浙江省溫州市浙南名校聯(lián)盟2023-2024學年高一下學期寒假返校聯(lián)考數(shù)學試題

2023學年第二學期浙南名校聯(lián)盟寒假返校聯(lián)考高一年級數(shù)學學科試題考生須知：1．本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應數(shù)字．3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效．4．考試結束后，只需上交答題紙．選擇題部分一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)并集的知識求得正確答案.【詳解】依題意，.故選：A2.已知是定義在R上的偶函數(shù)，且當時，，則當時，（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由函數(shù)的奇偶性得到，結合時函數(shù)解析式，得到答案.【詳解】時，，則，又為偶函數(shù)，故，故.故選：B3.“”是“是第一象限角”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)象限角、充分和必要條件等知識確定正確答案.【詳解】，是第一象限角，所以“”是“是第一象限角”的必要不充分條件.故選：B4.設是第二象限角，為其終邊上一點，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】按三角函數(shù)的定義計算即可【詳解】依題意有且故，故選：C5.在同一直角坐標系中，函數(shù)與的圖像可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分和兩種情況，利用函數(shù)的單調(diào)性進行判斷即可．【詳解】對于A，B，當時，函數(shù)在R上為單調(diào)遞減函數(shù)；又，所以在區(qū)間和區(qū)間上單調(diào)遞減，且當時，，故A和B均錯誤；對于C，當時，函數(shù)在R上為單調(diào)遞增函數(shù)，又，所以在區(qū)間和區(qū)間上單調(diào)遞增，故C錯誤，D正確．故選：D．6.宇宙之大，粒子之微，無處不用到數(shù)學．2023年諾貝爾物理學獎頒給了“阿秒光脈沖”，光速約為阿秒等于．一尺之棰，日取其半，萬世不竭，一根米長的木棰，第一次截去總長的一半，以后每次截去剩余長度的一半，至少需要截（）次才能使其長度小于光在阿秒內(nèi)走的距離．（參考數(shù)據(jù)：）A.30 B.31 C.32 D.33【答案】C【解析】【分析】先求得光在阿秒內(nèi)走的距離，由此列不等式，結合對數(shù)運算求得正確答案.【詳解】光在阿秒內(nèi)走的距離為，設需要截次，則，兩邊取以為底的對數(shù)得：，，所以，所以至少要截次.故選：C7.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，若，且，都有成立，則不等式的解集為（）A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】利用構造函數(shù)法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性來對不等式進行求解，從而確定正確答案.【詳解】設，由于函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以是偶函數(shù)，由于，且，都有成立，所以在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增，由可知，①當時，有，，即，而，所以，解得.②當時，有，，即，所以，即或，不等式組的解集為空集，不等式組的解集為.綜上所述，的取值范圍是.故選：B8.已知，則大小關系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】畫出在區(qū)間的圖象，根據(jù)圖象確定正確答案.【詳解】依題意，畫出在區(qū)間的圖象如下圖所示，由圖可知.故選：D【點睛】關鍵點點睛：主要是根據(jù)函數(shù)的增長快慢來進行求解，其中是勻速增長，相對是先慢后快，相對是先快后慢，解題過程中可先畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，根據(jù)圖象來確定大小關系.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分．9.已知，則下列說法中正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】AD【解析】【分析】利用特殊值、差比較法、不等式的性質(zhì)等知識確定正確答案.【詳解】A選項，若，則，所以，所以A選項正確.B選項，若，當時，，所以B選項錯誤.C選項，若，如，則，所以C選項錯誤.D選項，若，則，所以，所以D選項正確.故選：AD10.設函數(shù)，已知在有且僅有3個零點，下述結論中，正確的是（）A.在有且僅有1個解B.的取值范圍是C.在單調(diào)遞減D.若是直線與曲線的兩個交點，且，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)在區(qū)間上零點的個數(shù)求得的取值范圍，根據(jù)三角方程、三角函數(shù)的單調(diào)性、三角函數(shù)值等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】當時，，依題意在有且僅有3個零點，所以，解得，所以B選項正確.對于A選項，若，即時，由或可得或是的解，所以A選項錯誤.對于C選項，由，得，所以，所以在單調(diào)遞減，C選項正確.對于D選項，由于，所以，即，，所以，不妨設，所以由可得，兩式相減得，則，所以，D選項正確.故選：BCD11.已知定義在上的函數(shù)滿足，當時，，且，則（）A.B.為偶函數(shù)C.在上單調(diào)遞減D.任意，存在，使得【答案】ACD【解析】分析】運用賦值法，結合函數(shù)定義逐項判斷即可得.【詳解】對A：令，，則有，又，故，即，故A正確；對B：由，則有，即，即有，又定義域為，故為奇函數(shù)，故B錯誤；對C：令，則有，，，由當時，，故，，則，即時，有，故在上單調(diào)遞減，即C正確；對D：等價于，由為奇函數(shù)，設函數(shù)，則對任意，都有，故函數(shù)為奇函數(shù)，故對任意，存在，使，即任意，存在，使得，故D正確.故選：ACD.【點睛】關鍵點睛：本題關鍵在于運用賦值法，結合函數(shù)性質(zhì)的定義解決函數(shù)的性質(zhì)問題.非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，，，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】觀察所求問題的形式，對所給已知條件進行配湊，然后再利用基本不等式中‘1的靈活用法’，即可求解.【詳解】由條件可得，，所以，當且僅當，即，時，等號成立．故答案為：.13.已知且為第四象限角，若，則值是_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知條件求得，進而求得.【詳解】依題意，且為第四象限角，所以，.，，，所以.故答案為：14.已知函數(shù)對任意的滿足，且當時，．若函數(shù)有4個零點，則實數(shù)a的取值范圍是_________．【答案】【解析】【分析】將因式分解，可將函數(shù)函數(shù)的零點問題轉化為方程及的解的個數(shù)問題，結合函數(shù)性質(zhì)計算即可得.【詳解】，令，則有或，當時，當時，令，解得，由，則關于對稱，故當時，有，即有，即函數(shù)有零點即，故當時，需有兩個不同于、的解，當時，，當時，，當時，，則當時，有，有，又當時，，故有，即.故答案為：.【點睛】關鍵點睛：本題關鍵在于將因式分解，從而將函數(shù)函數(shù)的零點問題轉化為方程及的解的個數(shù)問題.四、解答題：本題共5個小題，共77分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知集合，．（1）求；（2）記關于的不等式的解集為，若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）先解不等式求得集合，然后根據(jù)補集、交集的知識求得正確答案.（2）根據(jù)集合的包含關系列不等式，由此求得的取值范圍.【小問1詳解】由解得，所以.由得或，解得或，所以，，所以.【小問2詳解】由，解得，所以，要使，則需或，解得或.16.已知函數(shù)（其中）的圖象如圖所示．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若將函數(shù)的圖象上的所有點向右平移，再將橫坐標伸長到原來的2倍，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在有零點，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象，依次求得的值，從而求得的解析式.（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象變換的知識求得，根據(jù)在區(qū)間上的值域求得正確答案.【小問1詳解】由圖可知，，，，由于，所以，所以.【小問2詳解】將函數(shù)的圖象上的所有點向右平移，得到，再將橫坐標伸長到原來的2倍，得到函數(shù)，由得，此時，所以要使函數(shù)有零點，則.17.某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為萬元，每生產(chǎn)千件，需另投入成本為.當年產(chǎn)量不足千件時，（萬元）；當年產(chǎn)量不小于千件時，（萬元）.通過市場分析，若每件售價為元時，該廠年內(nèi)生產(chǎn)的商品能全部售完.（利潤銷售收入總成本）（1）寫出年利潤（萬元）關于年產(chǎn)量（千件）的函數(shù)解析式；（2）年產(chǎn)量為多少千件時，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？【答案】17.18.千件【解析】【分析】（1）由題意，分別寫出與對應的函數(shù)解析式，即可得分段函數(shù)解析式；（2）當時，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最大值，當時，利用基本不等式求解最大值，比較之后得整個范圍的最大值.【小問1詳解】解：當，時，當，時，∴【小問2詳解】解：當，時，，∴當時，取得最大值（萬元）當，時，當且僅當，即時等號成立.即時，取得最大值萬元綜上，所以生產(chǎn)量為千件時，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大為萬元18.已知函數(shù)（1）若，求的值域；（2）若，都有恒成立，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）使用換元法結合三角函數(shù)性質(zhì)計算即可得；（2）使用換元法分類討論計算即可得.【小問1詳解】當時，，令，則，由，則，故，又，故，即的值域為；【小問2詳解】令，則，當時，，，則，由，即，化簡得，令，，由，故，故在上單調(diào)遞增，故，解得；當時，，，故，則有，即，由，故有，，解得，綜上所述，.【點睛】關鍵點點睛：本題第二問的關鍵是采用換元法，將復雜的三角函數(shù)轉化為熟悉的二次函數(shù)問題，再結合分類討論的思想即可.19.已知函數(shù)為奇函數(shù)．（1）求a的值；（2）設函數(shù)，i．證明：有且只有一個零點；ii．記函數(shù)的零點為，證明：．【答案】（1）（2）i．證明見解析；ii．證明見解析【解析】【分析】（1）借助函數(shù)的奇偶性計算即可得；（2）結合零點的存在性定理分類討論可證有且只有一個零點；結合零點性