經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)2.3-高階導(dǎo)數(shù)

22五月20241第三節(jié)高階導(dǎo)數(shù)

第二章三、一些常見函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式二、高階導(dǎo)數(shù)的定義一、基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式復(fù)習(xí)四、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則（DerivativeofHigherOrder）五、本章小結(jié)與思考題22五月20242一、基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式復(fù)習(xí)1.常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)22五月202432.函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則(C為常數(shù))3.反函數(shù)的求導(dǎo)法則單調(diào)可導(dǎo),則4.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則5.初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)22五月20244求解:例1（習(xí)題2－27（9））例2設(shè)求（補(bǔ)充題）（解答見下頁）22五月20245求解:例2

設(shè)22五月20246求解:關(guān)鍵:

搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu)由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)例322五月20247二、高階導(dǎo)數(shù)的定義（DefinitionofHigherDerivatives）速度即加速度即引例：變速直線運(yùn)動22五月20248若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可導(dǎo),或即或類似地,二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為n

階導(dǎo)數(shù),或的二階導(dǎo)數(shù)

,記作的導(dǎo)數(shù)為依次類推,分別記作則稱定義22五月20249三、一些常見函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)的求法例1

設(shè)求解：1.直接法求高階導(dǎo)數(shù)就是多次接連地求導(dǎo)數(shù).例2

求的n階導(dǎo)數(shù).解：22五月202410解2.數(shù)學(xué)歸納法證明高階導(dǎo)數(shù)例3

設(shè)求22五月202411求解:

一般地,類似可證:例4

設(shè)22五月202412例5

設(shè)求解若為自然數(shù)，則22五月202413解:例6

設(shè)（補(bǔ)充題）22五月202414都有n

階導(dǎo)數(shù),則(C為常數(shù))及設(shè)函數(shù)四、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則萊布尼茲(Leibniz)公式22五月202415用數(shù)學(xué)歸納法可證萊布尼茲公式成立.22五月202416求解:

設(shè)則代入萊布尼茲公式,得例722五月202417內(nèi)容小結(jié)1.復(fù)習(xí)基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式(1)逐階求導(dǎo)法(2)利用歸納法(3)間接法——利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式2.高階導(dǎo)數(shù)的求法如,(4)利用萊布尼茲公式22五月202418思考與練習(xí)1.

如何求下列函數(shù)的

n

階導(dǎo)數(shù)?解:22五月202419（2）提示:解:22五月202420求使存在的最高分析:但是不存在.2又階數(shù)2.

設(shè)22五月202421則提示:各項(xiàng)均含因子(x–2)(2)已知任意階可導(dǎo),且時(shí)提示:則當(dāng)3.

（填空題）（1）設(shè)22五月202422導(dǎo)出解：同樣可求4.

試從（習(xí)題