2019-2020學(xué)年山東省淄博某中學(xué)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷

2019-2020學(xué)年山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（5分）已知集合A={x|x（尤-1）WO},B^[x\y—ln（x-o）},若則實(shí)數(shù)

的取值范圍為（）

A.(-0)B.(-8,0]C.(1,+8)D.[1,+8)

2.（5分）已知復(fù)數(shù)工上里i為虛數(shù)單位，則（）

3+i

A.\z\=iB.z=i

C.J=1D.z的虛部為-i

3.(5分)是aIn(x+1)VO”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

c.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.(5分)已知cos(3--a)=2cos(ir+a),且tan(a邛)=工則tan0的值為()

23

A.-7B.7C.1D.-1

5.（5分）已知定義在[加-5,1-2加上的奇函數(shù)/（x）,滿足x>0時(shí)，/（x）=2A-1,則

f（機(jī)）的值為（）

A.-15B.-7C.3D.15

6.（5分）“總把新桃換舊符”（王安石）、“燈前小草寫桃符”（陸游），春節(jié)是中華民族的傳

統(tǒng)節(jié)日，在宋代入們用寫“桃符”的方式來祈福避禍，而現(xiàn)代入們通過貼“?！弊?、貼

春聯(lián)、掛燈籠等方式來表達(dá)對(duì)新年的美好祝愿，某商家在春節(jié)前開展商品促銷活動(dòng)，顧

客凡購(gòu)物金額滿50元，則可以從“?！弊?、春聯(lián)和燈籠這三類禮品中任意免費(fèi)領(lǐng)取一件,

若有4名顧客都領(lǐng)取一件禮品，則他們中有且僅有2人領(lǐng)取的禮品種類相同的概率是

()

A.互B.AC.J—D.2

991616

7.(5分)已知。=logo.55、6=log32、C=20-3>d=(/)2,從這四個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù)

使函數(shù)/(x)+7nx2+彳+2有極值點(diǎn)的概率為()

A.工B.1C.—D.1

424

8.（5分）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線

的對(duì)稱軸；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn).已

知拋物線y=4x的焦點(diǎn)為F一條平行于x軸的光線從點(diǎn)M（3,1）射出，經(jīng)過拋物線

上的點(diǎn)A反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)8射出，則的周長(zhǎng)為（）

A--H"+V26B-^WlOC.-||-+>/26d-^W26

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.

9.（5分）由我國(guó)引領(lǐng)的5G時(shí)代已經(jīng)到來，5G的發(fā)展將直接帶動(dòng)包括運(yùn)營(yíng)、制造、服務(wù)在

內(nèi)的通信行業(yè)整體的快速發(fā)展，進(jìn)而對(duì)GOP增長(zhǎng)產(chǎn)生直接貢獻(xiàn)，并通過產(chǎn)業(yè)間的關(guān)聯(lián)效

應(yīng)和波及效應(yīng)，間接帶動(dòng)國(guó)民經(jīng)濟(jì)各行業(yè)的發(fā)展，創(chuàng)造出更多的經(jīng)濟(jì)增加值.如圖是某

單位結(jié)合近年數(shù)據(jù)，對(duì)今后幾年的5G經(jīng)濟(jì)產(chǎn)出所做的預(yù)測(cè).結(jié)合圖，下列說法正確的是

□運(yùn)營(yíng)商□信息服務(wù)商□設(shè)備制造商

A.5G的發(fā)展帶動(dòng)今后幾年的總經(jīng)濟(jì)產(chǎn)出逐年增加

B.設(shè)備制造商的經(jīng)濟(jì)產(chǎn)出前期增長(zhǎng)較快，后期放緩

C.設(shè)備制造商在各年的總經(jīng)濟(jì)產(chǎn)出中一直處于領(lǐng)先地位

D.信息服務(wù)商與運(yùn)營(yíng)商的經(jīng)濟(jì)產(chǎn)出的差距有逐步拉大的趨勢(shì)

10.（5分）已知函數(shù)無）=siiir-cosx,g（無）是/（x）的導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的

是（）

A.函數(shù)/（無）的值域g（x）的值域不相同

B.把函數(shù)/（x）的圖象向右平移三個(gè)單位長(zhǎng)度，就可以得到函數(shù)g（無）的圖象

C.函數(shù)/（x）和g（無）在區(qū)間（-工，—）上都是增函數(shù)

44

D.若xo是函數(shù)/（無）的極值點(diǎn)，則xo是函數(shù)g（x）的零點(diǎn)

11.（5分）下列判斷正確的是（）

A.若隨機(jī)變量S服從正態(tài)分布N（1,。2）,尸（2W4）=0.79,則尸（WW-2）=0.21

B.已知直線/，平面a,直線相〃平面0,則“a〃邛’是相”的充分不必要條件

C.若隨機(jī)變量W服從二項(xiàng)分布：g?B（4,看），則=1

D.是〃>匕的充分不必要條件

12.（5分）關(guān)于函數(shù)/（x）=2+歷x,下列判斷正確的是（）

A.%=2是/（x）的極大值點(diǎn)

B.函數(shù)y=/G）-%有且只有1個(gè)零點(diǎn)

C.存在正實(shí)數(shù)上使得/（x）>丘成立

D.對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)XI,X2,且％1>X2,若/（%1）=7>（x2）,貝!J%l+X2>4

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）若非零向量彳，E滿足Ia|二|b|,向量2a+b與b垂直，則a與b的夾角

為.

（x-a）29x40

14.（5分）設(shè)f（x）=<1.

xU,x>0

x

（1）當(dāng)a△時(shí)，f（x）的最小值是；

2

（2）若f（0）是/（x）的最小值，則a的取值范圍是.

22

15.（5分）雙曲線C：￥-31（&〉0,b〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1（-2,0）、F2

（2,0）,“是。右支上的一點(diǎn)，M乃與y軸交于點(diǎn)尸，尸尸2的內(nèi)切圓在邊尸廠2上的

切點(diǎn)為。，若|PQI=J5,則c的離心率為.

16.(5分)已知函數(shù)/(x)=(2-a)(x-1)-2lnx.若函數(shù)/(x)在(0,—)上無零點(diǎn),

則a的最小值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）在△ABC中，A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知4acosA=ccosB+6cosC.

（1）若a=4,△ABC的面積為，彳石，求b,c的值；

（2）若sin8=/sinC（左＞0）,且△ABC為鈍角三角形，求左的取值范圍.

18.（12分）已知數(shù)列｛劭｝的各項(xiàng)均為正數(shù),它的前〃項(xiàng)和曲滿足Sn］（an+1）（an+2），

并且42,04,09成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

n+l

（2）設(shè)加=（-1）anan+l,刀,為數(shù)列｛阮｝的前"項(xiàng)和，求及

19.（12分）如圖，點(diǎn)C在以A8為直徑的圓。上，E4垂直于圓。所在的平面，G為△AOC

的重心.

（1）求證：平面OPG_L平面PAC；

（2）若陰=AB=2AC=2,求二面角A-0尸-G的余弦值.

20.（12分）近年來，國(guó)資委、黨委高度重視扶貧開發(fā)工作，堅(jiān)決貫徹落實(shí)中央扶貧工作重

大決策部署，在各個(gè)貧困縣全力推進(jìn)定點(diǎn)扶貧各項(xiàng)工作，取得了積極成效，某貧困縣為

了響應(yīng)國(guó)家精準(zhǔn)扶貧的號(hào)召，特地承包了一塊土地，已知土地的使用面積以及相應(yīng)的管

理時(shí)間的關(guān)系如表所示：

土地使用面積12345

X（單位：畝）

管理時(shí)間y810132524

（單位：月）

并調(diào)查了某村300名村民參與管理的意愿，得到的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示:

愿意參與管理不愿意參與管理

男性村民15050

女性村民50

(1)求出相關(guān)系數(shù)廠的大小，并判斷管理時(shí)間y與土地使用面積尤是否線性相關(guān)？

(2)是否有99.9%的把握認(rèn)為村民的性別與參與管理的意愿具有相關(guān)性？

(3)若以該村的村民的性別與參與管理意愿的情況估計(jì)貧困縣的情況，則從該貧困縣中

任取3人，記取到不愿意參與管理的男性村民的人數(shù)為無，求尤的分布列及數(shù)學(xué)期望.

參考公式：

E(x「x)%-y)2

r-I---------------------------------=_--------------------------其中〃

IJ?/—z-、2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

A\t(y「y)

Vi=li=l

.臨界值表：

P(K22依)0.1000.0500.0250.0100.001

ko2.7063.8415.0246.63510.828

參考數(shù)據(jù)：7635^25.2

22

21.(12分)已知橢圓C：三+2歹=1(a>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為乃，F(xiàn)i,|FIF2|=2,

bz

過點(diǎn)H的直線與橢圓C交于A,8兩點(diǎn)，延長(zhǎng)8尸2交橢圓C于點(diǎn)△48^2的周長(zhǎng)為

8

(1)求C的離心率及方程；

(2)試問：是否存在定點(diǎn)PGro,0),使得西?誣為定值？若存在，求猶；若不存在，

請(qǐng)說明埋由.

22.(12分)設(shè)函數(shù)/(x)—In(1+ox)+bx,g(尤)—f(x)-bx2.

(I)若4=1,b=-1,求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若曲線y=g(x)在點(diǎn)(1,ln3)處的切線與直線Hx-3y=0平行.

(z)求a,b的值；

(z7)求實(shí)數(shù)%(左W3)的取值范圍，使得g(x)>kC?-x)對(duì)在(0,+8)恒成立.

2019-2020學(xué)年山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三(上)期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.(5分)已知集合A={x|x(尤-1)WO},B={x\y=ln(x-a)},若ACB=A,則實(shí)數(shù)a

的取值范圍為()

A.(-8,0)B.(-8,0]c.(1,+°°)D.[1,+8)

【分析】可求出A={x|0WxWl},B—{x\x>a],根據(jù)即可得出從而得出

a〈0.

【解答]解：A={x|0WxWl},8={4x>〃}；

9：AC\B=A；

：.AQB；

.*.6Z<0；

，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-8,o).

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】考查描述法、區(qū)間表示集合的方法，一元二次不等式的解法，對(duì)數(shù)函數(shù)的定義

域，以及交集、子集的定義.

2.(5分)已知復(fù)數(shù)％上至i為虛數(shù)單位，貝I()

3+i

A.\z\=iB.z=i

C.J=1D.z的虛部為-i

【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求出復(fù)數(shù)2上里_=烏父￥^1=-i，由此能求出結(jié)

3+i(3+i)(3-i)

果.

【解答】解：復(fù)數(shù)_l-3i_-3-9i-i+3i2_

z3+i(3+i)(3-i)9-i2

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模、共輾復(fù)數(shù)、虛部等基礎(chǔ)知識(shí),

考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

3.(5分)“尤<0”是“In(x+1)<0"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論.

【解答】解：...x+lCl,當(dāng)x+l>0時(shí)，In(x+1)<0；

,/In(尤+1)<0,/.0<%+1<1,-1<尤<0,.\x<0,

"x<0”是歷(x+1)<0的必要不充分條件.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)

鍵，比較基礎(chǔ).

4.(5分)已知cos(2--a)=2cos(n+a),且tan(a+0)=工，則tan0的值為()

23

A.-7B.7C.1D.-1

【分析】由題意利用誘導(dǎo)公式求得tana的值，再利用兩角和的正切公式，求得tan0的值.

【解答】解：,已知cos-a)=2cos(ir+a),即sina=-2cosa,即tana=-2.

2

Xtan(a+p)=,tan"+)511".=工貝!|tan0=7,

1-tanCl*tanPl+2tanP3

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查誘導(dǎo)公式、兩角和的正切公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.(5分)已知定義在向-5,1-2加上的奇函數(shù)/(x),滿足無>0時(shí)，/(x)=2X-1,則

f(m)的值為()

A.-15B.-7C.3D.15

【分析】先根據(jù)奇函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱求出昨然后代入即可求解

【解答】解：由奇函數(shù)的對(duì)稱性可知，m-5+1-2m=Q,

".m--4,

Vx>0時(shí)，f(x)=2X-1,

則/(MI)—f(-4)=-于(4)=-15.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查奇函數(shù)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化思想，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵.

6.(5分)“總把新桃換舊符”(王安石)、“燈前小草寫桃符”(陸游)，春節(jié)是中華民族的傳

統(tǒng)節(jié)日，在宋代入們用寫“桃符”的方式來祈福避禍，而現(xiàn)代入們通過貼“?！弊?、貼

春聯(lián)、掛燈籠等方式來表達(dá)對(duì)新年的美好祝愿，某商家在春節(jié)前開展商品促銷活動(dòng)，顧

客凡購(gòu)物金額滿50元，則可以從“?！弊?、春聯(lián)和燈籠這三類禮品中任意免費(fèi)領(lǐng)取一件,

若有4名顧客都領(lǐng)取一件禮品，則他們中有且僅有2人領(lǐng)取的禮品種類相同的概率是

()

A.AB.AC.工D.且

991616

【分析】有4名顧客都領(lǐng)取一件禮品，基本事件總數(shù)“=34=81,他們中有且僅有2人領(lǐng)

取的禮品種類相同包含的基本事件個(gè)數(shù)/n=C：A：=36,則他們中有且僅有2人領(lǐng)取的禮

品種類相同的概率.

【解答】解：從“福”字、春聯(lián)和燈籠這三類禮品中任意免費(fèi)領(lǐng)取一件，

有4名顧客都領(lǐng)取一件禮品，基本事件總數(shù)”=34=81,

他們中有且僅有2人領(lǐng)取的禮品種類相同包含的基本事件個(gè)數(shù)根=C：A：=36，

則他們中有且僅有2人領(lǐng)取的禮品種類相同的概率是p=典總=9.

n819

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查古典概率、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能

力，是基礎(chǔ)題.

7.(5分)已知a=logo.55、Z?=log32、c=20,3>d=(―)2,從這四個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù)機(jī)，

2

使函數(shù)/(X)=*：3+妙2+l+2有極值點(diǎn)的概率為()

A.AB.Ac.3D.1

424

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)求出機(jī)的范圍，通過判斷a,b,C,

d的范圍，得到滿足條件的概率值即可.

【解答】解：f'(x)=J?+2mx+l,

若函數(shù)/(x)有極值點(diǎn)，

則fG)有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

故△=4徵2-4>0,解得：加>1或mV-1,

而a=logo_55<-2,0<Z?=log32<l>C=2°-3>1,0<d=A)2<1,

滿足條件的有2個(gè)，分別是a,c,

故滿足條件的概率2=看=今，

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及對(duì)數(shù)、指數(shù)的性質(zhì)，

是一道中檔題.

8.(5分)拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線

的對(duì)稱軸；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn).已

知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F一條平行于x軸的光線從點(diǎn)M(3,1)射出，經(jīng)過拋物線

上的點(diǎn)A反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)8射出，則的周長(zhǎng)為()

A--y^+V26B-9旬元C.-y|--K/26D,94V26

【分析】根據(jù)拋物線的光學(xué)性質(zhì)得出A、8的坐標(biāo)，從而得出三角形的周長(zhǎng).

【解答】解：：MA〃x軸，

/.A(A,1),

4

由題意可知A3經(jīng)過拋物線聲=4尤的焦點(diǎn)尸(1，0),

直線A8的方程為〉=-母(x-1).

(2.

y=4x

聯(lián)立方程組1.，解得8(4,-4),

y=~(x-l)

；.AM=3-工=旦，AB=-l+4+2=—>MB=J12R2=V26.

4444v10

AABM的周長(zhǎng)為9+V26.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.

9.(5分)由我國(guó)引領(lǐng)的5G時(shí)代已經(jīng)到來，5G的發(fā)展將直接帶動(dòng)包括運(yùn)營(yíng)、制造、服務(wù)在

內(nèi)的通信行業(yè)整體的快速發(fā)展，進(jìn)而對(duì)GZJP增長(zhǎng)產(chǎn)生直接貢獻(xiàn)，并通過產(chǎn)業(yè)間的關(guān)聯(lián)效

應(yīng)和波及效應(yīng)，間接帶動(dòng)國(guó)民經(jīng)濟(jì)各行業(yè)的發(fā)展，創(chuàng)造出更多的經(jīng)濟(jì)增加值.如圖是某

單位結(jié)合近年數(shù)據(jù)，對(duì)今后幾年的5G經(jīng)濟(jì)產(chǎn)出所做的預(yù)測(cè).結(jié)合圖，下列說法正確的是

□運(yùn)營(yíng)商□信息服務(wù)商□設(shè)備制造商

A.5G的發(fā)展帶動(dòng)今后幾年的總經(jīng)濟(jì)產(chǎn)出逐年增加

B.設(shè)備制造商的經(jīng)濟(jì)產(chǎn)出前期增長(zhǎng)較快，后期放緩

C.設(shè)備制造商在各年的總經(jīng)濟(jì)產(chǎn)出中一直處于領(lǐng)先地位

D.信息服務(wù)商與運(yùn)營(yíng)商的經(jīng)濟(jì)產(chǎn)出的差距有逐步拉大的趨勢(shì)

【分析】結(jié)合圖形直接得出結(jié)果.

【解答】解：由圖可知設(shè)備制造商在各年的總經(jīng)濟(jì)產(chǎn)出中在前期處于領(lǐng)先地位，

而后期是信息服務(wù)商處于領(lǐng)先地位，故C項(xiàng)表達(dá)錯(cuò)誤.

故選：ABD.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)學(xué)文字及圖形的閱讀理解能力.本題屬基礎(chǔ)題.

10.(5分)已知函數(shù)/(x)=siiu--cosx,g(x)是/(x)的導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的

是()

A.函數(shù)無)的值域g(x)的值域不相同

B.把函數(shù)/(%)的圖象向右平移二個(gè)單位長(zhǎng)度，就可以得到函數(shù)g(無)的圖象

c.函數(shù)ya)和g(無)在區(qū)間(-工，—)上都是增函數(shù)

44

D.若xo是函數(shù)/(%)的極值點(diǎn)，則xo是函數(shù)g(x)的零點(diǎn)

【分析】求出函數(shù)/(X)的導(dǎo)數(shù)g(X),再根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷選項(xiàng)中的命題

是否正確.

【解答】解：函數(shù)/(x)=sinx-cosx,g(x)=f(%)=cosx+sinx,

對(duì)于A,f(x)=V2sin(x--),值域是［-a，%］;

4

g(x)=V2sin(x+2L),值域是［-&,V2］,它們的值域相同，所以A錯(cuò)誤；

4

對(duì)于'函數(shù)/(x)的圖象向右平移今個(gè)單位長(zhǎng)度，

得丫=/5-方-)=V2sin(x-磬］)W&sin(x+g~)的圖象，不是g(x)的圖象，

所以8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,xe()工)時(shí)，尤-工6(--,0),/(x)是單調(diào)增函數(shù)；

4442

xe(,—)時(shí)，x+—e(0,—g(x)是單調(diào)增函數(shù)；所以C正確；

4442

對(duì)于￡),若xo是函數(shù)/(x)的極值點(diǎn)，則g(xo)=0,

即尤o是函數(shù)g(無)的零點(diǎn)，。正確.

故選：CD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了命題真假的判斷問題,

是基礎(chǔ)題.

11.(5分)下列判斷正確的是()

A.若隨機(jī)變量？服從正態(tài)分布N(1,。2),p(^4)=0.79,則尸0W-2)=0.21

B.已知直線LL平面a,直線機(jī)〃平面0,貝|“a〃B”是“/，機(jī)”的充分不必要條件

C.若隨機(jī)變量?服從二項(xiàng)分布：g?B(4,1)，則E(&=1

D.am2>bm2是a>b的充分不必要條件

【分析】A,根據(jù)正態(tài)分布概率的性質(zhì)，計(jì)算即可；

B,判斷充分性與必要性是否成立即可；

C,根據(jù)二項(xiàng)分布計(jì)算即可；

D,判斷充分性與必要性是否成立即可.

【解答】解：對(duì)于4隨機(jī)變量;服從正態(tài)分布N（1,。2）,所以圖象關(guān)于彳=1對(duì)稱，

根據(jù)尸0W4）=0.79,可得尸聶24）=1-P0W4）=0.21,

所以尸（WW-2）=尸（己》4）=0.21,A正確；

對(duì)于8,直線LL平面a,直線機(jī)〃平面0,

若。〃0,貝!1/_!_%是真命題；若/_!_〃?，則a〃0是假命題；

所以“a〃0”是V±m(xù),'的充分不必要條件”，B正確；

對(duì)于C,隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布：&?B（4,—）?則E（0=4X1=1,C正確；

44

對(duì)于￡）,若加2>加？，則a>6是真命題；

若a>b,則47/>初/是假命題，如〃，=（）時(shí)不成立；

所以是的充分不必要條件，。正確.

故選：ABCD.

【點(diǎn)評(píng)】本題以命題真假的判斷為載體，主要考查了正態(tài)分布、二項(xiàng)分布、以及充分必

要條件的判斷問題，是中檔題.

12.（5分）關(guān)于函數(shù)/（x）=2+歷x,下列判斷正確的是（）

x

A.x=2是/（x）的極大值點(diǎn)

B.函數(shù)y=/（x）-x有且只有1個(gè)零點(diǎn)

C.存在正實(shí)數(shù)上使得/（x）>kx成立

D.對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)XI,XI,且尤1>X2,若/（尤1）—f（X2）,則無1+X2>4

【分析】人求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)極值的定義進(jìn)行判斷；

B.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和零點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷即可；

C.利用參數(shù)分離法，構(gòu)造函數(shù)g（x）=3』±求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性和

X2X

極值進(jìn)行判斷即可；

D.令g（力=/（2+/）-/（2-r）,求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明即可.

【解答】解：A.函數(shù)的的定義域?yàn)椋?,+8）,函數(shù)的導(dǎo)數(shù)/（x）=一馬丁4^,

2T2

XAX

???（0,2）上，f（%）<0,函數(shù)單調(diào)遞減，（2,+8）上，f（x）>o,函數(shù)單調(diào)遞

，x=2是/（龍）的極小值點(diǎn)，即A錯(cuò)誤;

B.y=f(x)-x=—+lnx-x,y,=二，—+八二-<0,

Xx2

函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞減，且/(I)-1=2+勿1-1=1>0,/(2)-2=1+/?2-2

=ln2-KO,

；?函數(shù)y=/(x)-x有且只有1個(gè)零點(diǎn)，即8正確；

C.若/(x)>kx,可得

X2X

令g(x)=與漢，則g'(無)=-4+x-：lnx,

2Y3

XAX

令h(x)=-4+x-xlnx,則h'(x)=-Inx,

丁?在尤(0,1)上，函數(shù)。(x)單調(diào)遞增，xE(1,+8)上函數(shù)%(%)單調(diào)遞減，

:?h(x)</z(1)<0,C,g'(x)<0,

.?.g(x)=3』三在(0,+8)上函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)無最小值，

x2x

不存在正實(shí)數(shù)左，使得/(尤)>丘恒成立，即C不正確；

D.令正(0,2),則2-士(0,2),2+/>2,

令g(力=/(2+力-f(2-Z)=—^—+ln(2+力—--In(2-t)=-^—+/心竺_，

2+t2-t土2-42-t

mri；/.\4(t^-4)-812-t2-t+2+t_-4t2-164_-8/門

則g(t)=-----T----------H——?-------3------9----7+----9------9----5

(t2-4)22+t(2-t)2(t2-4)24-t2(t2-4)2

：.g(/)在(0,2)上單調(diào)遞減，則gG)<g(0)=0,

令xi=2-3由/(xi)=f(x2),得％2>2+3貝!]XI+X2>2-f+2+f=4,

當(dāng)X224時(shí)，X1+_X2>4顯然成立，.?.對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)無1,XI,且X2>X1,

若尤1)=f(X2),則Xl+X2>4,故。正確.

故選：BD.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查命題的真假判斷，涉及函數(shù)的單調(diào)性和極值，函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判

斷，以及構(gòu)造法證明不等式，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，屬難題.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(5分)若非零向量；，石滿足|Z|=|E|,向量與E垂直，則Z與芯的夾角為

120°

【分析】由題意利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量數(shù)量積的定義，求出Z與E的夾角的

余弦值，可得之與4的夾角.

【解答】解：.??非零向量；，E滿足心|=歷|,向量W+E與E垂直，

；?(2晶芯)用=2；?b+b2=O-即b2=-2a-b-即花|2=-2-|bl-lb|-cos<a-E>，

.,.cos<l，b>=-->/.<a.b>=120°,即Z與E的夾角為120°,

2

故答案為：120°.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量數(shù)量積的定義，屬于基礎(chǔ)題.

(x-a)2,x40

14.(5分)設(shè)f(x)，1.

xJ,x>0

X

(1)當(dāng)a」時(shí)，/(尤)的最小值是—;

2一9一

(2)若/(0)是/(%)的最小值，則a的取值范圍是『0,，斗.

【分析】(1)當(dāng)a小時(shí)，分別求出當(dāng)xWO和x>0時(shí)函數(shù)的最小值，進(jìn)行比較即可.

2

(2)先判斷當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)的最小值為2,然后討論a的取值范圍，結(jié)合一元二次函數(shù)

的最值性質(zhì)進(jìn)行比較即可.

【解答】解：(1)當(dāng)a』時(shí)，當(dāng)尤W0時(shí)，/(x)=(x-1)2》(_1)2=上，

2224

當(dāng)尤>0時(shí)，/(x)=x+—^2jX,-L=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取等號(hào)，

則函數(shù)的最小值為工，

4

(2)由(1)知，當(dāng)尤>0時(shí)，函數(shù)/(x)22,此時(shí)的最小值為2,

若a<0,則當(dāng)x=a時(shí)，函數(shù)/(x)的最小值為/(a)=0,此時(shí)/(0)不是最小值，不

滿足條件.

若a20,則當(dāng)xWO時(shí)，函數(shù)/(x)=(x-a)2為減函數(shù)，

則當(dāng)尤W0時(shí)，函數(shù)/(無)的最小值為/(0)=/,

要使/(0)是/(x)的最小值，則/(O)=/W2,即0WaW加,

即實(shí)數(shù)。的取值范圍是[0，a],

故答案為：1,[0,V21.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)最值的應(yīng)用，解一元二次函數(shù)以及基本不等式分別求出當(dāng)x

>0和當(dāng)xWO時(shí)的最值，進(jìn)行比較是解決本題的關(guān)鍵.注意合理分類討論.

22

15.(5分)雙曲線C：b〉0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi(-2,0)、F1

(2,0),M是。右支上的一點(diǎn)，M八與y軸交于點(diǎn)尸，放的內(nèi)切圓在邊尸廠2上的

切點(diǎn)為Q,若|PQ|=V2，則C的離心率為—誦一.

【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)定理求出即可得出a,從而得出雙曲線的離心率.

【解答】解：設(shè)△MP尸2的內(nèi)切圓與A/乃，〃尸2的切點(diǎn)分別為A,B,

由切線長(zhǎng)定理可知PA=PQ,BF2=QF2,

又PFI=PF2,

：.MF\-MFi^(MA+AP+PFO-(MB+BF2)^PQ+PFi-QFi^lPQ,

由雙曲線的定義可知MFi-MFi=2a,

故而a=PQ=&,又c=2,

雙曲線的離心率為e=￡=&.

a

故答案是：圾.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線的離心率，考查三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，考查切線長(zhǎng)定理，

考查學(xué)生的計(jì)算能力，利用雙曲線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵.

16.(5分)己知函數(shù)/(x)=(2-a)(x-1)-2lnx.若函數(shù)/(x)在(0,上無零點(diǎn)，

則a的最小值為2-4歷2.

【分析】根據(jù)函數(shù)無零點(diǎn)，得到函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)小于0在一個(gè)區(qū)間上不恒成立，得到函數(shù)

在這個(gè)區(qū)間上沒有零點(diǎn)，構(gòu)造新函數(shù)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用求最值得方法求出函數(shù)的最小

值.

【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)/(%)在(0,-1)上無零點(diǎn)即/(x)<0或/(x)>0在(0,1)

22

上恒成立，

但是/(X)<0恒成立不可能，故只有/(x)=(2-a)(X-1)-2歷x>0在(0,a)

上恒成立，

即°>2-2巫?在(0,A)上恒成立，

x-l2

121nx+^--2

令h(x)=2-,XG(0,t)，貝U(%)=-------―,

x-l2(x-l)2

令m(x)=2/nx-2+—,xE(0,—貝?。菁?(x)=，)，

2

x2x

易得，"z(無)在(0,—)上單調(diào)遞減，則可得"Z(x)〉m(￡)=-2/〃2+2>0,

22

即〃(x)>0,h(x)在(0,A)上單調(diào)遞增，h(x)<h(A)=2-4出2,

22

故心2-4ln2即a的最小值2-4出2.

故答案為：2-4歷2.

【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識(shí)，考查恒成立問題，化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想

方法，以及推理論證能力和運(yùn)算求解能力.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)在△ABC中，A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知4acosA=ccos2+6cosC.

(1)若a=4,△ABC的面積為小元，求b,c的值；

(2)若sinB=AsinC(無>0),且△ABC為鈍角三角形，求上的取值范圍.

【分析】先由正弦定理和三角恒等變換，同角的三角函數(shù)基本關(guān)系求出cosA、sinA的值;

(1)利用余弦定理和三角形的面積公式列出方程組，求出6、c的值；

(2)利用正弦定理和余弦定理，討論B為鈍角和C為鈍角時(shí)，分別求出左的取值范圍.

【解答】解：△ABC中，4acosA=ccosB+bcosC,

4sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC=sin(C+B)=sinA,

??cosA——，

4

AsinA=2=Y;

Vl-coSA^

(1)4=4,

.,.c^—lr+c1-2Z>C*COSA=&2+C2-■^■bc=16①；

又△ABC的面積為：

S^ABC=—be,sinA=—be'=>/15，

224

；.bc=8②；

由①②組成方程組，解得b=4,c=2或b=2,c=4；

(2)當(dāng)sinB=AsinC(Z>0),b=kc,

.\a2—b2+c2-2bc*cosA—(kc)2+c2-Ikc'c'——(^2-—k+i)c2；

42

當(dāng)B為鈍角時(shí)，/+/</,

即(爐-工人+i)+i<ir,解得上>4；

2

當(dāng)C為鈍角時(shí)，a2+b2<(2,

即(后-工人+1)+必<1,解得0<左<工；

24

所以AASC為鈍角三角形，左的取值范圍是

0<左<工或k>4.

4

【點(diǎn)評(píng)】主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，三角恒等變換，正弦定理和余弦定理

的應(yīng)用問題，是綜合性題目.

18.(12分)已知數(shù)列｛?｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，它的前〃項(xiàng)和曲滿足Sn[Qn+l)Qn+2)，

并且42,04,f29成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛板｝的通項(xiàng)公式；

n+l

(2)設(shè)加=(-1)anan+l,刀,為數(shù)列｛阮｝的前"項(xiàng)和，求及

【分析】(1)根據(jù)Sn=f(an+l)Qn+2)可類比的得至USnTnfQxi+DQxl+Z)，

然后兩式相減得到(劭+即一1)Can-an-1-3)=0,再由｛即｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，可得到許

-珈.1=3,再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式法可得到答案.

n+i

(2)先根據(jù)bn=(-l)anan+lf可得到乃〃=21+歷+…+為〃=41。2-。2〃3+〃3〃4-Q445+…

-。2M2/1,再由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得到答案.

【解答】解：(1):對(duì)任意”CN*,有Sn1(an+1)(an+2)①當(dāng)九22時(shí)，

有Sn-i=f(an.i+l)(axi+2)②

當(dāng)①-②并整理得(an+an-1)Can-an-1-3)=0,

而｛礪｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以即-即-1=3.

.?.當(dāng)"=1時(shí)，有S[=ai=/(ai+l)(a1+2)，解得m=1或2,

當(dāng)〃1=1時(shí)，。〃=1+3(n-1)=3n-2,此時(shí)〃42=4249成立；

當(dāng)〃1=2時(shí)，〃〃=2+3(n-1)=3n-1,此時(shí)〃42=0209不成立；舍去.

所以。〃=3幾-2,〃EN*,

(2)乃〃=加+歷+…+Z72〃

=aia2-Q243+43Q4-4445+…-42八42〃+1

=〃2(〃1-43)+〃4(〃3-45)+…+〃2〃(〃2〃一1-〃2〃+1)

=-6a2-6〃4-…-6(22〃=-6(〃2+皿+…+42〃)

-…n(4+6n-2)_?2r

--6X---------=-18n-6n-

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用和等差數(shù)列的求和公式的應(yīng)用.考查綜合

運(yùn)用能力.

19.(12分)如圖，點(diǎn)C在以A8為直徑的圓。上，B4垂直于圓。所在的平面，G為△AOC

的重心.

(I)求證：平面OPG_L平面E4C；

(2)若PA=AB=2AC=2,求二面角A-OP-G的余弦值.

【分析】(1)延長(zhǎng)0G交AC于點(diǎn)可得OM〃BC.由A8是圓。的直徑，得。M_LAC.

由B4_L平面ABC,可得OM_L平面PAC.即OG_L平面PAC,證得平面OPG_L平面PAC.

(2)以點(diǎn)C為原點(diǎn)，無，忌，靠方向分別為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系

Cxyz,則C(0,00)

A(0,1,0),0,0),0除0),P(0,1,2),M(0,j-,0)

利用向量法求解.

【解答】解：(1)證明：如圖，延長(zhǎng)0G交AC于點(diǎn)

因?yàn)镚為△AOC的重心，所以M為AC的中點(diǎn).

因?yàn)椤锳8的中點(diǎn)，所以。/〃BC.

因?yàn)?8是圓。的直徑，所以BCLAC,所以。MLAC.

因?yàn)镋4_L平面ABC,OMu平面A3C,所以B4_LOM.

又P4u平面B4C,ACu平面E4C,P4cAe=A,所以O(shè)M_L平面E4c.

即OGJ_平面PAC,又OGu平面OPG,

所以平面OPG_L平面PAC.

（2）解：以點(diǎn)C為原點(diǎn)，而，亂,方方向分別為無，y,z軸正方向建立空間直角坐

標(biāo)系Cxyz,

則C(0,00)

A(0,1,0),B(V3.0，0)，。(亨，y.0)，P(0,1,2),M(0,y,0)，

則OM=(q^，0，0)，0P=(--^?2)-

平面OPG即為平面OPM,設(shè)平面OPM的一個(gè)法向量(x,y,z),

過點(diǎn)C作CH±AB于點(diǎn)H,由平面ABC,

易得CH_LB4,又B4cA8=A,所以CH_L平面BAB,即CH為平面RIO的一個(gè)法向量.

在RtZsABC中，由AB=2AC,得/A8C=30°,則/HCB=60°,CH^-CB-y-

所以xfCHcos/HCB（，yjfCHsinZHCB^-

所以而=（4，4'0）.

44

設(shè)二面角A-OP-G的大小為0,

|CH>n|_|Q^+4Xf+1XQ|_2V51

則COS0向?日一櫓臉一”

即二面角A-OP-G的余弦值為漢豆.

17

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間面面垂直的判定，向量法求二面角，考查了轉(zhuǎn)化思想、計(jì)算能

力，屬于中檔題.

20.（12分）近年來，國(guó)資委、黨委高度重視扶貧開發(fā)工作，堅(jiān)決貫徹落實(shí)中央扶貧工作重

大決策部署，在各個(gè)貧困縣全力推進(jìn)定點(diǎn)扶貧各項(xiàng)工作，取得了積極成效，某貧困縣為

了響應(yīng)國(guó)家精準(zhǔn)扶貧的號(hào)召，特地承包了一塊土地，己知土地的使用面積以及相應(yīng)的管

理時(shí)間的關(guān)系如表所示：

土地使用面積12345

X（單位：畝）

管理時(shí)間y810132524

（單位：月）

并調(diào)查了某村300名村民參與管理的意愿，得到的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示:

愿意參與管理不愿意參與管理

男性村民15050

女性村民50

（1）求出相關(guān)系數(shù)，的大小，并判斷管理時(shí)間y與土地使用面積尤是否線性相關(guān)？

（2）是否有99.9%的把握認(rèn)為村民的性別與參與管理的意愿具有相關(guān)性？

（3）若以該村的村民的性別與參與管理意愿的情況估計(jì)貧困縣的情況，則從該貧困縣中

任取3人，記取到不愿意參與管理的男性村民的人數(shù)為x,求尤的分布列及數(shù)學(xué)期望.

參考公式:

n__

￡(x「x)(y「y)

r?72/=K2=---------n(ad.bc)