2020-2021學(xué)年山西省晉中市祁縣、靈石縣八年級（下）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2020-2021學(xué)年山西省晉中市祁縣、靈石縣八年級（下）期末數(shù)

學(xué)試卷

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）.

1.下面是某應(yīng)用內(nèi)的幾個子頻道圖標(biāo)，其中圖案是中心對稱圖形的是（)

2.下列是不等式2（x-1）+3<0的解的是（）

A.4B.2C.3D.-3

3.如圖是華為手機(jī)圖庫標(biāo)志，這個圖案繞著它的中心旋轉(zhuǎn)一定角度后與自身重合，這個旋

轉(zhuǎn)角至少為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

4.下列由左到右的變形中，屬于因式分解的是()

A.(。+1)(a-1)=a2-1B.a2-1=(a+1)(a-1)

C.a2-l+a=(a+1)(a-1)+aD.cP+a-1=a(a+1)-1

5.如圖，正五邊形A3CDE中，AC與BE相交于點(diǎn)R則/AEB的度數(shù)為()

B

C'D

A.100°B.108°C.120°D.135

6.如果一個分式的分子或分母可以因式分解，且這個分式是最簡分式，那么我們稱這個分

式為“和諧分式”.下列分式中，屬于“和諧分式”的是（）

a-2bx-l

A-2,2B.Q

a-bx2+l

x+y2,2

C.22D.

x-y(a+b)2

7.如圖，四邊形ABC。和四邊形AEFC是兩個矩形，點(diǎn)B在即邊上，若矩形ABC。和矩

形AEFC的面積分別是Si、&的大小關(guān)系是（）

S1=S2C.S1<S2D.3si=28

8.隨著5G網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的發(fā)展，市場對5G產(chǎn)品的需求越來越大，為滿足市場需求，某大型

5G產(chǎn)品生產(chǎn)廠家更新技術(shù)后，加快了生產(chǎn)速度，現(xiàn)在平均每天比更新技術(shù)前多生產(chǎn)30

萬件產(chǎn)品，現(xiàn)在生產(chǎn)500萬件產(chǎn)品所需時間與更新技術(shù)前生產(chǎn)400萬件產(chǎn)品所需時間相

同.設(shè)更新技術(shù)前每天生產(chǎn)X萬件產(chǎn)品，依題意得（)

400_500.500

A.B.400=

x-30xXx+30

400_500_500

C.D.儂

xx-30x+30X

9.數(shù)學(xué)課上，老師出示了如下一道證明題.

如圖，在△ABC中，點(diǎn)。、E分別是AB,BC的中點(diǎn)，延長OE至點(diǎn)居使EF=DE,連

接PC,求證：四邊形ADFC是平行四邊形.

證明：?.?點(diǎn)D,E分別是AB,的中點(diǎn).

；.DE是AABC的①，

：.@DE=^-AC.

又.：EF=DE,

：.AC=DF.

四邊形ADFC是平行四邊形（③的四邊形是平行四邊形）.

①②③分別代表（）

A.中線、DE//AC,一組對邊平行且相等

B.中位線、DE//AC,兩組對邊相等

C.中線、CF=AD,兩組對邊相等

D.中位線、DE//AC,?組對邊平行且相等

10.如圖，正方形ABCQ1、4282c孫、4383c3小、A484c40的邊長分別為2、4、6、4,

四個正方形按照如圖所示的方式擺放，點(diǎn)A2、A3、A4分別位于正方形A1B1GP、A2&C2O2、

A383c3。3對角線的交點(diǎn)，則陰影部分的面積和為（）

A.12B.13C.14D.18

二、填空題（本大題共5個小題，每題3分，共15分）

11.分解因式：3y4-3/=.

22

12.已知比滿足四一-9=0,則工—的值是.

m+3m-44-m

13.如圖，直線（左＞0）經(jīng)過點(diǎn)P（T,1）,當(dāng)日+62-x時,x的取值范圍為

14.如圖，已知是AABC的角平分線，CE±AD,垂足為O,CE交AB于E,則下列命

題：@AE=AC,@CO=OE,@ZAEO=ZACO,?ED=DC,其中正確的是.

15.如圖，在平行四邊形ABC。中，AC與8。交于點(diǎn)M,點(diǎn)尸在A。上，AF=6cm,BF=

12cm,/FBM=NCBM,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若點(diǎn)P以1。"秒的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿

AD向點(diǎn)F運(yùn)動；點(diǎn)。同時以2on/秒的速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB向點(diǎn)2運(yùn)動.點(diǎn)尸運(yùn)動

到尸點(diǎn)時停止運(yùn)動，點(diǎn)。也同時停止運(yùn)動.當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動秒時，以點(diǎn)P、Q、E、

尸為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.

B

三、解答題（本大題共8個小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

16.解分式方程:

⑴駕-六=2；

x-33-x

X8

（2）1=^-.

x-2X2-4

17.下面是小彬同學(xué)進(jìn)行分式化簡的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù).

x^-9_2x+l

x+6x+9'2x+6

(x+3)(x-3)2x+l

=(X+3)22(x+3)…弟一步

x-32x+l

…第二步

7^32(x+3)

2(x-3)_2x+ls=止

2(x+3)-2(x+3)…用二"

=2x-6-2x-1…第四步

=-7…第五步

任務(wù)一：

以上化簡步驟中，第步是進(jìn)行分式的通分，通分的依據(jù)是

任務(wù)二：

本題解答是否正確？

如果正確，請指出第四步變形的依據(jù),如果錯誤，請寫出該分式化簡的正確步驟.

18.有四個式子：4〃，（尤+y）2,x+y,9b2,請你從中選出兩個，使兩者之差能按照以下要

求進(jìn)行因式分解，并寫出因式分解的結(jié)果.

（1）利用提公因式法.

（2）利用公式法.

19.作圖與驗(yàn)證：

在平行四邊形ABC。中，AD>AB,求作菱形，使點(diǎn)瓦點(diǎn)廠分別在BC、AD邊上（尺規(guī)

作圖，保留作圖痕跡）

方法一：以點(diǎn)8為圓心，A8長為半徑畫弧交5c于點(diǎn)E,再分別以點(diǎn)A、E為圓心，大

于方AE的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P；連接BP并延長交AO于點(diǎn)死連接EF則所

得四邊形4BEF是菱形.

方法二：連接AC,分別以A、C為圓心，大于右4。的長為半徑作弧，兩弧交于M、N

兩點(diǎn)；作直線MN,分別與BC、AD,AC交于￡、F、。三點(diǎn)；連接AE、CF,則四邊形

AECF是菱形.

任務(wù)：

填空：（1）“方法一”中，判別四邊形是菱形的數(shù)學(xué)依據(jù)是.

（2）在圖②中，根據(jù)“方法二”的作圖方法，使用直尺和圓規(guī)補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；

圖①圖②

20.中國是最早發(fā)現(xiàn)并利用茶的國家，形成了具有獨(dú)特魅力的茶文化.2020年5月21日以

“茶和世界共品共享”為主題的第一屆國際茶日在中國召開.晉商又以“萬里茶道”著

稱.晉商古街某茶店用4000元購進(jìn)了A種茶葉若干盒，又用8400元購進(jìn)B種茶葉若干

盒，若所購8種茶葉比A種茶葉多10盒，且2種茶葉每盒進(jìn)價是A種茶葉每盒進(jìn)價的

1.4倍；

（1）42兩種茶葉每盒進(jìn)價分別為多少元？

（2）第一次所購茶葉全部售完后，第二次購進(jìn)4、2兩種茶葉共100盒（A、8進(jìn)價不變,

A種茶葉不少于20盒），A種茶葉的售價是每盒300元，2種茶葉的售價是每盒400元,

怎樣進(jìn)貨才能獲得最大利潤？

21.對給定的一張矩形紙片ABC。進(jìn)行如下操作先沿AE折疊，如圖①，使點(diǎn)B落AO邊上

的點(diǎn)夕處，再沿AF折疊、如圖②這時發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E恰好與點(diǎn)。重合.

（1）根據(jù)以上操作，發(fā)現(xiàn)：①AD：CD=；

②△OPC是三角形；

（2）將該矩形紙片展開，如圖③，沿。E折疊該矩形紙片，點(diǎn)C恰好落在AE上的點(diǎn)G

22.自主探究:

在△ABC中，AB=AC,/BAC=90°,點(diǎn)。在射線3c上（與B、C兩點(diǎn)不重合），以

AD為邊作正方形ADE凡使點(diǎn)E與點(diǎn)、B在直線AD的異側(cè)，射線BA與直線CF相交于

點(diǎn)G.

（1）當(dāng)點(diǎn)。在線段BC上時，如圖（1）,判斷：線段BC與線段CG的數(shù)量關(guān)系和位置

關(guān)系，并說明理由；

（2）當(dāng)點(diǎn)。在線段BC的延長線上時，如圖（2）,寫出線段BC與線段CG的數(shù)量關(guān)系

與位置關(guān)系，不必證明；

（3）在（2）的基礎(chǔ)上，隨著點(diǎn)。位置的變化，當(dāng)G為CF中點(diǎn)，AB=如時，求出正

方形AOEF的邊長.

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=-X+4與X軸交于點(diǎn)A,與y軸交

于點(diǎn)3,點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上，S“BC=24.點(diǎn)P是線段C4上一動點(diǎn).

(1)求直線的解析式；

(2)X是直線上點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)K,使以點(diǎn)。，B、H,R為頂點(diǎn)的四邊

形是菱形？若存在，直接寫出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

參考答案

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分在每個小題給出的四個選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）

1.下面是某應(yīng)用內(nèi)的幾個子頻道圖標(biāo)，其中圖案是中心對稱圖形的是（）

【分析】把一個圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那

么這個圖形就叫做中心對稱圖形.據(jù)此判斷即可.

解：A,是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；

B.不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；

C.不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；

D.不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意.

故選：A.

2.下列是不等式2（x-1）+3<0的解的是（）

A.4B.2C.3D.-3

【分析】首先求出不等式的解集，然后判斷哪個數(shù)在其解集范圍之內(nèi)即可.

解：解不等式2（x-1）+3<0,得

因?yàn)樗膫€選項(xiàng)中只有-3<-所以只有-3是不等式2（x-1）+3<0的一個解,

故選：D.

3.如圖是華為手機(jī)圖庫標(biāo)志，這個圖案繞著它的中心旋轉(zhuǎn)一定角度后與自身重合，這個旋

轉(zhuǎn)角至少為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【分析】根據(jù)圖形的對稱性，用360。除以6計(jì)算即可得解.

解:V36004-6=60",

...旋轉(zhuǎn)角是60。的整數(shù)倍，

，旋轉(zhuǎn)角至少是60°.

故選：C.

4.下列由左到右的變形中，屬于因式分解的是()

A.(a+1)(a-1)=a2-1B.a2-1=(a+1)(cz-1)

C.a2-\+a=(a+1)(a-1)+aD.a2+a-\=a(a+1)-1

【分析】根據(jù)因式分解的概念逐項(xiàng)判斷即可.

解：A,是整式乘法，不是因式分解，故本選項(xiàng)不合題意；

B.把一個多項(xiàng)式化成幾個整式積的形式，是因式分解，故本選項(xiàng)符合題意；

C.等式的右邊不是幾個整式積的形式，不是因式分解，故本選項(xiàng)不合題意；

D.等式的右邊不是幾個整式積的形式，不是因式分解，故本選項(xiàng)不合題意；

故選：B.

5.如圖，正五邊形A2CDE中，AC與BE相交于點(diǎn)八則NAFB的度數(shù)為()

【分析】根據(jù)五邊形的內(nèi)角和公式求出根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的

性質(zhì)計(jì)算即可.

解：???五邊形ABCDE是正五邊形，

Z.ZEAB=/ABC=52)'XI，。_=]08。,

5

,：BA=BC,

：.ZBAC=ZBCA=36°,

同理/ABE=36°,

AZAFE=ZABF+ZBAF=36a+36°=72°,

AZAFB=18O°-ZAFE=180°-72°=108°.

故選：B.

6.如果一個分式的分子或分母可以因式分解，且這個分式是最簡分式，那么我們稱這個分

式為“和諧分式”.下列分式中，屬于“和諧分式”的是()

a-2b

A.2.2

a-b

x+y2-b2

C.~9D.-a~4-

x2-y"(a+b)2

【分析】根據(jù)“和諧分式”的概念進(jìn)行判斷.

解：4、2b2是最簡分式,且分母可以利用平方差公式進(jìn)行因式分解，故此分式是“和

a-b

諧分式”，此選項(xiàng)符合題意；

B、今L是最簡分式，但分子分母均不能因式分解，故此分式不是“和諧分式”，故此

選項(xiàng)不符合題意；

x+yx+y1一

==,

C、22(x+y：l,(x-V)~^7原分式不是最簡分式，故原分式不是“和諧分式”，

故此選項(xiàng)不符合題意；

。、△嗎=6+"中=邛原分式不是最簡分式，故原分式不是“和諧分式”，

(a+b)2(a+b)2a+b

故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：A.

7.如圖，四邊形A8C0和四邊形AE/。是兩個矩形，點(diǎn)3在所邊上，若矩形A3C0和矩

形AEFC的面積分別是Si、S2的大小關(guān)系是()

AD

A.Si>S2B.Si=S2C.Si<S2D.3sI=2S2

【分析】由于矩形ABCD的面積等于2個AABC的面積，而△A5C的面積又等于矩形

AEFC的一半，所以可得兩個矩形的面積關(guān)系.

解：矩形ABC。的面積S=2SAABC,而SAABC=/S矩形AEFC，即S1=S2,

故選：B.

8.隨著5G網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的發(fā)展，市場對5G產(chǎn)品的需求越來越大，為滿足市場需求，某大型

5G產(chǎn)品生產(chǎn)廠家更新技術(shù)后，加快了生產(chǎn)速度，現(xiàn)在平均每天比更新技術(shù)前多生產(chǎn)30

萬件產(chǎn)品，現(xiàn)在生產(chǎn)500萬件產(chǎn)品所需時間與更新技術(shù)前生產(chǎn)400萬件產(chǎn)品所需時間相

同.設(shè)更新技術(shù)前每天生產(chǎn)x萬件產(chǎn)品，依題意得（）

A400500400500

x-30xxx+30

C400500D400—500

xx-30x+30x

【分析】設(shè)更新技術(shù)前每天生產(chǎn)X萬件產(chǎn)品，則更新技術(shù)后每天生產(chǎn)（x+30）萬件產(chǎn)品，

根據(jù)工作時間=工作總量+工作效率結(jié)合現(xiàn)在生產(chǎn)500萬件產(chǎn)品所需時間與更新技術(shù)前

生產(chǎn)400萬件產(chǎn)品所需時間相同，即可得出關(guān)于x的分式方程，此題得解.

解：設(shè)更新技術(shù)前每天生產(chǎn)x萬件產(chǎn)品，則更新技術(shù)后每天生產(chǎn)（尤+30）萬件產(chǎn)品，

依題意，得：%=百票.

xx+30

故選：B.

9.數(shù)學(xué)課上，老師出示了如下一道證明題.

如圖，在△ABC中，點(diǎn)。、E分別是AB,2C的中點(diǎn)，延長DE至點(diǎn)憶使EF=DE,連

接FC,求證：四邊形ADFC是平行四邊形.

證明：?.,點(diǎn)D,E分別是AB,BC的中點(diǎn).

:.DE是AABC的①，

：.@DE=^AC.

又?：EF=DE,

：.AC=DF.

四邊形ADFC是平行四邊形（③的四邊形是平行四邊形）.

A.中線、DE//AC,一組對邊平行且相等

B,中位線、DE//AC,兩組對邊相等

C.中線、CF^AD,兩組對邊相等

D.中位線、DE//AC,一組對邊平行且相等

【分析】先證OE是AABC的中位線，DE//AC,DE=^AC.AC=DF,然后由

一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，即可得出結(jié)論.

解：?.?點(diǎn)D,E分別是AB,3C的中點(diǎn).

是AABC的中位線，

J.DE//AC,DE=-AC.

2

又,：EF=DE,

：.AC=DF.

四邊形ADFC是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）.

故①代表：中位線，②代表：DE//AC,③代表：一組對邊平行且相等，

故選：D.

出、3c334484c444,

10.如圖，正方形ABC。］、A282c2。、遼＞的邊長分別為2、、6、

四個正方形按照如圖所示的方式擺放，點(diǎn)A2、A3、A4分別位于正方形A1SGD1、A222c2。2、

A383c3。3對角線的交點(diǎn)，則陰影部分的面積和為（）

弟

D3A

A.12B.13C.14D.18

【分析】如圖，因?yàn)樗倪呅蜛BiGG,A2&C2D2是正方形，所以可以得到四邊形4MC1N

是對角互補(bǔ)的四邊形，過友作B1G,GA的垂線，垂足分別為E,F,先證△AzEM2A

A2FN,從而推得四邊形A2MC1N的面積為正方形A1B1CYD1面積的四分之一，同樣的方法，

求得另外兩個陰影部分面積，即可解決.

解：設(shè)正方形A1B1CQ1、A2B2c汨2、4383c3。3中的面積分別為Si,S2,S3,

如圖，設(shè)與BiG交于點(diǎn)M,4功與GA交于點(diǎn)M

G過4分別作A2￡±BICI于E,A2F±C1O1于尸，

連接A2C1,AA2Bi,

?.?四邊形A8C1O1是正方形，4是對角線的交點(diǎn)，

2G平分且△A2SCI是等腰直角三角形，

,.?A2￡±BICI,A2F±CIDI,

：.A2E=A2F=^iCl，

,：ZA2ECI=ZBiCiDr=ZA2FCI=90°,

.??四邊形A2ECF為正方形，

???C1E=A2E-1-B1C1>

四邊形A222c2。2是正方形，

/./B2A2功=ZEA2F=90°,

...ZEA2M=NFA2N,

在△A2EM與△A2FN中，

,

ZA2EM=ZA2FN

<A2E=A2F,

ZEA2M=ZFA2N

/.△A2￡M^AA2FZV(ASA),

S=S

??AA2EMAA2FN>

S=S+SS+S

?*-1AA2FN0^^MAZC1F=AAZEM四邊形&MC1F=S正方形AZEC#，

??今="2=生凸)2=為四邊形變工％=1，

S=-s=4,

同理，24Z?5JfUzBzc2D2正方形A3B3c3口3=%

陰影部分的面積和為：1+4+9=13,

二、填空題(本大題共5個小題，每題3分，共15分)

11.分解因式：3y4-3/=3(y2+x2)(y+x)(y-x)

【分析】先提公因式3,再連續(xù)利用平方差公式即可.

解：原式=3(y4-d)

=3(y2+尤2)(y2-N)

=3(9+N)(y+x)(y-x),

故答案為：3(產(chǎn)+尤2)(y+尤)(y-尤).

22

12.已知根滿足旦二1=0,則可__^的值是7.

m+3m_44-m

【分析】根據(jù)分式為零的條件求出機(jī)的值，根據(jù)分式的加減混合運(yùn)算法則把原式化簡,

代入計(jì)算即可.

2

解：?.?生二1Q=0,

m+3

Am2-9=0,m+37^0,

解得：m=3,

原式(m+4)加-4)=〃計(jì)4=7,

m-4m-4

故答案為：7.

13.如圖，直線丁=丘+。(％>0)經(jīng)過點(diǎn)P(-1,1),當(dāng)kx+b2-x時，x的取值范圍為_x

2-1.

【分析】直線(%>0)經(jīng)過點(diǎn)P(-1,1),直線y=-x也經(jīng)過點(diǎn)(-1,1),

根據(jù)函數(shù)的圖象即可寫出不等式的解集.

解：直線y=kx+b(%>0)經(jīng)過點(diǎn)P(-1,1),直線y=-x也經(jīng)過點(diǎn)(-1,1),

根據(jù)圖象可得：丘+/?2-冗時，工的取值范圍是：x2-l.

故答案為：1三-1.

14.如圖，已知A0是△ABC的角平分線，CELA。，垂足為。，CE交AB于E,則下列命

題：①AE=AC,②CO=OE,@ZAEO=ZACO9④ED=DC,其中正確的是①②③

④.

【分析】證明NAEC=NACE,推出AE=AC,利用等腰三角形的性質(zhì)，可得結(jié)論.

解：???A0是△A5C的角平分線，

???ZEAO=ZCAO,

\*CE_LAD,

：.ZAOE=ZAOC^90°,

AZAEO+ZEAO=90°,ZACO+ZCAO=90°,

ZAEC=ZACE,

C.AE^AC,

*：AD±ECf

：.OE=OC,

：.DE=DC,

故①②③④正確，

故答案為：①②③④

15.如圖，在平行四邊形A8C0中，AC與8。交于點(diǎn)點(diǎn)方在A。上，AF=6cm,BF=

12cm,/FBM=/CBM,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若點(diǎn)P以1c加秒的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿

AO向點(diǎn)尸運(yùn)動；點(diǎn)。同時以2c加秒的速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿C5向點(diǎn)3運(yùn)動.點(diǎn)尸運(yùn)動

到尸點(diǎn)時停止運(yùn)動，點(diǎn)Q也同時停止運(yùn)動.當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動3或5秒時,以點(diǎn)P、Q、E、

【分析】由四邊形A8C。是平行四邊形得出：AD//BC,AD=BC,ZADB=ZCBD9證

得FB=FD,求出AO的長，得出CE的長，設(shè)當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動方秒時，點(diǎn)P、Q、E、尸為頂

點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，根據(jù)題意列出方程并解方程即可得出結(jié)果.

解：??,四邊形ABC。是平行四邊形，

J.AD//BC,AD=BCf

：./ADB=/CBD,

ZFBM=/CBM,

:?/FBD=/FDB,

:?FB=FD=12cm,

'JAF—Gcm,

.\AD=lScmf

?.?點(diǎn)￡是BC的中點(diǎn)，

/.CE——BC=—AD=9cm,

22

要使點(diǎn)尸、。、E、尸為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則尸E=EQ即可，

設(shè)當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動r秒時，點(diǎn)尸、Q、E、尸為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

根據(jù)題意得：6-=9-2/或6-f=2f-9,

解得：/=3或t=5.

故答案為：3或5.

三、解答題(本大題共8個小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

16.解分式方程：

【分析】(1)分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到尤的值，經(jīng)檢驗(yàn)

即可得到分式方程的解；

(2)分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到

分式方程的解.

解：(1)去分母得：x+l+4=2x-6,

解得：x=ll,

檢驗(yàn)：當(dāng)尤=11時，X-3W0,

所以x=11是原方程的解；

(2)去分母得：尤(x+2)-(x+2)(x-2)=8,

解得：x=2,

經(jīng)檢驗(yàn)龍=2是原方程的增根，

所以原分式方程無解

17.下面是小彬同學(xué)進(jìn)行分式化簡的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù).

x^~92x+l

x+6x+9-2x+6

(x+3)(x-3)2x+le.

而了…第一步

(x+3)'

x-32x+l

第二步

x+32(x+3)

2(x-3)2x+l

2(x+3)2(x+3)

=2x-6-2%T…第四步

-7…第五步

任務(wù)一:

以上化簡步驟中，第三步是進(jìn)行分式的通分,通分的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)或

分式的分子分母都乘(或除以)同一個不為。的整式，分式的值不變.

任務(wù)二：

本題解答是否正確？否.

如果正確，請指出第四步變形的依據(jù)同分母分式的加減法，如果錯誤，請寫出該分

式化簡的正確步驟.

【分析】任務(wù)一：由通分的意義可直接求解；

任務(wù)二：可先化簡，再通分化簡即可求解.

解：任務(wù)一：以上化簡步驟中，第三步是進(jìn)行分式的通分，通分的依據(jù)是：分式的基本

性質(zhì)或分式的分子分母都乘(或除以)同一個不為0的整式，分式的值不變；

故答案為三；分式的基本性質(zhì)或分式的分子分母都乘(或除以)同一個不為。的整式，

分式的值不變；

任務(wù)二：本題解答錯誤.

故答案為否；

正確步驟如下：

x2-9_2x+l

x+6x+9-2x+6

_(x+3)(x-3)2x+lx-3_2x+l

—(x+3)22(X+3)-2(X+3)

_2(x-3)_2x+l

―2(x+3)'2(x+3)

—2x-6-(2x+l)

2(x+3)

_2x~6-2x-1

--2(x+3)

=7

―2x+6-

18.有四個式子：4a2,(尤+y)2,x+y,9按，請你從中選出兩個，使兩者之差能按照以下要

求進(jìn)行因式分解，并寫出因式分解的結(jié)果.

(1)利用提公因式法.

(2)利用公式法.

【分析】(1)能用提公因式法分解因式的，選取的兩項(xiàng)必須有公因式，只能選(x+y)2,

x+y,進(jìn)行加減運(yùn)算均可；

(2)能用公式法，根據(jù)代數(shù)式的特點(diǎn)，只能用平方差公式，因此選取兩項(xiàng)的平方差.

解：（1）選?。海╔+y）2與（X+y）,

（x+y）2-（x+y）=（尤+y）（x+y-1）；

（2）選?。?a2與9加，

4a2-9〃=（2a+3b）（2a-3b）.

（答案不唯一：（尤+y）2、4a2、9加任意兩項(xiàng)的差均可）

19.作圖與驗(yàn)證：

在平行四邊形ABC。中，AD>AB,求作菱形，使點(diǎn)E、點(diǎn)廠分別在BC、AD邊上（尺規(guī)

作圖，保留作圖痕跡）

方法一：以點(diǎn)5為圓心，A8長為半徑畫弧交5c于點(diǎn)E,再分別以點(diǎn)A、E為圓心，大

于方AE的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)尸；連接BP并延長交AQ于點(diǎn)死連接EF則所

得四邊形4BEF是菱形.

方法二：連接AC,分別以A、C為圓心，大于右4。的長為半徑作弧，兩弧交于M、N

兩點(diǎn)；作直線MN,分別與BC、AD,AC交于￡、F、。三點(diǎn)；連接AE、CF,則四邊形

AECF是菱形.

任務(wù)：

填空：（1）“方法一”中，判別四邊形ABE半是菱形的數(shù)學(xué)依據(jù)是有一組鄰邊相等

的平行四邊形是菱形.

（2）在圖②中，根據(jù)“方法二”的作圖方法，使用直尺和圓規(guī)補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；

圖①圖②

【分析】（1）根據(jù)作圖過程可得有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；

（2）根據(jù)作法即可作出四邊形4ECR

（3）根據(jù)作圖過程可得是AC的垂直平分線，然后利用ASA證明△FA。四△ECO,

可得?！?。咒判斷四邊形AECF是平行四邊形，根據(jù)EFLAC,即可得四邊形AECF是

菱形.

解：(1)“方法一”中，判別四邊形A3所是菱形的數(shù)學(xué)依據(jù)是：有一組鄰邊相等的平

行四邊形是菱形；

故答案為：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；

(2)如圖，四邊形AECP即為所求；

(3)證明：根據(jù)作圖過程可知：是AC的垂直平分線，

：.EF±AC,OA=OC.

,/四邊形ABC。是平行四邊形，

AD//BC,

：.ZFAO=ZECO

'：ZFOA=ZEOC,

在△FAO和△￡■(%)中，

，ZFA0=ZEC0

<OA=OC，

ZF0A=ZE0C

.,.△FAO^AECO(ASA),

：.OE=OF.

?：OA=OC,

四邊形AECF是平行四邊形，

'：EF±AC,

四邊形AECF是菱形.

20.中國是最早發(fā)現(xiàn)并利用茶的國家，形成了具有獨(dú)特魅力的茶文化.2020年5月21日以

“茶和世界共品共享”為主題的第一屆國際茶日在中國召開.晉商又以“萬里茶道”著

稱.晉商古街某茶店用4000元購進(jìn)了A種茶葉若干盒，又用8400元購進(jìn)B種茶葉若干

盒，若所購B種茶葉比A種茶葉多10盒，且B種茶葉每盒進(jìn)價是A種茶葉每盒進(jìn)價的

L4倍；

(1)A,B兩種茶葉每盒進(jìn)價分別為多少元？

(2)第一次所購茶葉全部售完后，第二次購進(jìn)42兩種茶葉共100盒(A、2進(jìn)價不變，

A種茶葉不少于20盒)，A種茶葉的售價是每盒300元，8種茶葉的售價是每盒400元，

怎樣進(jìn)貨才能獲得最大利潤？

【分析】(1)設(shè)A種茶葉每盒進(jìn)價為x元，則B種葉每盒進(jìn)價為1.4x元，根據(jù)“所購B

種茶葉比A種茶葉多10盒”，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之即可得出結(jié)論；

(2)設(shè)第二次購進(jìn)A種茶葉a(20Wa<100)盒，8種茶葉(100-a)盒，所獲利潤為

卬元，根據(jù)銷售利潤=每盒的利潤X銷售數(shù)量，即可得出卬關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系式，再利

用一次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題.

解：(1)設(shè)A種茶葉每盒進(jìn)價為x元，則2種葉每盒進(jìn)價為L4x元，

依題意得：整翌_4000=]0,

1.4xx

解得x=200,

經(jīng)檢驗(yàn)：尤=200是原方程的解，且符合題意，

/.1.4%=280(元)，

答：A種茶葉每盒進(jìn)價為200元，2種茶葉每盒進(jìn)價為280元；

(2)設(shè)第二次購進(jìn)A種茶葉a(20Wa<100)盒，B種茶葉(100-a)盒，所獲利潤為

w元，

可得：w=(300-200)a+(400-280)(100-a)=-20a+12000,

V-20<0,w隨。的增大而減小,

...當(dāng)a=20時，所獲利潤最大，100-20=80(盒)，

答：第二次應(yīng)購進(jìn)A種茶葉20盒，3種茶葉80盒才能獲得最大利潤.

21.對給定的一張矩形紙片ABCD進(jìn)行如下操作先沿AE折疊，如圖①，使點(diǎn)B落AD邊上

的點(diǎn)夕處，再沿A尸折疊、如圖②這時發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E恰好與點(diǎn)。重合.

(1)根據(jù)以上操作，發(fā)現(xiàn)：①AD：CD=-E>-.1；

②△。/C是等腰直角三角形:

(2)將該矩形紙片展開，如圖③，沿DE折疊該矩形紙片，點(diǎn)C恰好落在AE上的點(diǎn)G

處，求/AGB的度

【分析】（1）①由矩形的性質(zhì)得484。=/2=90°,AB=CD,再由折疊的性質(zhì)得AD

=AE,ZBAE=ZB'AE=45a,則AABE是等腰直角三角形，得AE=?AB,即可求解；

②由折疊的性質(zhì)得/C'=/C=90°,ZDAF=ZEAF=^ZDAE=22.5°,ZAFC'=Z

AFC,則/APD=67.5°,再求出/AFC=/AFC=112.5°,則/。尸C'=45°,即可得

出結(jié)論；

（2）由折疊的性質(zhì)得/DGE=/C=90°,DG=DC,則/DGA=90°,再證/AOG=

/DAE,則AG=QG=CO=AB,然后由等腰三角形的性質(zhì)即可求解.

解：（1）①：四邊形ABC。是矩形，

：.ZBAD=ZB=90°,AB=CD,

由折疊的性質(zhì)得：AD=AE,ZBAE=ZB'AE=^ZBAD=45°,

.?.△ABE是等腰直角三角形，

AE—'K/2AB,

.?.4。=&43=近處

：.AD：CD=&：1,

故答案為：如：1;

②△■DPC是等腰直角三角形，理由如下：

?.?四邊形A3。是矩形，

AZADC=ZC=90°,

由（1）得：ZDAE=45°,

由折疊的性質(zhì)得：ZC=ZC=90°,ZDAF=ZEAF=^ZDAE=22.5°,ZAFC=Z

AFC,

：.ZAF￡）=90°-22.5°=67.5°,

AZAFC=ZAFC=180°-67.5°=112.5°,

AZ￡>FC=112.5°-67.5°=45°,

又,.?NC=90°,

AZCDF=45°=ZDFC\

：.DC^FC,

???是等腰直角三角形，

故答案為：等腰直角；

（2）解：由折疊的性質(zhì)得：ADCE經(jīng)4DGE,

；?/DGE=NC=90°,DG=DC,

：.ZDGA=180°-90°=90°,

又???/EAD=45°

AZADG=45°,

???/ADG=NDAE,

：.AG=DG=CD=AB,

ign0-45°

???ZAGB=ZABG=2-=67.5°.

22.自主探究：

在△ABC中，AB=AC,/BAC=90°,點(diǎn)。在射線BC上（與2、C兩點(diǎn)不重合），以

AD為邊作正方形AOEE使點(diǎn)E與點(diǎn)B在直線A。的異側(cè)，射線BA與直線CF相交于

點(diǎn)G.

（1）當(dāng)點(diǎn)。在線段BC上時，如圖（1）,判斷：線段BC與線段CG的數(shù)量關(guān)系和位置

關(guān)系，并說明理由；

（2）當(dāng)點(diǎn)。在線段BC的延長線上時，如圖（2）,寫出線段BC與線段CG的數(shù)量關(guān)系

與位置關(guān)系，不必證明；

（3）在（2）的基礎(chǔ)上，隨著點(diǎn)。位置的變化，當(dāng)G為CP中點(diǎn)，我時，求出正

方形ADE尸的邊長.

【分析】(1)證△ABD會△ACT(S4S),得/ACP=48=45°,則/BCG=/ACB+

NACG=90°,得BC_LCG,再證NG=45°=NB,得BC=CG即可；

(2)證△ABDgAACF(SAS),得/AC尸=/B=45°,則