2023屆高考數(shù)學易錯題專項突破-易錯點5基本初等函數(shù)含解析

易錯點5基本初等函數(shù)

一、單項選擇題

1.形如=—（>4的函數(shù)，因其圖象類似于漢字中的“冏”字，故我們稱

其為“冏函數(shù)”.若函數(shù)（）=%>0,且有最小值，則=1,=

/時的“冏函數(shù)”圖象與函數(shù)=log||圖象的交點個數(shù)為（）

A.1B.2C.4D.6

2.形如=「L（>。，>功的函數(shù)因其函數(shù)圖象類似于漢字中的''冏"字，故我們

把其生動地稱為“冏函數(shù)”.若函數(shù)（）=2++/（>0且力;）有最小值，則

當=1,=/時的“冏函數(shù)”與函g=l0go網(wǎng)的圖象交點個數(shù)為（）

A.1B.2C.4D.6

3.若集合-{|-V一=1],={|log5S劣，則n=（）

A.（〃切B.[4,9\C.[4句D.[0,9\

4.在一堆從實際生活得到的十進制數(shù)據(jù)中，一個數(shù)的首位數(shù)字是（=1,2,…，9的概

率為1g（/+-）,這被稱為本特福定律.以此判斷，一個數(shù)的首位數(shù)是1的概率約為（）

A.10%B.11%C.20%D.30%

5.已知集合={|log^(-I)<2},={|-2<<+7),若U=

則實數(shù)加的取值范圍為()

A.(3冷B.[3,4\

C.(-0°,,3)U(4+°°)D.U

6.若函數(shù)（）=『?。??+2-劣在區(qū)間（1,$單調(diào)遞減，則a的取值范圍

是（）

A-[(.+-)B.?,+8)c.gjD.g今

7.正數(shù)，滿足log式++y=10g2+10g2，貝IJ+的取值范圍是

（）

A.[6；+8）B.（。向C.[/+近+8）D.（〃/+刊

8.已知命題：V€,3>2,命題：若小中，=5,=8,=7,貝！]一1-

=-20,則下列命題正確的是（）

A.AB.(-1)AC?V(「)D.（「）V（「）

二、多項選擇題

9.如果一個函數(shù)（）在其定義區(qū)間內(nèi)對任意x,y都滿足（二;-）4—04-0,則稱

這個函數(shù)為下凸函數(shù)，下列函數(shù)為下凸函數(shù)的是（）

A.（）=2B.=38in（2x+￡）

C.（）=log?（＞0D.（）=[/I。,

10.下列判斷中錯誤的是（）

A.函數(shù)=2+'是指數(shù)函數(shù)；

B.函數(shù)=7?一2019+72019—2既是偶函數(shù)又是奇函數(shù);

C.函數(shù)=’的單調(diào)遞減區(qū)間是（一8,0）U（0,+oo）；

D.c.

11.若/＜，＜,，則下列結論中正確的是（）

A.log>log

B.|log+log|>2

C.（log）2<1

D.|log|+|log|>|log+log|

三、填空題

12.已知正數(shù)a",c滿足4-2+25=0,則當a與c滿足關系時，1g+

1g-2的最大值為.

13.函數(shù)式》）=（乃一3），ln（力-2）的零點個數(shù)為.

14.若2+—22=0,則飛，一=；

15.設x,G,>7,>1,若==3+=W5則'的最大值為

四、解答題

16.已知函數(shù)（）=log/（2-2+4）.

（I）當=/時，求函數(shù)（）在￡a上的值域;

（H）若函數(shù)（）在（4+8）上單調(diào)遞增，求實數(shù)歷的取值范圍.

17.設函數(shù)（）=2+（-1）-2-（G）是偶函數(shù)，

（7）求不等式（）＞?的解集；

（0設函數(shù)（）=［（）一夕-］一（2）-2,若（）在6"+8）上有

零點，求實數(shù)〃的取值范圍.

18.已知函數(shù)（）=log/+）的圖像經(jīng)過點（Z/）和（50,=+

（e*）

⑺求｛）：

（為設數(shù)列｛｝的前〃項和為，=1^+廠，求｛｝的前〃項和.

19.設函數(shù)（）=一一（＞0且47）是定義域為??的奇函數(shù)，（7）=宏

（1）若（？+2）+（-4）＞0,求0的取值范圍；

(II)若()=+-2-2（）在［］,+8）上的最小值為一2,求加的值.

20.已知函數(shù)（）=?（其中a,6為常量，且>。，47）的圖象經(jīng)過點（46）,

｛,3,24）.⑺求（）的表達式；

（0若不等式（'）+（-）-20,在€（-8,7］時恒成立，求實數(shù)〃的取值范圍.

已知數(shù)列｛｝的前"項和為，滿足2=2,4=16,｛+7）是等比數(shù)列，

（7）求數(shù)列，%的通項公式；

（0若>0,設=log/5+孫求數(shù)列｛—上｝的前4+2）-16-2=0

項和

一、單項選擇題

1.形如=「L（>"'>功的函數(shù)，因其圖象類似于漢字中的“冏”字，故我們稱

其為“冏函數(shù)”.若函數(shù)（）=4+《>0,且K7）有最小值，則=1,=

/時的“冏函數(shù)”圖象與函數(shù)=log||圖象的交點個數(shù)為（）

A.1B.2C.4D.6

【答案】C

【解析】當=1,=/時，=廠勺而（）='+<>0，且40有最小值，

故>/.

令（）=log||（>?。ǎ?<，在同一坐標系中作出它們的大致圖象如圖所

示，

共4個不同的交點，故選C

2.形如=「L（>Q>功的函數(shù)因其函數(shù)圖象類似于漢字中的‘‘冏"字，故我們

把其生動地稱為“冏函數(shù)”.若函數(shù)（）=今+，（>殂羊7）有最小值，則

當=/,=/時的“冏函數(shù)”與函"=10go網(wǎng)的圖象交點個數(shù)為（）

A.1B.2C.4D.6

【答案】C

【解析】:函數(shù)（）=；/++<>0,H7）有最小值，二>1,

?.?當=1,=/時，=-=^-

畫出函數(shù)=+與=log||的圖象在同一坐標系數(shù)內(nèi)的圖象：

I|一/

二結合圖形，得到交點個數(shù)有4個.

故選C.

已知log-3>log-3>0,則，的取值范圍是（）

A.7<<B.7<<C.0<<<2D.0<<<1

【答案】C

【解析】v>0.

二0<logic<log>6,

???對數(shù)函數(shù)。=log產(chǎn)，它在定義域是減函數(shù)，

A1>>>0,

即0<VV/.

故選C.

3.若集合={|=V=1),={|log^工為，貝ijn=()

A.(“司B.[4f9\C.[4f6\D.[0,9\

【答案】A

【解析】因為集合={|=V—4]={|>

={|logj<\0<<9\,

所以n={\o<<9}=(ofg\,

故選A.

4.在一堆從實際生活得到的十進制數(shù)據(jù)中，一個數(shù)的首位數(shù)字是(=1,2,…，9的概

率為1g(1+」)，這被稱為本特福定律.以此判斷，一個數(shù)的首位數(shù)是1的概率約為()

A.10%B.11%C.20%D.30%

【答案】D

【解析】根據(jù)題意，一個數(shù)的首位數(shù)是1的概率為1g2,

而/=logje2<lg2<logg2=$

故選D.

5.已知集合={|log/-I)<2],={|-2<<+/),若U=,

則實數(shù)/〃的取值范圍為()

A.(3,4)B.[30

C.(—8,9U(4+8)D.(-8,司U[4+8)

【答案】B

【解析】依題意，={Ilog/一/)<4={\0<-1<4]={\1<<5],

因為U=,

即￡

—2>1,

1+<5.

故3W<4,

故選民

6.若函數(shù)（）=小翼（一2+2-為在區(qū)間（1分單調(diào)遞減，則a的取值范圍

是（）

A「3,、n,、cr37、n,37、

A.%+8）B.（5,+8）C.[-,^1D.（],）

【答案】C

【解析】（）=Jl嗎-2+2二^在（/,｝單調(diào)遞減，

即=-2+2一斑（/,$是單調(diào)遞增且0<<1,

[就

故卜令+3-241'

I-/+2-2>0

解得三<7

故選C.

7.正數(shù)，滿足logz（++3）=log^,+log?,則+的取值范圍是

（）

A.[a+8）B.（0向C.[/+近+8）]）.（〃/+刊

【答案】A

【解析】由正數(shù)x,y滿足logz（++為=log?+log?>-++3=

而三（—，）2,則++3wL3’.當且僅當=>時取等號.

/4

令+=(>功，貝I」+34二化為2一4-12>0,解得>6^<-2.

4

>。，???取>6.

故選A.

8.已知命題：V6,3>2,命題：若△中，=5,=8,=7,則

一'=一20,則下列命題正確的是（）

A.AB.（-.）AC.V（-,）D.（「）V（~,）

【答案】B

【解析】命題p：小e此3°＞肥，由指數(shù)函數(shù)圖像及其性質(zhì)可得，當〈附，3＜2,

即命題O為假命題；

命題：若△中，=5,=8,=7,由余弦定理得=”一？二

25+64-49_1

2x5x8~?

即動■互才=&，必*（"-C）=5X8X（一［）=-20故命題（7為真命題.

二命題（F?）AQ為真命題，

故選區(qū)

二、多項選擇題

9.如果一個函數(shù)（）在其定義區(qū)間內(nèi)對任意必y都滿足（十）《（）：（）,則稱

這個函數(shù)為下凸函數(shù)，下列函數(shù)為下凸函數(shù)的是（）

A.（）=2B.f（o?）=38in（2x+］）

C.（）=1%（＞OD.（）=［2',￡

【答案】AD

【解析】對于從函數(shù)（）的定義域為此

V,6，-＜一9—?=乂2+2）＞

L

2-242~2~=2^~=*）,

當且僅當2=2,即=時，等號成立，因此/是下凸函數(shù);

對于反函數(shù)（）的定義域為兄

當=。,“4時，唔儂=扣嶗+3血怎+割=蟲件1,

而=3ein（l+i）=3ein^coej+3coe^ein^

_3/2、_WZ（/+O）、炙O+/）

—I―了，

4444

即（一卜），因此8不是下凸函數(shù);

對于G函數(shù)（）的定義域為（〃+8）,

當=1,=刷，（）；（）=.[log2]+log2a=、

而C）=（3=號1cM4

即（）：（）＜（丁二），因此C不是下凸函數(shù)；

對于〃、函數(shù)（）的定義域為尼

,e1-8,6,則"：6（一乃0,

+）=+

而㈠）=十，

即_0^2=（+）.

（gVe（一8,。，v€[”+叼，

^7^=^+2）T'

而/）當+＜如寸，（+）二十＜^^，

即―2＜m-

0當十》即（/）一.亳=/＜—，

即（t）；

③v,w[4+8）,則」7-w[a+8）,

3=貿(mào)2+2）=+,

而，

即—2=（+）.

綜上所述，。是下凸函數(shù).

故選仞

10.下列判斷中錯誤的是（）

A.函數(shù)=2+'是指數(shù)函數(shù)；

B.函數(shù)=。2-2019+72019-?既是偶函數(shù)又是奇函數(shù);

C.函數(shù)=，的單調(diào)遞減區(qū)間是（—8,0）U（0,1O）；

D.c.

【答案】AC

【解析】對于4由指數(shù)函數(shù)的定義可知，錯誤；

對于反使式子有意義得2=2019,=0,既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，正確；

對于C,函數(shù)=,在整個定義域上不單調(diào)，錯誤；

對于〃，空集是任何集合的子集，正確.

故選AC.

11.若/<，<，,則下列結論中正確的是（）

A.log>log

B.|log+log\>2

c.（log）2<1

D.|log|+|log|>|log+log|

【答案】ABC

【解析】解法一：（常規(guī)做法）<<1,

ab

則log>7,0<log<1,log-log=7,Alog>log,故力正確.

p

由基本不等式得：log+log>^logablogba=2,故8正確.

A0<（log/v/,故C正確.

Ilog|+|log|=|log+logI，故〃錯誤.

解法二：（特殊值代入法）.?.〃<<</,

ab

不妨令=1=1貝ijlog=2,log/易得力,B,C均正確，只有〃錯誤.

故選：ABC.

三、填空題

12.已知正數(shù)a",c滿足4-2+25=。,則當a與c滿足關系時，1g+

1g-2的最大值為.

【答案】4=25--2

【解析】由題意：4-2+25=0,變形為：4+25=2,

v4+25>2^/700—,當且僅當4=25時，取等號.

2>2-nod;即2>100

那么：+-2=lg—<lg=—2

100

故答案為4=25;-2

13.函數(shù)火⑼=（乃一3），111（0?-2）的零點個數(shù)為一

【答案】1

【解析】函數(shù)定義域為［2+8）,

6［2+河時2—3＞。恒成立，

只有當=冼寸，ln（—4="

所以（）在［2+8）上只有一個零點,

故答案為1.

14.若？+—22=0,則+［；=

2+2

【答案】X

【解析】???2+—22=0,

（一）'+一一2=0，

解得：一=/或—2

當一=/時，原式

㈠-+/

1+3+15

=1+1-5；

當一=_卻寸，原式=

4+15

故答案為:

15.設x,G,>],>7,若==則'+’的最大值為

【答案】3

【解析】?:>7?>7,==3,

**==3,

..."=一+一=—=

333-33

當且僅當=前時取等號.

—+’的最大值為3.

故答案為3.

四、解答題

16.已知函數(shù)（）=log/2一2+4）.

（I）當=/時，求函數(shù)（）在￡勿上的值域;

（II）若函數(shù)（）在（夕+8）上單調(diào)遞增，求實數(shù)卬的取值范圍.

【答案】解：（I）當=/時，函數(shù)（）=4（2_2+￡,

Veg,為上，令=2一2+4,最小值為/-2+彳=3,

最大值為4-4+4=4,

故函數(shù)（）在色，司上的值域為[43A

（H）若函數(shù)（）在（4+叼上單調(diào)遞增，

因=10g《在（”+河上單調(diào)遞增，

令=2-2+4在（幺+8）上單調(diào)遞增，

f>。

故有產(chǎn)S4,求得>|,

116-8+4>0

故要求的實數(shù)0的取值范圍為厚+河.

17.設函數(shù)（）=2+（-/）?，（e）是偶函數(shù)，

（7）求不等式（）>9的解集；

（為設函數(shù)（）=[（y-2'-]-（2）一2若（）在e[1,+8）上有

零點，求實數(shù)〃的取值范圍.

【答案】解：（/）因為（）是偶函數(shù)，所以（一）=（）恒成立，

即7+(-1)-2=2+(-1)-2-恒成立.

也即（-0（/-/）=而成立，所以=2,

由（）=2+2~>翳-5-2+2>0,解得2<煞2>2,即<一1或

>1,

所以不等式（）>舶解集為{|<一/或>/}.

（0（）=[（）一少-]-（2）-2

=（2+7-21-）-/-2~2-2

=（2~2-）-（/+2-2）一斑€[1,+8）上有零點，

即為（2-2-）-（/+2-2）-2=麻eU+河上有解.

因為G[4+00）.所以2-牙>0,

所以條件等價于=笆+7'）+2在e[/,+右）上有解，

2-2~

令=2,則22令=

則〃在€圈+?>）上單調(diào)遞增，

因此<=—.

設（）=_至=+4（）在[2+8）上單調(diào)遞增，在區(qū)目上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)（）在=牙寸取得最小值，且最小值（0=4,所以（）6[幺+河，

從而滿足條件的實數(shù)〃的取值范圍是[4+叼.

18.已知函數(shù)（）=log/+）的圖像經(jīng)過點（2/）和{5,2）,=+

（G,）

⑺求{）；

（為設數(shù)列｛｝的前〃項和為，=—￡―+―，求｛｝的前〃項和

I十勾

【答案】解：（/）由題意得｛；二;解得=2,=-1,

所以=2-1,G*；

（0由（/）易知數(shù)列｛｝為以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，

所以=+，^x2=2,

所以=-懣+廠=,一十+2

前〃項和=（/_/+/_：+：-/+???+，—q）+（2+4+…+2）

32435+?

311,ZJ-2）°+/2+31

2+1+21-2（+/）（+劣2,

19.設函數(shù)（）=--（>OS.。1）是定義域為斤的奇函數(shù)，（。=*

（I）若（2+2）+（-4）>0,求加的取值范圍;

（H）若（）=2+-2一z（）在［/,+8）上的最小值為一2,求小的值.

【答案】解：（I）由題意，得（少=0,即一/=0,解得=1,

由（/）=多得一一/=（，解得=2,=--2（舍去），

所以（）=2-7為奇函數(shù)且是上的單調(diào)遞增函數(shù).

由（？+2）+（一￡>“得（？+2）>0-）,

所以2+2>4-，解得〈一臧>1.

所以加的取值范圍為（一8,—￡U（1,+8）.

（II）（）=/+L_2（2-7）=（2一牙）2-2（2-7）+2,

令=2-牙，由3/所以N幺一牙，=匕,

所以=2一2+2對稱軸=,

（7）時,=2—22+2=—2,解