2019屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)案12-概率與統(tǒng)計(學(xué)生版)

專題十二概率與統(tǒng)計

(-)知識梳理

1.分類加法計數(shù)原理

完成一件事有n類不同的方案，在第一類方案中有加種不同的方法，在第二類方案中有他種

不同的方法，……,在第〃類方案中有如種不同的方法，則完成這件事情，共有N=M+M2

+…+，小種不同的方法.

2.分步乘法計數(shù)原理

完成一件事情需要分成〃個不同的步驟，完成第一步有如種不同的方法，完成第二步有如種

不同的方法.......完成第"步有人種不同的方法，那么完成這件事情共有N=，MX/n2><…x佃

種不同的方法.

3.兩個原理的區(qū)別

分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理，都涉及完成一件事情的不同方法的種數(shù).它們的區(qū)別

在于：分類加法計數(shù)原理與分類有關(guān)，各種方法相互獨立，用其中的任一種方法都可以完成這

件事；分步乘法計數(shù)原理與分步有關(guān)，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了，這件事才

算完成.

4.排列與排列數(shù)公式

(1)排列與排列數(shù)

排

從"個不同元

按照一定的順序排所有不同列

素中取出

—-列,排列的個數(shù)數(shù)

機(jī)("區(qū)〃)個元素

(2)排列數(shù)公式

n!

(〃-1)(“-2)…(〃-〃?+1)=(〃_刈！

(3)排列數(shù)的性質(zhì)

①②0!—1.

5.組合與組合數(shù)公式

(1)組合與組合數(shù)

(2)組合數(shù)公式

A?_〃（，L1）（〃一2）...（〃一，〃+1）

C1；=____21

Cmm!ml（〃一/%）!,

(3)組合數(shù)的性質(zhì)

①c2=i；②c#=c「,"；③cr+ck?=c;7+1.

6.排列與組合問題的識別方法

識別方法

若交換某兩個元素的位置對結(jié)果產(chǎn)生影響，則是排列問

排列

題，即排列問題與選取元素順序有關(guān)

若交換某兩個元素的位置對結(jié)果沒有影響，則是組合問

組合

題，即組合問題與選取元素順序無關(guān)

7.二項式定理

⑴定理：

（a+b）"=C"+Clan~'b+...+C如”一鏟+...+C'；,b'\nGN*）.

（2）通項:

第&+1項為：7ki=C￡"L%”.

（3）二項式系數(shù)：

二項展開式中各項的二項式系數(shù)為：C6(Z=O,1,2........n).

8.二項式系數(shù)的性質(zhì)

對稱性一與首末等距的兩個二項式系數(shù)相等，即

當(dāng)rv粵時,二項式系數(shù)是遞增的

增減性一當(dāng)早時,二項式系數(shù)是遞減的

性

乙_____________________________________________

與最大值

L當(dāng)兀為偶數(shù)時,的二項式系數(shù)最大

質(zhì)

當(dāng)口為奇數(shù)時，的二項式系數(shù)相等且最大

\------C?+C：+…+C；+“.+C：=2"

二項式一

系數(shù)的和

c濟(jì)髭+C升?“=C：+a+a+…=22

9.概率與頻率

(1)在相同的條件S下重復(fù)〃次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱〃次試驗中事件A出現(xiàn)的次

數(shù)nA為事件4出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例力,(4)=拳為事件A出現(xiàn)的頻率.

(2)對于給定的隨機(jī)事件A,在相同條件下，隨著試驗次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率會在某個

常數(shù)附近擺動并趨于穩(wěn)定，我們可以用這個常數(shù)來刻畫隨機(jī)事件A發(fā)生的可能性大小，并把這

個常數(shù)稱為隨機(jī)事件4的概率，記作戶(川.

10.事件的關(guān)系與運(yùn)算

定義符號表示

包含B^A

如果事件4發(fā)生，則事件8一定發(fā)生，這時稱事件8

包含事件A(或稱事件A包含于事件B)

關(guān)系（或AUB）

相等若82A且AQB,那么稱事件4與事件B相等A=B

關(guān)系

并事件UB

若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，A

則稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)

(和事件)(或A+B)

交事件若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，4nB

則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)

(積事件)(或AB)

互斥

若ACB為不可能事件，則稱事件A與事件B互斥ADB=°

事件

對立

若ACB為不可能事件，AUB為必然事件，那么稱AQB=0；

事件A與事件B互為對立事件

事件P(AUB)=P(A)+P(B)=1

11.理解事件中常見詞語的含義：

(1)A,8中至少有一個發(fā)生的事件為ADBDAB；

(2)A,8都發(fā)生的事件為AB；

(3)A,B都不發(fā)生的事件為通；

(4)A,B恰有一個發(fā)生的事件為AUB；

(5)A,8至多一個發(fā)生的事件為AUBU通.

12.概率的幾個基本性質(zhì)

(1)概率的取值范圍：O<P(A)<1.

(2)必然事件的概率：尸(￡)=1.

(3)不可能事件的概率：P(F)=Q.

(4)概率的加法公式：如果事件A與事件B互斥，則尸(AU8)=尸(A)+P(B).

(5)對立事件的概率

若事件A與事件B互為對立事件，則P(A)=\-P(B).

13.互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系

互斥事件與對立事件都是兩個事件的關(guān)系，互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，而對立事

件除要求這兩個事件不同時發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個發(fā)生，因此，對立事件是互斥

事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件.

14.基本事件的特點

(1)任意兩個基本事件是互斥的.

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.

15.古典概型

(1)定義：具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.

①試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個.

②每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.

A包含的基本事件的個數(shù)

(2)古典概型的概率公式：P(A)=包黑篇點墨?

16.幾何概型

(1)定義：如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這

樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型.

/c、T-八f?、構(gòu)成事件A的區(qū)域長度(面積或體積)

(2)幾1何概型的概率/、式：P(A)_試驗的所構(gòu)成的區(qū)域長度(面積或體積).

17.條件概率及其性質(zhì)

(1)對于任何兩個事件A和B,在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率,

用符號產(chǎn)出⑷來表示，其公式為P(用人)=鬻興=喏2.

(2)條件概率具有的性質(zhì)：

①0WP(8|A閆；

②如果B和C是兩個互斥事件，則P(BUC\A)=P(B\A)+P(C\A).

18.相互獨立事件

(1)對于事件A、B,若A的發(fā)生與5的發(fā)生互不影響，則稱A、8是相互獨立事件.

(2)若A與8相互獨立，則P(B|A)=P(B),尸(A8)=P(B|A)P(A)=P(A)P(B).

(3)若A與B相互獨立，則A與萬，N與8,X與萬也都相互獨立.

(4)若尸(A8)=尸(A)P(B),則A與B相互獨立.

19.離散型隨機(jī)變量

隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量，常用字母X,匕卻小…表示.所有取值可以

一一列出的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量.

20.離散型隨機(jī)變量的分布列及其性質(zhì)

(1)一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為乃，念，…，X，…，X”，X取每一個值X?

—1,2,〃)的概率P(X=?)=p"則表

XXIX2XiXn

PP\P2PiPn

稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列.

(2)離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)：

n

①p侖0(i=l,2,…，”)；②動1=1-

21.常見離散型隨機(jī)變量的分布列

(1)兩點分布：

若隨機(jī)變量X服從兩點分布，則其分布列為

X01

其中p=P(X=1)稱為成功概率.

(2)超幾何分布

在含有何件次品的N件產(chǎn)品中，任取〃件，其中恰有X件次品，則事件｛X=k｝發(fā)生的概率為

A/VM

P(X=k)=r?,左=0,1,2,m,其中，"=min{M,〃},S.n<N,M<N,n,M,N《M,

LN

稱分布列為超幾何分布列.

X01m

PC%C*M

CMLN-MC-C"Mc%

C%

C〃N

(3)二項分布

①獨立重復(fù)試驗是指在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行的，各次之間相互獨立的-一種試驗，在這種試驗

中每一次試驗只有兩種結(jié)果，即要么發(fā)生，要么不發(fā)生，且任何一次試驗中發(fā)生的概率都是一

樣的.

②在n次獨立重復(fù)試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù),設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p,

則P(X=A)=C￡//(1-p)"-*(Z=0,l,2,…，")，此時稱隨機(jī)變量X服從二項分布，記為X?8(",

p),并稱p為成功概率.

22.離散型隨機(jī)變量的均值與方差

n

<2>方差：稱Q(X)=N(x「E(X))2p,?為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)

的平均偏離程度，其算術(shù)平方根，礪為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差.

<3>均值與方差的性質(zhì)

(l)E(aX+?=

(a,8為常數(shù)).

(2)￡)(aX+6)=

<4>兩點分布與二項分布的均值、方差

XX服從兩點分布X?p)

Empip為成功概率)np

DWP(l-p)np{\—p)

](A.)2

23.正態(tài)分布：若隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)可以表不為2,，則稱服

從正態(tài)分布，記為xN(〃,cy2),其中%€(-8,+8).

24.正態(tài)曲線的特點

(1)曲線位于x軸上方，與x軸不相交;

(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線對稱;

(3)曲線在X=R處達(dá)到峰值1歷；

(4)曲線與x軸之間的面積為1；

(5)當(dāng)。一定時，曲線隨著〃的變化而沿x軸平移；

(6)當(dāng)〃一定時，曲線的形狀由。確定.”越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；。越大，

曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散.

(7)正態(tài)分布的三個常用數(shù)據(jù)(不需記憶)

①P(JM-<7<X<M+<7)=0.6826；

②PQL2C(X%+2。)=0.9544；

③尸儀一3c<X$u+3b)=0.9974.

25.簡單隨機(jī)抽樣

(1)定義：一般地，設(shè)一個總體含有N個個體，從中逐個不放回地抽取〃個個體作為樣本54V),

且每次抽取時各個個體被抽到的機(jī)會都相等，就稱這樣的抽樣方法為簡單隨機(jī)抽樣.

(2)常用方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法.

26.系統(tǒng)抽樣

(1)步驟：①先將總體的N個個體編號；

②根據(jù)樣本容量〃，當(dāng)?是整數(shù)時，取分段間隔％=“；

③在第1段用簡單隨機(jī)抽樣確定第一個個體編號/(/$%);

④按照一定的規(guī)則抽取樣本.

(2)適用范圍：適用于總體中的個體數(shù)較多時.

27.分層抽樣

(1)定義：在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定

數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣.

(2)適用范圍：適用于總體由差異比較明顯的幾個部分組成時.

28.三種抽樣方法的比較

類別各自特點相互聯(lián)系適用范圍共同點

簡單隨機(jī)從總體中總體中的個體

最基本的抽樣方法

抽樣數(shù)較少

逐個抽取

抽樣過程

系統(tǒng)將總體平均分成幾部在起始部分抽樣

總體中的個體中每個個

分，按事先確定的規(guī)則時，采用簡單隨機(jī)

數(shù)較多體被抽到

抽樣分別在各部分中抽取抽樣

的可能性

將總體分成幾層，按各相等

分層各層抽樣時采用簡總體由差異明

層個體

單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)顯的幾部分組

抽樣抽樣

數(shù)之比抽取成

29.作頻率分布直方圖的步驟

(1)求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差).

(2)決定組距與組數(shù).

(3)將數(shù)據(jù)分組.

(4)列頻率分布表.

(5)畫頻率分布直方圖.

30.頻率分布折線圖和總體密度曲線

(1)頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得到頻率分布折線圖.

(2)總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時所分的組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率折線

圖會越來越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計中稱這條光滑曲線為總體密度曲線.

31.莖葉圖

統(tǒng)計中還有一種被用來表示數(shù)據(jù)的圖叫做莖葉圖，莖是指中間的一列數(shù)，葉是從莖的旁邊生長

出來的數(shù).

32.樣本的數(shù)字特征

(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).

(2)中位數(shù)：把"個數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

⑶平均數(shù)：把"'+"2：…稱為=〃2,…，如這〃個數(shù)的平均數(shù).

(4)標(biāo)準(zhǔn)差與方差：設(shè)一組數(shù)據(jù)X”X2,冷，…，%的平均數(shù)為三，則這組數(shù)據(jù)

標(biāo)準(zhǔn)差為5=yj^[(JC|—Xy+(X2—X)2+…+(%—X)2]

1_—一

2

方差為$2=G(X1—X)2+(松一X)+...+(Xn—X月

33.變量間的相關(guān)關(guān)系

(1)常見的兩變量之間的關(guān)系有兩類：一類是函數(shù)關(guān)系，另一類是相關(guān)關(guān)系；與函數(shù)關(guān)系不同，

相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系.

(2)從散點圖上看，點分布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為正相關(guān),

點分布在左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的相關(guān)關(guān)系為負(fù)相關(guān).

34.兩個變量的線性相關(guān)

(1)從散點圖上看，如果這些點從整體上看大致分布在通過散點圖中心的一條直線附近，稱兩個

變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫回歸直線.

〃___

=2d____________

b=----------nr

2-2

(2)回歸直線方程為y=笈+a,其中]]：(王一元產(chǎn)

/x1-nx

/=1Z=1

a=y-bx

n

X

(3)通過求Q=z=l(yi-bxi-a)2的最小值而得出回歸直線的方法，即求回歸直線，使得樣本數(shù)

據(jù)的點到它的距離的平方和最小，這一方法叫做最小二乘法.

(4)相關(guān)系數(shù)：

當(dāng)，＞0時，表明兩個變量正相關(guān)；

當(dāng)K0時，表明兩個變量負(fù)相關(guān).

『的絕對值越接近于1,表明兩個變量的線性相關(guān)性越強(qiáng).r的絕對值越接近于0,表明兩個變

量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系，通常閉大于0.75時，認(rèn)為兩個變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性.

35.獨立性檢驗

假設(shè)有兩個分類變量X和匕它們的取值分別為5,及｝和出，”｝，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為2x2

列聯(lián)表）為：

y>2總計

X]aba+b

X2cdc+d

總計a~\~cb+da+b+c+d

公=（“十份（：7?）（然（c+力（其中〃=a+"c+d為樣本容量）?

（-）考點剖析

考點一：二項式的多項展開問題

例1:（1）兩項展開之積］（1+2x）3（l—》）4展開式中x項的系數(shù)為.

（2）三項展開問題］（f+x+yp的展開式中，//的系數(shù)為.

考點釋疑：（1）（。+份"'（c+@’的多項展開問題分別用通項公式之積進(jìn)行化簡，對應(yīng)指

數(shù)后，討論，1，「2的取值.

（2）（a+b+c）"的展開型，轉(zhuǎn)化為3+3+c］"二項展開求解，但注意a,b,c的結(jié)合或用展開的

方式借助組合知識求解.

考點二：二項式的展開式系數(shù)和問題

例2：（a+x）（l+x）4的展開式中x的奇數(shù)次基項的系數(shù)之和為32,貝lja=.

考點釋疑：（D“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如（依十勿"、（以2+6x+c）"S、

beR）的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x=l即可；對形如（以+勿，）"（〃，

0CR）的式子求其展開式各項系數(shù)之和，只需令x=y=l即可.

(2)若7(X)=4O+GX+42『+…+。渭'，則_/U)展開式中各項系數(shù)之和為H1),奇數(shù)項系數(shù)之和為

_/(1)+/(-1)屈料.英物多有％,,,_/(1)-/(-1)

ao+fl2+?4+...--------------------------，偶數(shù)項系數(shù)之和為0+03+05+i=--------------------------.

22

考點三：條件概率

例3：(1)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75,連續(xù)兩天為優(yōu)

良的概率是0.6,已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是

(2)如圖，EFGH是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)接正方形.將一顆豆/K

子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi)，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”，B表示(o]

事件“豆子落在扇形OHE(陰影部分)內(nèi)“，

則①P(A)=；②P(B|A)=.

考點釋疑：條件概率的求法：

p

①利用定義，分別求P(4)和尸(A8),得尸(B|A)='學(xué)一,這是通用的求條件概率的方法.

r/A

②借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)”(A),再在事件A發(fā)生的條件下求事

MAZ?

件B包含的基本事件數(shù)，即“(A8),得P(邱!)=n,黑.

考點四：相互獨立事件同時發(fā)生的概率

例4：甲、乙兩人各進(jìn)行一次射擊，如果兩人擊中目標(biāo)的概率都是0.8,計算:

⑴兩人都擊中目標(biāo)的概率；

(2)其中恰有一人擊中目標(biāo)的概率;

(3)至少有一人擊中目標(biāo)的概率.

考點釋疑：(1)正確分析所求事件的構(gòu)成，將其轉(zhuǎn)化為兒個彼此互斥事件的和或相互獨立事件的

積，然后利用相關(guān)公式進(jìn)行計算.(2)注意根據(jù)問題情境正確判斷事件的獨立性.(3)在應(yīng)用相互

獨立事件的概率公式時，對含有“至多有一個發(fā)生”“至少有一個發(fā)生”的情況，可結(jié)合對立事件

的概率求解.

考點五：離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)及應(yīng)用

例5：⑴隨機(jī)變量X的概率分布規(guī)律為尸(X=〃)=-三一(〃=1,2,3,4),其中。是常數(shù)，則尸(；

<x<|)的值為.

(2)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為

X01234

P0.20.10.10.3m

求①2X+1的分布列;

②區(qū)一1|的分布歹I」.

考點釋疑：離散型隨機(jī)變量分布列性質(zhì)的應(yīng)用：

①利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時要注意檢驗，以保證每個概率值均為非負(fù)；

②若。為隨機(jī)變量，則么+1,匕-II等仍然為隨機(jī)變量，求它們的分布列時可先求出相應(yīng)的隨

機(jī)變量的值，再根據(jù)對應(yīng)的概率寫出分布列.

考點六：離散型隨機(jī)變量的均值與方差

例6：袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上〃號的有〃個（“=1,2,3,4）.現(xiàn)

從袋中任取一球，X表示所取球的標(biāo)號.

（1）求X的分布列、期望和方差；

（2）若y="x+b,E（r）=i,z）（y）=ii,試求“，人的值.

考點釋疑：求離散型隨機(jī)變量的均值與方差關(guān)鍵是確定隨機(jī)變量的所有可能值，寫出隨機(jī)變量

的分布列，正確運(yùn)用均值、方差的公式進(jìn)行計算.

考點七：超幾何分布

例7：盒內(nèi)有大小相同的9個球，其中2個紅色球，3個白色球，4個黑色球.規(guī)定取出1個紅

色球得1分，取出1個白色球得0分，取出1個黑色球得一1分，現(xiàn)從盒內(nèi)任取3個球.設(shè)^

為取出的3個球中白色球的個數(shù)，求^的分布列.

考點釋疑：超幾何分布的特點：

(1)從形式上看超幾何分布模型中的物品是由明顯的兩部分構(gòu)成；

(2)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個體的個數(shù)，隨機(jī)變量取值

的概率實質(zhì)上是古典概型.

考點八：二項分布

例8：某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎，每次抽獎都是從裝有4

個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個球，在摸出的2

個球中，若都是紅球，則獲一等獎；若只有1個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎.若

某顧客有3次抽獎機(jī)會，記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為X,求X的分布列.

考點釋疑：利用獨立重復(fù)試驗概率公式可以簡化求概率的過程，但需要注意檢查該概率模型是

否滿足公式P.伏)=Cf”(l—p)"f的三個條件：(1)在一次試驗中某事件A發(fā)生的概率是一個常數(shù)

P；(2)〃次試驗不僅是在完全相同的情況下進(jìn)行的重復(fù)試驗，而且各次試驗的結(jié)果是相互獨立的;

(3)該公式表示n次試驗中事件A恰好發(fā)生了k次的概率.

考點九：正態(tài)分布

例9：在某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成績岑服從正態(tài)分布，即j?MIO?！?。)已知滿分為150分.

(1)試求考試成績。位于區(qū)間80,120］內(nèi)的概率；

(2)若這次考試共有2000名考生參加，試估計這次考試及格(不小于90分)的人數(shù).

考點釋疑：解決正態(tài)分布問題有三個關(guān)鍵點：

①對稱軸X=〃；②標(biāo)準(zhǔn)差（7；

③分布區(qū)間.利用對稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由〃，“，分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使分

布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3。特殊區(qū)間，從而求出所求概率.注意只有在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對稱軸才為x=0.

（三）歷年高考真題訓(xùn)練

1、（2011年高考全國卷I）某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越

好，且質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品，現(xiàn)用兩種新配方（分別稱為A配方和B配

方）做試驗，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到下面試驗結(jié)果：

A配方的頻數(shù)分布表

指標(biāo)值分組90,94)94,98)98,102)102,106)106,110]

頻數(shù)82042228

B配方的頻數(shù)分布表

指標(biāo)值分組90,94)94,98)98,102)102,106)106,110]

頻數(shù)412423210

（I）分別估計用A配方，B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率；

（II）己知用B配方生成的一件產(chǎn)品的利潤y（單位：元）與其質(zhì)量指標(biāo)值1的關(guān)系式為

-2,r<94

y=<2,94Kf<102從用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，其利潤記為X（單位：元），求X的

4"2102

分布列及數(shù)學(xué)期望.（以試驗結(jié)果中質(zhì)量指標(biāo)值落入各組的頻率作為一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落入

相應(yīng)組的概率）

2、（2012年高考全國卷I）某花店每天以每枝5元的價格從農(nóng)場購進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每

枝10元的價格出售.如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理.

（I）若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤y（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量（單位：

枝，nwN）的函數(shù)解析式；

（II）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：

日需求量14151617181920

頻數(shù)10201616151310

以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.

（i）若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花，X表示當(dāng)天的利潤（單位：元），求X的分布列、數(shù)學(xué)

期望及方差：

（ii）若花店計劃一天購進(jìn)16枝或17枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購進(jìn)16枝還是17枝？請說明理由.

3、（2013年高考全國卷I）一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗，檢驗方案是：先從這批產(chǎn)品中任取4

件作檢驗，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為幾如果"=3,再從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗，若

都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗；如果〃=4,再從這批產(chǎn)品中任取1件作檢驗，若為優(yōu)質(zhì)品，

則這批產(chǎn)品通過檢驗；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過檢驗.

假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%,即取出的每件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為上，且各件產(chǎn)品是否

2

為優(yōu)質(zhì)品相互獨立.

（I）求這批產(chǎn)品通過檢驗的概率；

（II）已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為100元，且抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗，對這批產(chǎn)品作質(zhì)量

檢驗所需的費用記為X（單位：元），求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

4、（2014年高考全國卷I）從某企業(yè)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)

值，由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：

(I)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差52(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值

作代表);

(II)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(〃,S2),其中〃

近似為樣本平均數(shù)，3?近似為樣本方差一.

⑴利用該正態(tài)分布，求利(187.8<Z<212.2)；

(ii)某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間

(187.8,212.2)的產(chǎn)品件數(shù)，利用(i)的結(jié)果，求EX.

附：7150-12.2.

若Z?N(〃,8),則尸(〃一5Vz<4+3)=0.6826,尸(〃-26Vz<〃+23)=0.9544.

5、（2015年高考全國卷1）某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x

（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，對近8年的年宣

傳費者和年銷售量,（=1,2,…，8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的

值.

620"

600-

580-

560-

540-

520-

500-

480343638^2444648505254$6

年宣傳費/1元

8_8_8__8__

方（％）

yW-X2Z（x,7）（y-y）￡（叱一w）（y「y）

Z=1i=li=li=l

46.65636.8289.81.61469108.8

表中卬,=北>卬叱

o/=1

（I）根據(jù)散點圖判斷，y=a+bx與y=c+d五哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回

歸方程類型？（給出判斷即可，不