《平面與平面平行的判定》教學設計、導學案、同步練習

《8.5.3平面與平面平行》教學設計

第1課時平面與平面平行的判定

【教材分析】

本節(jié)課選自《普通高中課程標準數(shù)學教科書-必修第一冊》（人教A版）第八章《立體幾

何初步》，本節(jié)課主要學習平面與平面平行的判定定理及其應用。

本節(jié)內(nèi)容在立體幾何學習中起著承上啟下的作用，具有重要的意義與地位?？臻g中平面

與平面之間的位置關系中，平行是一種非常重要的位置關系,它不僅應用較多。而且是空間問

題平面化的典范空間中平面與平面平行的判定定理給出了由線面平行轉化為面面平行的方

法。

本節(jié)課是在前面已經(jīng)學習空間點、線、面位置關系的基礎作為學習的出發(fā)點，類比直線

與平面平行的判定定理探究過程,結合有關的實物模型,通過直觀感知操作確認（合情推理），

歸納出平面與平面平行的判定定理。本節(jié)課的學習對培養(yǎng)學生空間感與邏輯推理能力起到重

要作用。

【教學目標與核心素養(yǎng)】

課程目標學科素養(yǎng)

A.掌握空間平面與平面平行的判定定理，并1.邏輯推理：平行關系的綜合問題；

能應用這個定理解決問題.2.直觀想象：平面與平面平行的判定定理。

B.平面與平面平行的判定定理的應用.

【教學重點】：空間平面與平面平行的判定定理；

【教學難點】：應用平面與平面平行的判定定理解決問題。

【教學過程】

教學過程教學設計意圖

一、復習回顧，溫故知新通過復習以前所學，

1.到現(xiàn)在為止,我們一共學習過幾種判斷直線與平面平行的方法呢？引入本節(jié)新課。建立

【答案】（1）定義法；（2）直線與平面平行的判定定理知識間的聯(lián)系，提高

2.平面與平面有幾種位置關系？分別是什么？學生概括、類比推理

【答案】相交、平行的能力。

3.怎樣判斷兩平面平行?

二、探索新知

1.思考：若平面a〃B,貝Ia中所有直線都平行B嗎？反之，若a中

所有直線都平行B，則a〃B嗎?

【答案】平行，平行

探究：如圖8.5-11(1),a和b分別是矩形硬紙片的兩條對邊所在直線,通過思考與探究，讓

它們都和桌面平行，那么都和桌面平行，那么硬紙片和桌面平行嗎？如學生思考怎樣判斷兩

圖8.5T1(2),c和d分別是三角尺相鄰兩邊所在直線，它們都和桌面平平面平行，提高學生

行，那么三角尺和桌面平行嗎？的解決問題、分析問

【答案】硬紙片與桌面可能相交，如圖,題的能力。

：：?

三角尺與桌面平行，如圖,

平面與平面平行的判定定理:

如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平

行.通過符號與圖形表示

au(3,bu0定理，提高學生分析

符號表示：a[}b=P>=>a〃月問題的能力。

alla,b//a

圖形表示:

注意：線面平行一面面平行

練習：判斷下列命題是否正確，并說明理由.

(1)若平面a內(nèi)的兩條直線分別與平面夕平行，則e與夕平行;

(2)若平面a內(nèi)有無數(shù)條直線分別與平面夕平行，則a與夕平行；通過練習，進一步理

解平面與平面平行的

(3)、一個平面e內(nèi)兩條不平行的直線都平行于夕平面，則a與夕平行。

判定定理，提高學生

(4)、如果一個平面內(nèi)的任何一條直線都平行于另一個平面，那么這兩

的理解能力。

個平面平行。

(5)如果一個平面內(nèi)的一條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平

行

【答案】(1)X(2)X(3)V(4)V(5)X

例1：已知正方體ABCD-AiBCDi,求證：平面

ABD〃平面CiBD。p.Ci

證明：因為ABCD—ABCD為正方體，

所以DC〃AB,DC=AB

又AB〃AB,AB=AiBi,

通過例題講解，進一

.*.DC/AB,DiCi=AB,

步理解用平面與平面

.'.DiCiBA是平行四邊形,

平行的判定定理證明

.,.D1A/7C1B,

兩平面平行，提高學

又DiAZ平面CiBD,CBu平面CiBD.

生解決問題的能力。

由直線與平面平行的判定，可知DiA〃平面CiBD,

同理DB〃平面C3D,XDiAADB=Di,

所以，平面ABD〃平面GBD。

三、達標檢測

1.在正方體中，相互平行的面不會是()

A.前后相對側面

C.左右相對側面通過練習鞏固本節(jié)所

【解析】由正方體的模型知前后面、上下面、左右面都相互平行，故學知識，通過學生解

選D.決問題的能力，感悟

【答案】D其中蘊含的數(shù)學思

2.下列命題中正確的是()想，增強學生的應用

A.一個平面內(nèi)三條直線都平行于另一平面，那么這兩個平面平行意識。

B.如果一個平面內(nèi)所有直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行

C.平行于同一直線的兩個平面一定相互平行

D.如果一個平面內(nèi)有幾條直線都平行于另一平面，那么這兩個平面平行

【解析】如果一個平面內(nèi)所有直線都平行于另一個平面，即兩個平面

沒有公共點，則兩平面平行，故選B.

【答案】B

3.如圖，已知在三棱錐P—ABC中，D,E,F分別是棱PA,PB,PC的中點,

則平面DEF與平面ABC的位置關系是.

【解析】在4PAB中，因為D,E分別是PA,PB的中點，

所以DE/7AB.

又DE<Z平面ABC,ABu平面ABC,因此DE〃平面ABC.

同理可證EF〃平面ABC.又DEDEF=E,DE,EFu平面DEF,所以平面DEF

〃平面ABC.

【答案】平行

4.如圖,在正方體ABCD—AiBiCD中,P為DDi中點.能否同時過B兩

點作平面a,使平面a〃平面PAC?證明你的結論.

解能作出滿足條件的平面a,其作法如下：

如圖，連接BD1,取AA1中點M,連DIM,貝UBD1與DIM所確定的平面即

為滿足條件的平面a.

證明如下：連接BD交AC于0,連接P0,則。為BD的中點，

又P為DDi的中點,則P0〃DiB.

???BDiU平面PAC,OPu平面PAC,故DE〃平面PAC.

又因為M為AAi的中點，

故DM〃PA,又DM.平面PAC,PAu平面PAC,

從而DM〃平面PAC.

又因為DlMCDiB=Di,DiMca,DiBca,

所以平面?！ㄆ矫鍼AC.

四、小結通過總結，讓學生進

1.證明的兩個平面平行的基本思路；一步鞏固本節(jié)所學內(nèi)

2、證明的兩個平面平行的一般步驟。容，提高概括能力，提

3、證明的書寫三個條件“內(nèi)”、“交”、“平行”，缺一不可。高學生的數(shù)學運算能

五、作業(yè)力和邏輯推理能力。

習題8.58題

【教學反思】

應多找模型，讓學生動手，去理解兩平面平行的判定定理

《8.5.3平面與平面平行》導學案

第1課時平面與平面平行的判定

【學習目標】

1.掌握空間平面與平面平行的判定定理，并能應用這個定理解決問題.

2.平面與平面平行的判定定理的應用.

【教學重點】：空間平面與平面平行的判定定理；

【教學難點】：應用平面與平面平行的判定定理解決問題。

【知識梳理】

1.平面與平面平行的判定定理：=

【學習過程】

一、探索新知

思考：若平面a〃。，則a中所有直線都平行0嗎？反之，若a中所有直線都平行

B，貝Ia〃B嗎？

探究：如圖8.5-11(1),a和b分別是矩形硬紙片的兩條對邊所在直線，它們都和桌面

平行，那么都和桌面平行，那么硬紙片和桌面平行嗎？如圖&5-11(2),c和d分別是三角

尺相鄰兩邊所在直線，它們都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行嗎?

■&FII

平面與平面平行的判定定理：.

符號表示：________________________________________

圖形表示：

注意：線面平行一面面平行

練習：判斷下列命題是否正確，并說明理由.

(1)若平面a內(nèi)的兩條直線分別與平面夕平行，則a與夕平行；

(2)若平面a內(nèi)有無數(shù)條直線分別與平面夕平行，則a與尸平行；

(3)、一個平面a內(nèi)兩條不平行的直線都平行于萬平面，則a與萬平行。

(4)、如果一個平面內(nèi)的任何一條直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。

(5)如果一個平面內(nèi)的一條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行

例1：已知正方體ABCD-AiBCDi,求證：平面ABD〃平面QBD。

【達標檢測】

1.在正方體中，相互平行的面不會是（）

A.前后相對側面

B.上下相對底面

C.左右相對側面

D.相鄰的側面

2.下列命題中正確的是（）

A.一個平面內(nèi)三條直線都平行于另一平面，那么這兩個平面平行

B.如果一個平面內(nèi)所有直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行

C.平行于同一直線的兩個平面■定相互平行

D.如果一個平面內(nèi)有幾條直線都平行于另一平面，那么這兩個平面平行

3.如圖，已知在三棱錐P—ABC中，D,E,F分別是棱PA,PB,PC的中點，則平面DEF

與平面ABC的位置關系是.

4.如圖，在正方體ABCD—ABCD中，P為DDj中點.能否同時過立，B兩點作平面a,

使平面a〃平面PAC?證明你的結論.

參考答案：

思考：平行平行

探究：硬紙片與桌面可能相交，如圖,

三角尺與桌面平行，如圖,

少C

平面與平面平行的判定定理：

如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行.

au/3,bu0

符號表示：aC\b=P>=a〃§

alla,blla

練習：【答案】(1)X(2)X(3)V(4)V(5)X

例1.證明：因為ABCD—ABCD為正方體，

所以DiCi^AiBi,DC=AR

又AB〃AB”AB=AiBi,

；.DC〃AB,DiCi=AB,

/.DiCiBA是平行四邊形，

.".D1A/7C1B,

又DiA<Z平面CiBD,CBu平面CiBD.

由直線與平面平行的判定,可知DiA〃平面CiBD,

同理DJB1〃平面CiBD,又DiAADiBi=Di,

所以，平面ABD〃平面GBD。

達標檢測

1.【解析】由正方體的模型知前后面、上下面、左右面都相互平行，故選D.

【答案】D

2.【解析】如果一個平面內(nèi)所有直線都平行于另一個平面，即兩個平面沒有公共點,

則兩平面平行，故選B.

【答案】B

3.【解析】在4PAB中，因為D,E分別是PA,PB的中點，

所以DE〃AB.

又DE.平面ABC,ABu平面ABC,因此DE〃平面ABC.

同理可證EF〃平面ABC.又DECEF=E,DE,EFu平面DEF,所以平面DEF〃平面ABC.

【答案】平行

4.解能作出滿足條件的平面a,其作法如下：

如圖，連接BD1,取AA1中點M,連DIM,則BD1與DIM所確定的平面即為滿足條件的

平面a.

證明如下：連接BD交AC于0,連接P0,則0為BD的中點，

又P為DDi的中點,則P0〃DB

?.?BDiZ平面PAC,OPu平面PAC,故DiB〃平面PAC.

又因為M為AAi的中點，

故D】M〃PA,又DM.平面PAC,PAu平面PAC,

從而DM〃平面PAC.

又因為DlMCDiB=Di,DiMca,DJBua,

所以平面a〃平面PAC.

《8.5.3平面與平面平行》同步練習

第1課時平面與平面平行的判定

一、選擇題

1.平面a與平面/平行的充分條件可以是（）

A.1內(nèi)有無窮多條直線都與萬平行

B.直線a//a,?///7,且直線a不在a內(nèi)，也不在夕內(nèi)

C.直線aua,直線且a//，，blla

D.1內(nèi)的任何一條直線都與§平行

2.已知直線m,平面a,￡,下列命題正確的是（）

A./〃￡,/uan?！闎.1//P,m//,lua,歸q=a〃￡

C.1//m,7ca,歸￡=＞?！ā闐./〃￡,勿〃￡,lua,ga,a

//￡

3.如圖，設E,￡昂可分別是長方體ABCD-\BXCXDX的棱AB,CD,A4,CQ的中

點，則平面￡五24與平面5。耳鳥的位置關系是（）

A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.不確定

4.已知。是平面。外的一條直線，過a作平面尸使分P&,這樣的尸（）

A.只有一個B.至少有一個

C.不存在D.至多有?個

5.（多選題）設。、〃是兩條不同的直線，a、B、7是三個不同的平面，則=〃尸的

一個充分條件是（）

A.存在一條直線。，alia,all/3

B.存在一條直線a,aua,all/3

C.存在一個平面7,滿足?！?,pHy

D.存在兩條異面直線a,b,aua,bu0,all13,bHa

6.（多選題）如圖是一幾何體的平面展開圖，其中四邊形ABCD為正方形，E,F,G,H

分別為PA,PD,PC,PB的中點.在此幾何體中,給出下列結論,其中正確的結論是（）

A.平面EFGH//平面ABCDB.直線？A//平面3DG

C.直線跳V/平面D.直線EFV/平面BDG

二、填空題

7.已知點S是等邊三角形ABC所在平面外一點，點。,E,尸分別是SASB,SC的中

點，則平面DE尸與平面ABC的位置關系是.

8.如圖所示，在三棱柱ABC-A瓦G中，E，F(xiàn),G,H分別是ABAC,A}BX,4G

的中點，則與平面6cHG平行的平面為.

9.a,b表示直線，a,0表示平面，若,則a||￡.（在橫線上添加適當條件，使

之成立）

10.如圖,正方體A3CD—A4G2中，AB=2、/5,點E為的中點，點/在

G2上，若EF//平面ACB,,則EF=,當H為DD|的時，平面EFD“

平面ACB}o

三、解答題

11.如圖，在正方體ABC。—A4G2中，S是耳。的中點，E,F，G分別是3C,

DC,SC的中點.求證:

(1)直線EG//平面；

(2)平面EFG//平面

12.如圖，四棱錐P—ABCD中，45〃?！?,筋=2?！?￡廠分別為總,43的中點.

(1)求證：CE//平面％D

(2)求證：平面K4。//平面CEF

《8.5.3平面與平面平行》同步練習答案解析

第1課時平面與平面平行的判定

一、選擇題

1.平面a與平面廠平行的充分條件可以是()

A.a內(nèi)有無窮多條直線都與萬平行

B.直線a//a,a//，，且直線a不在a內(nèi)，也不在月內(nèi)

C.直線aua,直線6<=尸，且a//，，b!la

D.a內(nèi)的任何一條直線都與B平行

【答案】D

【解析】A選項，a內(nèi)有無窮多條直線都與夕平行，并不能保證平面a內(nèi)有兩條相交

直線與平面尸平行，這無窮多條直線可以是一組平行線，故A錯誤；

B選項，直線a//a,al1/3,且直線a不在a內(nèi)，也不在廠內(nèi)，直線a可以是平行平面

a與平面廠的相交直線，故不能保證平面a與平面廠平行，故B錯誤；

C選項，直線aua,直線且a//，，M/a,當直線?！ㄈ送瑯硬荒鼙ＷC平

面a與平面月平行，故c錯誤；

D選項，a內(nèi)的任何一條直線都與月平行，則a內(nèi)至少有兩條相交直線與平面尸平行,

故平面a與平面廠平行；

故選:D.

2.已知直線/,m,平面a,￡,下列命題正確的是（）

A./〃￡,Jua今a〃￡B./〃￡,而〃￡,lua,忙a今。〃￡

C.1//m,lua,gB0a〃8D.1//P,m"3,lua,me.a,lCm=ga

//0

【答案】D

【解析】

如右圖所示，在長方體ABCD—ABCD中，直線AB〃CD,則直線AB〃平面D3,直線ABu

平面AC,但是平面AC與平面DG不平行，所以選項A錯誤；取BBi的中點E,CQ的中點F,

則可證EF〃平面AC,BC〃平面AC.又EFu平面BC）,BCu平面BCi,但是平面AC與平面B3

不平行，所以選項B錯誤；直線AD〃BC,ADu平面AC,BCu平面BQ,但平面AC與平面

B3不平行，所以選項C錯誤；很明顯選項D是兩個平面平行的判定定理，所以選項D正確.

3.如圖，設瓦￡昂耳分別是長方體ABC。-A4G2的棱片,GA的中

點，則平面跳AA與平面6"用的位置關系是（）

A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.不確定

【答案】A

【解析】???4和尸1分別是4月和D?的中點，A。"/砧.

又■:A"<X平面BCF[E],E￡u平面BCF1E1,

：.AlDl//平面BCFiE1.

又???旦和E分別是4片和A3的中點，.?.Ag/ABE,且

...四邊形是平行四邊形，AE//BE].

又；AE<Z平面3。耳耳，BE〕u平面3。耳耳，；.[57/平面5c4片.

：AEu平面EFD]A,42<=平面￡五。14，4Ec4￡）[=A，

/.平面EFD}A//平面BCFR.

故選A

4.已知。是平面。外的一條直線，過a作平面尸使分尸戊，這樣的尸（）

A.只有一個B.至少有一個

C.不存在D.至多有一個

【答案】D

【解析】：。是平面a外的一條直線，；.a//a或a與a相交.

當a//a時，平面廠只有一個；當a與a相交時，平面尸不存在.

故選D

5.（多選題）設。、人是兩條不同的直線，夕、B、7是三個不同的平面，則尸的

一個充分條件是（）

A.存在一條直線。，alia,all/3

B.存在一條直線。，aua,all/3

C.存在一個平面7,滿足?！?,Plly

D.存在兩條異面直線a,b,aua,bu0,a///3,b//a

【答案】CD

【解析】對于選項A,若存在一條直線a,alia,a///3,則a//j3或a與尸相交.

若?！ㄊ?，則存在一條直線。，使得3,a/1（3,

所以選項A的內(nèi)容是?！ㄊ囊粋€必要條件而不是充分條件；

對于選項B,存在一條直線。，aua,all/3,則?！?，或a與2相交.

若?！?，則存在一條直線a,aua,all/3,

所以，選項B的內(nèi)容是?！诘囊粋€必要條件而不是充分條件；

對于選項C,平行于同一個平面的兩個平面顯然是平行的，故選項C的內(nèi)容是?！?，的

一個充分條件；

對于選項D,可以通過平移把兩條異面直線平移到其中一個平面/中，成為相交直線,

由面面平行的判定定理可知7〃a,ylip,則?！??,

所以選項D的內(nèi)容是c〃，的一個充分條件.

故選：CD.

6.（多選題）如圖是一幾何體的平面展開圖，其中四邊形ABCD為正方形，E,F,G,H

分別為的中點.在此幾何體中,給出下列結論,其中正確的結論是（）

A.平面EFGH//平面ABCDB.直線？A//平面3DG

C.直線EF//平面PBCD.直線所//平面班（G

【答案】ABC

【解析】作出立體圖形如圖所示.連接石、F、G、〃四點構成平面EPGH.

對于A,因為工廠分別是PA,的中點，所以EFV/AO.

又跖<2平面ABC。，AOu平面A3CD,所以所//平面A5CD.

同理，EH//平面ABCD.又EFCEH=E,EFu平面EFGH,即u平面

EFGH,

所以平面EFGH//平面ABCD,故力正確；

對于3,連接ACBD,OG,BG,設AC的中點為四則〃也是5。的中點，所以

MG//PA,又MGu平面3DG,QA<Z平面3ZXJ,所以PA//平面3DG,故6正確；

對于C,由/中的分析知跖//ADAD//8C,所以跖//BC,因為所《平面PBC,

BCu平面PBC,所以直線跖//平面尸BC,故C正確；

對于。，根據(jù)C中的分析可知跖/ABC再結合圖形可得，3。門3。=3,則直線所

與平面MG不平行，故2錯誤.

故選ABC

二、填空題

7.已知點S是等邊三角形ABC所在平面外一點，點D,E,尸分別是S4,S3,SC的中

點，則平面DE尸與平面ABC的位置關系是.

【答案】平行

【解析】VE,F分別是SB,SC的中點，；.EF是ASBC的中位線，.tEFHBC.

又「BCu平面ABC,EF^^ABC,所以所//平面ABC.

同理DE//平面ABC

EFcDE=E，

所以平面。"II平面ABC.

8.如圖所示，在三棱柱ABC—A51cl中，石，F(xiàn),G,H分別是ABAC,AXBX,\CX

的中點，則與平面BCHG平行的平面為.

【答案】平面4也歹

【解析】由題意，因為E,歹分別為ABAC的中點，所以EF7/BC,

因為EF<Z平面BCHG,BCu平面5cHG,可得匹||平面6cHG,

因為AG=EB且AG〃石5,所以四邊形AEBG是平行四邊形，所以AE〃G3,

又因為AE<Z平面BCHG,GBu平面BCHG,所以4石〃平面8cHG,

因為AECEE=E,所以平面4EE〃平面8cHG.

9.a,b表示直線，a,￡表示平面，若,則aII0.（在橫線上添加適當條件，使

之成立）

【答案】a,b是平面a內(nèi)的兩條相交直線，且直線a,b都平行于平面￡

【解析】由兩個平面平行的判定定理可得，當直線a,6是平面a內(nèi)的兩條相交直線，且

直線a,b都平行于平面￡時，一定推出。||小

故答案為a,b是平面a