2020-2021學(xué)年度八年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽（第一講）：三角形邊角關(guān)系

2020-2021學(xué)年度八年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽（第一講）

三角形邊角關(guān)系

卷（（選擇題）

一、選擇題（本題共計(jì)16小題，每題3分，共計(jì)48分，）

1.如圖，在&ABC中,AB=AC,/-BAC=120°,AD_LBC于點(diǎn)D,4E_L4B交BC于

2

點(diǎn)E.若S^ABC=9m2+n,S^ADE=mn,則zn與TI之間的數(shù)量關(guān)系是（）

A

:

p

F

:5

A.m=3nB.m=6nC.n=3mD.n=6m

:q2.在△ABC中，AB=3,AC=V3.當(dāng)NB最大時(shí)，BC的長(zhǎng)是（）

支

A.-B.V6C.—D.2V3

22

區(qū)3.設(shè)P是高為九的正三角形內(nèi)的一點(diǎn)，P到三邊的距離分別為x,y,z（x<y<z）.若

+

以x,y,z為邊可以組成三角形，則z應(yīng)滿足的條件為（）

11111Q2

A.小Wz（力B,-h<z<-hC,-h<z<-hD,-h<z<h

4.根據(jù)下列條件中能確定一個(gè)三角形的是（）

A.AB=3,BC=4,AC=8B.4B=4,BC=3,4A=30°

CZ4=60°,/-B=45°,AB=4D.zC=90°,48=6

5.在等邊△4BC所在平面上的直線m滿足的條件是：等邊△ABC的3個(gè)頂點(diǎn)到直線小的

距離只取2個(gè)值，其中一個(gè)值是另一個(gè)值的2倍，這樣的直線m的條數(shù)是()

A.16B.18C.24D.27

6.已知a,b,c是△ABC的三條邊的邊長(zhǎng)，且2=二+0+'7?則（）

「b+cc+aa+b

A.存在三角形使得p=1或p=2B.O<p<1

C.l<p<2D.2<p<3

7.△ABC的三條外角平分線所在直線相交成一個(gè)AAB'C',則△A'B'C'OK

K

A.一定是直角三角形B.一定是鈍角三角形苗

K

C.一定是銳角三角形D.一定是等腰三角形K

仙

太

太

工

K

8.己知A/IBC的兩條高線的長(zhǎng)分別為5和8,若第三條高線的長(zhǎng)也是整數(shù)，則第三條高K

W

線長(zhǎng)的最小值為()K

K

A.2B.3C.4D.5M

&

K

卑

K

9.觀察圖(1),容易發(fā)現(xiàn)圖(2)中的41=42+43.把圖(2)推廣到圖(3),其中有8個(gè)角:K

可以驗(yàn)證成立.除此之外，恰好還有一組正整H

Zl.Z2,Z8.41=42+45+48K

數(shù)x,y,z,滿足2WxWyWz48,使得乙1=+z_y+z_z,那么這組正整數(shù)太

(x,%z)=()

'-

K

K

E

&

K

10.如圖，已知N4OM=60。，在射線0M上有點(diǎn)B,使得AB與。B的長(zhǎng)度都是整數(shù)，由

此稱8是"完美點(diǎn)"，若。4=8,則圖中完美點(diǎn)B的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

試卷第2頁(yè)，總52頁(yè)

11.在△ABC中，AB=AC=a,BC=b,4=36。，記巾=^，n==《，則

a-babrb3

m.n、p的大小關(guān)系為（）

A.m>n>pB.p>m>nC.n>p>mD.m=n=p

12.△ABC有一邊是另一邊的2倍,又有一個(gè)內(nèi)角等于30。，則下列正確的是（）

AZABC不是直角三角形BZABC不是銳角三角形

CnABC不是鈍角三角形D.以上答案都不對(duì)

13.已知一個(gè)等腰三角形的一邊長(zhǎng)為5,另一邊長(zhǎng)為7,則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為0

A.12B.17C.17或19D.19

:D

F

14.設(shè)P是邊長(zhǎng)為a的正三角形內(nèi)的一點(diǎn)，P到三邊的距離分別為x,y,z（x<y<

z）.若以x,y,z為邊可以組成三角形，貝Hz應(yīng)滿足的條件為（）

.V3,.V3?V3,，有

:A.—Cl工Z<—ClB.—Cl工ZV—CLC.—CL工Z<--CLD.--CLWZ<—CL

586644882

15.三條邊都是質(zhì)數(shù)的三角形可能是（）

①銳角三角形②直角三角形③鈍角三角形④等腰三角形⑤等邊三角形.

:q

頭A.①②③④B.②③④⑤C.①③④⑤D.①②③④⑤

16.如圖所示，A、B、C為長(zhǎng)方體的三個(gè)頂點(diǎn)，則△ABC的形狀是（）

區(qū)

+

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.無(wú)法確定

卷〃（非選擇題）

二、填空題（本題共計(jì)12小題，每題3分，共計(jì)36分，）

>

17.設(shè)銳角三角形4BC的內(nèi)角4、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,a=2bsinA,則NB的大

小為.

18.如圖，4ABD,△4CE都是正三角形，BE和CD交于。點(diǎn)，貝IJ/BOC=度.

3

K

K

苗

K

19.如圖，在四邊形A8C。中，對(duì)角線4C平分4840,AB>AD,試判斷AB-40與K

CD—CB的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.仙

太

解：結(jié)論：太

M

工

K

K

W

K

K

M

&

K

卑

K

K

H

K

太

20.已知四邊形的四條邊和兩條對(duì)角線這六條線段中只有兩種長(zhǎng)度，則這個(gè)四邊形的

最大內(nèi)角為.'-

K

K

E

&

21.△ABC中，有一內(nèi)角為36。，過(guò)頂點(diǎn)4的直線力。將△ABC分成2個(gè)等腰三角形，則滿K

)

足上述條件的不同形狀(相似的認(rèn)為是同一形狀)的△ABC最多有個(gè).

22.已知△ABC的三邊分別是x,y,z,①以次，、/夕，6為三邊的三角形一定存在；

②以小,y2,z2為三邊的三角形一定存在；③以*x+y),|(y+Z),“尤+Z)為三

?

一

、

邊的三角形一定存在；④以|x—y|+l,|y-z|+l,|z-x|+l為三邊的三角形一定

存在；上述四個(gè)結(jié)論中，正確的是.

23.三角形紙片內(nèi)有100個(gè)點(diǎn)，連同三角形的頂點(diǎn)共103個(gè)點(diǎn)，其中任意三點(diǎn)都不共)

線.現(xiàn)以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，并把紙片剪成小三角形，則這樣的三角形的個(gè)數(shù)為

試卷第4頁(yè)，總52頁(yè)

24.如果正數(shù)x、y、z可以是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，那么稱Q,y,z)是三角形數(shù).若

(a,b,c)和白層)均為三角形數(shù)，且aWbWc,貝q的取值范圍是.

25.已知△力BC的兩條高線的長(zhǎng)分別為5和20,若第三條高線的長(zhǎng)也是整數(shù)，則第三條

高線長(zhǎng)的最大值為.

26.已知銳角三角形力BC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C滿足：A>B>C,用a表示4-B,

8-。以及90。一4中的最小者，則a的最大值為.

:D27.鈍角三角形4BC中,有一個(gè)角等于6。。，則最長(zhǎng)邊c與最短邊a的比值;的取值范圍是

F

:528.已知三角形的三邊依次為"-1,2n,n2+1,當(dāng)n取2至10這9個(gè)自然數(shù)時(shí)，得到

9個(gè)不同的三角形，其中具有最小內(nèi)角的三角形的三邊長(zhǎng)依次為.

三、解答題(本題共計(jì)12小題，每題10分，共計(jì)120分，)

:q

頭29.如圖，在A4BC中，AB=AC,4c的垂直平分線分別交48、4c于點(diǎn)。、E.若48

=10cm,A/IBC的周長(zhǎng)為27cm,則△BCD的周長(zhǎng)為17cm.

區(qū)

+

30.已知：直線y=kx+2k+3(/c豐0)恒過(guò)某一定點(diǎn)P.

(1)求該定點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)已知點(diǎn)4B坐標(biāo)分別為(0,2),(3,2),若直線2與線段AB相交，求k的取值范圍;

(3)在0WXW3氾圍內(nèi)，任取3個(gè)自變量匕,%2，%3，匕們對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為丫1，丫2/3,

若以外，光/3為長(zhǎng)度的3條線段能圍成三角形，求k的取值范圍.>

31.如圖，AABC是等邊三角形，BD是中線，延長(zhǎng)BC至E,CE=CD,

3

K

K

苗

K

(2)在圖中過(guò)。作DF_LBE交BE于F,若CF=4,求△ABC的周長(zhǎng).K

仙

太

太M

32.已知a、b為實(shí)數(shù)，關(guān)于x的方程|/+。％+加=2恒有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根.工

K

(1)求b的最小值；K

W

K

K

M

(2)若該方程的三個(gè)不等實(shí)根，恰為一個(gè)三角形三內(nèi)角的度數(shù)，求證該三角形必有一&

K

個(gè)內(nèi)角是60°

卑

K

K

H

(3)若該方程的三個(gè)不等實(shí)根恰為一直角三角形的三條邊，求a和b的值.K

太

33.在△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,且滿足：絲=迎二2=卜.'-

c-bb+cK

K

E

(1)求證：k=手；&

2cK

)

(2)求證：c>b-,

(3)當(dāng)k=2時(shí)，證明：AB是的△ABC最大邊.

?

一

、

34.已知直角三角形的邊長(zhǎng)均為整數(shù)，周長(zhǎng)為60,求它的外接圓的面積.

35.數(shù)學(xué)問(wèn)題：各邊長(zhǎng)都是整數(shù)，最大邊長(zhǎng)為21的三角形有多少個(gè)?)

為解決上面的數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們先研究下面的數(shù)學(xué)模型：

試卷第6頁(yè)，總52頁(yè)

數(shù)學(xué)模型：在1到21這21個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)不同的數(shù)，使得所取的兩個(gè)數(shù)之和

大于21,有多少種不同的取法？

為了找到解決問(wèn)題的方法，我們把上面數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)單化.

數(shù)學(xué)問(wèn)題：各邊長(zhǎng)都是整數(shù)，最大邊長(zhǎng)為21的三角形有多少個(gè)？

為解決上面的數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們先研究下面的數(shù)學(xué)模型：

數(shù)學(xué)模型：在1到21這21個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)不同的數(shù)，使得所取的兩個(gè)數(shù)之和

大于21,有多少種不同的取法？

為了找到解決問(wèn)題的方法，我們把上面數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)單化.

(1)在1?4這4個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)不同的數(shù)，使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于4,有

多少種不同的取法？

根據(jù)題意，有下列取法：1+4,2+3_2+4,34-22_3+4,44-12_4+2J_4+3；

而1+4與4+1,2+3與3+2,...是同一種取法，所以上述每一種取法都重復(fù)過(guò)一次,

因此共有上等=4=?種不同的取法.

(2)在1?5這5個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)不同的數(shù)，使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于5,有

多少種不同的取法？

根據(jù)題意，有下列取法：_1+5,2+4-2+5,3+4-3+5,4+2_4+3=_4+

5；5+1-5+2-5+3-5+4,而1+5與5+1,2+4與4+2,...是同一種取法，

所以上述每一種取法都重復(fù)過(guò)一次，因此共有/2+/+3+f=6=中種不同的取法.

24

(3)在1?6這6個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)不同的數(shù)，使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于6,有

多少種不同的取法？

根據(jù)題意，有下列取法：1+6,2+5-2+6,3+4-3+5-3+6,4+3.4+5-

4+6,5+29_5+3j_5+42_5+6,6+lj_6+_6+3t_64_4j_6+5；而1+6與

6+1,2+5與5+2,…是同一種取法，所以上述每一種取法都重復(fù)過(guò)一次，因此共

有1+2+3+3+4+5=9=2種不同的取法.

24

(4)在1?7這7個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)不同的數(shù)，使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于7,有

多少種不同的取法？

根據(jù)題意，有下列取法：1+7,2+6-2+7,3+5-3+6-3+7,4+5-4+6-

4+7,5+3j_5+_5+62_5+7,6+2乙_6+32_6+4^_6+52_6+7,7+_

7+2-7+3-7+4-7+5-7+6；而1+7與7+1,2+6與6+2,…是同一種取法,

所以上述每一種取法都重復(fù)過(guò)一次，因此共有1+2+3+：+4+5+6=I2=21種不同的取

24

法…

問(wèn)題解決：

依照上述研究問(wèn)題的方法，解決上述數(shù)學(xué)模型和提出的問(wèn)題

(1)在1?21這21個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)不同的數(shù)，使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于21,

有種不同的取法；(只填結(jié)果)

(2)在1?n(n為偶數(shù))這n個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)不同的數(shù)，使得所取的兩個(gè)數(shù)之

和大于n,有種不同的取法；(只填最簡(jiǎn)算式)

（3）在1?n（n為奇數(shù)）這n個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)不同的數(shù)，使得所取的兩個(gè)數(shù)之

和大于n,有種不同的取法；（只填最簡(jiǎn)算式）

（4）各邊長(zhǎng)都是整數(shù)，最大邊長(zhǎng)為21的三角形有多少個(gè)？（寫出最簡(jiǎn)算式和結(jié)果，不寫

分析過(guò)程）

問(wèn)題拓展：

（5）在1?100這100個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)不同的數(shù)，使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于

100,有種不同的取法；（只填結(jié)果）

（6）各邊長(zhǎng)都是整數(shù)，最大邊長(zhǎng)為11的三角形有多少個(gè)？（寫出最簡(jiǎn)算式和結(jié)果，不寫

分析過(guò)程）

（7）各邊長(zhǎng)都是整數(shù)，最大邊長(zhǎng)為31的三角形有多少個(gè)？（寫出最簡(jiǎn)算式和結(jié)果，不寫

分析過(guò)程）

K

K

苗

36.設(shè)整數(shù)a,b,c（aNb2c）為三角形的三邊長(zhǎng)，滿足a?+b?+c?-a￡>-ac-bc=K

K

13,求符合條件且周長(zhǎng)不超過(guò)30的三角形的個(gè)數(shù).仙

太

太

工

K

37.有麥田5塊，如圖中的4、B、C、。、E,它們的產(chǎn)量（單位：噸）、交通狀況和每K

相鄰兩塊麥田的距離如圖所示，要建一座永久性打麥場(chǎng)，這5塊麥田生產(chǎn)的麥子都在此W

K

打場(chǎng)、問(wèn)建在哪塊麥田上（不允許建在除麥田以外的其他地方）才能使總運(yùn)輸量最小?K

M

圖中圓圈內(nèi)的數(shù)字為產(chǎn)量，直線段上的字母a,b,d表示距離，b<a<d.&

K)

卑

K

K

H

K

太

R

'-

K

38.我們都知道，在等腰三角形中.有等邊對(duì)等角（或等角對(duì)等邊），那么在不等腰三K

E

角形中邊與角的大小關(guān)系又是怎樣的呢？讓我們來(lái)探究一下.&

K

如圖1,在AHBC中，已知4B>4C,猜想NB與4c的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

證明：猜想4c>48,對(duì)于這個(gè)猜想我們可以這樣來(lái)證明：

在4B上截取4D=4C,連接CD,

0AB>AC,0點(diǎn)。必在NBCA的內(nèi)部

回Z.BCA>Z.ACD

0AD=AC,13Z.ACD=/.ADC

又團(tuán)NADC是△BCD的一個(gè)外角，04ADC>4B

124BCA>Z.ACD>乙BERzC>乙B

上面的探究過(guò)程是研究圖形中不等量關(guān)系證明的一種方法，將不等的線段轉(zhuǎn)化為相等

的線段，由此解決問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化的思想方法.請(qǐng)你仿照類比上述方法，解

試卷第8頁(yè)，總52頁(yè)

BB

B

D

A

決下面問(wèn)題：12

(1)如圖2,在△ABC中，已知4c>8C,猜想NB與NA的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論;

(2)如圖3,AABC中，已知NC>*B,猜想4B與AC大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論;

(3)根據(jù)前面得到的結(jié)果，請(qǐng)你總結(jié)出三角形中邊、角不等關(guān)系的一般性結(jié)論.

:D39.已知直角三角形的三邊a、b、c都是正整數(shù)，c為斜邊，k為正整數(shù)，且a+b+c

F

2

問(wèn)：當(dāng)％為何值時(shí)這樣的三角形存在，并求c的值.

:5

40.一個(gè)直角三角形的邊長(zhǎng)都是整數(shù)，它的面積和周長(zhǎng)的數(shù)值相等.試確定這個(gè)直角

三角形三邊的長(zhǎng).

:q

頭

區(qū)

+

>

參考答案與試題解析

數(shù)學(xué)競(jìng)賽第一講：三角形

3

一、選擇題（本題共計(jì)16小題，每題3分，共計(jì)48分）

1.

【答案】

CK

K

【考點(diǎn)】百

K

K

三角形邊角關(guān)系仙

太

太M

等腰三角形的性質(zhì)C

K

等腰三角形的性質(zhì)與判定K

解

【解析】K

K

M

此題暫無(wú)解析

&)

K

【解答】卑

K

K

解：設(shè)AD=x,H

K

K

■■■AB=AC,Z.BAC=120°,M

KR

NB=30°,K

'-，

在RtMBD中，K

K

E

BD=R=%=6x,&

tanS在

3K

)

AB=2AD=2x,

則BC=2BD=2>/3x,

在RtUBE中，

DCAB2x4V3

BE=---------7=*=——X,?

cosBV33一

、

3

??.DE=BE-BD=—%,

3

..S—BC_I2依次_A

,小一7^7'

)

:、9m2+n2=6mn，

試卷第10頁(yè)，總52頁(yè)

即(n—3m>=0,

???n=3m，

故選C.

【點(diǎn)評(píng)】

此題暫無(wú)點(diǎn)評(píng)

2.

【答案】

B

【考點(diǎn)】

三角形邊角關(guān)系

切線的性質(zhì)

勾股定理

【解析】

以4C為半徑作Oa,當(dāng)BC為。。的切線時(shí)，即BC14C時(shí)，NB最大，根據(jù)勾股定理即

可求出答案.

【解答】

解：以A為圓心，依據(jù)AC為半徑作0