2023年高中物理新教材同步選修第二冊(cè) 第1章　強(qiáng)化3　帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

［學(xué)習(xí)目標(biāo)］L會(huì)分析帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)2會(huì)分析帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)

中運(yùn)動(dòng)的臨界問題.3.了解多解成因，會(huì)分析帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的多解問題.

探究重點(diǎn)提升素養(yǎng)

一、帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

1.直線邊界

從某一直線邊界射入的粒子，再?gòu)倪@一邊界射出時(shí)，速度與邊界的夾角相等，如圖所示.

d=2Rsin0

(b)

2.平行邊界

R2=(R-cT)2+L2

；X,X;

r*-a—?>

R2=x2+(R-d)2或

d=R+Rcos6R=d+Rcos6

3.圓形邊界

(1)在圓形磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)，沿半徑方向射入的粒子，必沿半徑方向射出，如圖甲所示.

(2)在圓形磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)，不沿半徑方向射入的粒子，入射速度與半徑的夾角為仇出射速度與

半徑的夾角也為仇如圖乙所示.

甲乙

4.三角形邊界磁場(chǎng)

如圖所示是正△ABC區(qū)域內(nèi)某正粒子垂直AB方向進(jìn)入磁場(chǎng)的臨界軌跡示意圖.粒子能從AC

間射出的兩個(gè)臨界軌跡如圖甲、乙所示.

考向1直線邊界的磁場(chǎng)

【例11（多選）如圖所示，在邊界上方存在著垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，有兩個(gè)電荷量、質(zhì)量

均相同，分別帶正電和負(fù)電的粒子（不計(jì)重力），從邊界上的。點(diǎn)以相同速度先后垂直于磁場(chǎng)

方向射入磁場(chǎng)中，入射方向與邊界成。角，則兩個(gè)粒子在磁場(chǎng)中（）

XXXXXXXXXXXX

XXXXXXXXXXXX

XXaXXXXXXXXX

XXXXXX乂坊XXXX

_22￡匕_上2_5^_2￡_邑212

0

A.運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑相等

B.重新回到邊界所用時(shí)間相同

C.重新回到邊界時(shí)的速度大小和方向相同

D.重新回到邊界時(shí)與。點(diǎn)的距離相等

答案ACD

解析帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律得

廬mu

qvB=m—,解得「=而，由題知9、m、5大小均相等，則廠相等，選項(xiàng)A正確；粒子的

27rH7

運(yùn)動(dòng)周期T=I方，由題知外相、B大小均相同，則T相同；兩粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，

帶正電的粒子逆時(shí)針偏轉(zhuǎn)，帶負(fù)電的粒子順時(shí)針偏轉(zhuǎn)，重新回到邊界時(shí)，帶正電的粒子的速

2兀—2871—0

度偏向角為2兀一2a軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角也為2兀-26,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/=——T=——T;同理，

Z7171

帶負(fù)電的粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間為r=^-T=~T,所用時(shí)間不等，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；兩個(gè)粒子在磁場(chǎng)中均

Z7C71

做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速度沿軌跡的切線方向，根據(jù)對(duì)稱性可知，兩粒子重新回到邊界時(shí)的速度

大小與方向均相同，選項(xiàng)C正確；根據(jù)幾何知識(shí)得知，兩粒子重新回到邊界時(shí)與。點(diǎn)的距離

均為2rsina選項(xiàng)D正確.

XxXXXXXX

XXXXXXXX

x/xxx^xx)dxxxxx

xlxfixz<K*'KX學(xué)XXXXX

X、/攵Xx\y^>F~X^\XX

………f-

考向2圓形邊界的磁場(chǎng)

【例2】在以坐標(biāo)原點(diǎn)。為圓心、半徑為r的圓形區(qū)域內(nèi)，存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為2、方向垂

直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，如圖所示.一個(gè)不計(jì)重力的帶電粒子從磁場(chǎng)邊界與尤軸的交點(diǎn)A

處以速度。沿一無方向射入磁場(chǎng)，它恰好從磁場(chǎng)邊界與y軸的交點(diǎn)C處沿+y方向飛出.

(1)請(qǐng)判斷該粒子帶何種電荷，并求出其比荷看；

(2)若磁場(chǎng)的方向和所在空間范圍不變，而磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小變?yōu)?,，該粒子仍從A處以相

同的速度射入磁場(chǎng)，但飛出磁場(chǎng)時(shí)的速度方向相對(duì)于入射方向改變了60°,求磁感應(yīng)強(qiáng)度8'

的大小及此次粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)所用時(shí)間t.

答案⑴負(fù)電荷微⑵坐B嚕^

解析(1)由粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡(如圖)，利用左手定則可知，該粒子帶負(fù)電荷.粒子由A點(diǎn)射入,

d

由。點(diǎn)飛出，其速度方向改變了90。，則粒子軌跡半徑7?=/，又卯3="心

則粒子的比荷*

(2)設(shè)粒子從。點(diǎn)飛出磁場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖，速度方向改變了60°,故弧所對(duì)圓心角為60°,

rf—1117)、/3

由幾何知識(shí)可知，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R'=+&八°—又R'=一’7一,所以3'=&

【anJUQD3

B,此次粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)所用時(shí)間—

■規(guī)律總結(jié)

帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的解題方法

i即畫出軌跡，并確定圓心，利用幾

I何知識(shí)求半徑

軌跡半徑與磁感應(yīng)強(qiáng)度、運(yùn)動(dòng)速度

相聯(lián)系，偏轉(zhuǎn)角度與軌跡對(duì)應(yīng)的圓

I找聯(lián)系心角相聯(lián)系，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

與圓心角、周期相聯(lián)系

即運(yùn)用牛頓第二定律和圓周運(yùn)動(dòng)的

（用規(guī)律卜T規(guī)律求解，特別注意周期公式、半

徑公式的應(yīng)用

二、帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界問題

解決帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界問題的關(guān)鍵，通常以題目中的“恰好”“最大”“至少”

等為突破口，尋找臨界點(diǎn)，確定臨界狀態(tài)，根據(jù)磁場(chǎng)邊界和題設(shè)條件畫好軌跡，建立幾何關(guān)

系求解.

（1）剛好穿出或剛好不能穿出磁場(chǎng)的條件是帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡與邊界相切.

（2）當(dāng)以一定的速率垂直射入磁場(chǎng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)的弧長(zhǎng)越長(zhǎng)、圓心角越大，則帶電粒子在有界磁場(chǎng)

中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng).

（3）當(dāng)比荷相同，速率。變化時(shí)，圓心角越大的，運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng).

【例3】如圖所示，真空中狹長(zhǎng)區(qū)域內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為8,方向垂直紙面向里，區(qū)

域?qū)挾葹閐,邊界為CD和EF,速度為v的電子從邊界CD外側(cè)沿垂直于磁場(chǎng)方向射入磁場(chǎng),

入射方向與CD的夾角為9,已知電子的質(zhì)量為機(jī)、帶電荷量為e,為使電子能從另一邊界

EF射出，電子的速率應(yīng)滿足的條件是（）

A.o>?z(]+c0s9)°<〃z(l+cosff)

Ci>----------------

?7m(l+sin6)°〈根(1+sinff)

答案A

解析由題意可知，電子從邊界EF射出的臨界條件為到達(dá)邊界E尸時(shí)，速度方向與EF平行,

即運(yùn)動(dòng)軌跡與EF相切，如圖所示.由幾何知識(shí)得:

R+Rcos3=d,en

解得。0=/警'小,當(dāng)。＞。0時(shí)，即能從邊界射出，故A正確.

十cos")

【例41(202。全國(guó)卷HI)真空中有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)邊界為兩個(gè)半徑分別為a和3a的同軸圓

柱面，磁場(chǎng)的方向與圓柱軸線平行，其橫截面如圖所示.--速率為。的電子從圓心沿半徑方

向進(jìn)入磁場(chǎng).已知電子質(zhì)量為m,電荷量為e,忽略重力.為使該電子的運(yùn)動(dòng)被限制在圖中

實(shí)線圓圍成的區(qū)域內(nèi)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度最小為()

/xxx\

/xXXA

xx(flQxX

\XX義―幻、X/

\3a\7

\xXXX/

3nwmv3Tm3mv

2caeD.ae4ae5ae

答案C

解析磁感應(yīng)強(qiáng)度取最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的電子的運(yùn)動(dòng)軌跡臨界狀態(tài)如圖所示，設(shè)電子在磁場(chǎng)中做

d

圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r,由幾何關(guān)系得/+，=(3〃一廠)2,根據(jù)洛倫茲力提供向心力有evB=m~,

3"20

聯(lián)立解得8=磕，故選C.

三、帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的多解問題

多解的原因:

(1)磁場(chǎng)方向不確定形成多解；

(2)帶電粒子電性不確定形成多解;

⑶臨界狀態(tài)不唯一形成多解;

（4）運(yùn)動(dòng)的往復(fù)性形成多解.

解決此類問題，首先應(yīng)畫出粒子的可能軌跡，然后找出圓心、半徑的可能情況.

考向1臨界狀態(tài)不唯一形成多解

【例5】（多選汝口圖所示，長(zhǎng)為/的水平極板間有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為8,

板間距離也為/,極板不帶電.現(xiàn)有質(zhì)量為“、電荷量為4的帶正電粒子（不計(jì)重力），從兩極

板間邊界中點(diǎn)處垂直磁感線以速度。水平射入磁場(chǎng)，欲使粒子不打在極板上，可采用的辦法

是（）

XXX

xgxx

使粒子的速度

使粒子的速度。＞警

使粒子的速度當(dāng)

答案AB

解析如圖所示，帶電粒子剛好打在極板右邊緣時(shí)，有n2=（n—2）2+^,又片=下］，所以

Vi=^4m9粒子剛好打在極板左邊緣時(shí)，有r2=；=。2=鬻，綜合上述分析可知，選項(xiàng)

A、B正確.

x\x

V

XXX

考向2磁場(chǎng)方向不確定形成多解

【例61（多選）（2021?成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二上月考）如圖所示，A點(diǎn)的離子源在紙面內(nèi)沿垂直O(jiān)Q

的方向向上射出一束負(fù)離子，重力忽略不計(jì).為把這束負(fù)離子約束在OP之下的區(qū)域，可加

垂直紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng).已知O、A兩點(diǎn)間的距離為s,負(fù)離子的比荷為速率為。，。尸與

。。間的夾角為30。，則所加勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度2應(yīng)滿足（）

XP

一商）。y

0AQ

ni7）

A.垂直紙面向里，B>^-B.垂直紙面向里，B>-

rn7）

C.垂直紙面向外，智D.垂直紙面向外，至

答案BC

解析當(dāng)所加勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向垂直紙面向里時(shí)，由左手定則可知負(fù)離子向右偏轉(zhuǎn)；負(fù)離子被約

束在。尸之下的區(qū)域的臨界條件是離子的運(yùn)動(dòng)軌跡與。尸相切，如圖（大圓弧），由幾何知識(shí)知

&=02sin30°=；。8,而08=s+&,故&=s,所以當(dāng)離子運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑小于s時(shí)滿足約

束條件；由牛頓第二定律可得卯8=高，所以得選項(xiàng)A錯(cuò)誤，B正確；當(dāng)所加勻強(qiáng)

磁場(chǎng)方向垂直紙面向外時(shí)，由左手定則可知負(fù)離子向左偏轉(zhuǎn)；

負(fù)離子被約束在。尸之下的區(qū)域的臨界條件是離子的運(yùn)動(dòng)軌跡與OP相切，如圖（小圓弧），由

rc

幾何知識(shí)知7?i=1,所以當(dāng)離子運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑小于全時(shí)滿足約束條件;由牛頓第二定律得qvB

nrrp-3mv

=才，所以得及>譽(yù)（選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤.

qs

-規(guī)律總結(jié)

解決帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的多解問題的關(guān)鍵是充分考慮問題的各種可能性，認(rèn)真分析

其物理過程，畫出各種可能的運(yùn)動(dòng)軌跡，找出隱含的幾何關(guān)系，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)、物理知識(shí)求

解.

專題強(qiáng)化練

訓(xùn)練1帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

基礎(chǔ)強(qiáng)化練

1.如圖所示，在x>0,y>0的空間中有恒定的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向垂直于xOy平面向

里，大小為8.現(xiàn)有一質(zhì)量為機(jī)、電荷量為鄉(xiāng)的帶電粒子（不計(jì)重力），在x軸上到原點(diǎn)的距離

為xo的P點(diǎn)，以平行于y軸的初速度射入此磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)力作用下沿垂直于y軸的方向射出

此磁場(chǎng)，由這些條件可知（）

yxxx膏

xxxx

xxxx

XXxlX,

A.帶電粒子一定帶正電

B.不能確定粒子速度的大小

C.不能確定粒子射出此磁場(chǎng)的位置

D.不能確定粒子在此磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間

答案A

解析粒子沿垂直于y軸的方向射出此磁場(chǎng)，故粒子向左偏轉(zhuǎn)，由左手定則可知，粒子帶正

rri7）

電，且軌跡半徑7?=沏，故粒子射出磁場(chǎng)時(shí)的位置在y軸上距原點(diǎn)的處，由半徑7?=莉?可得

速度。運(yùn)動(dòng)時(shí)間/=[=強(qiáng)+選項(xiàng)A正確.

til/?乙uq

2.如圖所示，在第I象限內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一對(duì)質(zhì)量與電荷量都相等的正、負(fù)

粒子分別以相同速率沿與x軸成30。角的方向從原點(diǎn)射入磁場(chǎng)，不計(jì)粒子重力，則正、負(fù)粒

子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之比為（）

XXXX

XXXX

XXXX

XXXX

A.1：2B.2：1

C.1：^3D.1：1

答案B

解析由洛倫茲力提供向心力有砂必=丁，又丁=譽(yù)，解得了=蕭，則正、負(fù)粒子在磁場(chǎng)

中的運(yùn)動(dòng)周期相等，正、負(fù)粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，正粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡

對(duì)應(yīng)的圓心角為120°,負(fù)粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為60。，故時(shí)間之比為2：1,

B正確.

3.如圖所示，空間有一圓柱形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，該區(qū)域的橫截面的半徑為R,磁場(chǎng)方向垂直于

橫截面.一質(zhì)量為機(jī)、電荷量為式q>0）的粒子以速率oo沿橫截面的某直徑射入磁場(chǎng)，離開磁

場(chǎng)時(shí)速度方向偏離入射方向60。.不計(jì)粒子重力，該磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為（）

答案A

解析粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示,

粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑

R

r=to73O^=^7?

根據(jù)洛倫茲力提供向心力得

qvoB=trry,解得8=*/。,故A正確.

4.如圖所示，平行線尸。、MN之間有方向垂直紙面向里的無限長(zhǎng)勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電子從尸點(diǎn)沿平

行于PQ且垂直于磁場(chǎng)方向射入磁場(chǎng)，當(dāng)電子速率為時(shí)與成60。角射出磁場(chǎng)；當(dāng)電子

速率為02時(shí)與成30。角射出磁場(chǎng)（出射點(diǎn)都沒畫出），。1：。2等于（）

P*=?------Q-------

XXXXXXX

XXXXXXX

XXXXXXX

M~N

A.1：（2-^3）B.（2-73）：1

C.2：1D.y[3：1

答案B

解析設(shè)帶電粒子射出磁場(chǎng)時(shí)速度方向與MN之間的夾角為6,做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為廠，

一r—d

由幾何關(guān)系可知cos6=----

解得〃=■,”a帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)

1-COSC7

mv2rqB

qvB=,v=8T

Yr，m

聯(lián)立可得O1：S=（2一?。?,故B正確.

5.如圖所示，圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，質(zhì)子和a粒子（氯原子核）先后以相同的

動(dòng)能對(duì)準(zhǔn)圓心。射入磁場(chǎng)，若粒子只受磁場(chǎng)力的作用，已知質(zhì)子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的角度為90。,

則a粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的角度是（）

/XX\

/XXXX?

?--------A?]

\xxax/

XX/

、、-J

A.30°B.45°C.90°D.120°

答案C

解析質(zhì)子和a粒子的質(zhì)量之比為1：4,所帶電荷量之比為1:2,質(zhì)子和a粒子具有相同

的動(dòng)能，故兩者的速度之比為2：1;根據(jù)洛倫茲力提供向心力有qvB=nry,得r=布,可

知質(zhì)子和a粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相等，所以轉(zhuǎn)過的角度相同，即a粒子也偏轉(zhuǎn)90°,

故C正確，A、B、D錯(cuò)誤.

6.（多選）（2022?信宜市高二月考）如圖所示，兩個(gè)初速度大小相同的同種離子。和b,從。點(diǎn)

沿垂直磁場(chǎng)方向進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，最后打到屏尸上.不計(jì)重力.下列說法正確的有（）

A.a、b均帶正電

B.a在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間比b的短

C.a在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的路程比b的短

D.a在P上的落點(diǎn)與。點(diǎn)的距離比6的近

答案AD

解析離子要打在屏P上，都要沿順時(shí)針方向偏轉(zhuǎn)，根據(jù)左手定則可知，離子都帶正電，選

.,,1）-

項(xiàng)A正確；由于是同種離子，因此質(zhì)量、電荷量相同，因初速度大小也相同，由可

知，它們做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同，作出運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖所示，比較得a在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的路程

比6的長(zhǎng)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由7=（可知,a在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間比6的長(zhǎng)，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；從圖

上可以看出，選項(xiàng)D正確.

7.(多選)如圖所示，直角三角形ABC中存在一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，比荷相同的兩個(gè)帶電粒子沿AB方

向射入磁場(chǎng)，分別從AC邊上的尸、。兩點(diǎn)射出，不計(jì)粒子重力，貝女)

A.從尸射出的粒子速度大

B.從。射出的粒子速度大

C.從尸射出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間長(zhǎng)

D.兩粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間一樣長(zhǎng)

答案BD

解析作出兩帶電粒子各自的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖所示，根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)知，兩粒子分別從尸、

。點(diǎn)射出時(shí)，速度方向與AC邊的夾角相等，故可判定兩粒子從P、。點(diǎn)射出時(shí)，半徑

故由可知從。點(diǎn)射出的粒子速度大，A錯(cuò)誤，B正確；由T=鬻="得,兩粒子在

x-jcyc/cyJ.J

磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期相等，根據(jù)圖示，可知兩軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角相等，由，=五7得兩粒

子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等，C錯(cuò)誤，D正確.

-能力綜合練

8.如圖所示，在x軸上方存在垂直于紙面向里且磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為8的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在x軸下

方存在垂直于紙面向外且磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為冷的勻強(qiáng)磁場(chǎng).一帶負(fù)電的粒子，帶電荷量為q,

質(zhì)量為小從原點(diǎn)。與無軸成30。角斜向上射入磁場(chǎng)，且在x軸上方磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為R,

不計(jì)粒子重力.貝1()

A.粒子經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后一定能回到原點(diǎn)。

B.粒子在無軸上方和下方磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑之比為2：1

粒子完成一次周期性運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為瑞

D.粒子第二次射入x軸上方磁場(chǎng)時(shí)，沿x軸前進(jìn)了3R

答案D

解析由廠=年可知，粒子在x軸上方和下方磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑之比為1：2,選項(xiàng)B錯(cuò)誤;

QD

粒子在兩磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)所對(duì)應(yīng)的圓心角均為60°,故粒子完成一次周期性運(yùn)動(dòng)的時(shí)間/=971+上

jririinn

3=笑+舞=黑，選項(xiàng)c錯(cuò)誤；粒子第二次射入無軸上方磁場(chǎng)時(shí)沿X軸前進(jìn)了/=R+2R

JQDJQDQD

=3R,則粒子經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后不能回到原點(diǎn)。，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，D正確.

9.（2021?遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中）如圖所示，在圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，ab是

圓的直徑.一帶電粒子從a點(diǎn)射入磁場(chǎng)，速度大小為。1、方向與ab成30。角時(shí)，恰好從6點(diǎn)

飛出磁場(chǎng)，且粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f；若同一帶電粒子從。點(diǎn)沿ab方向射入磁場(chǎng)，也

經(jīng)時(shí)間f飛出磁場(chǎng)，則其速度大小為（）

答案

解析畫出兩種情況下帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，由題意，同一粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)時(shí)間

均為則兩種情況下帶電粒子的偏轉(zhuǎn)角均為60。；設(shè)圓的半徑為R,由幾何關(guān)系可以確定帶

電粒子在兩種情況下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑分別為廠i=2R,廠2=Rtan6（F=M5R,由洛倫茲力

提供向心力有卯8=后7,則速度。=卓^,則晟=”=哀，所以當(dāng)粒子沿。6方向射入時(shí)，。2

=號(hào)1,A、B、D錯(cuò)誤，C正確.

；、、/

O'i。］

10.（2019?全國(guó)卷H）如圖，邊長(zhǎng)為/的正方形abed內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,方

向垂直于紙面（abed所在平面）向外.ab邊中點(diǎn)有一電子發(fā)射源。，可向磁場(chǎng)內(nèi)沿垂直于ab

邊的方向發(fā)射電子.已知電子的比荷為左.則從服d兩點(diǎn)射出的電子的速度大小分別為（）

d?-----------------\C

\**B??!

A.^kBl,當(dāng)1kBi

C.^kBl,D.gkBl,^kBl

答案B

解析電子從〃點(diǎn)射出時(shí)，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖線①，軌跡半徑為心=（,由洛倫茲力提供向心力，

/??

又藐=%,解得%=??；電子從d點(diǎn)射出時(shí)，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖線②，由幾何關(guān)系有"np+Od

2

—5）,解得：rd=^r,由洛倫茲力提供向心力，有eVdB=rrr^,又《=%，解得3=啰^,選

Z今rdi/L今

項(xiàng)B正確.

11.如圖，在直角三角形OPN區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為8、方向垂直于紙面

向外.一帶正電的粒子從靜止開始經(jīng)電壓U加速后，沿平行于x軸的方向射入磁場(chǎng)；一段時(shí)

間后，該粒子在。尸邊上某點(diǎn)以垂直于無軸的方向射出.已知。點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，N點(diǎn)在y軸

上，。尸與x軸的夾角為30。，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的入射點(diǎn)與離開磁場(chǎng)的出射點(diǎn)之間的距離為d,

不計(jì)重力.求：

⑴帶電粒子的比荷;

（2）帶電粒子從射入磁場(chǎng)到運(yùn)動(dòng)至x軸的時(shí)間.

答案（1）券（2）翳6+雪）

解析（1）設(shè)帶電粒子的質(zhì)量為m,電荷量為q,加速后的速度大小為。.由動(dòng)能定理有qU=3

mu1@

粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示，設(shè)粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑

為r,由洛倫茲力提供粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力有

qvB=

由幾何關(guān)系知d=^2r@

聯(lián)立①②③式得'=影④

(2)由幾何關(guān)系知，帶電粒子從射入磁場(chǎng)到運(yùn)動(dòng)到無軸經(jīng)過的路程為

jrr

s=q+rtan30°⑤

帶電粒子從射入磁場(chǎng)到運(yùn)動(dòng)至x軸的時(shí)間為

聯(lián)立②④⑤⑥式得t=

12.如圖所示，平面直角坐標(biāo)系的第一象限有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)(圖中未畫出)，一帶

正電的粒子，電荷量為q,質(zhì)量為〃3從y軸上的點(diǎn)A(0,坐L)沿如圖所示方向射入磁場(chǎng)，若

干時(shí)間后到達(dá)第四象限的點(diǎn)伙|工，-L),粒子在點(diǎn)8的速度大小為o,方向與y軸平行，不

計(jì)粒子重力，求:

(1)勻強(qiáng)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大??；

(2)粒子從點(diǎn)A到點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t.

...mo（2兀+3）L

答案⑴五⑵

、8

解析(1)粒子在磁場(chǎng)中做勺速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示，由洛倫茲力提供向心力有qvB=m—

由幾何關(guān)系有

，=（尊>+（|一廠）2

『2mv

解傳r=L,8=熊

（2）設(shè)粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡的圓心角為6,

?/小小

sin（7i—1/）=?

得0=爭(zhēng)

I

則粒子從點(diǎn)A到點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)時(shí)間

（2兀+3R

付I—■

訓(xùn)練2帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界和多解問題

基礎(chǔ)強(qiáng)化練

1.（多選）（2021?綿陽(yáng)市南山中學(xué)高二月考）如圖，一束電子以大小不同的速率沿圖示方向飛入橫

截面是一正方形的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，對(duì)從右邊離開磁場(chǎng)的電子，下列判斷正確的是（）

1---------------------------------iQ

IXXXXI

[XXXX；

!xxxx!

：xx|xx：

士一上1b

A.從。點(diǎn)離開的電子速度最小

B.從。點(diǎn)離開的電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短

C.從6點(diǎn)離開電子的軌跡半徑最小

D.從萬點(diǎn)離開的電子速度偏轉(zhuǎn)角最小

答案BC

解析對(duì)于從右邊離開磁場(chǎng)的電子，從a點(diǎn)離開的軌跡半徑最大，從6點(diǎn)離開的軌跡半徑最

rrm

小，根據(jù)廠=不，知軌跡半徑大，電子的速度大，則從a點(diǎn)離開的電子速度最大，A錯(cuò)誤，

QD

C正確；從a點(diǎn)離開的電子速度偏轉(zhuǎn)角最小，則軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角。最小，根據(jù)片名7=4?筆

271Z71qD

=—^,知運(yùn)動(dòng)時(shí)間與電子的速度無關(guān)，8越小，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越短，選項(xiàng)B正確，D錯(cuò)誤.

QD

2.如圖所示，△ABC為與勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直的邊長(zhǎng)為。的等邊三角形，比荷為5的電子以速度。。

從A點(diǎn)沿A5邊入射，欲使電子經(jīng)過邊，磁感應(yīng)強(qiáng)度5的取值范圍為（）

答案D

解析由題意可知，電子正好經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，此時(shí)圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R=

a

一相=$，要想電子從BC邊經(jīng)過，電子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑要大于卓〃，由帶電粒子在磁

LU、DUJJ

3.直線和直線ON之間的夾角為30。，如圖所示，直線OM上方存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)

度大小為2,方向垂直于紙面向外.一帶電粒子的質(zhì)量為小電荷量為q（q>0）.粒子沿紙面

以大小為。的速度從上的某點(diǎn)向左上方射入磁場(chǎng)，方向與OM成30。角.已知該粒子在

磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡與ON只有一個(gè)交點(diǎn)，并從OM上另一點(diǎn)射出磁場(chǎng)，不計(jì)粒子重力.粒子

離開磁場(chǎng)的出射點(diǎn)到兩直線交點(diǎn)。的距離為（）

????B?/*/?N?

???，????

?/前；30亂一」?

0M

膽事mu2nw4mv

fqB°，qBqBqB

答案D

ITIT）

解析帶電粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為廠=行.由題意可知，軌跡與ON相切，畫

____CD____

出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，由幾何知識(shí)得C。'。為一直線段，0D=$仙30。=2CD=4廠

4mv

故D正確.

-qB，

IN

4.（多選）如圖所示，寬度為d的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為8,MM'和MV'是它的兩條

邊界線，現(xiàn)有質(zhì)量為機(jī)、電荷量為q的帶電粒子沿圖示方向垂直磁場(chǎng)射入，粒子重力不計(jì)，

要使粒子不能從邊界NN'射出，粒子入射速率。的最大值可能是（）

MXXXN

XXX

45°

m歹XX

qXXX

XXX

MXXXN

（2+柩qBd

B

m

C儂D（2f）qBd

'2mm

答案BD

解析設(shè)帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為R,粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)由洛倫茲力提

TTrr]7j

供向心力，由牛頓第二定律可得卯8=而心解得尺=面.帶電粒子速率越大，軌道半徑越大，

當(dāng)軌跡恰好與邊界MV，相切時(shí)，粒子恰好不能從邊界NN，射出，對(duì)應(yīng)的速率最大.若粒子

帶負(fù)電，臨界軌跡如圖甲所示，由幾何知識(shí)得R+Rcos45。=",

解得R=（2-g）d,

在廣…也Q—小）qBd

對(duì)應(yīng)的速率V=---------------.

m

若粒子帶正電，臨界軌跡如圖乙所示，

由幾何知識(shí)得：R—Reos450=d,

解得R=（2+?。ヾ

開r-AA-i-t-Q+?。﹒Bd

對(duì)應(yīng)的速率.故選、

0=-------m--------BD.

5.如圖所示，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的邊界是兩個(gè)同心圓，內(nèi)圓的半徑為廠，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，磁感

應(yīng)強(qiáng)度大小為3,A是內(nèi)側(cè)邊界上的一點(diǎn).在圓心。處沿平行于紙面的方向射出一個(gè)質(zhì)量為

m、電荷量為4的帶電粒子，粒子速度方向與。4成60。角，粒子經(jīng)磁場(chǎng)第一次偏轉(zhuǎn)后剛好從

A點(diǎn)射出磁場(chǎng)，不計(jì)粒子重力，則下列說法正確的是（）

文文、、

/XXXXx、'\

\xX-----XX/

\、、、XXXXX//

7_±-少'

A.粒子一定帶正電

B.粒子第一次在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為舞

c.粒子運(yùn)動(dòng)的速度大小為“警

D.磁場(chǎng)外邊界圓的半徑至少為小r

答案D

解析根據(jù)題意，畫出粒子第一次在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖，根據(jù)左手定則可以判斷出粒子

帶負(fù)電，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；粒子第一次在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為前,選項(xiàng)B錯(cuò)誤；粒子

在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R=rtan30。=坐廠，根據(jù)牛頓第二定律有qvB=nr^,解得。

選項(xiàng)C錯(cuò)誤；磁場(chǎng)外邊界圓的半徑至少為/=R+\no=y[3r,選項(xiàng)D正確.

6.（多選）（2022?壽光市現(xiàn)代中學(xué)高二下月考）如圖所示，直角三角形的邊長(zhǎng)為L(zhǎng),ZC=30°,

三角形區(qū)域內(nèi)存在著方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng).一質(zhì)量為沖電荷量為q的帶負(fù)電粒子（不

計(jì)重力）從A點(diǎn)沿方向以速度。o射入磁場(chǎng)，要使粒子不從8C邊穿出磁場(chǎng)，則下列說法正

確的是（）

A.磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值為竽

CfL-t

B.磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值為嚶詈

C.粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為奢

77■/

D.粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為黑

答案AC

解析帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律可得

2

qv（）B=nryf可得3=彳U，可知半徑一越大，磁感應(yīng)強(qiáng)度越小，要使粒子不從5C邊穿出磁

場(chǎng)，畫出半徑廠最大時(shí)的軌跡，如圖所示，由幾何關(guān)系可知，四邊形。43。是正方形，故圓

1717）（｝

弧軌跡半徑為"可得磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值&皿=一q廠L，A正確，B錯(cuò)誤；粒子從AC邊射出

時(shí)在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過的圓心角為120°,粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T=西，可知8

最小時(shí)，周期最大，粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，最長(zhǎng)時(shí)間為f=^Tmax=tx伊笠=箸，C正確，

3OU3ymini

D錯(cuò)誤.

能力綜合練

7.（多選）如圖所示，直線MN與水平方向成60。角，的右上方存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)

磁場(chǎng)，左下方存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，兩磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為區(qū)一粒子源位于

MN上的a點(diǎn)，能水平向右發(fā)射不同速率、質(zhì)量為皿重力不計(jì)）、電荷量為q（q>0）的同種粒

子，所有粒子均能通過上的6點(diǎn)，已知06=乙，則粒子的速度可能是（）

M.............

x'<