2019-2020浙江省寧波市高三(上)期末數(shù)學(xué)試卷答案解析

2019-2020年浙江省寧波市高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷答案解析

一.選擇題（共10小題）

1.已知集合4={項<%<6,尤6N},3={-1,2,3},那么ACB=（）

A.{1,2,3,4}B.{1,2,3,4,5)C.[2,3}{2,3,4}

【解答】解：因為集合4={用《6,疣用={2,3,4,5）,

所以AC8={2,3}.

故選：C.

22

2.雙曲線工--L=l的漸近線方程是（）

49

A.±—xB.尸土3x

3,2

22

【解答】解：已知雙曲線匚-三-=1

49

22

令：---^―=0

49

即得到漸近線方程為：y=±2x

3

故選：A.

3.已知等差數(shù)列{斯}的公差為d,前〃項和為曲,則“Si+S5V2s3”是"dVO"的（

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解答】解：化簡條件：由SI+S5<2S3,得m+5ai+10d<2（3ai+3d）,即d<0,

所以“S1+S5<2S3”是“d<0”的充要條件.

故選：C.

4.某幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為()

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為:

如圖所示：

由已知三視圖得到幾何體是三棱柱挖去一個三棱錐，所以幾何體的體積為

V=(yX2X2)X2-y(yXlX1)X1號

故選：D.

5.函數(shù)/(x)=ln(J”i+xL的圖象大致是()

|x+2|+|x-2|

【解答】解：由于/(X)是奇函數(shù)，故排除A，B；

當(dāng)x-+8,f(x)-0,排除C.

故選：D.

6.已知隨機(jī)變量X的分布列是

A.ILB.IL「23D.23

>，

3618918

【解答】解：由P+P2+P3=l,得a+b=2①.

3

由E(X)=%2a+3bhy得2a+3b="^

o0乙

聯(lián)立①②，得a八，b二-

所以。（X）=E（X2）-（E（X））2=1乂工+4乂工+9><工_（旦）2^11.

326'6'36

故選：A.

7.已知二項式（4+^—）”展開式中二項式系數(shù)之和為32,常數(shù)項為80,則a的值為

（）

A.1B.±1C.2D.±2

【解答】解：根據(jù)題意，該二項式的展開式的二項式系數(shù)之和為32,則有*=32,

可得n=5,

則二項式的展開式為。+1=C5'?（4）5丁?（Y"）。

Vx

其常數(shù)項為第4項，即C53?（〃）3,

根據(jù)題意，有。5力（〃）3=80,

解可得，4=2；

故選：C.

22

8.已知尸1,尸2為橢圓￡：^-+^—=1Qa>b>0）的左、右焦點，在橢圓￡上存在點P,

2,2

ab

滿足|PR|=|尸1尸2|且尸2到直線PF1的距離等于6,則橢圓E的離心率為（）

A.XB.工C.ZD.3

3234

22

【解答】解：Fi,改為橢圓E：鼻鼻=1（a>b>0）的左、右焦點，在橢圓E上存

ab

在點P,滿足|尸產(chǎn)2|=|八方2|且尸2到直線PF1的距離等于b,

可得：2c+R4c2-b2=2。，所以（a-c）2=4c2-b2,可得羽+^-匚。，

解得e=—.

2

故選：B.

fv)2+xIxIY—1

9.已知函數(shù)/(%)=J'x1H產(chǎn)，若函數(shù)y=/(x)-2恰有兩個零點，則

ex+1+f(-l)-l,x<-l

實數(shù)a的取值范圍為()

A.[?-1，2)B.{-/3-l)U[l,2)

c.(V3-1JUE1,Q)D.EV3-1-Q)

【解答】解：由題意，函數(shù)/(x)=[(x-a>2+x|x|,x3-l可轉(zhuǎn)化為

e*+l+f(-1)-1,x〈-l

2x2-2ax+a2,x>0

f(無)—>-2ax+a2,-l<x〈O.

ex+1+a2+2a-l,x4-l

函數(shù)y=/(x)-2恰有兩個零點，即分段函數(shù)y=/(無)的圖象與直線y=2有兩個交點.

①當(dāng)。<0時，分段函數(shù)/(x)在R上連續(xù)且單調(diào)遞增，

此時分段函數(shù)y=/G)的圖象與直線y=2最多只有1個交點，不滿足題意；

'ex，，x<-l

②當(dāng)a=0時，f(x)=<0,T《x<0,圖象如下：

2

L2X.X>0

此時分段函數(shù)y=/(無)的圖象與直線y=2也只有1個交點，不滿足題意;

③當(dāng)。>0時，分段函數(shù)了(無)在(-8,-1］為增函數(shù)，在［_1,上為減函數(shù)，在

號，400)上為增函數(shù).

:無一_8,f(x)-d+2。-1且/(X)=2恰有兩個零點，

//

22

a+2a-l<f(-1)a+2a-l>f(-1)

：.f(-1)=2,或，，或，,

f(y)=2f("!')<24a?+2a-l

解得a=E-l,或lWa<2.

故選：B.

10.已知平面四邊形ABC。中，NA=/C=90°,BC=CD,AB>AD,現(xiàn)將△A3。沿對角

線BD翻折得到三棱錐A-BCD,在此過程中，二面角A'-BC-D,A'-CD-B的大小

分別為a,p,直線A3與平面BCD所成角為丫，直線A3與平面BCD所成角為6,則

()

A.y<5<pB.Y<a<PC.a<6<pD.Y<?<6

【解答】解：如圖，因為所以點A在BD上的投影點X靠近點。，由翻折的

性質(zhì)，知點4在底面的投影點在A”所在的直線上，

如圖設(shè)為點。，則/A\F0=a,ZA'EO=p,ZA'BO=y,ZA'DO=8,由最大角原理知:

Y<a,6W0,當(dāng)且僅當(dāng)￡）與E重合時，取到等號;

而tank需'tan3

如圖易得，OB>OD,所以tany<tan8,即丫<6；

又tana*泮tan6=需

由圖易得，OF>OE,所以a<0；

綜上可得：Y<a<0,

故選:B.

二.填空題（共7小題）

11.若復(fù)數(shù)zi=a+i（QCR）,Z2=l+i（，為虛數(shù)單位），則憶2|=_我；若Z1Z2為純虛數(shù),

則a的值為1.

【解答】解：復(fù)數(shù)的概念與計算|z,|=后1=&；

若ziz2為純虛數(shù)，則ziz2=〃-1+(a+1)i=〃-l=0=〃=1,

故答案為：V2；1.

12.中國古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》有問題：“五只雀，六只燕，共重一斤（等于16兩），

雀重燕輕，互換其中一只，恰好一樣重”，則雀重_絲_兩，燕重_2支—兩.

-19一—19―

【解答】解：設(shè)雀重尤兩，燕重y兩，則互換后4x+y=5y+尤=8,

解得:3224

故答案為:f.

13.已知實數(shù)無、y滿足y<2x-l,且可行域表示的區(qū)域為三角形，則實數(shù)根的取值范圍

x+y^m

為m>2,若目標(biāo)函數(shù)z=_r-y的最小值為-1,則實數(shù)優(yōu)等于5.

【解答】解：作出可行域如圖，則要為三角形需滿足8(1,1)在直線x+y=〃z下方，

即1+1<機(jī)，m>2；

目標(biāo)函數(shù)可視為y=;c-z,貝Uz為斜率為1的直線縱截距的相反數(shù)，該直線截距最大在過

點A時，此時Zmin=1,

直線出：y=x+l,與AB：y=2x-1的交點為A(2,3),該點也在直線AC：x+y=加上，

故機(jī)=2+3=5,

故答案為：m>2；5.

14.在△ABC中，三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,已知

acosB+bcosA=2cosC;則c=_*_；又傘a+b=6,則c=_2?一.

【解答】角軍?,.acosB+bcosA_sinAcips：E+E：inEc：cisA=sin(A+B)_

csinCsinC

2cosc=1,

cosC=-f

VO<C<71,

2

L3

?

7i,

SAABC=yabsinC=^-ab=2V3

??ab=8,

又,.?Q+/?=6（可消元求出邊〃、b）

.\c2=a2-^-b2-2abcosC=291

(〃+/?)-2ab(1+cosC)6-2X8(1號)=12,

c=2?.

故答案為：2L,2a

3

15.己知a,b均為正實數(shù)，則（a+4b）（2"）的最小值為一隊歷—?

【解答】解：；（a+4b）

abab

當(dāng)且僅當(dāng)af/^,b"2時取等號，此時取得最小值8如.

4

故答案為：8如.

16.從1,2,3,4,5,6這6個數(shù)中隨機(jī)取出5個數(shù)排成一排，依次記為a,b,c,d,e,

則使a，b?c+d，e為奇數(shù)的不同排列方法有180種.

【解答】解：（分類討論：先選后排）

若〃?/??（?為奇數(shù)，d?e為偶數(shù)時，有AjxA：=36種；

若a?b?c為偶數(shù),d?e為奇數(shù)時，有A：XA；=144種;

故a?b?c+d?e為奇數(shù)的不同排列方法有共36+144=180種,

故答案為：180.

17.已知其|=R|=k（k>6），b-c=0,若存在實數(shù)人及單位向量Z，使得不等式G-

b+A（b-c）l+l—c+（1-A）（b-c）|W1成立，則實數(shù)上的最大值為之厘.

2—5―

【解答】解：原題等價于{|a-b+入（b-c）|+|]c+（l-入）（b-c）|}<],

/min

如圖，|a-b+入（b-c）l+l'c+a-入）（b-c）|

=|a-[（l-入）b+入c]|+-入）b+入c]\=\AP\+\EP\,

（A為單位圓上的點，I=0A,b=0B,c=0C,P為BC上一點,石為OC中點），

由將軍飲馬模型，作E關(guān)于3c對稱點E,則（|AP|+|EP|）min=\EA\=\OE\-1

=VoC2+EyC2-l=Y-k-l>

25

...實數(shù)上的最大值為延.

5

三.解答題（共5小題）

18.已知函數(shù)/(%)=sin(o)x+(p)(0<(p<n)圖象上相鄰兩個最高點的距離為n.

(I)若y=/(無)的圖象過(0,-1)，且部分圖象如圖所示，求函數(shù)/(%)的解析式;

(II)若函數(shù)y=/(x)是偶函數(shù)，將y=/(x)的圖象向左平移三個單位長度，得到y(tǒng)

6

=g(X)的圖象，求函數(shù)了二2[￡(卷)]2+目6)在[0,千]上的最大值與最小值.

【解答】解：由題意得，T=Z兀=兀，所以a)=2,f(x)=sin⑵+(p).

3

(I)由于則sin。4，又OVcpVm

則4=5：，或。■(舍去),故f(x)=sin(2x+5；).

(II)由于y=/(x)=sin(2x+(p)是偶函數(shù)，則/(0)=sin(p=±1,

,

又。<年<加所以。f(x)=sin=cos2x

將y=/(X)=COS2犬的圖象向左平移看個單位長度，得到y(tǒng)二g(x)=C0S(2%4)的圖

象，

2

故y=2[f住)]+g(X)=2COS2X+COS(2x-^~)

1Vs.3Vs.

l+cos2x+^-cos2x--^-sin2x=l+^-cos2x--sin2x

X)=1-H/3COS(2X+^_)

因為x€[0,-y]-*2x*《吟，

所以《\=￡(0)號￡6)111如=￡瑩)=1-石

19.如圖，在四棱錐P-A8CZ)中，底面A8CD為平行四邊形，AD=2,AB=1,B4_L平面

PCD,且PC=P￡)=1,設(shè)E,尸分別為尸2,AC的中點.

(I)求證：EP〃平面PAD-,

(II)求直線。E與平面朋C所成角的正弦值.

【解答】解：(I)證明：因為底面A3C。為平行四邊形，尸是AC中點,

所以F是BD中點，

所以EF&^PD，

因為EEC平面抬。，P￡)u平面叢￡),所以〃平面9D

(II)解法一：(幾何法)

因為OEu平面PBD,平面P8OC平面PAC=PF,

所以直線DE與平面PAC的交點即為DE與PF的交點，

設(shè)為G,PC=PD=CD=1,所以△PC。為等邊三角形，取PC中點O,

貝1JOO_LPC,因為E4_L平面PC。，所以平面陰C_L平面PC。，

平面刑cn平面PCZ)=PC,DO±PC,所以。OJ_平面朋C,

所以ZDGO是直線DE與平面PAC所成角,

因為E,尸分別為尸B,AC的中點，所以G是△PBO的重心，

在RtZ\B4。中，PA=V3，所以尸B=AC=2,在平行四邊形ABC。中，即=加，

在中，COSNBPD=2?；*1T

在△2￡￡>中，DE2=1+1-2X1XlXcos/EPD仔，所以DENP"，

所以DG《DEN|i，又因為0D考，

所以sin/DGO塔得溝，即直線OE與平面R1C所成角的正弦值為梟國.

解法二：（向量法）取PC中點O,則QFIIyPA）

因為以_L平面PCD,所以0口L平面尸CD,

因為尸C=PO=CC=1,所以△PC。為等邊三角形,

所以0O_LPC,此時0，OF,0尸兩兩垂直,

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，p（o,0,y）.D亨，0,0），

PA=V3，所以F（0,雪，0），由FE-|D?，得

在Rt△PAD中，

"愿Mis

E(r‘虧’7’

所以而=（一沾，器，1），平面雨C的法向量為而=（g，0,0）,

?

所以cos〈而，而〉二DEOD

IDEI'IODI

所以sin8=|cos標(biāo)，0D>I^VSO,

即直線DE與平面PAC所成角的正弦值為

20.已知等差數(shù)列｛斯｝滿足。2=2〃1,〃4+。5=9,Sn為等比數(shù)列｛加｝的前n項和，2Sn+l

S〃+2.

(1)求｛劭｝,｛加｝的通項公式;

■~ab，n為奇數(shù)

Ann

io

(2)設(shè)Cn=1工何必,證明：a+C2+C3+---+Cn<—.

n為偶數(shù)6

an

【解答】解：(1)(基本量法求等差等比通項)等差數(shù)列｛斯｝的公差設(shè)為d,

〃2=2QI,〃4+。5=9,可得ai+d=2〃i,2〃i+7d=9,解得〃i=d=l,

可得an—n；

由2s/i=S+2得2S〃=S展1+2,上22,

兩式相減整理得2垢+1=垢，可得公比4=工，

2

由2=歷+2,解得加=1,；.b=~

11

22n-l

(2)證法1：(應(yīng)用放縮和錯位相減求和證明不等式)

■~ab，n為奇數(shù)%方n為奇數(shù)

Ann

Cn=W，n為偶數(shù)

-n為偶數(shù)

an

Gi=Cl+C2+C3+??.+Cn，Ak=Cl+C3+…+C24-1，Bk=C2+C4+-9-+C2k^

4膏（木T…斜），"『I苧/…得），

兩式相減整理得旦4=3（1+工+工+…+」--&4）=3（i+-------------------

442822b34k4「

2k-1、

又因為（2左）2>（2k-1）（2k+l），：,B,=\+\+--H一J

k2242（2k）2

^1,111111、/13

243352k-12k+l'26

所以Bk

證法2：（應(yīng)用放縮和裂項求和證明不等式）

令dn=（an+b）#T'^$=5-/化簡整理得：/=（奈嗑fy,；?

Ak=dH-rdl號（2k得）我〈普,

TFn不1/1方1+…不111…砧1而-—匕c1<XC2，

=

所以Bkf,…名土得?-Cn=Ak+Bk<^-4T

21.已知拋物線E：?=2px（p>0）過點0（1，2）,尸為其焦點，過廠且不垂直于x軸

的直線/交拋物線E于A,2兩點，動點尸滿足的垂心為原點0.

(1)求拋物線E的方程;

(2)求證：動點尸在定直線相上，并求包晅的最小值.

^AQAB

【解答】解:(1)Q(1,2)代入y2=2px解得0=1,

可得拋物線的方程為y2=4x；

(2)證法1：(巧設(shè)直線)

2

證明：設(shè)/：ty=x-1,A(xi,ji),B(尤2,y2),聯(lián)立尸=4了,可得—ty-1=0,

丫1+y=4t

23

則有，,可設(shè)AP:y-y=—^-(x-XfY=_

1xq”

了1丫2=-4y24

?=—!-x+3y,解得尸(-3,3f)，

同理BP：

44/

即動點尸在定直線加：x=-3上,

SAPAB11ABi立_內(nèi)3t2I、r-

■T1ABHF-F^力〒不>2?,

當(dāng)且僅當(dāng)t=±竽■時取等號.其中力，辦分別為點P和點。到直線的距離.

證法2：(利用向量以及同構(gòu)式)

證明：設(shè)/：x=my+\(mWO),A(xi,yi),BQxi,>2),聯(lián)立『=4%,

//2

了1+丫2=如一yj

可得?4my-4=0,貝!J有<

_,，PA=(x0-^-.yn-yJ，

y1y2=-4u4ui

2

又。為△研B的垂心，從而PA?OB=O，代入化簡得：彳名+丫0%,+3=0,

>

同理：-^-y1+yoy1+3=O從而可知，yi，y2是方程號乂2+丫/+3=0的兩根,

4yo

V]+y2=-------=4m

x

0y0=-mx0yn=3iri

所以53-，所以動點尸在定直線?。河?-3

12,X/-3

yiy2=T-=-4

Ao

上,

AB

S/kPAB31i山di」3m2+4|_3m2?r

SAQAB12^1

當(dāng)且僅當(dāng)m=±竽■時取等號.其中力，力分別為點P和點。到直線A8的距離.

22.已知函數(shù)/(%)=alnx-x+b,其中。，Z?GR.

(I)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(I