上海市上海中學(xué)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用多選題試題含答案

上海市上海中學(xué)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用多選題試題含答案一、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用多選題1．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)B．函數(shù)既存在極大值又存在極小值C．當(dāng)時(shí)，方程有且只有兩個(gè)實(shí)根D．若時(shí)，，則的最小值為【答案】ABC【分析】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性和極值以及函數(shù)的圖象，最后直接判斷選項(xiàng)．【詳解】對(duì)于A．，解得，所以A正確；對(duì)于B．，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，或，所以是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，所以是函數(shù)的極小值，是函數(shù)的極大值，所以B正確．對(duì)于C．當(dāng)時(shí)，，根據(jù)B可知，函數(shù)的最小值是，再根據(jù)單調(diào)性可知，當(dāng)時(shí)，方程有且只有兩個(gè)實(shí)根，所以C正確；對(duì)于D：由圖象可知，t的最大值是2，所以D不正確．故選：ABC.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，極值點(diǎn)，以及函數(shù)的圖象，首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為0，判斷零點(diǎn)兩側(cè)的正負(fù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，本題易錯(cuò)的地方是是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，但當(dāng)時(shí)，，所以圖象是無限接近軸，如果這里判斷錯(cuò)了，那選項(xiàng)容易判斷錯(cuò)了．2．函數(shù)，則下列說法正確的是（）A． B．C．若有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則 D．若均為正數(shù)，則【答案】BD【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)日單調(diào)性，極值，函數(shù)的變化趨勢(shì)，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)判斷各選項(xiàng)．由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷A，由函數(shù)性質(zhì)判斷BC，設(shè)，且均為正數(shù)，求得，再由函數(shù)性質(zhì)判斷D．【詳解】由得：令得，當(dāng)x變化時(shí)，變化如下表：x0單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減故，在上遞增，在上遞減，是極大值也是最大值，時(shí)，時(shí)，，且時(shí)，時(shí)，，，A．，故A錯(cuò)B．，且在單調(diào)遞增，故：B正確C．有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)不妨設(shè)要證：，即要證：在單調(diào)遞增，∴只需證：即：只需證：……①令，則當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，即：這與①矛盾，故C錯(cuò)D．設(shè)，且均為正數(shù)，則且，故D正確．故選：BD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，函數(shù)零點(diǎn)等性質(zhì)，解題關(guān)鍵是由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的性質(zhì)．其中函數(shù)值的大小比較需利用單調(diào)性，函數(shù)的零點(diǎn)問題中有兩個(gè)變量，關(guān)鍵是進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用零點(diǎn)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為一個(gè)變量，然后引入新函數(shù)進(jìn)行證明．3．關(guān)于函數(shù)，下列判斷正確的是（）A．是的極大值點(diǎn)B．函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)C．存在正實(shí)數(shù)，使得恒成立D．對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，，且，若，則【答案】BD【分析】對(duì)于A，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)即可；對(duì)于B，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用零點(diǎn)存在性定理即得結(jié)論；對(duì)于C，參變分離得到，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的最小值的情況；對(duì)于D，利用的單調(diào)性，由得到，令，由得，所以要證，即證，構(gòu)造函數(shù)即得．【詳解】A：函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以是的極小值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤．B：，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減．又，，所以函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)，故B正確．C：若，即，則．令，則．令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，所以，所以在上單調(diào)遞減，函數(shù)無最小值，所以不存在正實(shí)數(shù)，使得恒成立，故C錯(cuò)誤．D：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴是的極小值點(diǎn)．∵對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，，且，若，則．令，則，由，得，∴，即，即，解得，，所以．故要證，需證，需證，需證．∵，則，∴證．令，，，所以在上是增函數(shù)．因?yàn)闀r(shí)，，則，所以在上是增函數(shù)．因?yàn)闀r(shí)，，則，所以，∴，故D正確．故選：BD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值點(diǎn)，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷A、B的正誤；應(yīng)用參變分離，構(gòu)造函數(shù)，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的最值；由函數(shù)單調(diào)性，應(yīng)用換元法并構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合分析法、導(dǎo)數(shù)證明D選項(xiàng)結(jié)論.4．對(duì)于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，若同時(shí)滿足：①；②當(dāng)且時(shí)，都有；③當(dāng)且時(shí)，都有，則稱為“偏對(duì)稱函數(shù)”.下列函數(shù)是“偏對(duì)稱函數(shù)”的是（）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】結(jié)合“偏對(duì)稱函數(shù)”的性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)的方法，分別討論四個(gè)函數(shù)是否滿足三個(gè)條件，即可得到所求結(jié)論．【詳解】條件①；由選項(xiàng)可得：，，，，即ABCD都符合；條件②，或；即條件②等價(jià)于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；對(duì)于，則，由可得，，即函數(shù)單調(diào)遞增；由可得，，即函數(shù)單調(diào)遞減；滿足條件②；對(duì)于，則顯然恒成立，所以在定義域上單調(diào)遞增，不滿足條件②；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，顯然單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，顯然單調(diào)遞增；滿足條件②；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，顯然單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，顯然單調(diào)遞增，滿足條件②；因此ACD滿足條件②；條件③當(dāng)且時(shí)，，都有，即，對(duì)于，，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，又，所以，則令，，所以在上顯然恒成立，因此在上單調(diào)遞增，所以，即，所以滿足條件③；對(duì)于，，令，，則在上顯然恒成立，所以，則，即滿足條件③；對(duì)于，，令，，則在上顯然恒成立，所以，則，即滿足條件③；綜上，ACD選項(xiàng)是“偏對(duì)稱函數(shù)”，故選：ACD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解此類函數(shù)新定義問題時(shí)，需要結(jié)合函數(shù)新定義的概念及性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)基本性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)的方法，通過研究函數(shù)單調(diào)性，值域等，逐項(xiàng)判斷，即可求解.（有時(shí)也需要構(gòu)造新的函數(shù)，進(jìn)行求解.）5．（多選）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．若，則函數(shù)沒有極值B．若，則函數(shù)有極值C．若函數(shù)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是D．若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是【答案】ABD【分析】先對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，再對(duì)進(jìn)行分類討論，根據(jù)極值的定義以及零點(diǎn)的定義即可判斷.【詳解】解：由題意得，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)單調(diào)遞減，沒有極值，又當(dāng)x趨近于0時(shí)，趨近于，當(dāng)x趨近于時(shí)，趨近于，∴有且只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在上，，單調(diào)遞減，在上，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得極小值，同時(shí)也是最小值，∴，當(dāng)x趨近于0時(shí)，趨近于，趨近于，當(dāng)x趨近于時(shí)，趨近于，當(dāng)，即時(shí)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，綜上可知ABD正確，C錯(cuò)誤．故選：ABD．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：(1)直接求零點(diǎn)：令，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)；(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)；(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．6．對(duì)于函數(shù)，下列說法正確的是（）A．在處取得極大值 B．有兩個(gè)不同的零點(diǎn)C． D．若在上恒成立，則【答案】ACD【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，可判定A正確；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和，且時(shí)，，可判定B不正確；由函數(shù)的單調(diào)性，得到，再結(jié)合作差比較，得到，可判定C正確；分離參數(shù)得到在上恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，可判定D正確.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，令，即，解得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，極大值為，所以A正確；由當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，可得，所以函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，綜上可得函數(shù)在只有一個(gè)零點(diǎn)，所以B不正確；由函數(shù)在上單調(diào)遞減，可得，由于，則，因?yàn)?，所以，即，所以，所以C正確；由在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，則，令，即，解得，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，所以，所以D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，以及恒成立問題的求解，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計(jì)算能力，對(duì)于恒成立問題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．7．在單位圓O：上任取一點(diǎn)，圓O與x軸正向的交點(diǎn)是A，將OA繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OP所成的角記為，若x，y關(guān)于的表達(dá)式分別為，，則下列說法正確的是（）A．是偶函數(shù)，是奇函數(shù)；B．在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；C．在上恒成立；D．函數(shù)的最大值為.【答案】ACD【分析】依據(jù)三角函數(shù)的基本概念可知，，根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性可判斷A、B；根據(jù)輔助角公式知，再利用三角函數(shù)求值域可判斷C；對(duì)于D，，先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，從而可知函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得當(dāng)，時(shí)，函數(shù)取得最大值，結(jié)合正弦的二倍角公式，代入進(jìn)行運(yùn)算即可得解．【詳解】由題意，根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，，，對(duì)于A，函數(shù)是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，故A正確；對(duì)于B，由正弦，余弦函數(shù)的基本性質(zhì)可知，函數(shù)在上為減函數(shù)，函數(shù)在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，故C正確；對(duì)于D，函數(shù)，求導(dǎo)，令，則；令，則，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)即，時(shí)，函數(shù)取得極大值，又當(dāng)即，時(shí)，，所以函數(shù)取得最大值，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：考查三角函數(shù)的值域時(shí)，常用的方法：（1）將函數(shù)化簡(jiǎn)整理為，再利用三角函數(shù)性質(zhì)求值域；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值.8．已知實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則的值可能是（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】BCD【分析】由題中所給的等式，分別構(gòu)造