構(gòu)成的區(qū)域是邊長為1的正方形及其內(nèi)部，其中滿足x＋y≤eq\f(1,2)的區(qū)域如圖1中陰影部分所示，所以p1＝eq\f(\f(1,2)×\f(1,2)×\f(1,2),1×1)＝eq\f(1,8)，滿足xy≤eq\f(1,2)的區(qū)域如圖2中陰影部分所示，所以p2＝eq\f(S1＋S2,1×1)＝eq\f(\f(1,2)＋S2,1)＞eq\f(1,2)，所以p1＜eq\f(1,2)＜p2，故選D.答案D22.在區(qū)間[－π，π]內(nèi)隨機(jī)取出兩個(gè)數(shù)分別記為a，b，則函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零點(diǎn)的概率為()A.1－eq\f(π,8) B.1－eq\f(π,4)C.1－eq\f(π,2) D.1－eq\f(3π,4)解析由函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零點(diǎn)，可得Δ＝(2a2)－4(－b2＋π2)≥0，整理得a2＋b2≥π2，如圖所示，(a，b)可看成坐標(biāo)平面上的點(diǎn)，試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)棣福絳(a，b)|－π≤a≤π，－π≤b≤π}，其面積SΩ＝(2π)2＝4π2.事件A表示函數(shù)f(x)有零點(diǎn)，所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)镸＝{(a，b)|a2＋b2≥π2}，即圖中陰影部分，其面積為SM＝4π2－π3，故P(A)＝eq\f(SM,SΩ)＝eq\f(4π2－π3,4π2)＝1－eq\f(π,4).答案B23.(2017·安徽江南名校聯(lián)考)AB是半徑為1的圓的直徑，M為直徑AB上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作垂直于直徑AB的弦，則弦長大于eq\r(3)的概率是________.解析依題意知，當(dāng)相應(yīng)的弦長大于eq\r(3)時(shí)，圓心到弦的距離小于eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2))＝eq\f(1,2)，因此相應(yīng)的點(diǎn)M應(yīng)位于線段AB上與圓心的距離小于eq\f(1,2)的地方，所求的概率等于eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)24.一只蜜蜂在一個(gè)棱長為3的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個(gè)表面的距離均大于1，稱其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率為________.解析