2018全國(guó)卷Ⅰ高考理科數(shù)學(xué)真題(含答案)

2018全國(guó)卷I高考理科數(shù)學(xué)真題及答案

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。

寫在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)z=--7+2i,則|z|=

1+1

A.0B.-C.1D.J2

2

2.已知集合4=卜9—x—2>o},則為4=

A,"卜l<x<2}B.|x|-l<x<2}

C.I%<-1)Ix>2}D.1x|x<-l|x>2}

3.某地區(qū)經(jīng)過(guò)一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍,實(shí)現(xiàn)翻番.為更好地了解該

地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，

得到如下餅圖：

建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例

則下面結(jié)論中不正確的是

A.新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少

B.新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上

C.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍

D.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過(guò)了經(jīng)濟(jì)收入的一半

4.記sn為等差數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和.若3s3=S?+邑，4=2，則%=

A.-12B.-10C.10D.12

5.設(shè)函數(shù)/(x)=爐+(a-1)必+以.若/(%)為奇函數(shù)，則曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,0)處的

切線方程為

A.y=-2xB,y=~xc,y=2x

D.)=龍

6.在“5。中，AD為5c邊上的中線，E為AO的中點(diǎn)，則仍=

311331

A.-AB——ACB,-AB——ACC,-AB+-AC

444444

13

D.-AB+-AC

44

7.某圓柱的高為2,底面周長(zhǎng)為16,其三視圖如圖.圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)

點(diǎn)為A,圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為3,則在此圓柱側(cè)面上，從M到N

的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為

二［

---------

O

A.2V17B.2V5C.3D.2

2

8.設(shè)拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)為尸，過(guò)點(diǎn)(-2,0)且斜率為1的直線與。交于M,N兩點(diǎn)，

貝二

A.5B.6C.7D.8

e”，JQv0,

9.已知函數(shù)/(x)=〈'—[g(x)=/(x)+x+。.若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，貝！Ja的

Inx,%>0,

取值范圍是

A.[-1,0)B.[0,+8)c.[-l,+8)D.[1,+8)

10.下圖來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓

的直徑分別為直角三角形四C的斜邊BC,直角邊AB.AC.△ABC的三邊所圍成的區(qū)

域記為I，黑色部分記為n,其余部分記為in.在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自I,

n,in的概率分別記為口，。，。，則

A.n=nB.n=R

C.0=0D.R=R+R

11.已知雙曲線u—-/=i,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，尸為。的右焦點(diǎn)，過(guò)尸的直線與C的兩條漸

3'

近線的交點(diǎn)分別為M、N.若4OMN為直角三角形，則1削=

A.-B.3C.2A/3D.4

2

12.已知正方體的棱長(zhǎng)為1,每條棱所在直線與平面。所成的角都相等，則。截此正方體

所得截面面積的最大值為

A,空B*C.逑D.B

4342

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

x-2y-2<0

13.若x,y滿足約束條件<x-y+IWO，貝！Jz=3尤+2y的最大值為.

y<0

14.記S“為數(shù)列｛”"｝的前”項(xiàng)和.若S“=2%+1,貝1臬=.

15.從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法

共有_____________種.(用數(shù)字填寫答案)

16.已知函數(shù)/(x)=2sinx+sin2x,則/(尤)的最小值是____________.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17~21題為必考題,

每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

(-)必考題：60分。

17.(12分)

在平面四邊形ABC。中，ZADC=90,NA=45,AB=2,BD=5.

(1)求cosNADS；

(2)若DC=2①,求BC.

18.(12分)

如圖，四邊形ABC。為正方形，E,尸分別為AD,的中點(diǎn)，以。尸為折痕把

折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，目PFLBF.

(1)證明：平面PEF_L平面ABFD;

(2)求。P與平面ABED所成角的正弦值.

R

19.（12分）

設(shè)橢圓C：y+/=1的右焦點(diǎn)為F,過(guò)F的直線/與C交于A,3兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)

為(2,0).

(1)當(dāng)/與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程；

(2)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：ZOMA=ZOMB.

20.(12分)

某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn),

如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品.檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再

根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為

0(0<2<1),且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立.(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不

合格品的概率為75),求f(p)的最大值點(diǎn)Po.

(2)現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定的Po作為p

的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件

不合格品支付25元的賠償費(fèi)用.

(i)若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X,

求EX；

(ii)以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作

檢驗(yàn)？

21.(12分)

已知函數(shù)/(x)=L-x+alnx.

X

(1)討論了(%)的單調(diào)性；

(2)若/(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)和々，證明：'㈤“―2.

(二)選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第

一題計(jì)分。

22.［選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的方程為y=k\x\+2.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸

為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為0?+22cos。-3=0.

(1)求的直角坐標(biāo)方程；

(2)若C與有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求G的方程.

23.［選修4—5:不等式選講］(10分)

已知/(%)=1%+1|-1公一1|.

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求不等式/(%)>1的解集；

(2)若xe(0,l)時(shí)不等式/(x)>x成立，求a的取值范圍.

參考答案:

123456789101112

CBABDABDCABA

13.614.-6315.1616.

2

17.（12分）

BDAB

解：（1）在AABD中,由正弦定理得

sinZAsinNADB

52

由題設(shè)知，,所以sinNADB=\-

sin45°sinZADB

由題設(shè)知，ZADB<90°,所以cosNADB=Jl—卷=字

（2）由題設(shè)及（1）知，cosZBDC=sinZADB=

在△BCD中,由余弦定理得

BC2=BD2+DC2-2-BDDCcosZBDC

=25+8—2x5x2血xg

=25.

所以6C=5.

18.（12分）

解：（1）由已知可得，BFVPF,BFVEF,所以班上平面PEF.

又BFu平面ABFD,所以平面陽(yáng)」平面ABFD.

（2）作PH1EF,垂足為〃由（1）得，/W_L平面ABFD.

以〃為坐標(biāo)原點(diǎn)，板的方向?yàn)閥軸正方向,I8尸|為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直

角坐標(biāo)系H-xyz.

由（1）可得，DEVPE.又分=2,龐八,所以上小.又小1,EQ2,故PEVPF.

可彳導(dǎo)PH=?,EH=23.

22

則H（0,0,0）,尸（0,0,孝）,D（-l,-|,0）,DP=（l,HP=（0,0,專為平面

志出的法向量.

3

設(shè)分與平面力四所成角為0,則sin6=||=4=g

|HP||DP|V34

所以加與平面加物所成角的正弦值為一.

4

19.（12分）

解：（1）由已知得b（1,0）,1的方程為E

由已知可得，點(diǎn)/的坐標(biāo)為（L*）或（L-注）.

22

所以/〃的方程為>=-?》+血或y=

（2）當(dāng)/與x軸重合時(shí)，ZOMA=ZOMB^O°.

當(dāng)1與X軸垂直時(shí)，0M為患的垂直平分線，所以Z.OMA=ZOMB.

當(dāng)/與x軸不重合也不垂直時(shí)設(shè)1的方程為y=1）（左/0）,4（和%）,5（々,%）,

貝11%＜0,天〈夜,直線揚(yáng)，娜的斜率之和為左必+左MB=一^+上」

玉一2x2-2

由M=kxi-k.y2=心一人得

kMA+kMB=2g々-弘?yún)^(qū)+々)+4,

MAMB(X]—2)(%—2)

將y=k(x—l)代入萬(wàn)+/=1得

(2k1+l)x2-^k~x+2左2—2=0.

叱?4k22k--2

所以，xl+x2=—T-,xlx2=.

2K+12K+1

333

n“c,?、,，4k-4k-12k+8k+4kc

貝U2kxix2-3左(x,+x2)+4k=-----------―,-------------=0.

從而34+=0，故也，順的傾斜角互補(bǔ)，所以^OMA=ZOMB.

綜上，ZOMA=ZOMB.

20.（12分）

解：（1）20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為/（/?）=C；°p2（l-p）叱因此

令/'（夕）=0，得p=0.L當(dāng)pe（0,0.1）時(shí)，/'（7）＞0;當(dāng)夕€（0.1,1）時(shí)，/5）＜0.

所以/（夕）的最大值點(diǎn)為po=O.l.

（2）由（1）知，夕=0.1.

（i）令丫表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知Y:5（180,0.1）,

X=20x2+257,即X=40+25K

所以EX=E(40+257)=40+251=490.

(ii)如果對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元.

由于EX>400,故應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn).

21.(12分)

解：(1)/(X)的定義域?yàn)?0,+8),r(x)=-^-i+-=--v~^+1.

(i)若。<2，則/'(x)W0，當(dāng)且僅當(dāng)。=2,%=1時(shí)/8)=0，所以/(x)在(0,+8)

單調(diào)遞減.

(H)若a>2,令/'(x)=0得，xa9^x=a+^.

當(dāng)xe(0,qz￥H)u(勺咚三,+s)時(shí)，/'(%)<0;

當(dāng)xe(佇耳三史咚H1)時(shí)，/，(%)〉().所以/(x)在

(0,佇手工),(空手￡+00)單調(diào)遞減，在(佇手工”4三)單調(diào)遞

增.

(2)由(1)知，/⑴存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)a>2.

由于/(%)的兩個(gè)極值點(diǎn)滿足爐-依+1=。,所以再%=1，不妨設(shè)玉<%2，則

九2〉1.由于

所以,(七)一/(々)<?！?等價(jià)于_L_x,+21n%2<0.

%一%々

設(shè)函數(shù)g(x)=L-x+21nx，由(1)知，g(x)在(0,+8)單調(diào)遞減，又g⑴=0，從

X

而當(dāng)xe(l,+oo)時(shí)，g(九)<0.

所以工—%+21nx2<0，即「a)一"12)<”2.

再~X2

22.［選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

解：(1)由無(wú)=〃cos。,y=〃sin。得G的直角坐標(biāo)方程為(x+iy+V=4.

(2)由(1)知C?是圓心為4-1,0),半徑為2的圓由題設(shè)知，G是過(guò)點(diǎn)3(0,2)且

關(guān)于y軸對(duì)稱的兩條射線.記y軸右邊的射線為4,，軸左邊的射線為4.由于3在

圓C2的外面，故G與G有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于4與G只有一個(gè)公共點(diǎn)且〃與Q

有兩個(gè)公共點(diǎn)，或4與°2只有一個(gè)公共點(diǎn)且4與。2有兩個(gè)公共點(diǎn).

\-k+2\\

當(dāng)4與G只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，A到所在直線的距離為2,所以r-：——=2,故

，左一+1

4、

左=一§或左=0.