2020-2021學(xué)年湖北省武漢市武昌區(qū)八年級(jí)（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2020-2021學(xué)年湖北省武漢市武昌區(qū)八年級(jí)（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（每小題3分，共30分）.

1.二次根式瘍?cè)捲趯?shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則無滿足的條件是（）

QQQ2

A.%>-—B.%》—-C.xV--D.xW--

2222

2.下列二次根式中，與遮是同類二次根式的是（）

A.瓜B.?C.712D.氏

3.若一次函數(shù)y=x+4的圖象與無軸交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）

A.(-4,0)B.(4,0)C.(0,-4)D.(0,4)

4.某校對(duì)九年級(jí)6個(gè)班學(xué)生平均一周的課外閱讀時(shí)間進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，分別為（單位：K）：3.5,

4,3.5,5,5,3.5.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是（）

A.3B.3.5C.4D.5

5.下列計(jì)算正確的是（）

A.473-372=V3B.78+72=472C.2V2XV3=V6D.我+26=1

6.在Rt^ABC中，ZC=90°,AB=2AC,若AC=6,則BC的長為（）

A.8B.12C.6yD.1273

7.在課外活動(dòng)中，有10名同學(xué)進(jìn)行了投籃比賽，限每人投10次，投中次數(shù)與人數(shù)如下表:

投中次數(shù)578910

人數(shù)23311

則這10人投中次數(shù)的平均數(shù)是（）

A.7B.7.2C.7.4D.7.5

8.如圖，平行四邊形A8CD中，對(duì)角線AC和8。交于。，若AC=8,BD=6,則AB長的

取值范圍是（）

A.1<AB<1B.2<AB<4C.6<AB<SD.3<AB<4

9.在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)（-2,3）的直線/經(jīng)過一、二、三象限，若點(diǎn)（0,a）,

（-1,b）,（c,-1）都在直線/上，則下列判斷正確的是（）

A.a<.bB.a<3C.b<3D.c<-2

10.在△ABC中，點(diǎn)。在BC上，ZBAC=2ZADB=90°,BD=3CD=3,則AD的長是（）

A.用B.C.屈D.

二、填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分）

11.計(jì)算：V18=?

12.將直線y=2x-3向上平移2個(gè)單位后的直線解析式.

14.某校抽樣調(diào)查了七年級(jí)學(xué)生每天體育鍛煉時(shí)間，整理數(shù)據(jù)后制成了如下所示的頻數(shù)分布

表，這個(gè)樣本的中位數(shù)在第組.

組別時(shí)間（小時(shí)）頻數(shù)（人）

第1組00V0.512

第2組0.5WY124

第3組W.518

第4組1.5QV210

第5組20V2.56

15.快車從甲地駛往乙地，慢車從乙地駛往甲地，兩車同時(shí)出發(fā)并且在同一條公路上勻速行

駛.圖中折線表示快、慢兩車之間的距離y（km）與它們的行駛時(shí)間x之間的函數(shù)

關(guān)系.以下結(jié)論：①快車途中停留了0.5加②快車速度比慢車速度多20kmlh；③圖中a

=340；④快車先到達(dá)目的地.其中正確的是.（將正確答案的序號(hào)填在橫線）

16.如圖是一張面積為10的△ABC紙片，其中BC=5,N4BC=45°,是三角形的中

位線，M,N分別是線段。E,8c上的動(dòng)點(diǎn).沿著虛線將紙片裁開，并將MN兩側(cè)的紙

片按箭頭所示的方向分別繞點(diǎn)。，E旋轉(zhuǎn)180。在同一平面內(nèi)拼圖，使得與A。重合,

CE與AE重合.則拼成的四邊形紙片周長的最大值與最小值之差為.

三、解答題(共8個(gè)小題，共72分】下列各題需要在答題卷指定位置寫出文字說明、證明

過程、演算步驟或畫出圖形.

17.計(jì)算：

⑴V12-V3+V4；

18.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,CD為AB邊上的中線，過點(diǎn)C作CE〃A8,過點(diǎn)

B作BE〃(:D,CE、BE相交于點(diǎn)E.求證：四邊形3EC。為菱形.

19.某校九年級(jí)兩個(gè)班，各選派10名學(xué)生參加學(xué)校舉行的“漢字聽寫”大賽預(yù)賽.各參賽

選手的成績?nèi)缦拢?/p>

九（】）班:88,91,92,93,93,93,94,98,98,100；

九（2）班：89,93,93,93,95,96,96,98,98,99.

通過整理，得到數(shù)據(jù)分析表如下：

班級(jí)最高分平均分中位數(shù)眾數(shù)方差

九（1）班100a939312

九（2）班9995b938.4

（1）求表中a,b的值；

（2）依據(jù)數(shù)據(jù)分析表，說明是（1）班的成績好還是（2）班的成績好？請(qǐng)給出兩條理由.

20.如圖，在正方形488紙片上有一點(diǎn)尸，PA=1,PD=2,PC=3.現(xiàn)將△2（?￡＞剪下,

并將它拼到如圖所示位置（C與A重合，P與G重合，。與。重合）.求：

（1）線段PG的長；

（2）乙4P。的度數(shù).

21.如圖，在5X6的方格紙中，AABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，按要求畫圖（只用無刻度的直

尺）.

（1）在圖1中畫一個(gè)以A,B,C,。為頂點(diǎn)的平行四邊形（。為格點(diǎn)）；

（2）在圖2中作直線CELA8（￡為格點(diǎn)）；

（3）在圖3中作NF8A=NCBA（尸為格點(diǎn)，且不在直線BC上）.

圖1圖2圖3

22.武漢的夏季到了，某服裝店同時(shí)購進(jìn)A,8兩款夏裝共300套，進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表所示,

設(shè)購進(jìn)A款夏裝x套（x為正整數(shù)），該服裝店售完全部A,8兩款夏裝獲得的總利潤為

y元.

夏裝款式A款3款

每套進(jìn)價(jià)（單位：元）6080

每套售價(jià)（單位：元）100150

（1）求y與X的函數(shù)關(guān)系式；

（2）該服裝店計(jì)劃投入不多于2萬元購進(jìn)這兩款夏裝，則至少購進(jìn)多少套A款夏裝？若

A,8兩款夏裝全部售完，則服裝店可獲得的最大利潤是多少元？

（3）在（2）的條件下，服裝店購進(jìn)A款夏裝的進(jìn)價(jià)降低a元（其中20<a<40）,購

進(jìn)2款夏裝的進(jìn)價(jià)不變，且最多購進(jìn)240套A款夏裝.若保持這兩款夏裝的售價(jià)不變，

該服裝店如何進(jìn)貨使得全部售完A,B兩款夏裝獲得的利潤最大？

23.如圖，四邊形ABCZ）是邊長為2的正方形，E為線段上一動(dòng)點(diǎn)，EFLAC,垂足為足

（1）如圖1,連接。E交AC于點(diǎn)若NDEF=15°,求AM的長；

（2）如圖2,點(diǎn)G在BC的延長線上，點(diǎn)E在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足CG=BE,

①連接BF,DG,判斷8ROG的數(shù)量關(guān)系并說明理由；

②如圖3,若。為CG的中點(diǎn)，直接寫出DE+2DQ的最小值為.

24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB：y=-\x+3與直線CD：y=fcc-2相交于

點(diǎn)M(4,a),分別交坐標(biāo)軸于點(diǎn)A,B,C,D.

(1)求。和左的值；

(2)如圖，點(diǎn)P是直線CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e為20時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)直線上有一點(diǎn)尸，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)找一點(diǎn)N,使得以8。為一邊，以點(diǎn)8,

D,F,N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo).

參考答案

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）下列各題中均有四個(gè)備選答案,

其中有且只有一個(gè)正確，請(qǐng)?jiān)诖痤}卷上將正確答案的代號(hào)涂黑.

1.二次根式缶石在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則無滿足的條件是（）

3323

A.x>--B.C.x<--D.

2222

解：由題意可知：2x+320,

解得尤N

故選：B.

2.下列二次根式中，與遮是同類二次根式的是（）

A.&B.?C.V12D.V18

解：A灰與遮的被開方數(shù)不相同，故不是同類二次根式；

B.，M=3,與“不是同類二次根式；

五=2a，與遂被開方數(shù)相同，故是同類二次根式；

。小比=3&，與遂被開方數(shù)不同，故不是同類二次根式?

故選：C.

3.若一次函數(shù)y=x+4的圖象與x軸交于點(diǎn)尸，則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（）

A.(-4,0)B.(4,0)C.(0,-4)D.(0,4)

解：?.,一次函數(shù)y=x+4的圖象與無軸交于點(diǎn)P,

?,?令y=o時(shí)，o=x+4,

解得九=-4,

???點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（-4,0）,

故選：A.

4.某校對(duì)九年級(jí)6個(gè)班學(xué)生平均一周的課外閱讀時(shí)間進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，分別為（單位：h）：3.5,

4,3.5,5,5,3.5.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是（）

A.3B.3.5C.4D.5

解：在這一組數(shù)據(jù)中3.5出現(xiàn)了3次，次數(shù)最多，故眾數(shù)是3.5.

故選：B.

5.下列計(jì)算正確的是（）

A.W3-3V2V3B.近用二啦C.272X73=76D.V84-272=1

解：A、4正與3y不能合并，所以A選項(xiàng)的計(jì)算錯(cuò)誤；

B、原式=2y+y=3y，所以8選項(xiàng)的計(jì)算錯(cuò)誤；

C、原式=2收不=24，所以C選項(xiàng)的計(jì)算錯(cuò)誤；

D、原式2=￡X2=1,所以。選項(xiàng)的計(jì)算正確.

故選：D.

6.在中，ZC=90°,AB=2ACf若AC=6,則BC的長為（）

A.8B.12C.673D.12V3

解：?.?△ABC為直角三角形，且/C=90°,

J.AB^AC^+BC2,

：AB=2AC,

.,.3AC2=BC2=108,

解得BC=6?,

故選：c.

7.在課外活動(dòng)中，有10名同學(xué)進(jìn)行了投籃比賽，限每人投10次，投中次數(shù)與人數(shù)如下表:

投中次數(shù)578910

人數(shù)23311

則這10人投中次數(shù)的平均數(shù)是（）

A.7B.7.2C.7.4D.7.5

解：這10人投中次數(shù)的平均數(shù)是5*2+7*曹義3+9+10=74.

故選：C.

8.如圖，平行四邊形A5CD中，對(duì)角線AC和5。交于O,若AC=8,BD=6,則A3長的

取值范圍是（）

A.1<AB<7B.2<AB<4C.6<AB<8D.3<AB<4

解：:四邊形ABC。是平行四邊形,

：.AO=-ACBO=—BD

2f2f

VAC=8,BD=6,

：.AO=4,BO=3,

???4-3<AB<4+3,

解得：1<AB<7,

故選：A.

9.在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)（-2,3）的直線/經(jīng)過一、二、三象限，若點(diǎn)（0,a）,

（-1,b）,（c,-1）都在直線/上，則下列判斷正確的是（）

A.a<bB.。<3C.b<3D.c<-2

解：設(shè)一次函數(shù)的解析式為〉=履+￡（人/0）,

:直線/過點(diǎn)（-2,3）.點(diǎn)（0,a）,（-1,b）,（c,-1）,

斜率上=貯3=上3_=±1,即左=g二3=匕-3=」,

0+2-1+2c+22c+2

:直線/經(jīng)過一、二、三象限,

???左>0,

/?>3,c<-2.

故選：D.

10.在△ABC中，點(diǎn)。在5C上，ZBAC=2ZADB=90°,5。=3。。=3,則AD的長是（

C?yj2+>/7D.2+V1.4

解：取3C的中點(diǎn)作或LLAO于點(diǎn)/，連接AE,如右圖所示,

VZBAC=2ZADB=90°,BD=3CD=3,

：.ZFDE=45°,CD=1,BC=4,

,?,點(diǎn)石為5C的中點(diǎn)，

：.AE=—BC=2CE=2,

2f

：.DE=CE-CD=2-1=1,

：.DF=EF=U,

2__________

?■-4F=VAE2-EF2=^22-(^-)2=^-

吟尸+叱=逆+返=&"

222

故選：B.

二、填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分）

11.計(jì)算：3血.

解：V18=V9X2=3^2-

故答案為372.

12.將直線y=2x-3向上平移2個(gè)單位后的直線解析式y(tǒng)=2x-l.

解：平移后的解析式為：＞=2尤-3+2=2%-1.

故填：y=2x-1.

13.如圖，直線y=fcv+6（左＜0）經(jīng)過點(diǎn)A（3,1）,當(dāng)fcr+bcg?時(shí)，尤的取值范圍為尤

3-

解：?.?正比例函數(shù)尸小也經(jīng)過點(diǎn)A,

O

.,.kx+b<-^x的解集為尤>3,

故答案為：x>3.

14.某校抽樣調(diào)查了七年級(jí)學(xué)生每天體育鍛煉時(shí)間，整理數(shù)據(jù)后制成了如下所示的頻數(shù)分布

表，這個(gè)樣本的中位數(shù)在第2組.

組別時(shí)間(小時(shí))頻數(shù)(人)

第1組0QV0.512

第2組0.5W/V124

第3組W1.518

第4組1.54V210

第5組2QV2.56

解：共12+24+18+10+6=70個(gè)數(shù)據(jù)，

12+24=36,

所以第35和第36個(gè)都在第2組，

所以這個(gè)樣本的中位數(shù)在第2組.

故答案為：2.

15.快車從甲地駛往乙地，慢車從乙地駛往甲地，兩車同時(shí)出發(fā)并且在同一條公路上勻速行

駛.圖中折線表示快、慢兩車之間的距離y(km)與它們的行駛時(shí)間x(〃)之間的函數(shù)

關(guān)系.以下結(jié)論：①快車途中停留了0.5/7；②快車速度比慢車速度多20km/h；③圖中。

=340；④快車先到達(dá)目的地.其中正確的是②③.(將正確答案的序號(hào)填在橫線)

解：根據(jù)題意可知，兩車的速度和為：360+2=180(km/h),

慢車的速度為：88+(3.6-2.5)=80{km/h'),則快車的速度為lOOkm/Zz,

所以快車速度比慢車速度多20h〃/z；故②結(jié)論正確；

(3.6-2.5)X80=88(km),

故相遇后慢車停留了0.5/z,快車停留了1.6/z,此時(shí)兩車距離為88初z,故①結(jié)論錯(cuò)誤；

88+180X(5-3.6)=340(km),

所以圖中。=340,故③結(jié)論正確；

快車到達(dá)終點(diǎn)的時(shí)間為360+100+1.6=5.2小時(shí)，

慢車到達(dá)終點(diǎn)的時(shí)間為360+80+0.5=5小時(shí)，

因?yàn)?.2>5,

所以慢車先到達(dá)目的地，故④結(jié)論錯(cuò)誤.

所以正確的是②③.

故答案為：②③.

16.如圖是一張面積為10的AABC紙片，其中BC=5,ZABC=45Q,DE是三角形的中

位線，M,N分別是線段。E,上的動(dòng)點(diǎn).沿著虛線將紙片裁開，并將兩側(cè)的紙

片按箭頭所示的方向分別繞點(diǎn)DE旋轉(zhuǎn)180。在同一平面內(nèi)拼圖，使得8。與重合,

CE與AE重合.則拼成的四邊形紙片周長的最大值與最小值之差為1.

解：如圖

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，BC=N'N",M'M"=2DE,

'：AD=DB,AE=EC,

J.DE//BC,BC=2DE,

：.M'M"http://N'N'f,M'M"=NrN〃，

???四邊形M"N"N'是平行四邊形，

???四邊形M'fN,fN'的周長=2MN+10,

如圖，連接BE,過點(diǎn)A作AH_L5C于〃，EJ_LBC于J.

9

,.AH=4f

VZABC=45°,

：.AH=BH=4,

：.CH=CB-BH=5-4=1,

?：AH//EJ,AE=EC,

:.JH=JC=工,

2

1Q

：.EJ^—AH^2,BJ=BH+JH=2,

22

B￡=122=

?1-VEJ+BJ^22+（y）2=

當(dāng)跖VLBC時(shí)，MN的值最小，此時(shí)拼成的四邊形紙片周長的的值最小，最小值=14,

當(dāng)與線段BE重合時(shí)，MN的值最大，此時(shí)拼成的四邊形紙片周長的最大，最大值=

15,

拼成的四邊形紙片周長的最大值與最小值的差為1.

故答案為1.

三、解答題（共8個(gè)小題，共72分】下列各題需要在答題卷指定位置寫出文字說明、證明

過程、演算步驟或畫出圖形.

17.計(jì)算：

（1）V12-F+F；

解：⑴萬一恭y

=2爪-V3+2

=遮+2；

⑵潟X6+加+&

=y+y

=2+，'R.

18.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,C。為AB邊上的中線，過點(diǎn)C作C￡〃AB,過點(diǎn)

B作BE〃CD,CE、BE相交于點(diǎn)E.求證：四邊形8EC。為菱形.

【解答】證明：：CE〃A8,BE//CD,

...四邊形BECD是平行四邊形.

又?.?/ACB=90°,C。為42邊上的中線，

：.CD=—AB.

2

又?.,(7￡)為A8邊上的中線

：.BD=—AB.

2

：.BD=CD.

平行四邊形BEC。是菱形.

19.某校九年級(jí)兩個(gè)班，各選派10名學(xué)生參加學(xué)校舉行的“漢字聽寫”大賽預(yù)賽.各參賽

選手的成績?nèi)缦拢?/p>

九(1)班：88,91,92,93,93,93,94,98,98,100；

九(2)班：89,93,93,93,95,96,96,98,98,99.

通過整理，得到數(shù)據(jù)分析表如下：

班級(jí)最高分平均分中位數(shù)眾數(shù)方差

九（1）班100a939312

九（2）班9995b938.4

（1）求表中a,b的值；

（2）依據(jù)數(shù)據(jù)分析表，說明是（1）班的成績好還是（2）班的成績好？請(qǐng)給出兩條理由.

解：（1）a=yy（88+91+92+93+93+93+94+98+98+100）=94；

把九（2）班成績排列為：89,93,93,93,95,96,96,98,98,99,

則中位數(shù)6=工（95+96）=95.5,

2

.,.?=94；6=95.5；

（2）①九（2）班平均分高于九（1）班；

②九（2）班方差小于九（1）班，故九（2）班的成績比九（1）班穩(wěn)定；

③九（2）班的成績的中位數(shù)大于九（1）班成績的中位數(shù)，

故九（2）班成績好（任意選兩個(gè)即可）.

20.如圖，在正方形ABC。紙片上有一點(diǎn)尸，PA=1,PD=2,PC=3.現(xiàn)將剪下，

并將它拼到如圖所示位置（C與A重合，P與G重合，。與。重合）.求：

（1）線段尸G的長；

（2）NAP。的度數(shù).

G

k;

J___________\：

解：四邊形ABC。是正方形，

：.AD=CD,ZADC=90°,

9：PA=1,PD=2,PC=3,

將△PCD剪下，并將它拼到如圖所示位置（。與A重合,產(chǎn)與G重合，D與D重合），

：.PD=GD=2,ZCDP=ZADG,AG=PC=3,

：.ZPDG^ZADC^90°,

APDG是等腰直角三角形，

.-.ZGPD=45O,PG=?PD=?M，

(2)由(1)知/GP3=45°,PG=y/2PD=2y/2,

：AG=PC=3,AP=\,

.\12+(2&)2=32,

：.AP2+PG2=AG2,

：.ZGPA=90°,

.?.NA尸0=90°+45°=135°.

21.如圖，在5X6的方格紙中，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，按要求畫圖（只用無刻度的直

尺）.

（1）在圖1中畫一個(gè)以A,B,C,。為頂點(diǎn)的平行四邊形（。為格點(diǎn)）；

解：（1）如圖1,四邊形ABDC即為所求作的平行四邊形;

（2）如圖2,直線CE即為所求;

(3)如圖3,ZFBA=ZCBA.

22.武漢的夏季到了，某服裝店同時(shí)購進(jìn)A,8兩款夏裝共300套，進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表所示,

設(shè)購進(jìn)A款夏裝x套(x為正整數(shù))，該服裝店售完全部42兩款夏裝獲得的總利潤為

y元.

夏裝款式A款B款

每套進(jìn)價(jià)(單位：元)6080

每套售價(jià)(單位：元)100150

(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)該服裝店計(jì)劃投入不多于2萬元購進(jìn)這兩款夏裝，則至少購進(jìn)多少套A款夏裝？若

A，8兩款夏裝全部售完，則服裝店可獲得的最大利潤是多少元？

(3)在(2)的條件下，服裝店購進(jìn)A款夏裝的進(jìn)價(jià)降低。元(其中20<a<40),購

進(jìn)2款夏裝的進(jìn)價(jià)不變，且最多購進(jìn)240套A款夏裝.若保持這兩款夏裝的售價(jià)不變，

該服裝店如何進(jìn)貨使得全部售完A,B兩款夏裝獲得的利潤最大？

解：(1)根據(jù)題意得y=(100-60)x+(150-80)(300-x)=-30尤+21000,

即y=-30x+21000；

(2)由題意得，60x+80(300-x)W20000,

解得龍2200,

???至少要購進(jìn)甲款運(yùn)動(dòng)服200套.

又?.、=-30X+21000,-30<0,

隨x的增大而減小，

...當(dāng)尤=200時(shí)，y有最大值，

y最大=-30X200+21000=15000,

若售完全部的甲、乙兩款運(yùn)動(dòng)服，則服裝店可獲得的最大利潤是15000元；

(3)由題意得，y=(100-60+fl)x+(150-80)(300-x),其中200WJCW240,

化簡得,y=(a-30)x+21000,

V20<a<40,貝！J：

①當(dāng)20<a<30時(shí)，a-30<0,y隨尤的增大而減小，

.,.當(dāng)x=200時(shí)，y有最大值，

則服裝店應(yīng)購進(jìn)甲款運(yùn)動(dòng)服200套、乙款運(yùn)動(dòng)服100套，獲利最大；

②當(dāng)cz=30時(shí)，a-30=0,y=21000,

則服裝店應(yīng)購進(jìn)甲款運(yùn)動(dòng)服的數(shù)量應(yīng)滿足200WxW240,且x為整數(shù)時(shí),服裝店獲利最大;

③當(dāng)30＜。＜40時(shí)，a-30＞0,y隨尤的增大而增大，

：200?240,

當(dāng)x=240時(shí)，y有最大利潤，

則服裝店應(yīng)購進(jìn)甲款運(yùn)動(dòng)服240套、乙款運(yùn)動(dòng)服60套，獲利最大.

23.如圖，四邊形是邊長為2的正方形，E為線段2C上一動(dòng)點(diǎn)，EFLAC,垂足為足

(1)如圖1,連接。E交AC于點(diǎn)若NDEF=15°,求AM的長；

(2)如圖2,點(diǎn)G在BC的延長線上，點(diǎn)E在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足CG=2E,

①連接8RDG,判斷BR0G的數(shù)量關(guān)系并說明理由；

②如圖3,若。為CG的中點(diǎn)，直接寫出OE+2。。的最小值為—倔

???四邊形ABCD是邊長為2的正方形，

：.AD=2,AD//BC,ZACB=ZDAC=45°,

ZADM=/DEC,

'：EF_LAC,

：.ZFEC=90°-ACB=90°-45°=45°,

VZZ)EF=15°,

ZMEC=ZDEF+ZFEC=15°+45°=60°,即NDEC=60°,

ZADM=60°,

又ZDAC=45°,

AZDMH=30°,ZHMA=ZDAC=45°,

:?DM=2DH,AH=MH,

設(shè)0H=羽則。M=2x,

???由勾股定理得MH=^=AH,

^：AH+DH=AD=2,

1?V^+X=2，

?'?x=y/~3-1，即DH=X=^[2~1，

：?AH=MH=^[^c=M(?-l)=3-遮，

RtZXAHM中，ZAHM=90°,

由勾股定理得：AM=y[2(3-?)=3加-在；

(2)@DG=^/2BF,理由如下：

如圖2,過點(diǎn)尸作尸于點(diǎn)H,

：.ZFHB=ZFHC=90°,

VZACB=45°,EFLAC,

：.ZFEC=45°=ZACB,

:?FE=FC,

：.EH=CH=FH,

???CG=BE,

PC-RRv

???設(shè)CG=BE=y,則EH=CH=FH="口口=1一上,BH=BE+EH,

22

：.BH^y+l-看=1+看，

1/四邊形ABCD是邊長為2的正方形，點(diǎn)G在BC的延長線上，

:./DCG=/BCD=90°,

在RtZXBFH和Rt^OGC中，ZFHB=ZDCG=Z90°,

分別由勾股定理得：

BF2—Fffi+BH2—(1-二)2+(1+—)2—2+—y2,DG2—DC2+CG2—22+y2—4+y2,

222

.,.r)G2=2SF2,

:.DG=MBF；

②如圖3,取DE、0c的中點(diǎn)P、H,延長QC至K,使CK=CH=1,延長PC至L,使

CL=CP,

連接PH,KL,過點(diǎn)。作QA〃CL延長KL交QR于R,

VZBC￡>=90°,尸為。E中點(diǎn),

：.CP=—DE,

2

,:P、H分別是。E、DC的中點(diǎn),

：.PH//CE,PH^—CE,

2

AZCHP=180°-NBCD=90°,

在△CKL和△CHP中，

'CK=CH

,ZKCL=ZHCP-

CL=CP

:.△CKLQCHP(SAS),

：.KL=PH=—CE,ZCKL=ZCHP=90°=ZDCG,

2

C.KR//CG,

:./CLK=/ECP,

又：QR〃CL

...四邊形CQRL是平行四邊形，

QR=CL=CP=^DE,

：.^DE+DQ^QR+DQ,

:當(dāng)。、。、E三點(diǎn)共線時(shí)，。尺+。。最小，

當(dāng)。、。、R三點(diǎn)共線時(shí)，^DE+DQ=QR+DQ=DR即2Z)R=2^DE+DQ}

OE+2DQ最小，

此時(shí)，ZDQC=ZDRK=ZCLK=ZECP,

,:CP=PE,

：.ZDEC=ZECP,

：.