2020-2021學(xué)年新教材人教A版必修第二冊(cè)第八章立體幾何初步單元測(cè)試

2020-2021學(xué)年新教材人教A版必修第二冊(cè)第八章立體幾何

初步單元測(cè)試

一、選擇題

1、如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體ABC°-A隹GR中，點(diǎn)E、F分別為A3、4旦的中

點(diǎn)，則三棱錐F-ECD的外接球體積為（）

41441V4141V41

——71-71------------71------------71

A.4B.3c.64D.48

2、正三棱錐S-ABC的外接球半徑為2,底邊長(zhǎng)AB=3,則此棱錐的體積為（）

9石9石垣276276V3

A.4B.4或4c.4D.4或4

3、某三棱錐的三視圖如圖所示，已知網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,則該幾何體的

體積為（）

24

A.§B.3c.2D.4

4、如圖，在六邊形ABCOEF中，四邊形3CEF是邊長(zhǎng)為2的正方形，△說(shuō)和

△COE都是正三角形，以BE和CE為折痕，將六邊形ABCDE/折起并連接

BD,DF,AC,AE得到如圖所示的多面體ABFDCE,其中平面ABF〃平面CDE,

?

二面角的余弦值為3,則折疊后得到的多面體的體積為（）

1072

3

5、某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

78—兀87-71

A.孑B.3C.3D.3

6、如圖是正方體的平面展開(kāi)圖，則在這個(gè)正方體中

①BM與ED成45。角

②NF與BM是異面直線

③CN與BM成60。角

④DM與BN是異面直線

以上四個(gè)結(jié)論中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

7、阿基米德（公元前287年一公元前212年）是古希臘偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家和

物理學(xué)家，他和高斯、牛頓并列被稱為世界三大數(shù)學(xué)家.據(jù)說(shuō)，他自己覺(jué)得最為滿

意的一個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)就是“圓柱內(nèi)切球體的體積是圓柱體積的三分之二，并且球的表

面積也是圓柱表面積的三分之二”.他特別喜歡這個(gè)結(jié)論，要求后人在他的墓碑上

刻著一個(gè)圓柱容器里放了一個(gè)球，如圖，該球頂天立地，四周碰邊，表面積為54〃

的圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則該球的體積為（）

64〃

A.4萬(wàn)B.16萬(wàn)c.36〃D.3

8、下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（）

①圓錐的軸截面是等腰三角形；②用一個(gè)平面去截棱錐，得到一個(gè)棱錐和一個(gè)棱臺(tái);

③棱臺(tái)各側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)；④有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體

叫棱柱.

A.0B.1C.2D.3

9、在三棱錐產(chǎn)一ABC中，ABLBP,AC1PC,ABLAC,PB=PC=2O,

點(diǎn)P到底面ABC的距離為2,則三棱錐P-ABC外接球的表面積為（）

6兀

A.3萬(wàn)B.2C.12萬(wàn)D.24〃

10、已知不同直線/、m與不同平面a、B,且/ua,mu/3，則下列說(shuō)法中正

確的是（）

A.若M3,則加B.若■夕,貝

C.若/J"尸，則D.若a，尸，則加上。

11、正四棱錐底面正方形的邊長(zhǎng)為4,高與斜高的夾角為3（y,則該四棱錐的側(cè)面

積（）

32

A.32B.48c.64D.T

12、已知圓錐的表面積為27萬(wàn)，且它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面

半徑為（）

A.6B.3C.26D.屈

二、填空題

13、有如下命題:

①過(guò)不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；

②如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)；

③平行于同一條直線的兩條直線平行；

④如果空間中兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

其中作為公理（基本事實(shí)）的是（填寫序號(hào)）.

14、如圖為一個(gè)幾何體的展開(kāi)圖，其中A8CO是邊長(zhǎng)為6的正方形，SD=PD=6,

CR=SC,AQ=APt點(diǎn)s、D、A、。及P、D、C、R共線，沿圖中直線將

它們折疊，使尸、°、R、s四點(diǎn)重合，則需要個(gè)這樣的幾何體，就可以

拼成一個(gè)棱長(zhǎng)為12的正方體

15、如圖所示是一個(gè)三棱柱形狀的容器，"口平面ABC,

AB=60,BC=3（），AC=70,A4,=300,這個(gè)容器能裝進(jìn)去的最大的球的體積為

（容器壁厚度不計(jì)）.

16、若兩個(gè)正方體的外接球的表面積之和為121，則這兩個(gè)正方體的表面積之和為

三、解答題

17、（本小題滿分10分）如圖為一簡(jiǎn)單組合體，其底面A8CO為正方形，棱PD與

EC均垂直于底面A3CO,PD=2EC,求證：平面EBC〃平面

18、(本小題滿分12分)如圖，已知三棱錐A-BPC中，ACJ.BC,M為

AB的中點(diǎn)，D為PB的中點(diǎn)，且為正三角形.

(1)求證：DM"平面APC；

(2)若BC=4,AB=1°,求三棱錐D-BCM的體積.

19、(本小題滿分12分)如圖，四棱錐P-ABCD的底面是菱形，AB=AC=2,PA=

26，PB=PD.

(1)證明：平面PAC_L平面ABCD；

(2)若PA_LAC,M為PC的中點(diǎn)，求三棱錐B-CDM的體積.

20、(本小題滿分12分)如圖所示,底面為平行四邊形ABCD的四棱錐P-ABCD中,E

為PC的中點(diǎn).求證:PA〃平面BDE.(要求注明每一步推理的大前提、小前提和結(jié)論,

并最終把推理過(guò)程用簡(jiǎn)略的形式表示出來(lái))

參考答案

1、答案D

解析三棱錐尸-ECO的外接球即為三棱柱的外接球，三棱柱外接球的球

心為MN的中點(diǎn)設(shè)為點(diǎn)0,利用勾股定理解得半徑得到答案.

詳解

如圖所示：在正方體A'。。一AqCQ中，連接“"9,

三棱錐F-ECD的外接球即為三棱柱FCR-ECD的外接球，

在AECD中，取°。中點(diǎn)H,連接E",則為邊C。的垂直平分線，

所以△ECO的外心在E”上，設(shè)為點(diǎn)M,同理可得△"GA的外心N,

連接MN,則三棱柱外接球的球心為MN的中點(diǎn)設(shè)為點(diǎn)o,

由圖可得，EM2^CM2=CH2+MH2,又MH=2-EM,CH=1,

EM=CM='OC-=MO-+CM2=1+fOC=—

可得4,所以I",解得4

故選：D.

點(diǎn)睛

本題考查了三棱錐外接球問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為三棱柱的外接球是解題的關(guān)鍵.

2、答案B

解析畫出空間幾何體，討論球心的位置，結(jié)合球的性質(zhì)求得棱錐的高，可求得棱錐的體

積。

詳解

設(shè)正三棱錐的高為h,球心在正三棱錐的高所在的直線上，H為底面正三棱錐的中心

=-)32-|-|=#)

因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)AB=3,所以33V

當(dāng)頂點(diǎn)S與球心在底面ABC的同側(cè)時(shí)，如下圖

此時(shí)有A〃2+Q”2=OA2,即㈣+e-2）-=22

可解得h=3

k—理＜32

因而棱柱的體積3224

當(dāng)頂點(diǎn)S與球心在底面ABC的異側(cè)時(shí)，如下圖

有A"2+O〃2=32,即（可+（2-〃）2=”

可解得h=l

^S-ABC

所以3224

9-3G

綜上，棱錐的體積為丁或4

所以選B

點(diǎn)睛

本題考查了棱錐的外接球的綜合應(yīng)用，注意分類討論及空間線段的關(guān)系，屬于難題。

3、答案A

解析根據(jù)題意把三棱錐放入棱長(zhǎng)為2的正方體中，得出三棱錐的形狀，

結(jié)合圖形，求出該三棱錐的體積.

詳解

解：根據(jù)題意，把三棱錐放入棱長(zhǎng)為2的正方體中，是如圖所示的三棱錐P-ABC,

1.1「2

gXSc.ABcX2=]Xlx2=]

三棱錐P-ABC的體積為:

點(diǎn)睛

本題考查了利用三視圖求空間幾何體體積的應(yīng)用問(wèn)題，考查空間想象能力，是基礎(chǔ)題.

4、答案B

解析多面體ABFDCE的體積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)相等的四棱錐的體積和?

C

詳解：

圖⑴

如圖(1),設(shè)3ECE的中點(diǎn)分別為M和N,連接40，“'，

由題意得AM工BF,MN工BF,故NNM4為二面角A—BE-C的平面角,

cosZWA=—

所以3,

過(guò)A作于出易證AHJ?平面6CEE,

AM=2x—=y/3AH=AM-sinNNMA=y5x^~=E

因?yàn)?,所以3

VA-BCEF=￡x近x22=――

所以33

c4夜8V2

故多面體A3尸。CE的體積為33.

故選：B

點(diǎn)睛

本題考查平面圖形翻折成立體圖形、二面角、求多面體體積等基本知識(shí)，考查了空間想

象能力，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題.

5、答案B

解析由三視圖可知，該幾何體是由一個(gè)四棱錐挖掉半個(gè)圓錐所得，故利用棱錐的體積減

去半個(gè)圓錐的體積，就可求得幾何體的體積.

詳解

由三視圖可知，該幾何體是由一個(gè)四棱錐挖掉半個(gè)圓錐所得，故其體積為

、222-=

3233.故選B.

點(diǎn)睛

本小題主要考查由三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)，考查不規(guī)則幾何體體積的求解方法，屬于

基礎(chǔ)題.

6、答案C

解析根據(jù)展開(kāi)圖，畫出立體圖形，BM與ED垂直,不成45。，與8W是異面直線,

CN與BM成60。,0M與是異面直線，故②③④正確，故選C.

7、答案C

解析設(shè)球的半徑為R,根據(jù)組合體的關(guān)系，圓柱的表面積為

S=2乃川+ZtRX27?=54萬(wàn)，解得球的半徑R=3,再代入球的體積公式求解.

詳解：設(shè)球的半徑為R,

根據(jù)題意圓柱的表面積為S=24*+ZtRx2k=547，

解得R=3,

4o4o

V=—九N=-x乃x3'=36萬(wàn)

所以該球的體積為33

故選：C

點(diǎn)睛

本題主要考查組合體的表面積和體積，還考查了對(duì)數(shù)學(xué)史了解，屬于基礎(chǔ)題.

8、答案C

解析利用空間幾何體的概念對(duì)每一個(gè)命題的正誤逐一判斷得解.

詳解

對(duì)于①，圓錐的軸截面是兩腰等于母線長(zhǎng)的等腰三角形，①正確；

對(duì)于②，只有用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐，才能得到一個(gè)棱錐和一個(gè)棱臺(tái)，②錯(cuò)

誤；

對(duì)于③，棱臺(tái)是用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐所得的幾何體，所以它的各側(cè)棱延長(zhǎng)

線交于一點(diǎn)，③正確；

對(duì)于④，有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體不一定是棱柱，如：把兩個(gè)

同底面的傾斜方向不同的斜四棱柱拼在一起，這個(gè)幾何體有兩個(gè)面平行，其余各面都是

平行四邊形，但是這個(gè)幾何體不是四棱柱，所以④錯(cuò)誤；

綜上所述，正確命題的序號(hào)是①③，共2個(gè).

故選：C.

點(diǎn)睛

本題主要考查空間幾何體的概念，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理

能力.

9、答案C

解析首先根據(jù)垂直關(guān)系可確定OP=OA=OB=OC,由此可知°為三棱錐外接球的球

心，在"AB中，可以算出AP的一個(gè)表達(dá)式，在AOAG中，可以計(jì)算出A0的一個(gè)表

達(dá)式，根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系可構(gòu)造等式求得半徑，進(jìn)而求出球的表面積.

詳解：取AP中點(diǎn)0,由AC_LPC可知：OP=OA=OB=OCt

■為三棱錐P-ABC外接球球心，

過(guò)尸作平面ABC,交平面ABC于"，連接A"交于G,連接°G,HB,

吟

,:PB=PC,HB=HC,.\AB=ACf.，.G為BC的中點(diǎn)

OG=—

由球的性質(zhì)可知：平面ABC,S.OG//PHy且2

設(shè)A8=x,

廠:.AO=-PA=-y/x2+S

QPB=2V2,22,

1八夜

?/AG=-BC=----x

22,.?.在AOAG中，AG92+OG92=OA72,

AO=1J.+(2利2=1%+(2扃=百

三棱錐P_ABC的外接球的半徑為：2、''2VV,

???三棱錐P-ABC外接球的表面積為S=4萬(wàn)2=12萬(wàn).

故選：5

點(diǎn)睛

本題考查三棱錐外接球的表面積的求解問(wèn)題，求解幾何體外接球相關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵是能夠

利用球的性質(zhì)確定外接球球心的位置.

10、答案C

解析根據(jù)空間中平行關(guān)系、垂直關(guān)系的相關(guān)判定和性質(zhì)可依次判斷各個(gè)選項(xiàng)得到結(jié)果.

詳解：對(duì)于A,若￡//,則/，機(jī)可能為平行或異面直線，A錯(cuò)誤；

對(duì)于8,若。工廠,則/，機(jī)可能為平行、相交或異面直線，8錯(cuò)誤;

對(duì)于C,若“,，且，ua,由面面垂直的判定定理可知。工,，C正確；

對(duì)于。，若。,尸，只有當(dāng)s垂直于外，的交線時(shí)才有加工2,。錯(cuò)誤.

故選：C.

點(diǎn)睛

本題考查空間中線面關(guān)系、面面關(guān)系相關(guān)命題的辨析，關(guān)鍵是熟練掌握空間中的平行關(guān)

系與垂直關(guān)系的相關(guān)命題.

11、答案A

解析詳解：如圖：

p

底面邊心距0E組成直角△POE.

V0E=2cm,Z0PE=30°,

斜高h(yuǎn)'=PE=sin3O",

,

Ic/Z=lx4x4x4=32

S正極雄網(wǎng)二22

故選：A

12、答案B

解析設(shè)底面圓半徑為「，高為力，根據(jù)題目條件列出關(guān)于「和〃的方程組，解出

詳解：設(shè)圓錐的底面半徑為廣，高為〃，則母線長(zhǎng)為/="^,

—7rl2--7r(r2+")

則圓錐的側(cè)面積為22'),

+*)+%/=27燈3/+，〃2=27

故表面積為2V'，得22①，

又底面圓周長(zhǎng)等于側(cè)面展開(kāi)半圓的弧長(zhǎng)，故2仃=￡產(chǎn)+/，即2r=Jr2+”’，

得〃2=3'②,

聯(lián)立①②得：r=3,h=3s/3

故答案為：B.

點(diǎn)睛

本題考查圓圓錐中的相關(guān)計(jì)算，難度一般，解答的關(guān)鍵在于得出底面半徑與高的關(guān)系.

13、答案①②③

解析根據(jù)公理1~4可得出結(jié)論.

詳解：公理1：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)，命

題②為公理1；

公理2：過(guò)不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面，命題①為公理2；

公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直

線；

公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行，命題③為公理4.

命題④為等角定理.

故答案為：①②③.

點(diǎn)睛

本題考查對(duì)平面幾個(gè)公理的理解，屬于基礎(chǔ)題.

14、答案24

解析先將展開(kāi)圖還原為原圖：四棱錐，求出棱錐的體積和正方體的體積，然后確定幾何

體的個(gè)數(shù).

詳解

將展開(kāi)圖折疊起來(lái)后，得到四棱錐P-MC。，其中PZ)_L平面因此該四棱錐

]x6x6x6_72

的體積為3,而棱長(zhǎng)為12的長(zhǎng)方體體積為12x12x12=1728,

1728?

------=24

所以需要72個(gè)這樣的幾何體.

故填：24.

點(diǎn)睛

本小題主要考查折疊問(wèn)題，考查錐體體積計(jì)算和正方體體積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

15、答案2500&

3

詳解：解：由于A4〉A(chǔ)C>AB〉8C,則容器足夠長(zhǎng)，所以最大的球應(yīng)與三棱柱的三

個(gè)側(cè)面相切，作截面如圖所示，作RS,PQ,垂足為s.

R

“602+702-30219

PQ=70,PR=60,QR=30,由余弦定理得2x60x7021,

,D_4亞,?_46_806._1_80>/5_/T

..sinP-------..RSc—6A0nx------=--------..Sc——x70nx--------=400>/5

21,217,"QR27.設(shè)圓(

的半徑為r,

???、=9(70+60+3。"=40。石”=56

V=&XC(56、25。。&

???球。的體積33

2500辰

故答案為：3.

點(diǎn)睛

本題考查球的體積，關(guān)鍵是利用等面積法求球體半徑，屬于中檔題.

16、答案24

解析設(shè)出兩個(gè)正方體的棱長(zhǎng)，分別求得對(duì)應(yīng)的外接球的半徑，由兩個(gè)正方體的外接球的

表面積之和列方程，求得。2+〃的值，進(jìn)而求得兩個(gè)正方體的表面積之和.

詳解：設(shè)這兩個(gè)正方體的棱長(zhǎng)分別為。，0，則這兩個(gè)正方體的外接球的半徑分別為

A/3百/‘4萬(wàn)=3萬(wàn)(/+〃)=12乃

2",2,則2JI2〃，即片+〃=4,故這

兩個(gè)正方體的表面積之和為6(礦+〃)=24.

故答案為：24

點(diǎn)睛

本小題主要考查正方體外接球表面積的有關(guān)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

詳解：由于四邊形ABC。是正方形，.?.3C//4),

???3CZ平面PDA,ADu平面PD4，〃平面P/M,

?.P￡>_L平面ABC。，CE_L平面ABC。，-.-CE//PD,

???CE<z平面PD4,PDu平面P/M,CEU￥WiPDA,

???8CnCE=C,平面EBCH平面PDA.

點(diǎn)睛

本題考查面面平行的證明，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

解析

18、答案(1)證明見(jiàn)解析；(2)拽

2

(2)根據(jù)題意得M到平面BCD的距離為的長(zhǎng)，由三棱錐D-BCM的體積即為三棱錐

M-BCD的體積，由題設(shè)條件求出的長(zhǎng)，及三角形BCD的面積，由椎體體積公式代入

數(shù)據(jù)求解即可.

詳解

(1)證明：因?yàn)镸為AB的中點(diǎn)，D為PB的中點(diǎn)，

所以MD是AABP的中位線，MDPAP.

又加。它平面APC,APu平面APC,

所以"OP平面APC.

(2)在等邊三角形PMB中，D為PB的中點(diǎn)，

：.MD±PB,：.AP±PB,

又AP_LPC,PB、PCu平面PBC,PBcPC=P,

.?.AP_L平面PBC,.?.MD，平面PBC,

?.?3Cu平面PBC,.-.AP_LBC,

又?.?8C_LAC,PA.ACu平面PAC,PAp\AC=A,

平面PAC,.^.PCu平面PBC,.?.BC，PC.

平面PBC,即MD是三棱錐M-DBC的高.

又因?yàn)锳B=10,M為AB的中點(diǎn)，為正三角形，

cFi

所以PB=MB=5,MD;士,

2

由8CJ_平面APC,可得BCJ.PC,

在直角三角形PCB中，由尸8=5,BC=4,可得PC=3.

于是