2022-2023學(xué)年四川省攀枝花市成考專升本高等數(shù)學(xué)二自考真題(含答案)

2022-2023學(xué)年四川省攀枝花市成考專升本

高等數(shù)學(xué)二自考真題(含答案)

學(xué)校:班級:姓名:考號:

一、單選題(30題)

設(shè)函數(shù)z=/b，Q(x,夕］,其中八夕都有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則坦?=

1.dx

紅+紅

A.A.dxa伊

紅紅

B.3xd(p

〃1a/a夕

Qdxd(pdx

dfa伊

Ddx

2.若隨機(jī)事件A與B互不相容，且P(A尸04P(B尸0.3,貝!JP(A+B尸

()O

A.0.82B.0.7C.0.58D.0.52

3.若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則事件A和B的關(guān)系一定是

A.<style="text-align:left;">A.對立事件

B.互不相容事件

C.4U5

D.4n8

設(shè)/Cr)=er,則1掩④業(yè)等于()

.八

八..I一(

.1

B.---('

.r

C.一IILT+C

4.】),(

5.設(shè)班爺則呵g1等刊A.10/3B.5/3C.l/3D.2/15

6.設(shè)y=f(x)存點x處的切線斜率為2乂+小，則過點(0,1)的曲線方程為

A.A.x2-e-x+2

B.x2+ex+2

C.x2-ex-2

D.x2+ex-2

設(shè)1y="x"+sin-r+ln2?則

A.2x+WsSAinZVxW

B.2x+cosx

C

7D.2x

2x4-1x<0

設(shè)/(x)=2x=0.則/(x)在x=0處是

2

x+1x>0()o

A.連續(xù)的B.可導(dǎo)的c.左極限r(nóng)右極限D(zhuǎn).左極限=右極限

下列極限正■的是()

7蛇"詈=1C.liir^xsn--=?1D.Jim=1

9.2i

過點(1,3)且切線斜率為的曲線方程是

10.4()O

A.y=24

Qy=2&+1

D.H

11.

設(shè)〃(x).v(x)在x=0處可導(dǎo)，且〃(0)=1.u9(0)=2,v(0)=1,v*=3.則

u(x)v(x)-l

lim------------------「

ix

A.A.0B.2C.3D.5

12.方程X3+2X2-X-2=0在［-3,2］內(nèi)

A.A.有1個實根B.有2個實根C.至少有1個實根D.無實根

13.

(sin3H.Q

設(shè)函數(shù)a'在工=0處連續(xù)，則a等于

工=0

A.-1B.1C.2D.3

設(shè)/(x)的一個原函數(shù)是arctanx,則f(x)的導(dǎo)函數(shù)是

A.——=-B.--------5^-

1+x2(1+x2)2

c___xc2x

'(H?)7D--^77)2

14.

設(shè)Z=cos(x2y),則小■=

15.力

sin(x2y)

A.A.

Bx2sin(x2y)

C.-sin(，y)

-x2sin(x2y)

J-Z?

16.

設(shè)/(x)是連續(xù)函數(shù)，則(f(z)dz-J7(a+6-x)dx等于

A.0RI

C.a+6D,Jy(x)dx

設(shè)函數(shù)z=ln(x2+y),則存

17axuy

2x

A.A.

_2x_

B「(V+yy

2x

c.R

-2x

設(shè)z=xy2+ef?則

is.drdy

19.

下列定積分的值等于。的是

A.j：(e*-er)dxB.j'xc'dx

2,I2

C.J'.rln(l+x)dxD.J產(chǎn)co&xdx

20.

下列函數(shù)為同一函數(shù)的是

()

A./(x)=In、G與gfz)=ginz

B./(H)=N與g(x)=elnj

￡?

C/H)=右與以為".

D./(x)=1與gfx)=tanxcotx

21.

b

若x=-l和x=2都是函數(shù)f(x)=(a+x)e*的極值點，則a,b分別為

A.A.2,-1B.2,1C.-2,-lD.-2,l

22.Y=xx,貝!|dy=()

?A.

rrir

?B.

(Inj,+1)ckr

c.

IrurcLr

?D.

jrr(ln.r—1)dj

23.

若r(x)<O(a<xWb)且/(b)>0,則在(a,b)內(nèi)必有

A./(x)>0B./(x)<0C./(x)=0D.〃x)符號不定

A.-1/4B.OC.2/3D.l

25.曲線y=2+lnz在點］=1處的切線方程是（）。

BJ="I

C.L

n.y=~x

若x=-l和x=2都是函數(shù)/。）=（0+刀）€，的極值點，則a,b分別為

26.A.1,2B.2,1C.-2,-1D.-2,1

已知/是/(1)的一個原函數(shù)，則人工)=()

27.A.；+CB.rC.2xD.2

"設(shè)二元函數(shù)z=sin(z，)，則手等于

2o.dx

AAx^cos(xy)

p-XJCOS(J：5?2)

r-_y2cos(11y2)

Dy2cosCxy2)

29.當(dāng)XTO時，若sin?x與/是等價無窮小量，則A=()o

A.l/2B.lC.2D.3

己知/(x)=Inarccotx,則/'⑴=

2

A.A.兀

_2

B.兀

7C

C.2

n

D.5

二、填空題(30題)

31.設(shè)函數(shù)f(x)=cosx,則f"(x)=

32.設(shè)y=excosx,貝y"=1

a

設(shè)平面圖形是由曲線y=±和x+y=4圍成的.

x

(1)求此平面圖形的面積A

(2)求此平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積匕.

34.

—sin告，xW0,

5

若函數(shù)八工)=?“在i=0處連續(xù)，則。=

a.I=0

B.1C.-1D.卷

A.O

35.

設(shè)二元函數(shù)z=sin土，則春=_______________.

yoxay

36.

J壺公=----------

37.

3sinx+!

Ri1ini—,、彳—-=

一(z1t4-cos-r)?ln(1+x)

A.3C.OD.不存在

38.

設(shè)F(x)=『arcsin/dr1則Fz(0)=.

設(shè)

,一8\

-1023

設(shè)隨機(jī)變勒的分布列為丁73a2aa”,則”

1010101010

42.

siorcosx

1+cos2x

44.

設(shè)函數(shù)八幻=一，則fQ）在點工=0處的左導(dǎo)數(shù)/-（0）=

xe*x>0

45?設(shè)"Ing+ln(jy)j,則會［

46.設(shè)函數(shù)f(x)=eX+lnx,貝！|f|(3)=

47.已知/（“）=/一，2,則隱處=——

48.若r占取=：,則a=

設(shè)z=/(x,—)?則江=

yax

49.

50.

4

設(shè)Q)dz=',貝!]jty=-/(Vx)dx=

51.已知(cotx)，=f(x),貝1_|&「(乂)(1乂=

52.

廠&

Joex+e-x

53.設(shè)函數(shù)z=x2ey,則全微分dz=

54.曲線y=ln(l+x)的鉛直漸近線是

設(shè)〃幻=皿麗.3則y里弋產(chǎn)

56.

設(shè)函數(shù)八3)=G,則裴=

57.

設(shè)z

58.

曲線y=x+/在點(0,1)處的切線斜率*=.

設(shè)y=K1+IXT+3Xx+5Xx+7)+x'°+r10,則r110

60.二元函數(shù)?(x,y)=2+y2+xy+x+y的駐點是

三、計算題(30題)

1+sinjr

62.

計算二重積分/=|T(x:+3y)didy.其中D=(<x.y)Ix*

JU

設(shè)/(”)為可微函數(shù)且脩足方程I

x1/⑺dr=(x4-1)(x>0)?

求函數(shù)八力.

x>0.

求「,/(w)&.

設(shè)/(x)-

x<0.

ff

求/“tV)dtf,其中n為y=i.y=l+a,y=a和、=3a(a>0)為邊的平行四

邊形.

66.求則

67.求函數(shù)f(x)=(x2-l)3+3的單調(diào)區(qū)間和極值.

NO設(shè)函數(shù)z=_r,W〃r),求妾.李.

68.d,v

小設(shè)函數(shù)/⑺=4■/一1,?求/(力在上的最大值與最小值.

69.

70設(shè)y=y(*)由方程y'=x+arccg(xy)所確定，求務(wù)

it算二1物分J]<trd?其中°是由直線』=2"■上與雙曲ii_ry=1所用成

71.的區(qū)，?

求微分方程半+*=J的通解.

djrx

求.人工一l)3x.

告?工<0.

設(shè)函數(shù)z=e-I+筆理+”(3,一y).其中/為可導(dǎo)函數(shù).求導(dǎo).

x-Fyax

求微分方程y'='+"皿的通解.

76.求函數(shù)z=arctan(x^)的全微分.

77計算定根分

計算二重枳分Ifryda.其中。是由IMMty'■工及亶線y=工-2!8成.

78.印

79已知八°)=/(O)=-I./(2)=/(2)=I,求j,.r/*(_r)d.r.

80.已知x=-l是函數(shù)f(x)=ax3+bx2的駐點，且曲線y=f(x)過點(1,5),

求a,b的值.

求不定積分業(yè).

81.Jv^x(4—x)

82.上半部為等邊三角形，下半部為矩形的窗戶(如圖所示)，其周長為

12m,為使窗戶的面積A達(dá)到最大，矩形的寬1應(yīng)為多少？

83.￡=爐+工/(“~).苒中八上~)為可11函數(shù)?求dz.

(j^sin一,x#0?

求函數(shù)八工)=1x的導(dǎo)數(shù)?

84.1。?工=。

計算不定積分/=f旺嗎=2"

85.J工

QN計算不定枳分L^27+Tdx.

OO.

87.求函數(shù)f(x,y)=x2+y2在條件2x+3y=l下的極值.

88.求函數(shù)f(x,y)=4(x-y)-x2-y2的極值.

QC設(shè)==、/(工)+"(力.其中/(“).屋u)分別為可微函數(shù).求空.爭.

89.yJ-dy

90設(shè)函數(shù)￡一(2工，.求dz.

四、綜合題(10題)

91求函數(shù)y-苧的單一區(qū)間、懾值及此函數(shù)曲域的凹凸區(qū)間、拐點和漸近線.

求函數(shù)/(x)=上一。++春的單同區(qū)間和極優(yōu)

92.

93注明：當(dāng)工,1時/舊‘斗

94.證明方程41=2'在［0.1］上有且只有一個實根.

95.

一房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租,當(dāng)月租金定為2000元時,公寓會全部租出去，當(dāng)月

租金每增加100元時,就會多一套公宜租不出去,而租出去的公寓每月需花費200元的維修

費.試問租金定為多少可獲得最大收入？最大收入是多少？

96證明s當(dāng)°</v:時wr<yj+1.

97.

過曲線.v=x:（x>0）上某點A作切線.若過點人作的切線?曲線N=J''及工軸圍成

的圖形面積為之?求該圖形繞.，軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體枳憶

98.求曲線y=（］T>"的凹凸區(qū)間及拐點.

2麗方程e'-f-f；擊d-0在區(qū)間（。.1）內(nèi)有唯一的實根?

100.

設(shè)函數(shù)FCr）=￡*二/“'其中/（工）在區(qū)間［a.+8）上連續(xù)，/*（力在

<a.+~）內(nèi)存在且大于零.求證：FG）在（a.+8）內(nèi)單調(diào)遞增.

五、解答題（10題）

JO123-

設(shè)隨機(jī)變量f的分布列為J卷一，求a值并求EC）.

p0.10.30.2a

101.”

102(本題滿分10分)求函數(shù)2=，/方2在條件2%+y=5下的極值.

103.已知f(x)的一個原函數(shù)是arctanx,求1xF(x)dx。

104.

求由曲線,=/與x=2,y=0所圍成圖形分別繞工軸力軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的

旋轉(zhuǎn)體體積.

105..欲做一個表面積等于2a的長方體盒子，問怎樣做才能使其容積最大？

106.

設(shè)y=\/l+x2?sinlixr,求y.

107.

設(shè)Z=x3/(j),其中/為可微函數(shù).

證明啜+2嚕=3z

108.

計算J工?Inxdx.

109.

110(本題滿分8分)計算fxcosxd"

六、單選題(0題)

111.

2x+lx<0,

設(shè)f(x)=x>。’則儂"、))=

X2-3

A.0B.-1C.-3D.-5

參考答案

l.C

dzdfdfdvdfdfdq>.、，

=+T~=Z-+3-W="f(x，y)].

axaxovaxaxdipox

2.B

3.C

根據(jù)已知條件及密件關(guān)系的定義應(yīng)選C.

4.B

【修新】本題筆府的知識點黑他象炳敗”學(xué)慢眼存在的概念及意義.

-A注意劃??則有M?四?華”?，=?.所以選V

3.A?1?1—>1

6.A

因為f(x)=f(2x+ex)dx=x2-ex+C。

過點(0,1)得C=2,

所以f(x)=xx+2o

本題用賦值法更簡捷：

因為曲線過點(0,1),所以將點(0,1)的坐標(biāo)代入四個選項，只有選項

A成立，即02_e°+2=L故選A。

7.B

8.D

lim/(x)=lim(2x+D=Llimf(x)=lim(x?+D=I.故選D.

x-^O*j—?O*

9.D

10.C

ll.D

..W(x)v(x)-lJ..u'v+uv1

hm-----------------洛必達(dá)法則Blhllm-----------

x...............’'x-*0

=u'(0)v(O)+u(O)v(O)=2xl+lx3=5.

12.C

32

f(x)=x+2x-x-2,x￡［-3,2］o因為f(x)在區(qū)間［-3,2］上連續(xù),

且f(-3)=-8<0,f(2)=12>0,

由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可知，至少存在一點自￡(-3,2),使

的)=0。

所以方程在［-3,2］上至少有1個實根。

13.D

［解析］根據(jù)原函數(shù)的定義可知

/(x)=(arctenx)'=——j-

15.D

半=一sinewy)?衛(wèi)(，y)=-x2sin(x2y)

oyoy

16.A

17.B

因為當(dāng)=，—x2x,則事”2x

故選B.

arx+ydrdy(x2+y)2

21y---7e"(>+x)2y---^e；(y4-x)

18.、.v

19.C解析：

因為只有選項C中的被積函數(shù)xln(l+，)是奇函數(shù)

20.A

21.B

——b~，—bx—ab

因為廣⑴二^+(…)e-(-冬)二鏟無":上

XX

由于x=-Lx=2是函數(shù)/(x)的極值點。

所以,《l+b-ab=O

4-2Z?-ah=0

解得a=2,b=1

22.B

［解析］因為f'(x)<oxe(a,b)

所以f(x)單調(diào)減少xe(a,b)

c,又f(b)>0所以/(x)>0xe(a,b)

23.A

.羽上以=?

?—?3x-43_43

24.C或...?433

25.B

1解析］

—~b~Jr?—hr_nh

因為「（x）=e*+（Q+x）e，（-g=eJ，R

XTX

由于x=-l,x=2是函數(shù)f（x）的極值點.

.l+b-ab=O

所以4,.八

4—2b—a/>=0

26.B解得a=2.b-\

27.C

28.D

29.C

當(dāng)欠=2時，有l(wèi)im駕±=lim（理'）2=1,選C.

x—>0x*x—>0x

所以當(dāng)左二2時，有sin2x?/,

30.B

因為一（-工），所以八i）」（-4）=-2

arccotx1+x%2Tt

4

31.

32.-2exsinx

由y=e'cosz.則y=eJcosx-eTsinr.y"=eJcosx—e'sinz—e1sinx-eJcosx=—2e’sinx.

33.

解由曲線廣3和x+y=4圍成的圖形如右圖陰影部分

所示.求兩條曲線的交點:

y=4

解方程

得交點：Xj=1,=3；x2=3,y2=l

34Y23

于是X=￡(4-x—)dx=(4x--------3Inx)=4-31n3

'x2i

匕=務(wù)JJ(4—x)2—1=nJ(16—8x+x2—^-)dx

=n(16x-4x2+—+-)

34.D

35.

xd/X、1x

—=cos—?—(—)=-cos-

axydxyyy

X?x

yy

36.1n(lnx)+C

37.B

38.0

F(x)=Jarcsinrd;=-[arcsintdt

因為小"(x)=-arcsinx所以A,70)=-arcsin0=0

39.-2

利用重要極限□的結(jié)構(gòu)式:

lim(1+a)°=e

O-?0

kx

由已知四（O

=e",可得2K=-4,所以k=-2.

m、/O2aCl3￡Z.rr*.、.

因為-----1----+----F---=1f所以。=1.

40.11解析：1010101010

41.

域一sin—+C.

x

J-^cos-dx=_Jcos—d^—j=-sin-?C

42.

43.

-i-ln2

Ci

-yln2

u

44.0

45.

47.應(yīng)填0.本題考查的知識點是二元函數(shù)的二階混合偏導(dǎo)數(shù)的求

法.怒寸傕）W（2x）=0.

48.利用反常積分計算，再確定a值。

因為J->-ydx=arctanx

即arclana=:，則有a=1.

4

%+萼(yj)

dxyavy

［解析］設(shè)丫=土，則Z=f(x,V)

y

生=亞+堂?蟲=亞+工理

49次dxdvdxdxydv

50.

利用變上限積分的定義，當(dāng)上限取某一定值時，其值就唯一確定.

因為⑴d，=/所以當(dāng)x取8或2時有J：/(f)dr=9，j'/(Odr=y

設(shè)y/x—1>則X=f2,dx=2fdf

xI1I4

~ti2-

于是J：'/(4)dx=2j；f(6)d(4)=2j：/⑴d/=2.g=16

xx

-----5---cotx+C-----j---cotx+C

51.sinxsinx

52.n/4

53.2xeydx+x2eydy.

54.

55.x=-1

［解析］因為函數(shù)的定義域是x>-l,

而limln(i+x)=-oo.

所以x=-l是曲線的鉛肖漸近線.

56.-e

57.

xyyx~'(x+ylnx)

58.

解題指導(dǎo)本題考查的知識點是函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)值表示函數(shù)所對應(yīng)的曲線在該點處的

切線斜率.

因為y，=l+e-,則/(0)=k=2.

59.10;

60.應(yīng)填x=-l/3,y=-l/3.

本題考查的知識點是多元函數(shù)駐點的概念和求法.

因為曳=2?+/10,內(nèi)式相M傅，-，?。?從而可伸*，y=-T

a?，

被積函數(shù)分子分砥同乘U-sinz),得

Hinxd-sinx)^=［更竽必_［司業(yè)

1—sinxJcosxJ

=-f.8"—fesec^x—1)dr

Jcos工J

=---------|sec2rir+「Ar

61.COSXJJ=l/cosx-tanx+x+C

被積函數(shù)分子分母同乘(1—導(dǎo)inz)?得

f^(l-sinx)^=f嗎L業(yè)一［tanlxcLr

JI—MinxJcosxJ

n-f紅空，—［(sec2*-1)dLr

JCOSXJ

二,-Iseercb?jdr

c。"JJ=l/cosx-tanx+x+C

由對稱性知43y<Lrdy=0,所以

u

I=［《工?+y2Idxdy=2j'dZ?J/dr=-

62.*

由對稱性知J3yd/dy=0,所以

u

/=+y)d-rdy=2<wjr^dr—

V/(x)為可微函數(shù).方程式兩端對上求導(dǎo)得

|(1—

兩端再對工求導(dǎo)得

(1-x)/(x)=2x/(x)xz(x).

即x*/(x)=(1-3x)/(x),

上式是可分離變置的微分方程.通解為

63./（X）=Cr%十（C為任意常數(shù)）.

??,/(x)為可微函數(shù).方程式兩端對才求導(dǎo)得

=/人工)，

兩端再對￡求導(dǎo)得

(1-x)/(x)=2x/(x)+1?，(*)?

即^/(x)=(1-3X)/(J),

上式是可分離變盤的微分方程,通解為

/(x)=Cr,ekC為任意常數(shù)).

=ln2-ln(1-Fe')+yarctan2j

?ln2-Ind+c-B)+v-

64.o

歐式=f\&&+f

=In2-ln(14-e1)+.「尸尸

Jo】+4*

=ln2—ln(14-e1)+arctan2x

=ln2-ln(l+e-,)+~.

首先畫出積分區(qū)域D.把它看做y型.則

-Fyl)da=Jdyj(工？十丁)dr

+_yG)dy=14a2.

65.J-3y-?

首先畫出積分區(qū)域D.把它看做y型.則

JJ(x:+y)d<r=Jdyj(x*4-y1)cLr

dy=14az.

y?*

66.

a?

八Be"-l浩必達(dá)法則

或limz(e^-l)=^===

第二種方法利用了結(jié)論：當(dāng)ZT8時.」一0,則

67.函數(shù)的定義域為(-oo,+oo),且

f(X)=6X(X2-1)2

令廣(x)=0,得

Xl=0,X2=-l,X3=l,

列表如下:

X(-00#-|)■I(-1.0)0(0.1)1)

/'(?)-0-00

■*

fix)〃0)=2為極小值,

由上表可知，函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(-8,0),單調(diào)增區(qū)間為(0,

+8)；f(0)=2為極小值.

%―1xyf(xl—y*,Jty)+xlyf/?2x+jr:y//?y

C/-T

=2xyf(xl-y'.xy)+.

m=>/W—yl)+Jy/i'?(-2>)

01y

68.

l:z

曇■Zxyf(x-/?2x+xy/2?y

ox

=Zxyf(xl-ylxy)+'+y/J).

空=x*/3一/小)+工、/1'?(—2y)-x

—y2+x2y{xfi2>//>.

69.

—51+4.令/(x)=0.得駐點X,=1.J-,?=4.

由于4e[-1.2],因此應(yīng)該舍掉.又/⑴=y./(-D=-y./(2)=1.

可知/(-r)在[-1,2]上的最大值點為H=1.最大值/(D=,；最小值點為了=-1.最

小值為八一D=

r(_r)=y*—51+4.令/(x)=0,得駐點X|=l..Ti=4.

由于4e[-1.21因此應(yīng)該舍掉.又八】)==7")=

O0O

可知/(■!?>在[,1,2]上的最大值點為H=1.最大值八1)=,；最小值點為J=—1?最

小值為八一1)=

0

70.

設(shè)F(%>)=,'r-arccos(打)，

則￥=_]./?二I—=3y2\.

aF

所以—.

d*m3/GV+工

力

/I<x<2.

先沿y方向積分?區(qū)域D可表示成」1則

；4y&]?

=f6T?%

(十兒

71.612164,

/I<x<2.

先沿y方向積分,區(qū)域D可表示成：」1則

=f(9一孑4盧

由題意?知P(x)=y<Q(J)=1?

u,1

eZ=e?c"^=e'=r.

J，=步=e~=

]Q.J""<Lr=[e*?-rcLr=y[e*J業(yè)[=.

該微分方程的通解V=5/+(：

72.

由題意.知P(x)=J.Q(j>=J?

eIw，=e”=3=”,

』,=**==x,

|Q?J'"dr=[e**TAT=y|e，Ar*=ye,J?

該微分方程的通解v-十[獷’+吁.

令.—1==14,則dx=d"?當(dāng)[0.2]時￡[―1*1].于是

原式=Jf(x—1)clr

=Jf(u)du

=Jf(u)du+J/(u)dw

=「—「u1r

J-11+e/Jo1+工

73.=ln(1+e).

令?1=“，則dx=d"?當(dāng)I6[o.2]時e1-1.11于是

原式二J/(x—1)dr

=jf(u)du

=Jf(u)du+j/(u)du

=CTTe^-

Jo】+工

=ln(1+e).

74.

孕=y?3'ln3?，(3'>>.

dlr

??赤一瑟+左+右

3e.....yCx<4->s)aec;(xy)-2xtan(jy)

+y?3”n2?/(3--y).

IxI(>+y)*

次:_*ec'),3+》'〉一2#tan(.ry)

57=(x*+/)*

坐」=y,3'ln3?/*(3,>).

dtr

?女dz?,dz,dzj

|?----------十--i￡十一-i

dxararar

：)

y(z+y'sec"jy>-2j~tan(j>)+y3'ln2?/(3*-y).

(M+“

75.

方程兩邊同乘以cosy.則得cosy?_/=1+1—siny,即

警M+si”="i.

QJT

令“=sin?則方程化為*+u=i+l,屬線性方程，用求通解公式得

u=e4A,[j(x+l)efdl+C]

=e-4[J(x+1)erctr+C]

=e*[(E+De*—er+C]

=C"("+C).

則原方程的通解為siny=ez(xez+C).

方程兩邊同乘以cosy.則得cosy?y'=1+1-siny.即

如瞥+si”=i+l.

djr

令“=siny,則方程化為生+u=工+1?屬線性方程,用求通解公式得

dx

u=q(/+1)+C]

=e-J[|(x-F1)erctr+C]

=}”[《*+De*—er+C]

=「5+0.

則原方程的通解為siny=c,(xe,+C).

76.

2.

dr工/J

T…”卜卜叼

1

74-1).

77.4

j-den

加,/【-卜叼

知T：-獷I：]

l|-e*-|(e?-l)]=+3+1).

78.

區(qū)域D如圖所示.D既是丫一型區(qū)域.又是X

型區(qū)域,直線丫工工-2與拋物線式=工的交點為

(I.-13(4.2).為更方便計算首選區(qū)域。是丫一敷區(qū)

域.

所以

區(qū)域D如圖所示.D既是丫一型區(qū)域,又是X

蟹區(qū)域，直線y="r-2與拋物線y=工的交點為

(1.-1).(4.2).為更方便計算苜選區(qū)域I)是Y-型區(qū)

域.

所以

(x/*(jr)(Lr=產(chǎn)d/Q)=—Jf(x)dr

=2/(2)-f/(x)V=2-2=0.

79.

fxf*(T)tLr=idf{x}=「l/'(工)］'~［f(x)cLr

J。JoLJo

=2/(2)一［八］)］：=2-2=0.

8O.f(x)=3ax2+2bx,F(-l)=3a-2b=0,再由f(l)=5得a+b=5,聯(lián)立解得

a=2,b=3.

81.

82.

窗戶的面積4=/我+亨巴

I和h滿足2人+3/=12,得A=6-方/，代人4,則有

A=61-尹+紐

髀皿爭上。,

.4（6?。?/p>

由于實際問題只有唯一的駐點，可知/=瞥盧■Zm）為所求

dz=當(dāng)dx+安dy

oxay

83=-r(I.V)]ctr+[3yr?y)]dj.

dz=當(dāng)dj*+當(dāng)dy

3xay

=+/(工,y>[dx+[3y:+x/*<x?>)]d>.

84.

當(dāng)工#0時?/(/)=x2sinl是初等函數(shù),可直接求導(dǎo).即

X

f(x)=(/sin—)/

=2xsin—+x2cos—(----)

XXX1

.11

=9Zxsm------cos—?

XX

當(dāng)z=0時.

/(0)=lim/(”)一.°)=hm?nE=|im.rsin—=0.

i-。JTx，—。x

當(dāng)工#0時,/s=八由十是初等函數(shù)?可直接求導(dǎo).即

f(x)=(x2sin—)z

—2xsin—4"cos—(-----

XXxz

一11

=Zxsm-------cos—?

XX

當(dāng)z=0時，

JSmJ

/(0)=lim.7)一/(。)=|jm=|im.rsin—=0.

，一。JT^-?0XX

i?j—+Ji。"一”"(一｝)

-InI1|一—ln(1—1)-f-dr

xJ工1一1r

=InIxI—--ln(1-x