2015-2016學(xué)年陜西省西安高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷及解析

2015-2016學(xué)年陜西省西安高一（下）

期末數(shù)學(xué)試卷及解析

一、選擇題：（在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，本大題共12小題，每小題4分,

共48分）

1.與-463。終邊相同的角可以表示為（keZ）（）

A.k*360°+463°B.k*360°+103°C,k?360°+257°D.k*360°-257°

2.已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)(3a,-4a)(a<0),則sina+cosa等于()

1717

A.B-C.-WD.

5-□D5

K3JR

3.已知ae(-2，0)‘sin(-a)則sin(-TI-a)=()

-P5

C.斗D.2萬

A.V5

VB-55

4.給定性質(zhì)：①最小正周期為H;②圖象關(guān)于直線對稱.則下列四個函數(shù)中，同時具有性質(zhì)①②

的是（）

xX717T

A.y=sinB.y=sin(2x+H)C.y=sin|x|D.y=sin(2x-W)

Zbb

71

5.將函數(shù)y=3sin（2x--1）的圖象經(jīng)過（）變換，可以得到函數(shù)y=3sin2x的圖象.

冗71

A.沿x軸向右平移-個單位B.沿x軸向左平移個單位

OO

7T71

C.沿X軸向右平移丁個單位D.沿x軸向左平移一1個單位

6.已知AABC三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-1,0）,B（1,2）,C（0,c）,且或J_前，那么c的值是（)

A.-1B.1C.-3D.3

7.siir^n+l°g&cos得71的值是（）

A.4B.1C.-4D.-1

cos2x-1

8.已知函數(shù)f（x）=―一：則有（）

smZx

7T

A.函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線Xh了對稱

冗

B.函數(shù)f（x）的圖象關(guān)關(guān)于點(diǎn)（彳，0）對稱

71

C.函數(shù)f（x）的最小正周期為彳

D.函數(shù)f（x）在區(qū)間（0,n）內(nèi)單調(diào)遞減

9.如圖所示，已知菽二2箴，位二；，OB=b?0C=c則下列等式中成立的是（）

B

A二孝-$B.c=2bicc=2a-bDc^-fb

7T

10.函數(shù)y=Asin（u）x+（|））（u）>0,14）I<"2",x￡R）的部分圖象如圖所示，則函數(shù)表達(dá)式（

7T717T7T

C.y=-4sin（-g-x+-）D.y=4sin（-^x+-）

11.函數(shù)y=sinxcosx+V3cos2x-百的圖象的一個對稱中心是（）

A9嚕B.（哈，-爭c.T，號T-V3）

12.有下列四個命題：

①互為相反向量的兩個向量模相等；

②若向量彘與而是共線的向量，則點(diǎn)A,B,C,D必在同一條直線上；

③若Ia白b?,則a=a=_b;

④若貝1或百弓；

其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

二、填空題：（把答案填在答題卡相應(yīng)題號后的橫線上，本大題共4小題，每小題4分，共16分）

13.cos43-cos77°+sin43°cosl67°的值為.

兀7T

14.已知函數(shù)f（x）=2sin（9x-M）的圖象與直線y=-1的交點(diǎn)中最近的兩點(diǎn)間的距離為二丁，則函數(shù)f

（X）的最小正周期等于.

15.已知向量：二（2,-1）,（-1,m）,杳（-1,2）,若（W+甘〃彳，則m=.

16.下面有五個命題：

①函數(shù)y=sin4x-cos4x的最小正周期是n

k兀

②終邊在y軸上的角的集合是{a歷十〒，k￡Z}

③在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=sinx的圖象和函數(shù)y=x的圖象有三個公共點(diǎn)

④把函數(shù)y=3sin（2x+—）的圖象向右平移工廠得到y(tǒng)=3sin2x的圖象

_71

⑤函數(shù)y=sin（x）在［0,兀］上是減函數(shù)

其中，真命題的編號是(寫出所有真命題的編號)

三、解答題：(解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟(本大題共6小題，共56分)

「冗4

17.已知OVa〈F",sina=^.

ZD

(1)求tana的值；

JI

(2)求cos2a+sin(a+工")的值.

一二一一一一

18.已知非零向量Ab滿足㈤=i,且(a-b)?(a+b)=1y.

⑴求?；

(2)當(dāng)；?E=￡時，求向量a與b的夾角e的值.

19.設(shè)平面向量，=(cosx,sinx),4=(COSX+2A/5，sinx),(sina,cosa),xGR.

(1)若;J_)求cos(2x+2a)的值；

(2)若a=0,求函數(shù)f(X)=aTb-2c)的最大值，并求出相應(yīng)的X值.

20.已知向量記二(1,-2),Qg=(4,-1),(m,m+1).

(1)若會〃僅，求實(shí)數(shù)m的值；

(2)若AABC為直角三角形，求實(shí)數(shù)m的值.

7171

21.已知函數(shù)f(x)=sin(2X+"T")-cos(2x+~Z-)+2cos2x.

0O

/兀、

(1)求f(五)的值；

(2)求f(x)的最大值及相應(yīng)x的值.

711

22.已知函數(shù)f(x)=cos2(x+逾")，g(x)=l+0in2x.

(1)設(shè)Xo是函數(shù)y=f(x)的一個零點(diǎn)，求g(xo)的值；

(2)求函數(shù)h(x)=f(x)+g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

2015-2016學(xué)年陜西省西安七十中高一(下)期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：(在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，本大題共12小題，每小題4分,

共48分)

1.與-463。終邊相同的角可以表示為(kGZ)()

A.k?360°+463°B.k?360°+103°C.k?360°+257°D.k?360°-257°

【考點(diǎn)】終邊相同的角.

【分析】直接利用終邊相同的角的表示方法，寫出結(jié)果即可.

【解答】解：與-463。終邊相同的角可以表示為：k?360°-463°,(kez)

即：k?360°+257°,(kez)

故選C

2.已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)(3a,-4a)(a<0),則sina+cosa等于()

1717

A.'B.C.-D.-「

5r5br0

【考點(diǎn)】任意角的三角函數(shù)的定義.

【分析】根據(jù)題意可得r=-5a,再求得sina和cosa的值，可得sina+cosa的值.

【解答】解：：角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)(3a,-4a)(a<0),則r=-5a,

y4x3

sina=_cosa=—=-

r5r5

1

sina+cosa=T",

D

故選：A.

71

3.已知ad(,0),sin(-a-，貝sin(-冗-a)=()

A.與B.亞CV5n2收

5555

【考點(diǎn)】運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡求值.

【分析】已知等式左邊變形后，利用誘導(dǎo)公式化簡求出cosa的值，根據(jù)a的范圍，利用同角三角函數(shù)間的

基本關(guān)系求出sina的值，原式利用誘導(dǎo)公式化簡后將sina的值代入計(jì)算即可求出值.

3、5/5.

【解答】解：Vsin(-a---sin(=cosa=-z-,(-"Z",0),

5/

.?.sina=-Y】c°s2cl2y

5

2^5

貝Usin(-n-a)=-sin(n+a)=sina=---------.

5

故選：D.

4.給定性質(zhì)：①最小正周期為%②圖象關(guān)于直線對稱.則下列四個函數(shù)中，同時具有性質(zhì)①②

的是()

XTT7T7T

A.y=sin(彳B"y=sin(2x+_-)C.y=sin|x|D.y=sin(2x--)

【考點(diǎn)】三角函數(shù)的周期性及其求法；正弦函數(shù)的對稱性.

7T

【分析】利用函數(shù)的周期，求出3,利用圖象關(guān)系直線xh彳對稱，判斷選項(xiàng)的正誤.

2兀71

【解答】解：YT=???u)=2.對于選項(xiàng)D,因?yàn)閤’■為對稱軸.

7T7T7T

所以2X《-滿足題意，

故選D

71

5.將函數(shù)y=3sin(2x-的圖象經(jīng)過()變換，可以得到函數(shù)y=3sin2x的圖象.

K7T

A.沿x軸向右平移■■了個單位B.沿x軸向左平移區(qū)-個單位

江7T

C.沿x軸向右平移-「個單位D.沿x軸向左平移-1個單位

【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin(cox+4))的圖象變換.

【分析】由條件根據(jù)函數(shù)丫=人$皿(3X+6)的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論.

7U71

【解答】解：把函數(shù)y=3sin(2x--)的圖象，沿x軸向左平移區(qū)-個單位，可以得到函數(shù)y=3sin[2(x+-g-)

TT

-[]=3sin2x的圖象，

故選：B.

6.已知AABC三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-1,0),B(1,2),C(0,c),且誣J_箴，那么c的值是()

A.-1B.1C.-3D.3

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；向量的減法及其幾何意義；數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.

【分析】由題意求出婚'K，利用前上配，數(shù)量積為0,即可求出c的值.

【解答】解：因?yàn)锳ABC三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-1,0),B(1,2),C(0,c),

所以屈=(2,2),BC=(-1,c-2)

VAB1^

所以版?資(2,2)?(-1,c-2)=-2-4+2c=0,

解得c=3.

故選：D.

7.siiTj^n+log6cos"^71的值是()

A.4B.1C.-4D.-1

【考點(diǎn)】對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；二倍角的正弦.

【分析】利用對數(shù)運(yùn)算法則和二倍角的正弦公式求解.

1O88

【解答】W：V2Sin-^n+0V2cos^n:

1?冗5兀

,(5

=log5/2sincos-j-g")

T。魴

=1。％(/式吟)

=1%曷

=-4.

故選：C.

cos2x-1

8.已知函數(shù)f（x）=一——,則有（）

sin2x

冗

A.函數(shù)f（X）的圖象關(guān)于直線Xh了對稱

71

B.函數(shù)f（x）的圖象關(guān)關(guān)于點(diǎn)不,0）對稱

冗

C.函數(shù)f（x）的最小正周期為■亍

D.函數(shù)f（x）在區(qū)間（0,n）內(nèi)單調(diào)遞減

【考點(diǎn)】函數(shù)y二Asin（wx+（|））的圖象變換.

cos2x-1

【分析】分析函數(shù)f（X）=_——性質(zhì)，要先利用公式化成正弦型、余弦型或正切型函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式,

sinzx

然后再研究性質(zhì).

cos2x-ll-2sin2x-

【解答】解：；f（x）=sin2x=2sinxcosx

函數(shù)f（x）不是軸對稱圖形，A不正確；

?.?函數(shù)f（x）的最小正周期為兀，；.C不正確；

?.?函數(shù)在區(qū)間（0,n）不單調(diào)，；.D不正確；

冗八

?函數(shù)f（X）的對稱中心為（一k5一，0）kez,

7T

函數(shù)f（x）的圖象關(guān)關(guān)于點(diǎn)（彳，0）對稱正確，

故選B.

9.如圖所示，已知屈=2.，0A=^>OB=b,0C=^則下列等式中成立的是（）

A.c=^-b-yaB,c=2b-acc=2a-b口.

【考點(diǎn)】向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義；向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義.

?..????..??

AB=OB-OABC=OC_0B,代入AB=2BC,即可將OC用OA和OB表

【分析】由向量減法的三角形法則,

zK

【解答】解：：屈=2五

-

.0B0A=2（0C-0B）

.-.OC=yOB-yOA

故選A

TT

10.函數(shù)y二Asin（oox+（|））（u）＞0,x￡R）的部分圖象如圖所示，則函數(shù)表達(dá)式（)

717T7171

C.y=-4sin("^x+~)D.y=4sin(-g-x+-)

【考點(diǎn)】由y=Asin（cox+0）的部分圖象確定其解析式.

【分析】由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A,由周期求出3,由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求出。的值，可得函數(shù)的解析

式.

T冗兀

【解答】解：由函數(shù)的解析式可得A=4,--=6+2,可得3=一記.

TC7TTUTT

再根據(jù)sin[（-2）X兩+如=0,可得（-2）X-g-+c））=kn,kez,再結(jié)合|6|〈彳，歸丁，

71兀

/.y=4sin（*^+彳），

故選：D.

11.函數(shù)y=sinxcosx+，&os2x-6的圖象的一個對稱中心是（）

…等，哼）B.（哈,冷。（號,爭D.亨.同

【考點(diǎn)】奇偶函數(shù)圖象的對稱性.

7TV3

【分析】先根據(jù)二倍角公式將函數(shù)進(jìn)行化簡為丫=$苗（2x+—《）-'止，然后代入檢驗(yàn)即可.

【解答】解：.Kinxcosx+V5cos2x-6fin2x+圣。s2x-零

=sin（2X+3）-W

J2

故原函數(shù)的對稱中心的縱坐標(biāo)一定是一竽故排除CD

2冗71

將X=q代入sin(2x+-)不等于0,排除A.

故選B.

12.有下列四個命題：

①互為相反向量的兩個向量模相等；

②若向量標(biāo)與而是共線的向量，則點(diǎn)A,B,C,D必在同一條直線上；

③若[aHbL則a=b或ar_b;

④若彳則彳=3或z=3；

其中正確結(jié)論的個數(shù)是()

A.4B.3C.2D.1

【考點(diǎn)】向量的物理背景與概念.

【分析】根據(jù)平面向量的基本概念，對題目中的命題進(jìn)行分析，判斷正誤即可.

【解答】解：對于①，互為相反向量的兩個向量模相等，命題正確；

對于②，向量靛與五是共線的向量，點(diǎn)A,B,C,D不一定在同一條直線上,

如平行四邊形的對邊表示的向量，原命題錯誤；

對于③，當(dāng)時，W=芯或4=-E不一定成立，

如單位向量模長為1,但不一定共線，原命題錯誤；

對于④，當(dāng)時，="5或E="6或，原命題錯誤；

綜上，正確的命題是①，共1個.

故選：D.

二、填空題：(把答案填在答題卡相應(yīng)題號后的橫線上，本大題共4小題，每小題4分，共16分)

13.cos43°cos77o+sin43°cosl67。的值為

【考點(diǎn)】兩角和與差的正弦函數(shù).

【分析】先根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式將cosl67?；癁?sin77。，再根據(jù)兩角和的余弦公式可得答案.

【解答】解:cos43°cos77o+sin43°cosl67°

=cos43°cos77°-sin43°sin77°

=cosl20°

1

=~2,

故答案為：-~2

TT7T

14.已知函數(shù)￡'")=2$[11(。7一可)的圖象與直線丫=-1的交點(diǎn)中最近的兩點(diǎn)間的距離為7則函數(shù)f

(x)的最小正周期等于71.

【考點(diǎn)】由y=Asin(cox+，)的部分圖象確定其解析式.

K17T7K11K

【分析】由f(x)=-1求出sin(x-y)=-"7T,可令x-仁一二一公、-7—,解出x值，利用這兩個x

□ZDOb

7T

值之差的絕對值等于三，

2兀

求出3,進(jìn)而得到f(X)的最小正周期

JT7T17T7K117T

【解答】解：令2sin(3X--)=-1,sin(x--)=-y,可令x-可=一^一、一--,

?乳冗61—「61冗乳冗冗.

,?X=303、303'由逖息付303—303一二一3'??3=2,

2兀

???函數(shù)f(x)的最小正周期等于不一二也

故答案為：n.

15.已知向量彳二(2,-1),己=(-1,m),《=(-1,2),若(：+百〃1則m二-1.

【考點(diǎn)】平面向量共線(平行)的坐標(biāo)表示.

【分析】先求出兩個向量的和的坐標(biāo)，再根據(jù)向量平行的充要條件寫出關(guān)于m的等式，解方程得到要求的

數(shù)值，注意公式不要用錯公式.

【解答】解：:;+E=(1，m-1),

丁(1b，〃c

A1X2-(m-1)X(-1)=0,

所以m=-1

故答案為：-1

16.下面有五個命題：

①函數(shù)y=sin4x-cos4x的最小正周期是n

…k兀

②終邊在y軸上的角的集合是{a|a=一^—，k￡Z}

③在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=sinx的圖象和函數(shù)y=x的圖象有三個公共點(diǎn)

_K7T

④把函數(shù)y=3sin(2x+-Z-)的圖象向右平移二"得到y(tǒng)=3sin2x的圖象

oo

…n

⑤函數(shù)y=sin(x--)在［0,汨上是減函數(shù)

其中，真命題的編號是①④(寫出所有真命題的編號)

【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用.

【分析】①化簡函數(shù)y=sin4x-cos4x為-cos2x,說明它的最小正周期是n,判斷正誤；

②通過k的取值，k是偶數(shù)時，a的終邊落在x軸上；

冗^

③利用單位圓及三角函數(shù)線，當(dāng)xG(0,時，sinx<x<tanx,判斷在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=sinx的

圖象和函數(shù)y=x的圖象有3個公共點(diǎn)；是錯誤的.

nn

④把函數(shù)y=3sin(2x+r-)的圖象向右平移7■得到y(tǒng)=3sin2x的圖象；判斷正確.

⑤函數(shù)y=sin(x-=-85*在［0,兀］上是增函數(shù)

【解答】解：①yfin’x-cos4x=sin2x-cos2x=-cos2x,它的最小正周期為n,正確；

②k是偶數(shù)時，a的終邊落在x軸上，所以錯誤；

-71

③可以借助單位圓證明當(dāng)x￡(0,-2")時，sinxVxVtanx,故丫=5皿*,y=tanx和y=x在第一象限無交點(diǎn)，

錯誤；

④把函數(shù)y=3sin(2x+-)的圖象向右平移-1到y(tǒng)=3sin2x的圖象，這是正確的;

_7T

⑤函數(shù)y=sin(x-7)=-8$*在［0,兀］上是增函數(shù)，故不正確.

所以真命題的編號是①④.

故答案為：①④.

三、解答題：(解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟(本大題共6小題，共56分)

「兀4

17.已知OVaVf,sina二W，

ZD

(1)求tana的值；

71

(2)求cos2a+sin(a+^^")的值.

【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用.

【分析】(1)根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得答案.

(2)利用二倍角公式與誘導(dǎo)公式對已知進(jìn)行化簡，進(jìn)而結(jié)合(1)可得答案.

【解答】解：(1)因?yàn)椤??！?，sina=4，

ZD

3

所以cosa=—,

D

4

所以tana二十...

(2)根據(jù)二倍角公式與誘導(dǎo)公式可得：

cos2a+sinG^^a)=1-2sin2a+cosa=1-祟...

18.己知非零向量AE滿足川=1,且(；-E)?金+E)=y.

⑴求0;

(2)當(dāng)；?E=2時，求向量a與E的夾角e的值.

【考點(diǎn)】數(shù)量積表示兩個向量的夾角；向量的模；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.

【分析】(1)由題意可得a-b立，故lb|"=|a|'-5=1一1=,

a-b返

(2)利用兩個向量夾角公式可得餓cose=q7面=2,又0《6<180。，求得e的值.

——?1-?221

【解答】解：(1)因?yàn)?a-b)?(a+b)=,即a-b=-,

所以B|2=|；|2-尹1-*宏故口［率

HV2

(2)因?yàn)閏ose=|H1］=2,又OWe<18O°,故9=45。

19.設(shè)平面向量，二(cosx,sinx),E二(cosx+2^/5，sinx),《二(sina,cosa),x￡R.

(1)若a_Lc，求cos(2x+2a)的值；

(2)若a=0,求函數(shù)f(X)=a"b-2c)的最大值，并求出相應(yīng)的X值.

【考點(diǎn)】兩角和與差的余弦函數(shù)；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.

【分析】(1)利用兩個向量垂直，它們的數(shù)量積等于0,以及二倍角的余弦公式求得cos(2x+2a)的值.

72冗

(2)若a=0,則J(0,1),由題意化簡可得函數(shù)解析式：f(x)=l+4sin(x+—),利用正弦函數(shù)的有

界性求出函數(shù)的最值.

【解答】解：⑴若；則彳三=。，

cosxsina+sinxcosa=0,

sin(x+a)=0,

/.cos(2x+2a)=1-2sin2(x+a)=1.

(2)若a=0,=(0，1)，

—?r-r~

貝!Jf(x)=a(02c)=(cosx,sinx)?(cosx+2'sinx-2)=cosx(cosx+2+sinx(sinx-2)=1

M2冗

-2sinx+2cosx=l+4sin(x+

7T

所以，f(x)max=5,x=2kn-o(k￡Z).

20.已知向量標(biāo)=(1,-2),0B=(4,-1),oc=(m,m+1).

(1)若屈〃僅，求實(shí)數(shù)m的值；

(2)若AABC為直角三角形，求實(shí)數(shù)m的值.

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；平面向量共線(平行)的坐標(biāo)表示；數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)

系.

【分析】(1)通過標(biāo)〃反，利用平行的充要條件，列出關(guān)系式即可求實(shí)數(shù)m的值；

(2)利用三角形的直角的可能性，通過向量的數(shù)量積為0,求實(shí)數(shù)m的值.

【解答】解：⑴因?yàn)橄蛄俊鉇=(L-2).0B=(4,-1),

所以標(biāo)=沃-水=(3,1)

因?yàn)锳B〃灰，且0C=(m,ro+1),

所以3(m+1)-m=0.

所以k1.

(2)由m可知，底-欣=(3,1)；AC=OC-0A=(n>-1,nrt-3)BC=OC-0B=(n>-4,nH-2)

因?qū)W竺為直角三角形，所以屈J_m，標(biāo)1標(biāo)或正1箴.

當(dāng)屈_L菽時，有3(m-l)+m+3=0,解得m=0；

當(dāng)ABJ_BC時，有3(m-4)+m+2=0,解得彩；

當(dāng)正J_標(biāo)時，有(m-l)(m-4)+(m+3)(m+2)=0,解得m￡0.

5

所以實(shí)數(shù)m的值為0或彳.

7T7T

21.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+-7")-cos(2x+f)+2cos2x.

oJ

(1)求f(五)的值；

(2)求f(x)的最大值及相應(yīng)x的值.

【考點(diǎn)】三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值；三角函數(shù)的最值.

7T

【分析】(1)把直接代入函數(shù)解析式求解.

(2)先利用和差角公式對函數(shù)進(jìn)行化簡可得，f(x)=2sin(2x*)+l,結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求.

【解答】解：(1)

,冗、z7T7T、/c?兀冗、2兀兀K71

fC77)=sin(2Xm十」)-cos^2x+?)+2cos77=sin-z--cos-r-M-l+cos-^

1ZiZ01Z01/J