2018年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（新課標ⅲ）（含解析版）

2018年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（新課標m）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的。

1.（5分）已知集合A={xx-120},B={0,1,2},則ACB=（）

A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}

2.（5分）（1+i）（2-i）=（）

A?-3-iB.3+iC.3-iD.3+i

3.（5分）中國古建筑借助樺卯將木構(gòu)件連接起來.構(gòu)件的凸出部分叫樺頭，凹

進部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是樣頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與

某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以

是（）

俯

視

方

向

A.B.

C.D.

4.(5分)若sina=A.,貝ijcos2a=()

3

ABC.-7_D.-a

-f-i§9

5.（5分）若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45,既用現(xiàn)金支付也用非

現(xiàn)金支付的概率為0.15,則不用現(xiàn)金支付的概率為（）

A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7

6.(5分)函數(shù)f(x)=—［熱卡-的最小正周期為()

l+tan2x

A.—B.—C.nD.2n

42

7.（5分）下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)y=lnx的圖象關(guān)于直線x=l對稱的是（）

A.y=ln(1-x)B,y=ln(2-x)C.y=ln(1+x)D.y=ln(2+x)

8.（5分）直線x+y+2=0分別與x軸，y軸交于A,B兩點，點P在圓（x-2）2+y2=2

上，則AABP面積的取值范圍是（）

A.[2,6]B.[4,8]C.[加,3衣]D.[2&‘3避]

9.（5分）函數(shù)y=-x4+x2+2的圖象大致為（

1

O

C.D.

22_

10.(5分)已知雙曲線C：工_-3_=1(a>0,b>0)的離心率為、回，則點（4,

a2,b2

0）到C的漸近線的距離為（）

B.2c.%D-2圾

2

11.(5分)ZXABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若aABC的面積為

222

a+b-c,貝°c=()

4

A.2LB.KC.—

2y4D-T

12.(5分)設(shè)A,B,C,D是同一個半徑為4的球的球面上四點，^ABC為等邊

三角形且面積為5則三棱錐D-ABC體積的最大值為（）

A.1273B.1873C.2473D.54正

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（5分）已知向量?。?，2）,b=（2,-2）,展（1,入）.若3〃（2a+b），

則人=.

14.（5分）某公司有大量客戶，且不同年齡段客戶對其服務(wù)的評價有較大差異.為

了解客戶的評價，該公司準備進行抽樣調(diào)查，可供選擇的抽樣方法有簡單隨

機抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣，則最合適的抽樣方法是.

（2x+y+3〉0

15.（5分）若變量*~滿足約束條件卜-2丫+430，則z=x+ly的最大值是_____.

I*-240

16.（5分）已知函數(shù)f（x）=ln（41+*2-x）+1,f（a）=4,則f（-a）=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17?21

題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要

求作答。（一）必考題：共60分。

17.（12分）等比數(shù)列｛aj中，ai=La5=4a3.

（1）求｛an｝的通項公式；

（2）記Sn為屈｝的前n項和.若Sm=63,求m.

18.(12分)某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動，提出了完成某項生產(chǎn)

任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將

他們隨機分成兩組，每組20人.第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人

用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時間(單位：min)繪制了

如下莖葉圖:

第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式

8655689

976270122345668

987765433281445

2110090

(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由；

(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)m,并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時

間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：

超過m不超過m

第一種生產(chǎn)方式

第二種生產(chǎn)方式

(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？

附：K2=n(ad-bc)2,

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(-0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

19.(12分)如圖，矩形ABCD所在平面與半圓弧而所在平面垂直，M是面上異

于C,D的點.

(1)證明：平面AMD_L平面BMC；

(2)在線段AM上是否存在點P,使得MC〃平面PBD?說明理由.

22

20.(12分)已知斜率為k的直線I與橢圓C：Z_+，=l交于A,B兩點，線段

43

AB的中點為M(1,m)(m>0).

(1)證明:k<-1；

2

(2)設(shè)F為C的右焦點，P為C上一點，且祚+直+祚=R證明：2FPl=|FAl+lFB

21.(12分)已知函數(shù)f(x)也L.

X

e

(1)求曲線y=f(x)在點(0,-1)處的切線方程;

(2)證明：當a》l時，f(x)+eN0.

（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，

則按所做的第一題計分。［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］（10分）

22.（10分）在平面直角坐標系xOy中，。。的參數(shù)方程為卜二c°s0,（0為參

ly=sin9

數(shù)），過點（0,-V2）且傾斜角為a的直線I與。。交于A,B兩點.

（1）求a的取值范圍；

（2）求AB中點P的軌跡的參數(shù)方程.

［選修4-5：不等式選講］(10分)

23.設(shè)函數(shù)f(x)=|2x+l+x-1.

(1)畫出y=f(x)的圖象；

(2)當xG［0,+°°)時，f(x)Wax+b,求a+b的最小值.

2018年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（新課標m）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的。

1.（5分）已知集合A={xx-1三0},B={0,1,2},則ACB=（）

A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}

【考點】IE：交集及其運算.

【專題】37：集合思想；4A：數(shù)學模型法；5J：集合.

【分析】求解不等式化簡集合A,再由交集的運算性質(zhì)得答案.

【解答】解：■A={x|x-120}={x|x21},B={0,1,2},

.?.ACB={x|x21}A{0,1,2}={1,2}.

故選：C.

【點評】本題考查了交集及其運算，是基礎(chǔ)題.

2.（5分）（1+i）（2-i）=（）

A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i

【考點】A5：復(fù)數(shù)的運算.

【專題】38：對應(yīng)思想；4A；數(shù)學模型法；5N：數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù).

【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案.

【解答】解：（1+i）（2-i）=3+i.

故選：D.

【點評】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，是基礎(chǔ)題.

3.（5分）中國古建筑借助樺卯將木構(gòu)件連接起來.構(gòu)件的凸出部分叫樺頭，凹

進部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是樣頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與

某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以

是

俯

視

Y方

向

【考點】L7：簡單空間圖形的三視圖.

【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5F：空間位置關(guān)系與距離.

【分析】直接利用空間幾何體的三視圖的畫法，判斷選項的正誤即可.

【解答】解：由題意可知，如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方

體，小的長方體，是樺頭，從圖形看出，輪廓是長方形，內(nèi)含一個長方形，

并且一條邊重合，另外3邊是虛線，所以木構(gòu)件的俯視圖是A.

故選：A.

【點評】本題看出簡單幾何體的三視圖的畫法，是基本知識的考查.

4.(5分)若sina=L則cos2a=()

3

A.BB.工C.-1D.

9999

【考點】GS：二倍角的三角函數(shù).

【專題】11：計算題；34：方程思想；40：定義法；56：三角函數(shù)的求值.

【分析】cos2a=1-2siMa,由此能求出結(jié)果.

【解答】解：?.,sina=「,

3

/.cos2a=l-2sin2a=l-2xL=_L.

99

故選：B.

【點評】本題考查二倍角的余弦值的求法，考查二倍角公式等基礎(chǔ)知識，考查運

算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題.

5.（5分）若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45,既用現(xiàn)金支付也用非

現(xiàn)金支付的概率為0.15,則不用現(xiàn)金支付的概率為（）

A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7

【考點】C5：互斥事件的概率加法公式；CB：古典概型及其概率計算公式.

【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；51：概率與統(tǒng)計.

【分析】直接利用互斥事件的概率的加法公式求解即可.

【解答】解：某群體中的成員只用現(xiàn)金支付，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付，不

用現(xiàn)金支付，是互斥事件，

所以不用現(xiàn)金支付的概率為：1-0.45-0.15=0.4.

故選：B.

【點評】本題考查互斥事件的概率的求法，判斷事件是互斥事件是解題的關(guān)鍵，

是基本知識的考查.

6.（5分）函數(shù)f（x）=tanx的最小正周期為（）

l+tan2x

A.—B.—C.n.D.2R

42

【考點】Hl：三角函數(shù)的周期性.

【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；57：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).

【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦公式化簡函數(shù)的解析式,

再利用正弦函數(shù)的周期性，得出結(jié)論.

【解答】解：函數(shù)f(x)=tanx,二sinxcosx=工皿2*的最小正周期為”=兀,

1+tan2xcos2x+sin2x22

故選：C.

【點評】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦公式，正弦函數(shù)

的周期性，屬于基礎(chǔ)題.

7.(5分)下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)y=lnx的圖象關(guān)于直線x=l對稱的是()

A.y=ln(1-x)B.y=ln(2-x)C.y=ln(1+x)D.y=ln(2+x)

【考點】3A：函數(shù)的圖象與圖象的變換.

【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】直接利用函數(shù)的圖象的對稱和平移變換求出結(jié)果.

【解答】解：首先根據(jù)函數(shù)y=lnx的圖象，

則：函數(shù)y=lnx的圖象與y=ln(-x)的圖象關(guān)于y軸對稱.

由于函數(shù)y=lnx的圖象關(guān)于直線x=l對稱.

則：把函數(shù)y=ln(-x)的圖象向右平移2個單位即可得到：y=ln(2-x).

即所求得解析式為：y=ln(2-x).

故選:B.

【點評】本題考查的知識要點：函數(shù)的圖象的對稱和平移變換.

8.(5分)直線x+y+2=O分別與x軸，y軸交于A,B兩點，點P在圓(x-2)2+y2=2

上，則4ABP面積的取值范圍是()

A.[2,6]B.[4,8]C.[血，3五]D.[2&,3&]

【考點】J9：直線與圓的位置關(guān)系.

【專題】11：計算題；34：方程思想；49：綜合法；5B：直線與圓.

【分析】求出A(-2,0),B(0,-2),|AB|=2加,設(shè)P(2+&COS。，&sin&),

點P到直線x+y+2=0的距離:dJ2+&cosepsine+21J251nl

V2V2

G[加，班],由此能求出^ABP面積的取值范圍.

【解答】解：???直線x+y+2=0分別與x軸，y軸交于A,B兩點，

.,.令x=0,得y=-2,令y=0,得x=-2,

AA(-2,0),B(0,-2),AB=7?^=2圾，

?.?點P在圓(x-2)2+y2=2上，，設(shè)P(2+&COS8,&sin8),

J點P到直線x+y+2=0的距離：

兀

.|2+V2coSe+V2sin6+2|l2sin(6+1-)+4|

----G----=---/---'

JT

|2sin(6-H-)+4|

Vsin(8嚀1r)e[-l，1]，，d=-----------選J----------e[&，班],

.?.△ABP面積的取值范圍是：

[yx272X^2*yX2V2X3V2^[2,

故選：A.

【點評】本題考查三角形面積的取值范圍的求法，考查直線方程、點到直線的距

離公式、圓的參數(shù)方程、三角函數(shù)關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考

查函數(shù)與方程思想，是中檔題.

9.(5分)函數(shù)y=-x，+x2+2的圖象大致為()

y

A.

【考點】3A：函數(shù)的圖象與圖象的變換.

【專題】38：對應(yīng)思想；4R：轉(zhuǎn)化法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的特點，求函數(shù)的導數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性進行判斷即可.

【解答】解：函數(shù)過定點(0,2),排除A,B.

函數(shù)的導數(shù)f'(x)=-4x3+2x=-2x(2x2-1),

由7(x)>0得2x(2x2-1)<0,

得x<-返或OVxV返，此時函數(shù)單調(diào)遞增，

22

由r(x)VO得2x(2x2-1)>0)

得x>返或-返VxVO,此時函數(shù)單調(diào)遞減，排除C,

22

也可以利用f(1)=-1+1+2=2>0,排除A,B,

故選：D.

【點評】本題主要考查函數(shù)的圖象的識別和判斷，利用函數(shù)過定點以及判斷函數(shù)

的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵.

22

10.（5分）已知雙曲線C：2_-2_=1（a>0,b>0）的離心率為近,則點（4,

ab/

0）到C的漸近線的距離為（）

A.V2B.2C.^2.D.272

2

【考點】KC：雙曲線的性質(zhì).

【專題】11：計算題；34：方程思想；49：綜合法；5D：圓錐曲線的定義、性

質(zhì)與方程.

【分析】利用雙曲線的離心率求出a,b的關(guān)系，求出雙曲線的漸近線方程，利

用點到直線的距離求解即可.

22_

【解答】解：雙曲線C：號-（a>0,b>0）的離心率為我，

ab

22

可得￡=血，即：且莖=2,解得a=b,

aa2

22

雙曲線C：工（a>b>0）的漸近線方程玩：y=±x,

2,2

ab

點（4,0）到C的漸近線的距離為：1望G我.

V2

故選：D.

【點評】本題看出雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力.

11.（5分）4ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若AABC的面積為

222

a+b-c,則c=（）

4

A.—B.—C.—D.—

2346

【考點】HR：余弦定理.

【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；58：解三角形.

222222

【分析】推導出SAABc=~^absinC=a+、一。,從而sinC=a+,J。=cosC,由此

能求出結(jié)果.

【解答】解：:△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.

222

△ABC的面積為a+b-c,

4

12?k22

?c一一1,.廠一a+b—c

??^AABC--absinC---------，

2.k22

sinC=———-———=cosC,

2ab

VO<C<n,：.C=—.

4

故選：C.

【點評】本題考查三角形內(nèi)角的求法，考查余弦定理、三角形面積公式等基礎(chǔ)知

識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題.

12.（5分）設(shè)A,B,C,D是同一個半徑為4的球的球面上四點，aABC為等邊

三角形且面積為9匾，則三棱錐D-ABC體積的最大值為（）

A.1273B.1873C.2473D.5473

【考點】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積；LG：球的體積和表面積.

【專題】11：計算題；31：數(shù)形結(jié)合；34：方程思想；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合

法；5F：空間位置關(guān)系與距離.

【分析】求出，^ABC為等邊三角形的邊長，畫出圖形，判斷D的位置，然后求

解即可.

【解答】解：4ABC為等邊三角形且面積為973,可得手xAB2=9?，解得AB=6,

球心為0,三角形ABC的外心為5,顯然D在09的延長線與球的交點如圖：

0，C=

4X除X6=2氏,。。'=442T2M產(chǎn)2,

則三棱錐D-ABC高的最大值為：6,

則三棱錐D-ABC體積的最大值為：1x?X63=18V3.

34

故選：B.

D

【點評】本題考查球的內(nèi)接多面體，棱錐的體積的求法，考查空間想象能力以及

計算能力.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（5分）已知向量力=（1，2）,b=（2,-2）,c=（1，入）.若/〃（2笳）,

則入=1.

-2―

【考點】96：平行向量（共線）；9J：平面向量的坐標運算.

【專題】11：計算題；34：方程思想；40：定義法；5A：平面向量及應(yīng)用.

【分析】利用向量坐標運算法則求出2Z+E=（4,2）,再由向量平行的性質(zhì)能求

出入的值.

【解答】解：???向量”（1,2）,b=（2,-2）,

2a+b=<4,2）,

,:飛（1,入），F(xiàn)（2a+b）?

入

???1一二-,

42

解得人=工.

2

故答案為：1.

2

【點評】本題考查實數(shù)值的求法，考查向量坐標運算法則、向量平行的性質(zhì)等基

礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題.

14.（5分）某公司有大量客戶，且不同年齡段客戶對其服務(wù)的評價有較大差異.為

了解客戶的評價，該公司準備進行抽樣調(diào)查，可供選擇的抽樣方法有簡單隨

機抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣，則最合適的抽樣方法是

【考點】B3：分層抽樣方法；B4：系統(tǒng)抽樣方法.

【專題】11：計算題；38：對應(yīng)思想；40：定義法；51：概率與統(tǒng)計.

【分析】利用簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣的定義、性質(zhì)直接求解.

【解答】解：某公司有大量客戶，且不同年齡段客戶對其服務(wù)的評價有較大差異,

為了解客戶的評價，該公司準備進行抽樣調(diào)查，

可供選擇的抽樣方法有簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣，

則最合適的抽樣方法是分層抽樣.

故答案為：分層抽樣.

【點評】本題考查抽樣方法的判斷，考查簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣的

性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題.

'2x+y+3》0

15.（5分）若變量x,y滿足約束條件x-2y+4）0,則z=x+ly的最大值是3.

x-240°

【考點】7C：簡單線性規(guī)劃.

【專題】11：計算題；31：數(shù)形結(jié)合；34：方程思想；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合

法；5T：不等式.

【分析】作出不等式組表示的平面區(qū)域；作出目標函數(shù)對應(yīng)的直線；結(jié)合圖象知

當直線過（2,3）時，z最大.

'2x+y+3）0

【解答】解：畫出變量x,y滿足約束條件,x-2y+4>0表示的平面區(qū)域如圖：由

lx-2<0

fx=2解得人（2.3）.

\x-2y+4=0

z=x+ly變形為y=-3x+3z,作出目標函數(shù)對應(yīng)的直線，

3

當直線過A（2,3）時，直線的縱截距最小，z最大，

最大值為2+3義工=3,

3

故答案為：3.

【點評】本題考查畫不等式組表示的平面區(qū)域、考查數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的最值.

16.(5分)已知函數(shù)f(x)=ln(4]+*2-x)+1,f(a)=4,則f(-a)=-2

【考點】3K：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷.

【專題】11：計算題；33：函數(shù)思想；49：綜合法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】利用函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)以及函數(shù)值，轉(zhuǎn)化求解即可.

【解答】解：函數(shù)g(x)=ln(Vl+?"x)

滿足1

g(-x)=lnWi+x2+x)=in.-=-In(^1+x2-x)=-g(x),

Yl+x2-x

所以g(x)是奇函數(shù).

函數(shù)f(x)=ln(Ji+J-x)+1,f(a)=4,

可得f(a)=4=ln31+&2-a)+1,可得In({]+7-a)=3,

貝！Jf(-a)=-InQ]+&2-a)+1=-3+1=-2.

故答案為：-2.

【點評】本題考查奇函數(shù)的簡單性質(zhì)以及函數(shù)值的求法，考查計算能力.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17?21

題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要

求作答。(一)必考題：共60分。

17.(12分)等比數(shù)列國｝中，ai=l,a5=4a3.

(1)求｛aj的通項公式；

(2)記Sn為國｝的前n項和.若Sm=63,求m.

【考點】89：等比數(shù)列的前n項和.

【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列.

【分析】(1)利用等比數(shù)列通項公式列出方程，求出公比4=±2,由此能求出｛aj

的通項公式.

(2)當ai=l,q=-2時，Sn」-"''—，由Sm=63,得Sm」-'-*)—=63,mEN,

33

n

無解；當ai=l,q=2時，Sn=2-1,由此能求出m.

【解答】解：⑴???等比數(shù)列｛aj中，ai=l,as=4a3.

1Xq4=4X(lXq2),

解得q=±2,

n

當q=2時,an=2h

當q=-2時，an=(-2)展】，

n

，｛aj的通項公式為，an=2\或an=(-2)….

(2)記Sn為國｝的前n項和.

.1/-.Heai1-(-2)n1-(-2)n

當31=1d,q=-2時，Sn=-------=--'乙,—=--V——，

1-q1-(-2)3

由Sm=63,得Sm=l-(-2)n=63,mGN,無解；

3

當ai=l,q=2時，Sn=°口)=12-i,

1-q1~2

由Sm=63,得Sm=2m-1=63,m@N,

解得m=6.

【點評】本題考查等比數(shù)列的通項公式的求法,考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,

考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題.

18.（12分）某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動，提出了完成某項生產(chǎn)

任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將

他們隨機分成兩組，每組20人.第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人

用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時間（單位：min）繪制了

如下莖葉圖:

第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式

8655689

976270122345668

987765433281445

2110090

（1）根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由；

（2）求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)m,并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時

間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：

超過m不超過m

第一種生產(chǎn)方式

第二種生產(chǎn)方式

（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？

附：K2=n（ad-bc）2,

（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）

P（-0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【考點】BL：獨立性檢驗.

【專題】38：對應(yīng)思想；4A：數(shù)學模型法；51：概率與統(tǒng)計.

【分析】（1）根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)判斷第二種生產(chǎn)方式的工作時間較少些，效率

更高；

（2）根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)計算它們的中位數(shù)，再填寫列聯(lián)表；

（3）列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計算觀測值，對照臨界值得出結(jié)論.

【解答】解：（1）根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)知，

第一種生產(chǎn)方式的工作時間主要集中在72?92之間，

第二種生產(chǎn)方式的工作時間主要集中在65~85之間，

所以第二種生產(chǎn)方式的工作時間較少些，效率更高；

(2)這40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間按從小到大的順序排列后，

排在中間的兩個數(shù)據(jù)是79和81,計算它們的中位數(shù)為m=型限=80；

2

由此填寫列聯(lián)表如下;

超過m不超過m總計

第一種生產(chǎn)方式15520

第二種生產(chǎn)方式51520

總計202040

(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，計算

2:n(ad-bc)2=40X(15X15-5X5)2=IO、6635)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20X20X20X20-,，

，能有99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異.

【點評】本題考查了列聯(lián)表與獨立性檢驗的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

19.(12分)如圖，矩形ABCD所在平面與半圓弧而所在平面垂直，M是加上異

于C,D的點.

(1)證明：平面AMD_L平面BMC；

(2)在線段AM上是否存在點P,使得MC〃平面PBD?說明理由.

【考點】LS：直線與平面平行；LY：平面與平面垂直.

【專題】11：計算題；31：數(shù)形結(jié)合；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5F：空間位

置關(guān)系與距離.

【分析】(1)通過證明CD_LAD,CD1DM,證明CM_L平面AMD,然后證明平

面AMD_L平面BMC；

(2)存在P是AM的中點，利用直線與平面培訓的判斷定理說明即可.

【解答】(1)證明：矩形ABCD所在平面與半圓弦面所在平面垂直，所以AD_L

半圓弦面所在平面，CMu半圓弦而所在平面，

.'.CM1AD,

M是而上異于C,D的點.CM±DM,DMAAD=D,.,.CM，平面AMD,CMc

平面CMB,

二平面AMD,平面BMC；

(2)解：存在P是AM的中點，

理由：

連接BD交AC于。，取AM的中點P,連接0P,可得MC〃OP,MCQ平面BDP,

OPc平面BDP,

所以MC〃平面PBD.

【點評】本題考查直線與平面垂直的判斷定理以及性質(zhì)定理的應(yīng)用，直線與平面

培訓的判斷定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力.

22

20.(12分)已知斜率為k的直線I與橢圓C：工_+二=1交于A,B兩點，線段

43

AB的中點為M(1,m)(m>0).

(1)證明：k<-1；

2

(2)設(shè)F為C的右焦點,P為C上一點，且而+瓦+而=[,證明：2FPl=|FAl+lFB

【考點】K4：橢圓的性質(zhì)；KL：直線與橢圓的綜合.

【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；4P：設(shè)而不求法；5E：圓錐曲線中的最值與范圍問題.

【分析】(1)設(shè)A(xi，yi),B(X2，丫2)，利用點差法得6(xi-X2)+8m(yi-

yz)=0,k=—~—=--=--

Xj-x28m4m

2

又點M(1,m)在橢圓內(nèi)，即工旦<1,加>0)，解得m的取值范圍，即可

43

得k<-1,

2

(2)設(shè)A(Xl，yi),B(X2，丫2)，P(X3，丫3)，可得Xl+X2=2

由祚+記+而=3，可得X3-l=0,由橢圓的焦半徑公式得則|FA|=a-exi=2-l_xi，

2

FB|=2-lx2>|FP|=2-LX3=W.即可證明|FA|+|FB=2|FP|.

222

【解答】解：(1)設(shè)A(xi,yi),B(X2,yz),

???線段AB的中點為M(1,m),

Xi+X2=2,yi+y2=2m

22

將A,B代入橢圓C：工中，可得

43

’3xj+4yj=12

，

<99

3x2+472=12

兩式相減可得,3(xi+x?)(xi-x2)+4(yi+yz)(yi-y2)=0,

即6(xi-X2)+8m(yi-y2)=0,

yy

?.?lb\-_----l-_------2--_-_-----6--__--3--

Xj-x28m41n

12

點M(1,m)在橢圓內(nèi)，即(m>0)，

43

解得OVm

2

，k=-A<JL.

4ID2

(2)證明：設(shè)A(xi，yi),B(X2，y2)?P(X3,y3)，

可得XI+X2=2

+

FP+FAFB=O?F(1,0),.".xi-l+x2-l+x3-1=0,

/.X3=l

由橢圓的焦半徑公式得則向|q-6*1=2-1<1，值|=2-1<2，|FP=2-lx3=2.

2222

則|FA|+|FB|=4-q(X]+x2)=3,

IFAI+1FBI=21FPI,

【點評】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查了點差法、焦半徑公

式，考查分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用與計算能力的考查.屬

于中檔題.

21.(12分)已知函數(shù)f(x)=ax.xT.

X

e

(1)求曲線y=f(x)在點(0,-1)處的切線方程;

(2)證明：當時，f(x)+e20.

【考點】6D：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；6H：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方

程.

【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；53：導數(shù)的綜合應(yīng)用.

［分析］(1)尹(Y)昂tLlf'式義工之耳二,

(eX)2

由r(0)=2,可得切線斜率k=2,即可得到切線方程.

、_(2ax+l)eX-Qx'+xT)e”

(2)可得f，((ax+l)(x-2).可得f(x)在(-

X=X

8,A),(2,+8)遞減，在(-L,2)遞增，注意到a》l時，函數(shù)g(x)

aa

=ax2+x-l在(2,+8)單調(diào)遞增,且g(2)=4a+l>0

只需3即可.

【解答】解。(1)尹(［二(2ax+l)eX-Qx'+xT)e“一一(ax+1)(x-2)

ke)e

.,.fz(0)=2,即曲線y=f(x)在點(0,-1)處的切線斜率k=2,

曲線y=f(x)在點(0,-1)處的切線方程方程為y-(-1)=2x.

即2x-y-1=0為所求.

(2)證明：函數(shù)f(x)的定義域為：R,

可得f,(*)_(2ax+l)e'-Qx2+x-l)e*=_(ax+1)(x-2)

e

令f'(x)=0,可得X1=2,X產(chǎn)」-

當(-co,4)時，fz(x)<0,xw(_JL,2)時，f'(x)>0,x￡(2,+°0)

aa

時，f(x)<0.

Af(x)在(-8,上)，(2,+8)遞減，在(-L2)遞增，

aa

注意到aNl時，函數(shù)g(x)=ax?+x-1在(2,+°°)單調(diào)遞增，且g(2)=4a+l

>0

Va^l,1］，貝Uf（1）=-32-e，

aa

J_

.".f（x）a2-e,

min-e

...當a2l時,f（x）+e20.

【點評】本題考查了導數(shù)的幾何意義，及利用導數(shù)求單調(diào)性、最值，考查了數(shù)形

結(jié)合思想，屬于中檔題.

（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，

則按所做的第一題計分。［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］（10分）

22.（10分）在平面直角坐標系xOy中，。。的參數(shù)方程為卜二c°s0,（0為參

ly=sin9

數(shù)），過點（0,-我）且傾斜角為a的直線I與。。交于A,B兩點.

（1）求a的取值范圍；

（2）求AB中點P的軌跡的參數(shù)方程.

【考點】QK：圓的參數(shù)方程.

【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5S：坐標系和參數(shù)方程.

【分析】（1）。0的普通方程為x2+y2=l,圓心為0（0,0）,半徑r=l,當a=2L

2

時，直線I的方程為x=0,成立；當aW三時，過點（0,-V2）且傾斜角為

2

a的直線I的方程為y=tana?x+圾，從而圓心0（0,0）到直線I的距離

d=.?收<1,進而求出或由此能求出a

?+tan2a4224

的取值范圍.

（2）設(shè)直線I的方程為x=m（y+亞）,聯(lián)立［?（［亞），得（m2+I）y2+2反1n2y+2m2

.x"+y"=1

-1=0,由此利用韋達定理、中點坐標公式能求出AB中點P的軌跡的參數(shù)方

程.

【解答】解：（1）;。。的參數(shù)方程為八二cos8（0為參數(shù)），

ly=sin?

???。0的普通方程為x2+y2=l,圓心為0（0,0）,半徑>1,

當a=2L時，過點（0,飛）且傾斜角為a的直線I的方程為x=0,成立；

2

當時，過點（0,-正）且傾斜角為a的直線I的方程為y二tana”-日，

2

;傾斜角為a的直線I與。O交于A,B兩點，

...圓心。（0,0）到直線I的距離d=.」強IVI,

vl+tan2a

.'.tan2a>1,.*.tana>ltana<-1,

/.—<a<2Lng2L<a<12L,

4224

綜上a的取值范圍是（2L,"）.

44

（2）由（1）知直線I的斜率不為0,設(shè)直線I的方程為x=m（y+b），

設(shè)A（XI，yi）,（B（X2，丫2），p（X3，丫3），

聯(lián)立,*亞），得（m2+l）y2+2&m2y+2m2-l=0,

x2+y2=l

2V2m2

了1+曠2=-

ID+1

2m2-1

y^2二f-

ID+1

=零皿

x1+x2=in(y1+V2)+m(y2+V2)~2,+2&ir,

ID+1

*1+*2_a10yl+y2__V2ni2

X3F-0，^=—■而

x=-9-

nZ+l

中點的軌跡的參數(shù)方程為，為參數(shù))，(-

，ABP尸W(ml<m<l).

m'+l

【點評】本題考查直線直線的傾斜角的取值范圍的求法，考查線段的中點的參數(shù)

方程的求法，考查參數(shù)方程、直角坐標方和、韋達定理、中點坐標公式等基

礎(chǔ)知識，考查數(shù)形結(jié)合思想的靈活運用，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方

程思想，是中檔題.

［選修4-5：不等式選講］(10分)

23.設(shè)函數(shù)f(x)=|2x+l+x-1.

(1)畫出y=f(x)的圖象;

求a+b的最小值.

【考點】3B：分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法；5B：分段函數(shù)的應(yīng)用.

【專題】31：數(shù)形結(jié)合；4R：轉(zhuǎn)化法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；59：不等式的解

法及應(yīng)用.

【分析】(1)利用分段函數(shù)的性質(zhì)將函數(shù)表示為分段函數(shù)形式進行作圖即可.

(2)將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為圖象關(guān)系進行求解即可.

【解答】解：(1)當xW-工時，f(x)=-(2x+l)-(x-1)=-3x,

2

當--L<x<l,f(x)=(2x+l)-(x-1)=x+2,

2

當x21時，f(x)=(2x+l)+(x-1)=3x,

f-3qx,x-(下I

則f(x)=>x+2,一對應(yīng)的圖象為：

3x,x》l

畫出y=f(x)的圖象；

(2)當x￡[0,+°°)時，f(x)Wax+b,

當x=0時,f(0)=2W0?a+b,b>2,

當x>0時，要使f(x)Wax+b恒成立，

則函數(shù)f(x)的圖象都在直線丫=2*+13的下方或在直線上，

Vf(x)的圖象與y軸的交點的縱坐標為2,

且各部分直線的斜率的最大值為3,

故當且僅當a23月.b22時，不等式f(x)Wax+b在[0,+-)上成立，

即a+b的最小值為5.

【點評】本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，利用不等式和函數(shù)之間的關(guān)系利用數(shù)形

結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.

一.集合與函數(shù)

1.進行集合的交、并、補運算時，不要忘了全集和空集的特殊情

況，不要忘記了借助數(shù)軸和文氏圖進行求解.

2.在應(yīng)用條件時，易A忽略是空集的情況

3.你會用補集的思想解決有關(guān)問題嗎？

4.簡單命題與復(fù)合命題有什么區(qū)別？四種命題之間的相互關(guān)系是

什么？如何判斷充分與必要條件？

5.你知道“否命題”與“命題的否定形式”的區(qū)別.

6.求解與函數(shù)有關(guān)的問題易忽略定義域優(yōu)先的原則.

7.判斷函數(shù)奇偶性時-，易忽略檢驗函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱.

8.求一個函數(shù)的解析式和一個函數(shù)的反函數(shù)時，易忽略標注該函

數(shù)的定義域.

9.原函數(shù)在區(qū)間［a,a］上單調(diào)遞增，則一定存在反函數(shù)，且反函數(shù)

也單調(diào)遞增;但一個函數(shù)存在反函數(shù)，此函數(shù)不一定單調(diào).例如：.

10.你熟練地掌握了函數(shù)單調(diào)性的證明方法嗎?定義法（取值，作差,

判正負）和導數(shù)法

11.求函數(shù)單調(diào)性時，易錯誤地在多個單調(diào)區(qū)間之間添加符號

“U”和“或”；單調(diào)區(qū)間不能用集合或不等式表示.

12.求函數(shù)的值域必須先求函數(shù)的定義域。

13.如何應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性解題?①比較函數(shù)值的大小;

②解抽象函數(shù)不等式;③求參數(shù)的范圍（恒成立問題）.這幾種基本應(yīng)用

你掌握了嗎？

14.解對數(shù)函數(shù)問題時，你注意到真數(shù)與底數(shù)的限制條件了嗎？

（真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1