構(gòu)造函數(shù)法在高考解導(dǎo)數(shù)和數(shù)列問題

用構(gòu)造函數(shù)法給出兩個(gè)結(jié)論的證明．〔1〕構(gòu)造函數(shù)，那么，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，．所以，即．〔2〕構(gòu)造函數(shù)，那么．所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，所以，即．要證兩邊取對數(shù)，即證事實(shí)上：設(shè)那么因此得不等式構(gòu)造函數(shù)下面證明在上恒大于0．∴在上單調(diào)遞增，即∴∴以上兩個(gè)重要結(jié)論在高考中解答與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的命題有著廣泛的應(yīng)用．例如：2009年廣東21，2008年山東理科21，2007年山東理科22．1．【09天津·文】10．設(shè)函數(shù)在R上的導(dǎo)函數(shù)為，且，下面的不等式在R上恒成立的是A．B．C．D．【答案】A【解析】由，首先令得，排除B，D．令，那么，①當(dāng)時(shí)，有，所以函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，從而．②當(dāng)時(shí)，有，所以函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，從而．綜上．應(yīng)選A．【考點(diǎn)定位】本試題考察了導(dǎo)數(shù)來解決函數(shù)單調(diào)性的運(yùn)用．通過分析解析式的特點(diǎn)，考查了分析問題和解決問題的能力．2．【09遼寧·理】21．〔本小題總分值12分〕函數(shù)，．〔Ⅰ〕討論函數(shù)的單調(diào)性；〔Ⅱ〕證明：假設(shè)，那么對任意，，有．解：〔Ⅰ〕的定義域?yàn)椋?分〔i〕假設(shè)即，那么，故在單調(diào)增加．〔ii〕假設(shè)，而，故，那么當(dāng)時(shí)，；當(dāng)及時(shí)，．故在單調(diào)減少，在單調(diào)增加．〔iii〕假設(shè)，即，同理可得在單調(diào)減少，在單調(diào)增加．〔II〕考慮函數(shù)．那么．由于故，即在單調(diào)增加，從而當(dāng)時(shí)有，即，故，當(dāng)時(shí)，有．………………12分3．【09全國Ⅱ·理】22．〔本小題總分值12分〕設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且．〔I〕求的取值范圍，并討論的單調(diào)性；〔II〕證明：．【解】〔I〕由題設(shè)知，函數(shù)的定義域是且有兩個(gè)不同的根，故的判別式，即且…………………①又故．因此的取值范圍是．當(dāng)變化時(shí)，與的變化情況如下表：因此在區(qū)間和是增函數(shù)，在區(qū)間是減函數(shù)．〔II〕由題設(shè)和①知于是．設(shè)函數(shù)那么當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故在區(qū)間是增函數(shù)．于是，當(dāng)時(shí)，因此．5．2009屆山東省德州市高三第一次練兵〔理數(shù)〕21．〔本小題總分值12分〕函數(shù)在是增函數(shù),在〔0,1〕為減函數(shù)．〔1〕求、的表達(dá)式；〔2〕求證：當(dāng)時(shí),方程有唯一解；〔3〕當(dāng)時(shí),假設(shè)在∈內(nèi)恒成立,求的取值范圍．解：〔1〕依題意,即,．∵上式恒成立,∴① …………1分又,依題意,即,．∵上式恒成立,∴ ② …………2分 由①②得． …………3分 ∴ …………4分〔2〕由〔1〕可知,方程,設(shè),令,并由得解知………5分令由…………6分列表分析：〔0,1〕1〔1,+〕-0+遞減0遞增可知在處有一個(gè)最小值0,…………7分當(dāng)時(shí),＞0,∴在〔0,+〕上只有一個(gè)解．即當(dāng)x＞0時(shí),方程有唯一解． …………8分〔3〕設(shè),…………9分在為減函數(shù)又………11分所以：為所求范圍． …………12分7．山東省濱州市2009年5月高考模擬試題〔理數(shù)〕20．〔此題總分值12〕函數(shù)〔Ⅰ〕求的單調(diào)區(qū)間；〔Ⅱ〕當(dāng)時(shí)，設(shè)斜率為的直線與函數(shù)相交于兩點(diǎn)，求證：．解：〔Ⅰ〕略〔Ⅱ〕當(dāng)時(shí)，以下先證，所以只需證，即設(shè)，那么．所以在時(shí)，為減函數(shù)，．即．又，∴成立，即．同理可證．∴．9．山東省安丘、五蓮、諸城、蘭山四地2009屆高三5月聯(lián)考22．〔此題總分值14分〕函數(shù)在上為增函數(shù)，且，，．〔1〕求的取值范圍；〔2〕假設(shè)在上為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；〔3〕設(shè)，假設(shè)在上至少存在一個(gè)，使得成立，求的取值范圍．解：〔1〕由題意，在上恒成立，即．故在上恒成立，……………2分只須，即，只有．結(jié)合得．…4分〔2〕由〔1〕，得在上為單調(diào)函數(shù)，或者在恒成立．……………．．6分等價(jià)于即而．…………………8分等價(jià)于即在恒成立，而．綜上，的取值范圍是．………10分〔3〕構(gòu)造函數(shù)當(dāng)