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文檔簡(jiǎn)介
2020-2021學(xué)年度八年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽(第一講)
三角形邊角關(guān)系
卷((選擇題)
一、選擇題(本題共計(jì)16小題,每題3分,共計(jì)48分,)
1.如圖,在&ABC中,AB=AC,/-BAC=120°,AD_LBC于點(diǎn)D,4E_L4B交BC于
2
點(diǎn)E.若S^ABC=9m2+n,S^ADE=mn,則zn與TI之間的數(shù)量關(guān)系是()
A
:
p
F
:5
A.m=3nB.m=6nC.n=3mD.n=6m
:q2.在△ABC中,AB=3,AC=V3.當(dāng)NB最大時(shí),BC的長(zhǎng)是()
支
A.-B.V6C.—D.2V3
22
區(qū)3.設(shè)P是高為九的正三角形內(nèi)的一點(diǎn),P到三邊的距離分別為x,y,z(x<y<z).若
+
以x,y,z為邊可以組成三角形,則z應(yīng)滿足的條件為()
11111Q2
A.小Wz(力B,-h<z<-hC,-h<z<-hD,-h<z<h
4.根據(jù)下列條件中能確定一個(gè)三角形的是()
A.AB=3,BC=4,AC=8B.4B=4,BC=3,4A=30°
CZ4=60°,/-B=45°,AB=4D.zC=90°,48=6
5.在等邊△4BC所在平面上的直線m滿足的條件是:等邊△ABC的3個(gè)頂點(diǎn)到直線小的
距離只取2個(gè)值,其中一個(gè)值是另一個(gè)值的2倍,這樣的直線m的條數(shù)是()
A.16B.18C.24D.27
6.已知a,b,c是△ABC的三條邊的邊長(zhǎng),且2=二+0+'7?則()
「b+cc+aa+b
A.存在三角形使得p=1或p=2B.O<p<1
C.l<p<2D.2<p<3
7.△ABC的三條外角平分線所在直線相交成一個(gè)AAB'C',則△A'B'C'OK
K
A.一定是直角三角形B.一定是鈍角三角形苗
K
C.一定是銳角三角形D.一定是等腰三角形K
仙
太
太
工
K
8.己知A/IBC的兩條高線的長(zhǎng)分別為5和8,若第三條高線的長(zhǎng)也是整數(shù),則第三條高K
W
線長(zhǎng)的最小值為()K
K
A.2B.3C.4D.5M
&
K
卑
K
9.觀察圖(1),容易發(fā)現(xiàn)圖(2)中的41=42+43.把圖(2)推廣到圖(3),其中有8個(gè)角:K
可以驗(yàn)證成立.除此之外,恰好還有一組正整H
Zl.Z2,Z8.41=42+45+48K
數(shù)x,y,z,滿足2WxWyWz48,使得乙1=+z_y+z_z,那么這組正整數(shù)太
(x,%z)=()
'-
K
K
E
&
K
10.如圖,已知N4OM=60。,在射線0M上有點(diǎn)B,使得AB與。B的長(zhǎng)度都是整數(shù),由
此稱8是"完美點(diǎn)",若。4=8,則圖中完美點(diǎn)B的個(gè)數(shù)為()
A.1B.2C.3D.4
試卷第2頁(yè),總52頁(yè)
11.在△ABC中,AB=AC=a,BC=b,4=36。,記巾=^,n==《,則
a-babrb3
m.n、p的大小關(guān)系為()
A.m>n>pB.p>m>nC.n>p>mD.m=n=p
12.△ABC有一邊是另一邊的2倍,又有一個(gè)內(nèi)角等于30。,則下列正確的是()
AZABC不是直角三角形BZABC不是銳角三角形
CnABC不是鈍角三角形D.以上答案都不對(duì)
13.已知一個(gè)等腰三角形的一邊長(zhǎng)為5,另一邊長(zhǎng)為7,則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為0
A.12B.17C.17或19D.19
:D
F
14.設(shè)P是邊長(zhǎng)為a的正三角形內(nèi)的一點(diǎn),P到三邊的距離分別為x,y,z(x<y<
z).若以x,y,z為邊可以組成三角形,貝Hz應(yīng)滿足的條件為()
.V3,.V3?V3,,有
:A.—Cl工Z<—ClB.—Cl工ZV—CLC.—CL工Z<--CLD.--CLWZ<—CL
586644882
15.三條邊都是質(zhì)數(shù)的三角形可能是()
①銳角三角形②直角三角形③鈍角三角形④等腰三角形⑤等邊三角形.
:q
頭A.①②③④B.②③④⑤C.①③④⑤D.①②③④⑤
16.如圖所示,A、B、C為長(zhǎng)方體的三個(gè)頂點(diǎn),則△ABC的形狀是()
區(qū)
+
A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.無(wú)法確定
卷〃(非選擇題)
二、填空題(本題共計(jì)12小題,每題3分,共計(jì)36分,)
>
17.設(shè)銳角三角形4BC的內(nèi)角4、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,a=2bsinA,則NB的大
小為.
18.如圖,4ABD,△4CE都是正三角形,BE和CD交于。點(diǎn),貝IJ/BOC=度.
3
K
K
苗
K
19.如圖,在四邊形A8C。中,對(duì)角線4C平分4840,AB>AD,試判斷AB-40與K
CD—CB的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論.仙
太
解:結(jié)論:太
M
工
K
K
W
K
K
M
&
K
卑
K
K
H
K
太
20.已知四邊形的四條邊和兩條對(duì)角線這六條線段中只有兩種長(zhǎng)度,則這個(gè)四邊形的
最大內(nèi)角為.'-
K
K
E
&
21.△ABC中,有一內(nèi)角為36。,過(guò)頂點(diǎn)4的直線力。將△ABC分成2個(gè)等腰三角形,則滿K
)
足上述條件的不同形狀(相似的認(rèn)為是同一形狀)的△ABC最多有個(gè).
22.已知△ABC的三邊分別是x,y,z,①以次,、/夕,6為三邊的三角形一定存在;
②以小,y2,z2為三邊的三角形一定存在;③以*x+y),|(y+Z),“尤+Z)為三
?
一
、
邊的三角形一定存在;④以|x—y|+l,|y-z|+l,|z-x|+l為三邊的三角形一定
存在;上述四個(gè)結(jié)論中,正確的是.
23.三角形紙片內(nèi)有100個(gè)點(diǎn),連同三角形的頂點(diǎn)共103個(gè)點(diǎn),其中任意三點(diǎn)都不共)
線.現(xiàn)以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形,并把紙片剪成小三角形,則這樣的三角形的個(gè)數(shù)為
試卷第4頁(yè),總52頁(yè)
24.如果正數(shù)x、y、z可以是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng),那么稱Q,y,z)是三角形數(shù).若
(a,b,c)和白層)均為三角形數(shù),且aWbWc,貝q的取值范圍是.
25.已知△力BC的兩條高線的長(zhǎng)分別為5和20,若第三條高線的長(zhǎng)也是整數(shù),則第三條
高線長(zhǎng)的最大值為.
26.已知銳角三角形力BC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C滿足:A>B>C,用a表示4-B,
8-。以及90。一4中的最小者,則a的最大值為.
:D27.鈍角三角形4BC中,有一個(gè)角等于6。。,則最長(zhǎng)邊c與最短邊a的比值;的取值范圍是
F
:528.已知三角形的三邊依次為"-1,2n,n2+1,當(dāng)n取2至10這9個(gè)自然數(shù)時(shí),得到
9個(gè)不同的三角形,其中具有最小內(nèi)角的三角形的三邊長(zhǎng)依次為.
三、解答題(本題共計(jì)12小題,每題10分,共計(jì)120分,)
:q
頭29.如圖,在A4BC中,AB=AC,4c的垂直平分線分別交48、4c于點(diǎn)。、E.若48
=10cm,A/IBC的周長(zhǎng)為27cm,則△BCD的周長(zhǎng)為17cm.
區(qū)
+
30.已知:直線y=kx+2k+3(/c豐0)恒過(guò)某一定點(diǎn)P.
(1)求該定點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)已知點(diǎn)4B坐標(biāo)分別為(0,2),(3,2),若直線2與線段AB相交,求k的取值范圍;
(3)在0WXW3氾圍內(nèi),任取3個(gè)自變量匕,%2,%3,匕們對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為丫1,丫2/3,
若以外,光/3為長(zhǎng)度的3條線段能圍成三角形,求k的取值范圍.>
31.如圖,AABC是等邊三角形,BD是中線,延長(zhǎng)BC至E,CE=CD,
3
K
K
苗
K
(2)在圖中過(guò)。作DF_LBE交BE于F,若CF=4,求△ABC的周長(zhǎng).K
仙
太
太M
32.已知a、b為實(shí)數(shù),關(guān)于x的方程|/+。%+加=2恒有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根.工
K
(1)求b的最小值;K
W
K
K
M
(2)若該方程的三個(gè)不等實(shí)根,恰為一個(gè)三角形三內(nèi)角的度數(shù),求證該三角形必有一&
K
個(gè)內(nèi)角是60°
卑
K
K
H
(3)若該方程的三個(gè)不等實(shí)根恰為一直角三角形的三條邊,求a和b的值.K
太
33.在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,且滿足:絲=迎二2=卜.'-
c-bb+cK
K
E
(1)求證:k=手;&
2cK
)
(2)求證:c>b-,
(3)當(dāng)k=2時(shí),證明:AB是的△ABC最大邊.
?
一
、
34.已知直角三角形的邊長(zhǎng)均為整數(shù),周長(zhǎng)為60,求它的外接圓的面積.
35.數(shù)學(xué)問(wèn)題:各邊長(zhǎng)都是整數(shù),最大邊長(zhǎng)為21的三角形有多少個(gè)?)
為解決上面的數(shù)學(xué)問(wèn)題,我們先研究下面的數(shù)學(xué)模型:
試卷第6頁(yè),總52頁(yè)
數(shù)學(xué)模型:在1到21這21個(gè)自然數(shù)中,每次取兩個(gè)不同的數(shù),使得所取的兩個(gè)數(shù)之和
大于21,有多少種不同的取法?
為了找到解決問(wèn)題的方法,我們把上面數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)單化.
數(shù)學(xué)問(wèn)題:各邊長(zhǎng)都是整數(shù),最大邊長(zhǎng)為21的三角形有多少個(gè)?
為解決上面的數(shù)學(xué)問(wèn)題,我們先研究下面的數(shù)學(xué)模型:
數(shù)學(xué)模型:在1到21這21個(gè)自然數(shù)中,每次取兩個(gè)不同的數(shù),使得所取的兩個(gè)數(shù)之和
大于21,有多少種不同的取法?
為了找到解決問(wèn)題的方法,我們把上面數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)單化.
(1)在1?4這4個(gè)自然數(shù)中,每次取兩個(gè)不同的數(shù),使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于4,有
多少種不同的取法?
根據(jù)題意,有下列取法:1+4,2+3_2+4,34-22_3+4,44-12_4+2J_4+3;
而1+4與4+1,2+3與3+2,...是同一種取法,所以上述每一種取法都重復(fù)過(guò)一次,
因此共有上等=4=?種不同的取法.
(2)在1?5這5個(gè)自然數(shù)中,每次取兩個(gè)不同的數(shù),使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于5,有
多少種不同的取法?
根據(jù)題意,有下列取法:_1+5,2+4-2+5,3+4-3+5,4+2_4+3=_4+
5;5+1-5+2-5+3-5+4,而1+5與5+1,2+4與4+2,...是同一種取法,
所以上述每一種取法都重復(fù)過(guò)一次,因此共有/2+/+3+f=6=中種不同的取法.
24
(3)在1?6這6個(gè)自然數(shù)中,每次取兩個(gè)不同的數(shù),使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于6,有
多少種不同的取法?
根據(jù)題意,有下列取法:1+6,2+5-2+6,3+4-3+5-3+6,4+3.4+5-
4+6,5+29_5+3j_5+42_5+6,6+lj_6+_6+3t_64_4j_6+5;而1+6與
6+1,2+5與5+2,…是同一種取法,所以上述每一種取法都重復(fù)過(guò)一次,因此共
有1+2+3+3+4+5=9=2種不同的取法.
24
(4)在1?7這7個(gè)自然數(shù)中,每次取兩個(gè)不同的數(shù),使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于7,有
多少種不同的取法?
根據(jù)題意,有下列取法:1+7,2+6-2+7,3+5-3+6-3+7,4+5-4+6-
4+7,5+3j_5+_5+62_5+7,6+2乙_6+32_6+4^_6+52_6+7,7+_
7+2-7+3-7+4-7+5-7+6;而1+7與7+1,2+6與6+2,…是同一種取法,
所以上述每一種取法都重復(fù)過(guò)一次,因此共有1+2+3+:+4+5+6=I2=21種不同的取
24
法…
問(wèn)題解決:
依照上述研究問(wèn)題的方法,解決上述數(shù)學(xué)模型和提出的問(wèn)題
(1)在1?21這21個(gè)自然數(shù)中,每次取兩個(gè)不同的數(shù),使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于21,
有種不同的取法;(只填結(jié)果)
(2)在1?n(n為偶數(shù))這n個(gè)自然數(shù)中,每次取兩個(gè)不同的數(shù),使得所取的兩個(gè)數(shù)之
和大于n,有種不同的取法;(只填最簡(jiǎn)算式)
(3)在1?n(n為奇數(shù))這n個(gè)自然數(shù)中,每次取兩個(gè)不同的數(shù),使得所取的兩個(gè)數(shù)之
和大于n,有種不同的取法;(只填最簡(jiǎn)算式)
(4)各邊長(zhǎng)都是整數(shù),最大邊長(zhǎng)為21的三角形有多少個(gè)?(寫出最簡(jiǎn)算式和結(jié)果,不寫
分析過(guò)程)
問(wèn)題拓展:
(5)在1?100這100個(gè)自然數(shù)中,每次取兩個(gè)不同的數(shù),使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于
100,有種不同的取法;(只填結(jié)果)
(6)各邊長(zhǎng)都是整數(shù),最大邊長(zhǎng)為11的三角形有多少個(gè)?(寫出最簡(jiǎn)算式和結(jié)果,不寫
分析過(guò)程)
(7)各邊長(zhǎng)都是整數(shù),最大邊長(zhǎng)為31的三角形有多少個(gè)?(寫出最簡(jiǎn)算式和結(jié)果,不寫
分析過(guò)程)
K
K
苗
36.設(shè)整數(shù)a,b,c(aNb2c)為三角形的三邊長(zhǎng),滿足a?+b?+c?-a£>-ac-bc=K
K
13,求符合條件且周長(zhǎng)不超過(guò)30的三角形的個(gè)數(shù).仙
太
太
工
K
37.有麥田5塊,如圖中的4、B、C、。、E,它們的產(chǎn)量(單位:噸)、交通狀況和每K
相鄰兩塊麥田的距離如圖所示,要建一座永久性打麥場(chǎng),這5塊麥田生產(chǎn)的麥子都在此W
K
打場(chǎng)、問(wèn)建在哪塊麥田上(不允許建在除麥田以外的其他地方)才能使總運(yùn)輸量最小?K
M
圖中圓圈內(nèi)的數(shù)字為產(chǎn)量,直線段上的字母a,b,d表示距離,b<a<d.&
K)
卑
K
K
H
K
太
R
'-
K
38.我們都知道,在等腰三角形中.有等邊對(duì)等角(或等角對(duì)等邊),那么在不等腰三K
E
角形中邊與角的大小關(guān)系又是怎樣的呢?讓我們來(lái)探究一下.&
K
如圖1,在AHBC中,已知4B>4C,猜想NB與4c的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
證明:猜想4c>48,對(duì)于這個(gè)猜想我們可以這樣來(lái)證明:
在4B上截取4D=4C,連接CD,
0AB>AC,0點(diǎn)。必在NBCA的內(nèi)部
回Z.BCA>Z.ACD
0AD=AC,13Z.ACD=/.ADC
又團(tuán)NADC是△BCD的一個(gè)外角,04ADC>4B
124BCA>Z.ACD>乙BERzC>乙B
上面的探究過(guò)程是研究圖形中不等量關(guān)系證明的一種方法,將不等的線段轉(zhuǎn)化為相等
的線段,由此解決問(wèn)題,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化的思想方法.請(qǐng)你仿照類比上述方法,解
試卷第8頁(yè),總52頁(yè)
BB
B
D
A
決下面問(wèn)題:12
(1)如圖2,在△ABC中,已知4c>8C,猜想NB與NA的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)如圖3,AABC中,已知NC>*B,猜想4B與AC大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(3)根據(jù)前面得到的結(jié)果,請(qǐng)你總結(jié)出三角形中邊、角不等關(guān)系的一般性結(jié)論.
:D39.已知直角三角形的三邊a、b、c都是正整數(shù),c為斜邊,k為正整數(shù),且a+b+c
F
2
問(wèn):當(dāng)%為何值時(shí)這樣的三角形存在,并求c的值.
:5
40.一個(gè)直角三角形的邊長(zhǎng)都是整數(shù),它的面積和周長(zhǎng)的數(shù)值相等.試確定這個(gè)直角
三角形三邊的長(zhǎng).
:q
頭
區(qū)
+
>
參考答案與試題解析
數(shù)學(xué)競(jìng)賽第一講:三角形
3
一、選擇題(本題共計(jì)16小題,每題3分,共計(jì)48分)
1.
【答案】
CK
K
【考點(diǎn)】百
K
K
三角形邊角關(guān)系仙
太
太M
等腰三角形的性質(zhì)C
K
等腰三角形的性質(zhì)與判定K
解
【解析】K
K
M
此題暫無(wú)解析
&)
K
【解答】卑
K
K
解:設(shè)AD=x,H
K
K
■■■AB=AC,Z.BAC=120°,M
KR
NB=30°,K
'-,
在RtMBD中,K
K
E
BD=R=%=6x,&
tanS在
3K
)
AB=2AD=2x,
則BC=2BD=2>/3x,
在RtUBE中,
DCAB2x4V3
BE=---------7=*=——X,?
cosBV33一
、
3
??.DE=BE-BD=—%,
3
..S—BC_I2依次_A
,小一7^7'
)
:、9m2+n2=6mn,
試卷第10頁(yè),總52頁(yè)
即(n—3m>=0,
???n=3m,
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】
此題暫無(wú)點(diǎn)評(píng)
2.
【答案】
B
【考點(diǎn)】
三角形邊角關(guān)系
切線的性質(zhì)
勾股定理
【解析】
以4C為半徑作Oa,當(dāng)BC為。。的切線時(shí),即BC14C時(shí),NB最大,根據(jù)勾股定理即
可求出答案.
【解答】
解:以A為圓心,依據(jù)AC為半徑作0
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