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22五月20241第三節(jié)高階導(dǎo)數(shù)
第二章三、一些常見函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式二、高階導(dǎo)數(shù)的定義一、基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式復(fù)習(xí)四、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(DerivativeofHigherOrder)五、本章小結(jié)與思考題22五月20242一、基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式復(fù)習(xí)1.常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)22五月202432.函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則(C為常數(shù))3.反函數(shù)的求導(dǎo)法則單調(diào)可導(dǎo),則4.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則5.初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)22五月20244求解:例1(習(xí)題2-27(9))例2設(shè)求(補(bǔ)充題)(解答見下頁)22五月20245求解:例2
設(shè)22五月20246求解:關(guān)鍵:
搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu)由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)例322五月20247二、高階導(dǎo)數(shù)的定義(DefinitionofHigherDerivatives)速度即加速度即引例:變速直線運(yùn)動22五月20248若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可導(dǎo),或即或類似地,二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為n
階導(dǎo)數(shù),或的二階導(dǎo)數(shù)
,記作的導(dǎo)數(shù)為依次類推,分別記作則稱定義22五月20249三、一些常見函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)的求法例1
設(shè)求解:1.直接法求高階導(dǎo)數(shù)就是多次接連地求導(dǎo)數(shù).例2
求的n階導(dǎo)數(shù).解:22五月202410解2.數(shù)學(xué)歸納法證明高階導(dǎo)數(shù)例3
設(shè)求22五月202411求解:
一般地,類似可證:例4
設(shè)22五月202412例5
設(shè)求解若為自然數(shù),則22五月202413解:例6
設(shè)(補(bǔ)充題)22五月202414都有n
階導(dǎo)數(shù),則(C為常數(shù))及設(shè)函數(shù)四、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則萊布尼茲(Leibniz)公式22五月202415用數(shù)學(xué)歸納法可證萊布尼茲公式成立.22五月202416求解:
設(shè)則代入萊布尼茲公式,得例722五月202417內(nèi)容小結(jié)1.復(fù)習(xí)基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式(1)逐階求導(dǎo)法(2)利用歸納法(3)間接法——利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式2.高階導(dǎo)數(shù)的求法如,(4)利用萊布尼茲公式22五月202418思考與練習(xí)1.
如何求下列函數(shù)的
n
階導(dǎo)數(shù)?解:22五月202419(2)提示:解:22五月202420求使存在的最高分析:但是不存在.2又階數(shù)2.
設(shè)22五月202421則提示:各項(xiàng)均含因子(x–2)(2)已知任意階可導(dǎo),且時(shí)提示:則當(dāng)3.
(填空題)(1)設(shè)22五月202422導(dǎo)出解:同樣可求4.
試從(習(xí)題
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