2023年北京高考數(shù)學(xué)真題實(shí)戰(zhàn)復(fù)習(xí)(三年高考+一年模擬)10 填空壓軸題(含詳解)

專題10填空壓軸題

1.（2022?北京）已知數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù),其前n項(xiàng)和S“滿足S,,=95=1,2,…）.給

出下列四個(gè)結(jié)論：

①｛%｝的第2項(xiàng)小于3；

②為等比數(shù)列；

③｛%｝為遞減數(shù)列；

④他“｝中存在小于擊的項(xiàng).

其中所有正確結(jié)論的序號是—.

2.（2021?北京）已知函數(shù)/（x）=|/gx|-日-2,給出下列四個(gè)結(jié)論:

（1）若1=0,則/*）有2個(gè)零點(diǎn)；

（2）存在負(fù)數(shù)%,使得f（x）恰有1個(gè)零點(diǎn)；

（3）存在負(fù)數(shù)%,使得f（x）恰有3個(gè)零點(diǎn)；

（4）存在正數(shù)3使得/（x）恰有3個(gè)零點(diǎn).

其中所有正確結(jié)論的序號是—.

3.（2020?北京）為滿足人民對美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理，排

放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改.設(shè)企業(yè)的污水排放量卬與時(shí)間/的關(guān)系為w=/c）,用

一/3）一/（0的大小評價(jià)在團(tuán),加這段時(shí)間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱.已知整改期內(nèi)，

b-a

甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系如圖所示.

①在［6，切這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；

②在芍時(shí)刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；

③在G時(shí)刻，甲，乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo)：

④甲企業(yè)在［0,",用，t2］,［t2,幻這三段時(shí)間中，在［0,“的污水治理能力最強(qiáng).

其中所有正確結(jié)論的序號是—.4.（2022?海淀區(qū)一模）已知函數(shù)人制=平竺，給出

X+1

下列四個(gè)結(jié)論:

①/（x）是偶函數(shù)；

②/（X）有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)；

③/（X）的最小值為-g;

④/（x）的最大值為1.

其中，所有正確結(jié)論的序號為—.

5.（2022?東城區(qū)一模）某學(xué)校開展“測量故宮角樓高度”的綜合實(shí)踐活動.如圖所示，線

段他表示角樓的高，C,D,￡為三個(gè)可供選擇的測量點(diǎn)，點(diǎn)B,C在同一水平面內(nèi)，CD

與水平面垂直.現(xiàn)設(shè)計(jì)能計(jì)算出角樓高度的測量方案，從以下六組幾何量中選擇三組進(jìn)行

測量，則可以選擇的幾何量的編號為—.（只需寫出一種方案）

①C,。兩點(diǎn)間的距離：

②C,E兩點(diǎn)間的距離；

③由點(diǎn)C觀察點(diǎn)A的仰角a；

④由點(diǎn)。觀察點(diǎn)A的仰角￡；

⑤ZACE和ZA￡C；

⑥NADE?和

6.（2022?朝陽區(qū)一模）在

平面直線坐標(biāo)系xOy中，設(shè)拋物線C：y?=4x的焦點(diǎn)為F,直線/:y=6（x-l）與拋物線C

交于點(diǎn)A,且點(diǎn)A在x軸上方，過點(diǎn)A作拋物線C的切線與拋物線C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)P,與x

軸交于點(diǎn)給出下列四個(gè)結(jié)論：

①AOE4的面積是G:

②點(diǎn)H的坐標(biāo)是（-6,（））；③在x軸上存在點(diǎn)Q使耳。,尸0=0；

④以HF為直徑的圓與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)N,則AF=2FN.

其中所有正確結(jié)論的序號是—.

7.（2022?東城區(qū)二模）某公司通過統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)，工人工作效率E與工作年限r(nóng)">0）,

勞累程度T（O<T<1），勞動動機(jī)"1<人<5）相關(guān)，并建立了數(shù)學(xué)模型E=10-107?8知”.

已知甲、乙為該公司的員工，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①甲與乙勞動動機(jī)相同，且甲比乙工作年限長，勞累程度弱，則甲比乙工作效率高；

@甲與乙勞累程度相同，且甲比乙工作年限長，勞動動機(jī)高，則甲比乙工作效率高；

③甲與乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，勞動動機(jī)低，則甲比乙勞累程度強(qiáng)：

④甲與乙勞動動機(jī)相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短.則甲比乙勞累程度弱.

其中所有正確結(jié)論的序號是—.

8.(2022?房山區(qū)一模)如圖，正方體A8CO-A8CR的棱長為2,點(diǎn)O為底面43CZ)的

中心，點(diǎn)P在側(cè)面的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動.給出下列四個(gè)結(jié)論：

①AC；

②存在一點(diǎn)尸，D、O”B,P；

③若ROLOP,則△RGP面積的最大值為㈠；

④若P到直線D?的距離與到點(diǎn)B的距離相等，則P的軌跡為拋物線的一部分.

其中所有正確結(jié)論的序號是

9.(2022?豐臺區(qū)一模)如圖，在棱長為2的正方體A8CD-AgCQ中,

M,N分別是棱A4，AR的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段CM上運(yùn)動，給出下列四個(gè)結(jié)論:

①平面CMN截正方體ABCD-ABCR所得的截面圖形是五邊形；

②直線到平面CMN的距離是岸;

③存在點(diǎn)P,使得NB/A=90。；④APDR面積的最小值是亞.

6

其中所有正確結(jié)論的序號是

10.(2022?石景山區(qū)一模)已知非空集合A,3滿足：A|jB=R，

=0，函數(shù)/(x)=§對于下列結(jié)論:

①不存在非空集合對(48)，使得/*)為偶函數(shù)；

②存在唯一非空集合對(A,B),使得/(x)為奇函數(shù);

③存在無窮多非空集合對(A,B),使得方程/(x)=0無解.

其中正確結(jié)論的序號為—.

11.(2022?西城區(qū)二模)已知四棱錐P-A8CD的高為1,A/牛3和APCD均是邊長為灰的

等邊三角形，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①四棱錐P-/WCD可能為正四棱錐；

②空間中一定存在到P,A,B,C,。距離都相等的點(diǎn)；

③可能有平面PADJ■平面ABCD；

tb

其中所有正確結(jié)論的序號是—.

12.(2022?西城區(qū)一模)己知函數(shù)/。)=|2*-〃|-依-3,給出下列四個(gè)結(jié)論：

①若。=1,則函數(shù)/(x)至少有一個(gè)零點(diǎn)；

②存在實(shí)數(shù)a,k,使得函數(shù)/(x)無零點(diǎn)；

③若a>0,則不存在實(shí)數(shù)3使得函數(shù)/(x)有三個(gè)零點(diǎn)；

④對任意實(shí)數(shù)〃，總存在實(shí)數(shù)后使得函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).

其中所有正確結(jié)論的序號是—.

13.(2022?豐臺區(qū)二模)如圖，某荷塘里浮萍的面積y(單位：機(jī)?)與時(shí)間，(單位：月)

滿足關(guān)系式：為常數(shù))，記y=/(f)(r..O).給出下列四個(gè)結(jié)論:

①設(shè)a?=/(〃)(〃eN*),則數(shù)列｛??｝是等比數(shù)列；

②存在唯一的實(shí)數(shù)w(l,2),使得f(2)-f(1)=:(幻成立，其中/'⑺是的導(dǎo)函

數(shù)；

③常數(shù)ae(1,2)；

④記浮萍蔓延到2機(jī)，3m2,6加所經(jīng)過的時(shí)間分別為4,勺4，則6+%>，3.

其中所有正確結(jié)論的序號是

14.(2022?昌平區(qū)二模)刺繡是中國優(yōu)秀的民族傳統(tǒng)工藝之一，已經(jīng)有

2000多年的歷史.小王同學(xué)在刺繡選修課上，設(shè)計(jì)了一個(gè)螺旋形圖案-即圖中的陰影部

分.它的設(shè)計(jì)方法是：先畫一個(gè)邊長為3的正三角形A4G，取正三角形A4G各邊的三等

分點(diǎn)為，B2,G，得到第一個(gè)陰影三角形人片修；在正三角形&與q中，再取各邊的三

等分點(diǎn)人，B、,c3,得到第二個(gè)陰影三角形&修員；繼續(xù)依此方法，直到得到圖中的螺旋

形圖案，則人鳥=—；圖中螺旋形圖案的面積為.

15.（2022?門頭溝區(qū)一模）如圖，已知四棱錐

P-ABCD的底面是邊長為2的菱形，且ND48=%,PD=AD,平面ABCD,F,

3

O分別是R4,8。的中點(diǎn)，E是線段依上的動點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①ACJ_OE；②FC=PO；

③直線PO與底面ABCD所成角的正弦值為￡；

④AAEC面積的取值范圍是［半,后］.

其中所有正確結(jié)論的序號是

（2022?通州區(qū)一模）如圖，在棱長為2的正方體

ABCO-A4GA中，點(diǎn)、E,F.G分別是棱3C,CC,,OR的中點(diǎn)，點(diǎn)P為底面A4GR

上任意一點(diǎn).若P與。重合，則三棱錐E-PFG的體積是；若直線8。與平面EFG無

公共點(diǎn)，則BP的最小值是

DiGCi

17.(2022?順義區(qū)模擬)向量集合S=｛d[&=(x,y),x,y&R],

對于任意heS,以及任意/Le[0,1],都有/U+(l-/l)EeS,則稱集合S是“凸集”,

現(xiàn)有四個(gè)命題：

①集合M=｛1|6=(x,y),是“凸集”；

②若S為“凸集”，則集合N=｛24|aeS)也是“凸集”；

③若A，&都是“凸集”，則AU4也是“凸集”；

④若A，上都是“凸集”，且交集非空，則an”也是“凸集”?

其中，所有正確的命題的序號是—.

18.(2022?海淀區(qū)二模)在現(xiàn)實(shí)世界，很多信息的傳播演化是相互影響的.選用正實(shí)數(shù)數(shù)

列｛"“｝，｛〃｝分別表示兩組信息的傳輸鏈上每個(gè)節(jié)點(diǎn)處的信息強(qiáng)度，數(shù)列模型：

a?+l=2a?+bn,bn+t=an+2bn[n=\,2,???)>描述了這兩組信息在互相影響之下的傳播演

化過程.若兩組信息的初始信息強(qiáng)度滿足“>仇，則在該模型中，關(guān)于兩組信息，給出如下

結(jié)論：

①eN*,an>bn；

②V“eN"，an+l>a?,b?+i>b?；

③弘eN*,使得當(dāng)時(shí)，總有

b,

@HkeN',使得當(dāng)〃時(shí)，總有|色a

其中，所有正確結(jié)論的序號是—.

19.(2022?房山區(qū)二模)聲音是由于物體的振動產(chǎn)生的能引起聽覺的波，其中包含著正弦

函數(shù).純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)y=AsinM.我們聽到的聲音是由純音合成的，稱為復(fù)合音?已

知一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)/(x)=sinx+gsin2x.給出下列四個(gè)結(jié)論：

①/(x)的最小正周期是萬；

②/(x)在[0,2刊上有3個(gè)零點(diǎn);

③/(x)在［0,自上是增函數(shù)；

④/(x)的最大值為地.

4

其中所有正確結(jié)論的序號是—.

20.(2022?海淀區(qū)校級一模)已知集合尸={(x,y)|(x—cosOp+(y-sin8)2=4,臊七萬}.由

集合P中所有的點(diǎn)組成的圖形如圖中陰影部分所示，中間白色部分形如美麗的''水滴”.給

出下列結(jié)論：

①“水滴”圖形與y軸相交，最高點(diǎn)記為A,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,1)；

②在集合尸中任取一點(diǎn)M，則M到原點(diǎn)的距離的最大值為3；

③陰影部分與y軸相交，最高點(diǎn)和最低點(diǎn)分別記為C,D,則|CO|=2+G：

④白色“水滴”圖形的面積是口萬-6.

21.(2022?平谷區(qū)模擬)設(shè)棱長為2的正方體43cD-A4G。，E是4)中點(diǎn)，點(diǎn)”、N

分別是棱至、上的動點(diǎn)，給出以下四個(gè)結(jié)論：

①存在EN/IMC、；

②存在MV平面ECCt；

③存在無數(shù)個(gè)等腰三角形EMN；

④三棱錐C-的體積的取值范圍是［2,

33

則所有結(jié)論正確的序號是—.

22.(2022?海淀區(qū)校級模擬)聲音是由物體振動而產(chǎn)生的聲波通過介質(zhì)(空氣、固體或液

體)傳播并能被人的聽覺器官所感知的波動現(xiàn)象.在現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常需要把兩個(gè)不同的聲

波進(jìn)行合成，這種技術(shù)被廣泛運(yùn)用在樂器的調(diào)音和耳機(jī)的主動降噪技術(shù)方面.

(1)若甲聲波的數(shù)學(xué)模型為￡(f)=sin200加，乙聲波的數(shù)學(xué)模型為

人Q)=sin(200m+G)3>0),甲、乙聲波合成后的數(shù)學(xué)模型為/。)=/")+6(/).要使

/(f)=0恒成立，則夕的最小值為；

(2)技術(shù)人員獲取某種聲波，其數(shù)學(xué)模型記為“⑺，其部分圖象如圖所示，對該聲波進(jìn)行

逆向分析，發(fā)現(xiàn)它是由S?兩種不同的聲波合成得到的，號，S?的數(shù)學(xué)模型分別記為了⑺

和g(r),滿足"⑴=f?)+g(r).已知S2兩種聲波的數(shù)學(xué)模型源自于下列四個(gè)函數(shù)中

的兩個(gè).

?y=sin—r；@y=sin2^-z；(3)j=sin37rt；@y=2sin3^/.

23.(2022?房山區(qū)校級模擬)設(shè)函數(shù)=

[log3x,x>\.

(l)如果/(1)=3,那么實(shí)數(shù)“=；

(2)如果函數(shù)y=/(x)-2有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

24.(2022?朝陽區(qū)二模)如圖，在正方體AB8-AAGR中，E,F,G分別為棱

4n，上的點(diǎn)(與正方體頂點(diǎn)不重合)，過A作A"J?平面EFG,垂足為H.設(shè)正方

體ABS-ABCI。的棱長為1，給出以下四個(gè)結(jié)論：

①若E,F,G分別是AA,4A，AA的中點(diǎn)，則A4=且；

6

②若￡,F,G分別是4A，4與，AR的中點(diǎn)，則用平行于平面EFG的平面去截正方體

A8CO-A4G。，得到的截面圖形一定是等邊三角形；

③ASFG可能為直角三角形；

④1111

產(chǎn)+A尸+AG?一.“2?

其中所有正確結(jié)論的序號是

X———

，D

25.(2022?海淀區(qū)校級模擬)著名數(shù)學(xué)家棣莫佛

(De/nHwe,1667~1754)出生于法國香檳，他在概率論和三角學(xué)方面，發(fā)表了許多重要論

文.1707年棣莫佛提出了公式：［r(cos0+isin0)］'=r"(cosnO+zsinnd),其中r>0,

neN*.根據(jù)這個(gè)公式，則(cos3+isin^y=；若［r(cos?+isi吟)f=-16>則r=

26.(2022?密云區(qū)一模)已知點(diǎn)A(2,0),8(0,2)和點(diǎn)尸(cos仇sin。)，2eR.給出下列四個(gè)

結(jié)論：

①點(diǎn)P到直線AB的最大距離為6+1；

②當(dāng)最大時(shí)，|PA|=G；

③A/V出的面積的最大值為4+&；

@^y=AB-AP,則4-2勒卜4+2夜.

其中所有正確結(jié)論的序號是—.

27.(2022?西城區(qū)校級三模)直線x=l與拋物線C：V=4x交于“，N兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物

線C準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，記0戶=aOM'+bON(a,b€R),其中O為拋物線C的頂點(diǎn).給出下列命

題：

?3a<0.使得而與麗平行；

②且6<o,使得0戶與。M垂直；

③APMV不可能是等邊三角形；

④無論點(diǎn)P在準(zhǔn)線上如何運(yùn)動，4+。=-1總成立.

其中，所有正確命題的序號是

—X+2x,—3?x<0

28.(2022?東城區(qū)校級三模)已知/(x)=,

In---,O^lk3

x+1

(1)函數(shù)/(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為個(gè)；

(2)若g(x)=|/(x)|-公-a的圖象與x軸有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為—

29.(2022?朝陽區(qū)校級三模)已知函數(shù)/(x)=sin(工+x)sin(巳-x),給出下列四個(gè)結(jié)論:

①/*)的值域是［-1，1］;

②/(x)在［0,自上單調(diào)遞減：

③/(x)是周期為7的周期函數(shù);

④將/(x)的圖象向左平移個(gè)單位長度后，可得一個(gè)奇函數(shù)的圖象.

其中所有正確結(jié)論的序號是

30.(2022?海淀區(qū)校級模擬)某班在一次考試后分析學(xué)生在語文、數(shù)學(xué)、英語三個(gè)學(xué)科的

表現(xiàn)，繪制了各科年級排名的散點(diǎn)圖如圖所

英語排名

語文排名

關(guān)于該班級學(xué)生這三個(gè)學(xué)科本次考試的情況，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①三科中，數(shù)學(xué)年級排名的平均數(shù)及方差均最?。?/p>

②語文、數(shù)學(xué)、英語年級排名均在150名以外的學(xué)生為1人；

③本次考試該班語文第一名、數(shù)學(xué)第一名、英語第一名可能為三名不同的同學(xué)；

④從該班學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，若其語文排名大于200,則其英語和數(shù)學(xué)排名均在150以內(nèi)

的概率為

3

其中所有正確結(jié)論的序號是—.

31.(2022?東城區(qū)三模)已知函數(shù)/(幻=2國+/+a.

①對于任意實(shí)數(shù)a,f(x)為偶函數(shù)；

②對于任意實(shí)數(shù)a,.f(x)在(fo,0)上單調(diào)遞減，在(0,儀)上單調(diào)遞增；

③存在實(shí)數(shù)a，使得/(%)有3個(gè)零點(diǎn)；

④存在實(shí)數(shù)使得關(guān)于x的不等式/(x)..2022的解集為(-8,,+a>).

所有正確命題的序號

為?

專題10填空壓軸題

1.（2022?北京）已知數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù),其前n項(xiàng)和S“滿足q?S,,=95=1,2,…）.給

出下列四個(gè)結(jié)論：

①｛%｝的第2項(xiàng)小于3；

②為等比數(shù)列；

③｛%｝為遞減數(shù)列；

④他“｝中存在小于擊的項(xiàng).

其中所有正確結(jié)論的序號是—.

【答案】①③④

【詳解】對于①”=1時(shí)，可得q=3,當(dāng)〃=2時(shí)、由4,S2=9,可得能■（《+生）=9,可

得生="”<3,故①正確；

對于②，當(dāng)〃..2時(shí)，由s,=2得s-=2,于是可得4=2-2,即&=上一￡,

a?%a?%9

若｛4｝為等比數(shù)列，則幾.2時(shí)，an+l=an,即從第二項(xiàng)起為常數(shù)，可檢驗(yàn)〃=3不成立，故

②錯(cuò)誤；

對于③，因?yàn)椤╦5,=9,a?>0,q=3,

當(dāng)”..2時(shí)，S?=—,

an

qg

所以a”=5“-S,-=----------->0,

ana“T

9911

所以一>——=>—>——=a“<凡1,

44a,7

所以伍“｝為遞減數(shù)列，故③正確；

對于④，假設(shè)所有項(xiàng)均大于等于」一,取“>90000,貝l」a"..」一,S.>900,則a“S”>9與己

知矛盾，故④正確；

故答案為：①③④.

2.（2021?北京）已知函數(shù)，x）=|/gx|Ttr-2,給出下列四個(gè)結(jié)論:

（1）若斤=0,則f（x）有2個(gè)零點(diǎn)；

（2）存在負(fù)數(shù)%,使得/*）恰有1個(gè)零點(diǎn)；

（3）存在負(fù)數(shù)3使得/（x）恰有3個(gè)零點(diǎn)；（4）存在正數(shù)3使得/（x）恰有3個(gè)零點(diǎn).

其中所有正確結(jié)論的序號是

【答案】(1)(2)(4)

【詳解】函數(shù)/(x)=|/gx|-七-2的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=|/gx|與直線y=履+2的交

點(diǎn)的個(gè)數(shù)：

作函數(shù)y=|/gx|與直線y=fcc+2的圖象如右圖，

若&=0,則函數(shù)y=|/gx|與直線>="+2的圖象在(0,1)與(l,+oo)上各有一個(gè)交點(diǎn)，如直線

4，則f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，故(1)正確；

當(dāng)后=一2時(shí)，當(dāng)尤e(0,1］時(shí)，f(x)=-lgx+2x-2,

/(10-2)=2+^-2>0,/(10-')=1+^-2<0,

故/(x)在(10N,10)上至少有一個(gè)零點(diǎn)，

又/(1)=0,結(jié)合圖象知，f(x)在(0,1］上有兩個(gè)零點(diǎn)，

即y■如|與y=-2x+2有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故當(dāng)直線繞點(diǎn)(0,2)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，

存在直線)，=丘+2與函數(shù))，=|/gx|與直線的圖象相切，即f(x)有一個(gè)零點(diǎn)，如直線“，故

(2)正確；

當(dāng)上<0時(shí)，函數(shù)y=|/gx|與直線y=履+2的圖象至多有兩個(gè)交點(diǎn)，故(3)不正確；

當(dāng)A>0且人足夠小時(shí)，函數(shù)y■姐|與直線y=丘+2的圖象在(0,1)與(l,+oo)上分別有1個(gè)、

2個(gè)交點(diǎn)，如直線的故(4)正確；

故答案為：(1)(2)(4).

3.(2020?北京)為滿足人民對美好生活

的向往，環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理，排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改.設(shè)企業(yè)的

污水排放量w與時(shí)間f的關(guān)系為w=/?)，用-‘3)二八’的大小評價(jià)在為,切這段時(shí)間

b-a

內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱.已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系如

給出下列四個(gè)結(jié)論：

①在匕，圖這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；

②在L時(shí)刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；

③在G時(shí)刻，甲，乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo)；

④甲企業(yè)在［0,4］,匕，出，口這三段時(shí)間中，在［0，G的污水治理能力最強(qiáng).

其中所有正確結(jié)論的序號是—.

【答案】①②③

【詳解】設(shè)甲企業(yè)的污水排放量W與時(shí)間，的關(guān)系為w=f（f）,乙企業(yè)的污水排放量卬與

時(shí)間f的關(guān)系為W=g（t）.

對于①，在也，芍］這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力為-/仇）:/（G,

乙企業(yè)的污水治理能力為-g“2匕g（G..

t2Tl

由圖可知，/（G-/G）＞g（G-gG），,J（幻-＞（G＞-g（4）r（G，

12ft2-t1

即甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)，故①正確；

對于②，由圖可知，/⑺在f?時(shí)刻的切線的斜率小于gQ）在時(shí)刻的切線的斜率，但兩切

線斜率均為負(fù)值，

.?.在與時(shí)刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)，故②正確；

對于③，在與時(shí)刻，甲，乙兩企業(yè)的污水排放都小于污水達(dá)標(biāo)排放量，

.??在與時(shí)刻，甲，乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo)，故③正確；

對于④，由圖可知，甲企業(yè)在［0,小，匕，t2］,［t2,編這三段時(shí)間中，在國，外的污

水治理能力最強(qiáng)，

故④錯(cuò)誤.

正確結(jié)論的序號是①②③.

故答案為：①②③.

4.（2022?海淀區(qū)一模）已知函數(shù)/（》）=學(xué)少，給出下列四個(gè)結(jié)論:

①/（X）是偶函數(shù)；②/（X）有無數(shù)個(gè)零點(diǎn);

③/（X）的最小值為-工；

④/（X）的最大值為1.

其中，所有正確結(jié)論的序號為—.

【答案】①②④

【詳解】?.?函數(shù)/?（》）=華巴，

X2+1

.〃_幻=溶3=與三=〃幻，.?.該函數(shù)是偶函數(shù)，故①正確;

（一九）+1X+1

令函數(shù)/(%)=C1S乃X=0,貝|JCOS7TX=0,.,.乃X=ATF+工(RwZ),

廠+12

x=k+—(keZ)?故②正確;

2

COS71X-7r(x+1)sin乃工一2xcos7tx

?e,f(x)

x2+1(X2+1)2

,/f(1)=―-,:.f'(1)=—^0,

22

.?.函數(shù)的最小值不可能為-1,故③錯(cuò)誤；

2

Icos7rx\?],當(dāng)；rx=%r(AwZ)時(shí)取等號，/.0<——?1,

當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號，喀里”1,

x2+1

當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號，.?./（》）=竿三,,1,故④正確.

x2+1

故答案為：①②④.

5.（2022?東城區(qū)一模）某學(xué)校開展“測量故宮角樓高度”的綜合實(shí)踐活動.如圖所示，線

段他表示角樓的高，C,D,E為三個(gè)可供選擇的測量點(diǎn)，點(diǎn)3,C在同一水平面內(nèi)，CD

與水平面垂直.現(xiàn)設(shè)計(jì)能計(jì)算出角樓高度的測量方案，從以下六組幾何量中選擇三組進(jìn)行

測量，則可以選擇的幾何量的編號為—.（只需寫出一種方案）

①C,。兩點(diǎn)間的距離；

②C,E兩點(diǎn)間的距離：

③由點(diǎn)C觀察點(diǎn)A的仰角a；

④由點(diǎn)。觀察點(diǎn)A的仰角￡；

⑤NACE和NAEC；⑥/4DE和Z4￡D.

A

【答案】①③④或②③⑤

【詳解】經(jīng)分析可知，若選①③④,

在AACD中，ZACD=^-a,ZADC=^+j3,ZCAD=a-j3,

所以———=———.

sin(；+0sin(a-0

所以AC='os。.CD,

sin(a-B)

所以AB=AC?sinc=儂刖。?D,其中各個(gè)量均已知；

sin(a-0)

若選②③⑤，

已知NACE和NAEC,則NC4E=4—NACE-NAEC,

由AC=CE=CE,

sinZAECsinZCAEsin(ZACE+ZAEC)'

sinZ.AEC

所以AC=?CE,

sin(ZACE+ZAEC)

sinZAEC?sina「「

所以AB=ACsina.CE,其中各個(gè)量均己知;

sin(ZAC￡+ZA￡C)

其他選擇方案均不可求得A8氏.

故答案為：①③④或②③⑤.

6.（2022?朝陽區(qū)一模）在平面直線坐標(biāo)系xOy中，設(shè)拋物線C:丁=4x的焦點(diǎn)為尸，直線

/:y=6（x-l）與拋物線C交于點(diǎn)A,且點(diǎn)A在x軸上方，過點(diǎn)A作拋物線C的切線與拋物

線C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)尸，與x軸交于點(diǎn)，.給出下列四個(gè)結(jié)論：

①AOE4的面積是石；②點(diǎn)〃的坐標(biāo)是（-百,0）；

③在x軸上存在點(diǎn)Q使

④以HF為直徑的圓與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)N,則AF=2FN.

其中所有正確結(jié)論的序號是—.

【答案】①③④

【詳解】由題意知，

聯(lián)立卜「6（x7）,W3X2-10X+3=0,解得x=3或L

/=4x3

因?yàn)辄c(diǎn)A在》軸上方，所以A（3,2君），

所以AOE4的面積S=g|O/q?=；xlx2G=G，即①正確:

又y2=4x,可取y=2&,所以y，=j=,

1=#—3),

故點(diǎn)A處的切線斜率為切線方程為y-26即y=ix+

令y=0,則X=—3,所以點(diǎn)”（一3,0）,即②錯(cuò)誤;

1店中，得y=[G，即p（_l,|6）,

把x=-l代入y=-r=X+

設(shè)點(diǎn)Q（町0）,

由/10-P0=0,得。"—3,—2\/3)-(/?+1,——>/3)=0,BPnr—1m+1=0,所以％=1,

3

所以點(diǎn)Q(l,0),即③正確；

因?yàn)镠(-3,0),尸(1,0),所以以HF為直徑的圓的方程為(x為>+③=4,所以點(diǎn)N(0,-百),

所以而:=(-2,-2石)，麗=(-1,-6),所以礪=2成，即④正確.

故答案為：①③④.

7.（2022?東城區(qū)二模）某公司通過統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)，工人工作效率E與工作年限r(nóng)（r>0）,

勞累程度T（O<T<1）,勞動動機(jī)儀1<6<5）相關(guān)，并建立了數(shù)學(xué)模型E=10-10,。如”.

已知甲、乙為該公司的員工，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①甲與乙勞動動機(jī)相同，且甲比乙工作年限長，勞累程度弱，則甲比乙工作效率高；

@甲與乙勞累程度相同，且甲比乙工作年限長，勞動動機(jī)高，則甲比乙工作效率高；

③甲與乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，勞動動機(jī)低，則甲比乙勞累程度強(qiáng)：

④甲與乙勞動動機(jī)相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短.則甲比乙勞累程度弱.

其中所有正確結(jié)論的序號是—.

【答案】①②④

【詳解】設(shè)甲與乙的工人工作效率用,E2,工作年限仆2,勞累程度7；,T2,勞動動機(jī)

4,打，

14

對于①，bt=b2,r,>r2,Tt<T2,1cb<5,0<Z>/<1,

.?.蛇°吐，o<Tt<T2,

則g_心=10-107；也《叫-(10-107；■…)=10(7；-a⑷叫-Tt-4如")>0,

>￡2,即甲比乙工作效率高，故①正確；

對于②，ht>b2,4=4，

..I>b^'4>>0,,

則g-&=10-107；,4?叫-(10-107；-V4^)=107；(仇-b^A4r')>0,

:.4>E,,即甲比乙工作效率高，故②正確；對于?③，4=v，￡,>￡,,bt<b2,0<—<1?

b2

4rA4r

E「E?=10(7；?b2-°'--7；-b^')>0,T2-b^>Tt-b^',

>能吟，

T\b2-b2

所以工<(，即甲比乙勞累程度弱，故③錯(cuò)誤；

對于④，b[=b?,E[>E?,弓，

，4r：T

E]-E2=10(7；?V-\?4如)>0,T?*bjk>7；-,

嚴(yán)"F>]，

工y17

所以工<不，即甲比乙勞累程度弱，故④正確.

故答案為：①②④.

8.(2022?房山區(qū)一模)如圖，正方體ABCD-ABCR的棱長為2,點(diǎn)O為底面ABCZ)的

中心，點(diǎn)P在側(cè)面B2CC的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動.給出下列四個(gè)結(jié)論：

?D,O1AC；

②存在一點(diǎn)P,DQHB\P；

③若QOLOP,則面積的最大值為百；

④若尸到直線RG的距離與到點(diǎn)B的距離相等，則P的軌跡為拋物線的一部分.

其中所有正確結(jié)論的序號是

【答案】①③

【詳解】對于①，連接AR,CD,,由正方體的性質(zhì)知三角形ACR為等邊三角形，由于O

為底面A8CD的中心，故為AC中點(diǎn)，故AC1.RO,①正確；

對于②，將。。進(jìn)行平移到過用點(diǎn)，使之與具有公共頂點(diǎn)，根據(jù)立體圖形判斷，無

論如何也不可能滿足用“平行或重合于8/,所以R0不可能平行于耳”，②錯(cuò)誤；對于

③取B超的中點(diǎn)E,連接OE,EC,BD,RE,證明_L平面OEC,所以P在線段EC

上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P到點(diǎn)E位置

時(shí)，Cf最大，此時(shí)面積最大為：5?MV=-X2XA/5=5/5.所以③正確.

對于④，P到宜線的距離為線段PG的長度，所以IPGRP8I，判定出。點(diǎn)位置為直

線8G的垂直平分線，故④錯(cuò)誤.

故正確的序號是：①③.

故答案為：①③.

（2022?豐臺區(qū)一模）如圖，在棱長為2的正方體

ABCD-A4GR中，M,N分別是棱A用，AR的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在線段CM上運(yùn)動，給出

下列四個(gè)結(jié)論：

①平面CMV截正方體A8C￡）-A4C|R所得的截面圖形是五邊形；

②直線到平面CMN的距離是與；

③存在點(diǎn)P,使得N4PR=90。；

④“叩面積的最小值是正.

長線分別交于M，連接CM，CM分別交8線，D.于用2，M，連接NN],

°C則五邊形MM2CN2N即為所得的截面圖形，故①正確;

對于②，由題可知MV//與9，MNu平面CMV，耳。仁平面CMV,

8Q//平面CMN,故點(diǎn)B，到平面CMN的距離即為直線BR到平面CMN的距離，

長為2可得,

CM=CN=3,MN=H夜乂?不畀=乎,

.v3而「后i

V

■-B,-CMN=§SACMNX〃=—〃，

Vc-"MN=(SRVN，CC|三''21,

?'?由VB、_CMN=Vc-B,MN，可得〃=2%，

所以直線AA到平面CMV的距離是耳，故②錯(cuò)誤；

對于③，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則用(2,0,2),￡).(0,2,2),C(2,2,0),M(1,

設(shè)PCS/IA/U噴收11

PC=A.MC=A(i,2,-2),又C(2,2,0),4(2,0,2),R(0,2,2),

.-.P(2-2,2-2A,24),PBi=(2,22-2,2-2A),PDi=(2-2,22,2-22),

假設(shè)存在點(diǎn)P，使得ZB.PD,=90°,

PB,-PDi=A(A-2)+22(2A-2)+(2-22)2=0,整理得92,—144+4=0,

,A=7+7B>](舍去)或)=7一而,

99

故存在點(diǎn)P,使得ZB,PR=90°,故③正確：

對于④，由上知產(chǎn)(2-彳，2-22,2㈤，所以點(diǎn)P(2-4,2-2A,22)在的射影為(0,

2,2/1),

.?.點(diǎn)P(2-/l,2-22,2團(tuán)到。"的距離為：

d=J(2—()~+(―2九)~=5/5九2—44,+4=^5(A——)"+,

.,.當(dāng)2=|■時(shí)，dmin=>

故面積的最小值是gx2x孚=竽，故④錯(cuò)誤.

故答案為：①③.

10.(2022?石景山區(qū)一模)已知非空集合4,8滿足：AU8=R，A「|B=0,函數(shù)

f(x)=P，，XeA對于下列結(jié)論：

3X-2,XGB

①不存在非空集合對(A,8),使得/(x)為偶函數(shù);

②存在唯一非空集合對(A,8),使得/(x)為奇函數(shù)；

③存在無窮多非空集合對(A3),使得方程/(x)=0無解.

其中正確結(jié)論的序號為—.【答案】①③

【詳解】①若xwA,-x&A,則/(犬)=/，f(-x)=-x3,/(x)/(-x),

若-xwB,則f(x)=3x-2,f(-x)=-3x-2,/(x)*f(-x),

若xwA,一xwB,則/'(xh%3,f(-x)--3x-2,/(x)f(-x),

若xe3,-xwA,貝?。輋(x)=3x—2,f(-x)=-x3,/(x)*f(-x),

綜上不存在非空集合對(A,B),使得/(x)為偶函數(shù)；

(2)^x3=3%-2,則x=l或x=—2,

當(dāng)8={1},4=CM時(shí)，/(l)=3xl_2滿足當(dāng)x=l時(shí)丁=1,所以f(x)可統(tǒng)一為/(x)=v,

此時(shí)/(-X)=-%3=-/(x)為奇函數(shù)，

3

當(dāng)8={-2},A=CRB時(shí)，/(一2)=3乂(一2)-2=-8滿足當(dāng)》=一2時(shí)％=-8,所以/(x)可統(tǒng)

一為/(%)=%3,此時(shí)/(-幻=-丁=-f(x)為奇函數(shù)，

所以存在非空集合對(48),使得f(x)為奇函數(shù)，且不唯一；

③13=0解的x=0,3x—2=o解的工=—,

3

當(dāng)非空集合對(A8)滿足。生A且4任8,則方程無解，

3

又因?yàn)锳|j8=R，A0|B=。，所以存在無窮多非空集合對(AB),使得方程/(x)=0無解，

故答案為：①③.

11.(2022?西城區(qū)二模)已知四棱錐P-ABCD的高為1,A/個(gè)和APC。均是邊長為血的

等邊三角形，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①四棱錐尸-ABC。可能為正四棱錐；

②空間中一定存在到「，A,B,C,。距離都相等的點(diǎn)；

③可能有平面BIDL平面ABCD-,

④四棱錐尸-A8C。的體積的取值范圍是(；，|j.

其中所有正確結(jié)論的序號是—.

【答案】①②④

【詳解】根據(jù)題意，設(shè)POLMCD,則PO=1,又因?yàn)锳/V3和步8均是邊長為友的

■JT

等邊三角形，易得OA=OB=OC=OD=1,且NAO8=NCO￡>=-,

2

對①，當(dāng)A8=8C=CD=AD=血時(shí)，底面為正方形，且O為底面中心，此時(shí)四棱錐

P-ABC。可能為正四棱錐，故①正確；

對②，04=QB=OC=O￡)=OP=I,故一定存在到「，A,B,C,力距離都相等的點(diǎn)O,

故②正確；

對③,當(dāng)平面FAQJ_平面A8a)時(shí)，因?yàn)镻O_LA88,故POu平面RW,此時(shí)NAOO=;r,

又因?yàn)镹AOB=NCOD=工，此時(shí)5,C重合，不滿足題意，③錯(cuò)誤；

2

對④，設(shè)NBOC=e,則/MCO=LSA8co?尸。

r_/IOC3t\Dx^U

=-C-OAOB+-OCOD+-OBOCsmO+-OAODsm{7r-0y)=-(y+smO},

322223

因?yàn)?e(0,萬)，故sinde(O,1],所以匕”_=；(l+sin6)wd,2],故④正確;

故答案為：①②④.

f(x)=\2x-a\-kx-3,給出下列四個(gè)結(jié)論：

①若4=1,則函數(shù)/(X)至少有一個(gè)零點(diǎn)；

②存在實(shí)數(shù)a,k,使得函數(shù)/(x)無零點(diǎn)；

③若a>0,則不存在實(shí)數(shù)%,使得函數(shù)/(x)有三個(gè)零點(diǎn)；

④對任意實(shí)數(shù)“，總存在實(shí)數(shù)后使得函數(shù)/(x)有兩個(gè)零點(diǎn).

其中所有正確結(jié)論的序號是—.

【答案】O?④

【詳解】①當(dāng)a=l時(shí),f(x)=12x-a\-kx-3,令洋x)=0,得|2'-1|=履+3,

在同一坐標(biāo)系中作出y=\2'-\\,y=kx+3的圖象，如圖所示：

由圖象及直線丫=依+3過定點(diǎn)(0,3)知函數(shù)f(x)至少有一個(gè)零點(diǎn)，故正確;

確；

③當(dāng)a=6,左=_2時(shí)，在同一坐標(biāo)系中作出y=|2*-6|,y=-2x+3的圖象，如圖所示:

22

由圖象知：函數(shù)/(x)有三個(gè)零點(diǎn)，故錯(cuò)誤;

在實(shí)數(shù)上使得函數(shù)/(X)有兩個(gè)零點(diǎn)，故正確.

故答案為：①②④

13.(2022?豐臺區(qū)二模)如圖，某荷塘里浮萍的面積y(單位：〃/)與時(shí)間f(單位：月)

滿足關(guān)系式：y=為常數(shù))，記y=/(f)(f..O).給出下列四個(gè)結(jié)論：

①設(shè)=/(")("eN*),則數(shù)列｛/｝是等比數(shù)列;

②存在唯一的實(shí)數(shù)(1,2),使得f(2)-/(1)=廣仇)成立，其中(⑺是f(r)的導(dǎo)函

數(shù)；

③常數(shù)ae(1,2)；④記浮萍蔓延到2m2,3m2,6m2所經(jīng)過的時(shí)間分別為仆f2,匕，則

其中所有正確結(jié)論的序號是

【答案】①②④

【詳解】依題意f(t)=a!Ina,

因?yàn)?(0)=c^lna<1,所以O(shè)vave且awl,

又7(3)=o,Ina=6,所以歷a>0,所以Ivave,即a￡(l,e),

令h(a)=o'Ina,aw(l,e),

貝(a)=3a2lna+a2>0,

則力(a)在?！?],?)上單調(diào)遞增,

又〃(2)=23//?2<6,所以Q￡(2,e),故③錯(cuò)誤；

nn+｝

由已知可得勺=f(〃)=alna,則an+i=f(n+1)=alna,ax=/(I)=alna,

所以%!_=畢巴=4,

and'Ina

所以｛%｝是以Hw為首項(xiàng)，。為公比的等比數(shù)列，故①正確；

令/(r)=a!Ina,

則r?)(癡),f(2)=a2Ina,f(1)=alna,

令g(/())=6f/(>(Ina)2-a2Ina+alna,

則g&)=d°(/%)3joe(l,2),因?yàn)?。?2,e),所以g&)=疑(/也)3>0,

即g?o)=#(加a)?-cflna+alna,在Z()G(1,2)匕單調(diào)遞增，

因?yàn)閍￡(2,e),所以歷a—avO,Ina-1<0,alna>0,

令°(a)=lna—a+\,aw(2,e),

則--■-1=-——<0,

aa

所以。(a)=lna-a+\,在。w(2,e)上單調(diào)遞減，且°(2)=/〃2—2+1-妨2—1vO,

即°(a)=Ina—tz+1<0>

令H(a)=alna-tz+1,ae(2,e),

則〃(a)=bia>0,

所以"(a)=4?一4+1在?！?2,6)上單調(diào)遞增，

又”(2)=2加2—2+1=2加2—1>0,

所以”(a)=alna—a+1>0,

所以g(1)=a(liui)2-crlna+alna=alna(lna一〃)+alna=alna{lna-。+1)<0,

g(2)=a1(Ina)2-crbui+aliui=a2lna(lna-1)+alna=alna(alnci—a+1)〉0.

故存在jw(1,2)匕g/)=。，故②正確；

依題意2=a'Ina,3=a"Ina,6=a"Ina,

所以2x3=a"Inaxa1-Ina=ah1"(Ina)2,

所以a""(/"a)?=6,則L4=1,

a3Ina

即辦*2f/w=],

-)

所以f1+/2_，3=T^-，

Ina

因?yàn)閍w(2,e),所以加2v/〃a<l,

所以l<二-v3-<2<。，

Inaln2

仇(；)

所以O(shè)<_^L<1,

Ina

所以4+f2T3>0，即小故④正確；故答案為：①@④.

14.(2022?昌平區(qū)二模)刺繡是中國優(yōu)秀的民族傳統(tǒng)工藝之一，已經(jīng)有2000多年的歷史.小

王同學(xué)在刺繡選修課上，設(shè)計(jì)了一個(gè)螺旋形圖案-即圖中的陰影部分.它的設(shè)計(jì)方法是：

先畫一個(gè)邊長為3的正三角形A4G，取正三角形A與G各邊的三等分點(diǎn)42，與，c2,得

到第一個(gè)陰影三角形4片與；在正三角形482G中，再取各邊的三等分點(diǎn)4,B.,c},

得到第二個(gè)陰影三角形4鳥巴；繼續(xù)依此方法，直到得到圖中的螺旋形圖案，則A與=—；

圖中螺旋形圖案的面積為

Cl

【詳解】設(shè)正三角形/WC的邊長為q,后續(xù)各正三角形的邊長依次為出，出，%，

設(shè)第一個(gè)陰影三角形面積為S「后續(xù)陰影三角形面積為.，$3，…，S?,