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2023-2024學(xué)年山東省淄博市桓臺(tái)縣重點(diǎn)名校中考數(shù)學(xué)考前最后一卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題(每小題只有一個(gè)正確答案,每小題3分,滿分30分)1.如圖已知⊙O的內(nèi)接五邊形ABCDE,連接BE、CE,若AB=BC=CE,∠EDC=130°,則∠ABE的度數(shù)為()A.25° B.30° C.35° D.40°2.已知平面內(nèi)不同的兩點(diǎn)A(a+2,4)和B(3,2a+2)到x軸的距離相等,則a的值為(
)A.﹣3 B.﹣5 C.1或﹣3 D.1或﹣53.若0<m<2,則關(guān)于x的一元二次方程﹣(x+m)(x+3m)=3mx+37根的情況是()A.無實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)正根C.有兩個(gè)根,且都大于﹣3mD.有兩個(gè)根,其中一根大于﹣m4.已知am=2,an=3,則a3m+2n的值是()A.24 B.36 C.72 D.65.如圖,將木條a,b與c釘在一起,∠1=70°,∠2=50°,要使木條a與b平行,木條a旋轉(zhuǎn)的度數(shù)至少是()A.10° B.20° C.50° D.70°6.如圖,△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB,BC,CA分別相切于點(diǎn)D,E,F(xiàn),且AD=2,BC=5,則△ABC的周長(zhǎng)為()A.16 B.14 C.12 D.107.若關(guān)于x的一元二次方程(k﹣1)x2+2x﹣2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則k的取值范圍是()A.k> B.k≥ C.k>且k≠1 D.k≥且k≠18.計(jì)算:得()A.- B.- C.- D.9.據(jù)調(diào)查,某班20為女同學(xué)所穿鞋子的尺碼如表所示,尺碼(碼)3435363738人數(shù)251021則鞋子尺碼的眾數(shù)和中位數(shù)分別是()A.35碼,35碼 B.35碼,36碼 C.36碼,35碼 D.36碼,36碼10.如圖,點(diǎn)A、B在數(shù)軸上表示的數(shù)的絕對(duì)值相等,且,那么點(diǎn)A表示的數(shù)是A. B. C. D.3二、填空題(共7小題,每小題3分,滿分21分)11.把多項(xiàng)式9x3﹣x分解因式的結(jié)果是_____.12.若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是900o,則這個(gè)多邊形是邊形.13.分式方程的解為x=_____.14.某個(gè)“清涼小屋”自動(dòng)售貨機(jī)出售A、B、C三種飲料.A、B、C三種飲料的單價(jià)分別是2元/瓶、3元/瓶、5元/瓶.工作日期間,每天上貨量是固定的,且能全部售出,其中,A飲科的數(shù)量(單位:瓶)是B飲料數(shù)量的2倍,B飲料的數(shù)量(單位:瓶)是C飲料數(shù)量的2倍.某個(gè)周六,A、B、C三種飲料的上貨量分別比一個(gè)工作日的上貨量增加了50%、60%、50%,且全部售出.但是由于軟件bug,發(fā)生了一起錯(cuò)單(即消費(fèi)者按某種飲料一瓶的價(jià)格投幣,但是取得了另一種飲料1瓶),結(jié)果這個(gè)周六的銷售收入比一個(gè)工作日的銷售收入多了503元.則這個(gè)“清涼小屋”自動(dòng)售貨機(jī)一個(gè)工作日的銷售收入是_____元.15.月球的半徑約為1738000米,1738000這個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為___________.16.如圖,將△AOB以O(shè)為位似中心,擴(kuò)大得到△COD,其中B(3,0),D(4,0),則△AOB與△COD的相似比為_____.17.一組數(shù)據(jù)10,10,9,8,x的平均數(shù)是9,則這列數(shù)據(jù)的極差是_____.三、解答題(共7小題,滿分69分)18.(10分)如圖,某校準(zhǔn)備給長(zhǎng)12米,寬8米的矩形室內(nèi)場(chǎng)地進(jìn)行地面裝飾,現(xiàn)將其劃分為區(qū)域Ⅰ(菱形),區(qū)域Ⅱ(4個(gè)全等的直角三角形),剩余空白部分記為區(qū)域Ⅲ;點(diǎn)為矩形和菱形的對(duì)稱中心,,,,為了美觀,要求區(qū)域Ⅱ的面積不超過矩形面積的,若設(shè)米.甲乙丙單價(jià)(元/米2)(1)當(dāng)時(shí),求區(qū)域Ⅱ的面積.計(jì)劃在區(qū)域Ⅰ,Ⅱ分別鋪設(shè)甲,乙兩款不同的深色瓷磚,區(qū)域Ⅲ鋪設(shè)丙款白色瓷磚,①在相同光照條件下,當(dāng)場(chǎng)地內(nèi)白色區(qū)域的面積越大,室內(nèi)光線亮度越好.當(dāng)為多少時(shí),室內(nèi)光線亮度最好,并求此時(shí)白色區(qū)域的面積.②三種瓷磚的單價(jià)列表如下,均為正整數(shù),若當(dāng)米時(shí),購(gòu)買三款瓷磚的總費(fèi)用最少,且最少費(fèi)用為7200元,此時(shí)__________,__________.19.(5分)如圖,在△ABC中,(1)求作:∠BAD=∠C,AD交BC于D.(用尺規(guī)作圖法,保留作圖痕跡,不要求寫作法).(2)在(1)條件下,求證:AB2=BD?BC.20.(8分)平面直角坐標(biāo)系xOy(如圖),拋物線y=﹣x2+2mx+3m2(m>0)與x軸交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D,對(duì)稱軸為直線l,過點(diǎn)C作直線l的垂線,垂足為點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)DC、BC.(1)當(dāng)點(diǎn)C(0,3)時(shí),①求這條拋物線的表達(dá)式和頂點(diǎn)坐標(biāo);②求證:∠DCE=∠BCE;(2)當(dāng)CB平分∠DCO時(shí),求m的值.21.(10分)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,翻折∠C,使點(diǎn)C落在斜邊AB上某一點(diǎn)D處,折痕為EF(點(diǎn)E、F分別在邊AC、BC上)若△CEF與△ABC相似.①當(dāng)AC=BC=2時(shí),AD的長(zhǎng)為;②當(dāng)AC=3,BC=4時(shí),AD的長(zhǎng)為;當(dāng)點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)時(shí),△CEF與△ABC相似嗎?請(qǐng)說明理由.22.(10分)如圖,已知是的外接圓,圓心在的外部,,,求的半徑.23.(12分)如圖,在△ABC中,∠CAB=90°,∠CBA=50°,以AB為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E在邊AC上,且滿足ED=EA.(1)求∠DOA的度數(shù);(2)求證:直線ED與⊙O相切.24.(14分)如圖,△ABC中,∠C=90°,∠A=30°.用尺規(guī)作圖作AB邊上的中垂線DE,交AC于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)E.(保留作圖痕跡,不要求寫作法和證明);連接BD,求證:BD平分∠CBA.
參考答案一、選擇題(每小題只有一個(gè)正確答案,每小題3分,滿分30分)1、B【解析】
如圖,連接OA,OB,OC,OE.想辦法求出∠AOE即可解決問題.【詳解】如圖,連接OA,OB,OC,OE.∵∠EBC+∠EDC=180°,∠EDC=130°,∴∠EBC=50°,∴∠EOC=2∠EBC=100°,∵AB=BC=CE,∴弧AB=弧BC=弧CE,∴∠AOB=∠BOC=∠EOC=100°,∴∠AOE=360°﹣3×100°=60°,∴∠ABE=∠AOE=30°.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理,圓心角,弧,弦之間的關(guān)系等知識(shí),解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí),屬于中考常考題型.2、A【解析】分析:根據(jù)點(diǎn)A(a+2,4)和B(3,2a+2)到x軸的距離相等,得到4=|2a+2|,即可解答.詳解:∵點(diǎn)A(a+2,4)和B(3,2a+2)到x軸的距離相等,∴4=|2a+2|,a+2≠3,解得:a=?3,故選A.點(diǎn)睛:考查點(diǎn)的坐標(biāo)的相關(guān)知識(shí);用到的知識(shí)點(diǎn)為:到x軸和y軸的距離相等的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相等或互為相反數(shù).3、A【解析】
先整理為一般形式,用含m的式子表示出根的判別式△,再結(jié)合已知條件判斷△的取值范圍即可.【詳解】方程整理為,△,∵,∴,∴△,∴方程沒有實(shí)數(shù)根,故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式,當(dāng)△>0,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)△=0,方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)△<0,方程沒有實(shí)數(shù)根.4、C【解析】試題解析:∵am=2,an=3,
∴a3m+2n
=a3m?a2n
=(am)3?(an)2
=23×32
=8×9
=1.故選C.5、B【解析】
要使木條a與b平行,那么∠1=∠2,從而可求出木條a至少旋轉(zhuǎn)的度數(shù).【詳解】解:∵要使木條a與b平行,∴∠1=∠2,∴當(dāng)∠1需變?yōu)?0o,∴木條a至少旋轉(zhuǎn):70o-50o=20o.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及平行線的性質(zhì):①兩直線平行同位角相等;②兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等;③兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ);④夾在兩平行線間的平行線段相等.在運(yùn)用平行線的性質(zhì)定理時(shí),一定要找準(zhǔn)同位角,內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角.6、B【解析】
根據(jù)切線長(zhǎng)定理進(jìn)行求解即可.【詳解】∵△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB,BC,CA分別相切于點(diǎn)D,E,F(xiàn),∴AF=AD=2,BD=BE,CE=CF,∵BE+CE=BC=5,∴BD+CF=BC=5,∴△ABC的周長(zhǎng)=2+2+5+5=14,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓以及切線長(zhǎng)定理,熟練掌握切線長(zhǎng)定理是解題的關(guān)鍵.7、C【解析】
根據(jù)題意得k-1≠0且△=22-4(k-1)×(-2)>0,解得:k>且k≠1.故選C【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式△=b2-4ac,關(guān)鍵是熟練掌握:當(dāng)△>0,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)△=0,方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)△<0,方程沒有實(shí)數(shù)根.8、B【解析】
同級(jí)運(yùn)算從左向右依次計(jì)算,計(jì)算過程中注意正負(fù)符號(hào)的變化.【詳解】-故選B.【點(diǎn)睛】本題考查的是有理數(shù)的混合運(yùn)算,熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.9、D【解析】
眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù),注意眾數(shù)可以不止一個(gè);找中位數(shù)要把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列,位于最中間的一個(gè)數(shù)(或兩個(gè)數(shù)的平均數(shù))為中位數(shù).【詳解】數(shù)據(jù)36出現(xiàn)了10次,次數(shù)最多,所以眾數(shù)為36,一共有20個(gè)數(shù)據(jù),位置處于中間的數(shù)是:36,36,所以中位數(shù)是(36+36)÷2=36.故選D.【點(diǎn)睛】考查中位數(shù)與眾數(shù),掌握眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù),注意眾數(shù)可以不止一個(gè);找中位數(shù)要把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列,位于最中間的一個(gè)數(shù)(或兩個(gè)數(shù)的平均數(shù))為中位數(shù)是解題的關(guān)鍵.10、B【解析】
如果點(diǎn)A,B表示的數(shù)的絕對(duì)值相等,那么AB的中點(diǎn)即為坐標(biāo)原點(diǎn).【詳解】解:如圖,AB的中點(diǎn)即數(shù)軸的原點(diǎn)O.
根據(jù)數(shù)軸可以得到點(diǎn)A表示的數(shù)是.
故選:B.【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)軸有關(guān)內(nèi)容,用幾何方法借助數(shù)軸來求解,非常直觀,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)點(diǎn)確定數(shù)軸的原點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵.二、填空題(共7小題,每小題3分,滿分21分)11、x(3x+1)(3x﹣1)【解析】
提取公因式分解多項(xiàng)式,再根據(jù)平方差公式分解因式,從而得到答案.【詳解】9x3-x=x(9x2-1)=x(3x+1)(3x-1),故答案為x(3x+1)(3x-1).【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解以及平方差公式,解本題的要點(diǎn)在于熟知多項(xiàng)式分解因式的相關(guān)方法.12、七【解析】
根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式,列式求解即可.【詳解】設(shè)這個(gè)多邊形是邊形,根據(jù)題意得,,解得.故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和公式,熟記公式是解題的關(guān)鍵.13、2【解析】根據(jù)分式方程的解法,先去分母化為整式方程為2(x+1)=3x,解得x=2,檢驗(yàn)可知x=2是原分式方程的解.故答案為2.14、950【解析】
設(shè)工作日期間C飲料數(shù)量為x瓶,則B飲料數(shù)量為2x瓶,A飲料數(shù)量為4x瓶,得到工作日期間一天的銷售收入為:8x+6x+5x=19x元,和周六銷售銷售收入為:12x+9.6x+7.5x=29.1x元,再結(jié)合題意得到10.1x﹣(5﹣3)=503,計(jì)算即可得到答案.【詳解】解:設(shè)工作日期間C飲料數(shù)量為x瓶,則B飲料數(shù)量為2x瓶,A飲料數(shù)量為4x瓶,工作日期間一天的銷售收入為:8x+6x+5x=19x元,周六C飲料數(shù)量為1.5x瓶,則B飲料數(shù)量為3.2x瓶,A飲料數(shù)量為6x瓶,周六銷售銷售收入為:12x+9.6x+7.5x=29.1x元,周六銷售收入與工作日期間一天銷售收入的差為:29.1x﹣19x=10.1x元,由于發(fā)生一起錯(cuò)單,收入的差為503元,因此,503加減一瓶飲料的差價(jià)一定是10.1的整數(shù)倍,所以這起錯(cuò)單發(fā)生在B、C飲料上(B、C一瓶的差價(jià)為2元),且是消費(fèi)者付B飲料的錢,取走的是C飲料;于是有:10.1x﹣(5﹣3)=503解得:x=50工作日期間一天的銷售收入為:19×50=950元,故答案為:950.【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是由題意得到等量關(guān)系.15、1.738×1【解析】
解:將1738000用科學(xué)記數(shù)法表示為1.738×1.故答案為1.738×1.【點(diǎn)睛】本題考查科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù),掌握科學(xué)計(jì)數(shù)法的計(jì)數(shù)形式,難度不大.16、3:1.【解析】∵△AOB與△COD關(guān)于點(diǎn)O成位似圖形,
∴△AOB∽△COD,
則△AOB與△COD的相似比為OB:OD=3:1,
故答案為3:1(或).17、1【解析】
先根據(jù)平均數(shù)求出x,再根據(jù)極差定義可得答案.【詳解】由題意知=9,解得:x=8,∴這列數(shù)據(jù)的極差是10-8=1,故答案為1.【點(diǎn)睛】本題主要考查平均數(shù)和極差,熟練掌握平均數(shù)的計(jì)算得出x的值是解題的關(guān)鍵.三、解答題(共7小題,滿分69分)18、(1)8m2;(2)68m2;(3)40,8【解析】
(1)根據(jù)中心對(duì)稱圖形性質(zhì)和,,,可得,即可解當(dāng)時(shí),4個(gè)全等直角三角形的面積;(2)白色區(qū)域面積即是矩形面積減去一二部分的面積,分別用含x的代數(shù)式表示出菱形和四個(gè)全等直角三角形的面積,列出含有x的解析式表示白色區(qū)域面積,并化成頂點(diǎn)式,根據(jù),,,求出自變量的取值范圍,再根據(jù)二次函數(shù)的增減性即可解答;(3)計(jì)算出x=2時(shí)各部分面積以及用含m、n的代數(shù)式表示出費(fèi)用,因?yàn)閙,n均為正整數(shù),解得m=40,n=8.【詳解】(1)∵為長(zhǎng)方形和菱形的對(duì)稱中心,,∴∵,,∴∴當(dāng)時(shí),,(2)∵,∴-,∵,,∴解不等式組得,∵,結(jié)合圖像,當(dāng)時(shí),隨的增大而減小.∴當(dāng)時(shí),取得最大值為(3)∵當(dāng)時(shí),SⅠ=4x2=16m2,=12m2,=68m2,總費(fèi)用:16×2m+12×5n+68×2m=7200,化簡(jiǎn)得:5n+14m=600,因?yàn)閙,n均為正整數(shù),解得m=40,n=8.【點(diǎn)睛】本題考查中心對(duì)稱圖形性質(zhì),菱形、直角三角形的面積計(jì)算,二次函數(shù)的最值問題,解題關(guān)鍵是用含x的二次函數(shù)解析式表示出白色區(qū)面積.19、(1)作圖見解析;(2)證明見解析;【解析】
(1)①以C為圓心,任意長(zhǎng)為半徑畫弧,交CB、CA于E、F;②以A為圓心,CE長(zhǎng)為半徑畫弧,交AB于G;③以G為圓心,EF長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧交于H;④連接AH并延長(zhǎng)交BC于D,則∠BAD=∠C;(2)證明△ABD∽△CBA,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到結(jié)論.【詳解】(1)如圖,∠BAD為所作;(2)∵∠BAD=∠C,∠B=∠B∴△ABD∽△CBA,∴AB:BC=BD:AB,∴AB2=BD?BC.【點(diǎn)睛】本題考查了基本作圖:熟練掌握基本作圖(作一條線段等于已知線段;作一個(gè)角等于已知角;作已知線段的垂直平分線;作已知角的角平分線;過一點(diǎn)作已知直線的垂線).也考查了相似三角形的判定與性質(zhì).20、(1)y=﹣x2+2x+3;D(1,4);(2)證明見解析;(3)m=;【解析】
(1)①把C點(diǎn)坐標(biāo)代入y=﹣x2+2mx+3m2可求出m的值,從而得到拋物線解析式,然后把一般式配成頂點(diǎn)式得到D點(diǎn)坐標(biāo);②如圖1,先解方程﹣x2+2x+3=0得B(3,0),則可判斷△OCB為等腰直角三角形得到∠OBC=45°,再證明△CDE為等腰直角三角形得到∠DCE=45°,從而得到∠DCE=∠BCE;(2)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于F點(diǎn),交直線BC于G點(diǎn),如圖2,把一般式配成頂點(diǎn)式得到拋物線的對(duì)稱軸為直線x=m,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m,4m2),通過解方程﹣x2+2mx+3m2=0得B(3m,0),同時(shí)確定C(0,3m2),再利用相似比表示出GF=2m2,則DG=2m2,接著證明∠DCG=∠DGC得到DC=DG,所以m2+(4m2﹣3m2)2=4m4,然后解方程可求出m.【詳解】(1)①把C(0,3)代入y=﹣x2+2mx+3m2得3m2=3,解得m1=1,m2=﹣1(舍去),∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3;∵∴頂點(diǎn)D為(1,4);②證明:如圖1,當(dāng)y=0時(shí),﹣x2+2x+3=0,解得x1=﹣1,x2=3,則B(3,0),∵OC=OB,∴△OCB為等腰直角三角形,∴∠OBC=45°,∵CE⊥直線x=1,∴∠BCE=45°,∵DE=1,CE=1,∴△CDE為等腰直角三角形,∴∠DCE=45°,∴∠DCE=∠BCE;(2)解:拋物線的對(duì)稱軸交x軸于F點(diǎn),交直線BC于G點(diǎn),如圖2,∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=m,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m,4m2),當(dāng)y=0時(shí),﹣x2+2mx+3m2=0,解得x1=﹣m,x2=3m,則B(3m,0),當(dāng)x=0時(shí),y=﹣x2+2mx+3m2=3m2,則C(0,3m2),∵GF∥OC,∴即解得GF=2m2,∴DG=4m2﹣2m2=2m2,∵CB平分∠DCO,∴∠DCB=∠OCB,∵∠OCB=∠DGC,∴∠DCG=∠DGC,∴DC=DG,即m2+(4m2﹣3m2)2=4m4,∴而m>0,∴【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題:熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì);會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式;靈活應(yīng)用等腰直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行幾何計(jì)算;理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì),記住兩點(diǎn)間的距離公式.21、解:(1)①.②或.(2)當(dāng)點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)時(shí),△CEF與△ABC相似.理由見解析.【解析】
(1)①當(dāng)AC=BC=2時(shí),△ABC為等腰直角三角形;
②若△CEF與△ABC相似,分兩種情況:①若CE:CF=3:4,如圖1所示,此時(shí)EF∥AB,CD為AB邊上的高;②若CF:CE=3:4,如圖2所示.由相似三角形角之間的關(guān)系,可以推出∠A=∠ECD與∠B=∠FCD,從而得到CD=AD=BD,即D點(diǎn)為AB的中點(diǎn);
(2)當(dāng)點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)時(shí),△CEF與△ABC相似.可以推出∠CFE=∠A,∠C=∠C,從而可以證明兩個(gè)三角形相似.【詳解】(1)若△CEF與△ABC相似.①當(dāng)AC=BC=2時(shí),△ABC為等腰直角三角形,如答圖1所示,此時(shí)D為AB邊中點(diǎn),AD=AC=.②當(dāng)AC=3,BC=4時(shí),有兩種情況:(I)若CE:CF=3:4,如答圖2所示,∵CE:CF=AC:BC,∴EF∥BC.由折疊性質(zhì)可知,CD⊥EF,∴CD⊥AB,即此時(shí)CD為AB邊上的高.在Rt△ABC中,AC=3,BC=4,∴BC=1.∴cosA=.∴AD=AC?cosA=3×=.(II)若CF:CE=3:4,如答圖3所示.∵△CEF∽△CAB,∴∠CEF=∠B.由折疊性質(zhì)可知,∠CEF+∠ECD=90°.又∵∠A+∠B=90°,∴∠A=∠ECD,∴AD=CD.同理可得:∠B=∠FCD,CD=BD.∴AD=BD.∴此時(shí)AD=AB=×1=.綜上所述,當(dāng)AC=3,BC=4時(shí),AD的長(zhǎng)為或.(2)當(dāng)點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)時(shí),△CEF與△CBA相似.理由如下:
如圖所示,連接CD,與EF交于點(diǎn)Q.
∵CD是Rt△ABC的中線
∴CD=DB=AB,
∴∠DCB=∠B.
由折疊性質(zhì)可知,∠CQF=∠DQF=90°,
∴
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