押新高考第18題 概率與統(tǒng)計綜合（解答題）-備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)臨考題號押題（全解全析）

第第頁押新高考18題概率與統(tǒng)計綜合（解答題）考點4年考題考情分析概率與統(tǒng)計綜合2023年新高考Ⅰ卷第21題2023年新高考Ⅱ卷第19題2022年新高考Ⅰ卷第20題2022年新高考Ⅱ卷第19題2021年新高考Ⅰ卷第18題2021年新高考Ⅱ卷第21題2020年新高考Ⅰ卷第19題2020年新高考Ⅱ卷第19題概率統(tǒng)計大題難度一般，縱觀近幾年的新高考試題，主要考查事件與概率、獨立性檢驗、頻率分布直方圖、隨機變量分布列及期望方差等知識點，同時也是高考沖刺復(fù)習(xí)的重點復(fù)習(xí)內(nèi)容。可以預(yù)測2024年新高考命題方向?qū)⒗^續(xù)以獨立性檢驗、線性回歸直線方程、隨機變量分布列及期望方差為背景展開命題．1．（2023·新高考Ⅰ卷高考真題第21題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可求出；（2）設(shè)，由題意可得，根據(jù)數(shù)列知識，構(gòu)造等比數(shù)列即可解出；（3）先求出兩點分布的期望，再根據(jù)題中的結(jié)論以及等比數(shù)列的求和公式即可求出．【詳解】（1）記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，所以，.（2）設(shè)，依題可知，，則，即，構(gòu)造等比數(shù)列，設(shè)，解得，則，又，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，即．（3）因為，，所以當時，，故．【點睛】本題第一問直接考查全概率公式的應(yīng)用，后兩問的解題關(guān)鍵是根據(jù)題意找到遞推式，然后根據(jù)數(shù)列的基本知識求解．2．（2023·新高考Ⅱ卷高考真題第19題）某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖：

利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值c，將該指標大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性．此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．(1)當漏診率％時，求臨界值c和誤診率；(2)設(shè)函數(shù)，當時，求的解析式，并求在區(qū)間的最小值．【答案】(1)，；(2)，最小值為．【分析】（1）根據(jù)題意由第一個圖可先求出，再根據(jù)第二個圖求出的矩形面積即可解出；（2）根據(jù)題意確定分段點，即可得出的解析式，再根據(jù)分段函數(shù)的最值求法即可解出．【詳解】（1）依題可知，左邊圖形第一個小矩形的面積為，所以，所以，解得：，．（2）當時，；當時，,故，所以在區(qū)間的最小值為．3．（2022·新高考Ⅰ卷高考真題第20題）一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對照組1090(1)能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險程度的一項度量指標，記該指標為R．（?。┳C明：；（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出的估計值，并利用（?。┑慕Y(jié)果給出R的估計值．附，0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】(1)答案見解析(2)（i）證明見解析；(ii)；【分析】(1)由所給數(shù)據(jù)結(jié)合公式求出的值，將其與臨界值比較大小，由此確定是否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異；(2)(i)根據(jù)定義結(jié)合條件概率公式即可完成證明；(ii)根據(jù)（i）結(jié)合已知數(shù)據(jù)求.【詳解】（1）由已知，又，，所以有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.（2）(i)因為，所以所以，(ii)由已知，，又，，所以4．（2022·新高考Ⅱ卷高考真題第19題）在某地區(qū)進行流行病學(xué)調(diào)查，隨機調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間的概率；(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.【答案】(1)歲；(2)；(3)．【分析】（1）根據(jù)平均值等于各矩形的面積乘以對應(yīng)區(qū)間的中點值的和即可求出；（2）設(shè){一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，根據(jù)對立事件的概率公式即可解出；（3）根據(jù)條件概率公式即可求出．【詳解】（1）平均年齡

（歲）．（2）設(shè){一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，所以．（3）設(shè)“任選一人年齡位于區(qū)間[40,50)”，“從該地區(qū)中任選一人患這種疾病”，則由已知得：,則由條件概率公式可得從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，此人患這種疾病的概率為．5．（2021·新高考Ⅰ卷高考真題第18題）某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).（1）若小明先回答A類問題，記為小明的累計得分，求的分布列；（2）為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.【答案】（1）見解析；（2）類．【分析】（1）通過題意分析出小明累計得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）與（1）類似，找出先回答類問題的數(shù)學(xué)期望，比較兩個期望的大小即可．【詳解】（1）由題可知，的所有可能取值為，，．；；．所以的分布列為（2）由（1）知，．若小明先回答問題，記為小明的累計得分，則的所有可能取值為，，．；；．所以．因為，所以小明應(yīng)選擇先回答類問題．6．（2021·新高考Ⅱ卷高考真題第21題）一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，．（1）已知，求；（2）設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：的一個最小正實根，求證：當時，，當時，；（3）根據(jù)你的理解說明（2）問結(jié)論的實際含義．【答案】（1）1；（2）見解析；（3）見解析.【分析】（1）利用公式計算可得.（2）利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合及極值點的范圍可得的最小正零點.（3）利用期望的意義及根的范圍可得相應(yīng)的理解說明.【詳解】（1）.（2）設(shè)，因為，故，若，則，故.，因為，，故有兩個不同零點，且，且時，；時，；故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，若，因為在為增函數(shù)且，而當時，因為在上為減函數(shù)，故，故為的一個最小正實根，若，因為且在上為減函數(shù)，故1為的一個最小正實根，綜上，若，則.若，則，故.此時，，故有兩個不同零點，且，且時，；時，；故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，而，故，又，故在存在一個零點，且.所以為的一個最小正實根，此時，故當時，.（3）意義：每一個該種微生物繁殖后代的平均數(shù)不超過1，則若干代必然滅絕，若繁殖后代的平均數(shù)超過1，則若干代后被滅絕的概率小于1.數(shù)字樣本特征眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，如果為奇數(shù)個，中位數(shù)為中間數(shù)；若為偶數(shù)個，中位數(shù)為中間兩個數(shù)的平均數(shù)平均數(shù)：，反映樣本的平均水平方差：反映樣本的波動程度，穩(wěn)定程度和離散程度；越大，樣本波動越大，越不穩(wěn)定；越小，樣本波動越小，越穩(wěn)定；標準差：，標準差等于方差的算術(shù)平方根，數(shù)學(xué)意義和方差一樣極差：等于樣本的最大值最小值求隨機變量X的分布列的步驟：(1)理解X的意義，寫出X可能取得全部值；(2)求X取每個值的概率；(3)寫出X的分布列；(4)根據(jù)分布列的性質(zhì)對結(jié)果進行檢驗.還可判斷隨機變量滿足常見分布列：兩點分布，二項分布，超幾何分布，正態(tài)分布.求隨機變量的期望和方差的基本方法：（1）已知隨機變量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；（2）已知隨機變量的期望、方差，求的期望與方差，利用期望和方差的性質(zhì)（，）進行計算；（3）若能分析出所給的隨機變量服從常用的分布（如：兩點分布、二項分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式進行計算，若～,則，.4.求解概率最大問題的關(guān)鍵是能夠通過構(gòu)造出不等關(guān)系，結(jié)合組合數(shù)公式求解結(jié)果5.線性回歸分析解題方法：（1）計算的值；（2）計算回歸系數(shù)；（3）寫出回歸直線方程.線性回歸直線方程為：，，其中為樣本中心，回歸直線必過該點（4）線性相關(guān)系數(shù)（衡量兩個變量之間線性相關(guān)關(guān)系的強弱），正相關(guān)；，負相關(guān)獨立性檢驗解題方法：（1）依題意完成列聯(lián)表；（2）用公式求解；（3）對比觀測值即可得到所求結(jié)論的可能性獨立性檢驗計算公式：1．（2024·江蘇·一模）已知某種機器的電源電壓U（單位：V）服從正態(tài)分布．其電壓通常有3種狀態(tài)：①不超過200V；②在200V~240V之間③超過240V．在上述三種狀態(tài)下，該機器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率分別為0.15，0.05，0.2．(1)求該機器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率；(2)從該機器生產(chǎn)的零件中隨機抽取n（）件，記其中恰有2件不合格品的概率為，求取得最大值時n的值．附：若，取，．【答案】(1)0.09；(2).【分析】（1）根據(jù)題意，由正態(tài)分布的概率公式代入計算，再由全概率公式，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由二項分布的概率公式代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）記電壓“不超過200V”、“在200V~240V之間”、“超過240V”分別為事件A，B，C，“該機器生產(chǎn)的零件為不合格品”為事件D．因為，所以，，．所以，所以該機器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率為0.09．（2）從該機器生產(chǎn)的零件中隨機抽取n件，設(shè)不合格品件數(shù)為X，則，所以．由，解得．所以當時，；當時，；所以最大．因此當時，最大．2．（2024·江蘇·一模）我國無人機發(fā)展迅猛，在全球具有領(lǐng)先優(yōu)勢，已經(jīng)成為“中國制造”一張靚麗的新名片，并廣泛用于森林消防?搶險救災(zāi)?環(huán)境監(jiān)測等領(lǐng)域.某森林消防支隊在一次消防演練中利用無人機進行投彈滅火試驗，消防員甲操控無人機對同一目標起火點進行了三次投彈試驗，已知無人機每次投彈時擊中目標的概率都為，每次投彈是否擊中目標相互獨立.無人機擊中目標一次起火點被撲滅的概率為，擊中目標兩次起火點被撲滅的概率為，擊中目標三次起火點必定被撲滅.(1)求起火點被無人機擊中次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)求起火點被無人機擊中且被撲滅的概率.【答案】(1)分布列見解析，(2)【分析】（1）由二項分布概率公式求概率即可得分布列，再由二項分布期望公式可得；（2）根據(jù)條件概率以及全概率公式求解可得【詳解】（1）起火點被無人機擊中次數(shù)的所有可能取值為，.的分布列如下：0123.（2）擊中一次被撲滅的概率為擊中兩次被火撲滅的概率為擊中三次被火撲滅的概率為所求概率.3．（2024·浙江·二模）某工廠生產(chǎn)某種元件，其質(zhì)量按測試指標劃分為：指標大于或等于82為合格品，小于82為次品，現(xiàn)抽取這種元件100件進行檢測，檢測結(jié)果統(tǒng)計如下表：測試指標元件數(shù)（件）121836304(1)現(xiàn)從這100件樣品中隨機抽取2件，若其中一件為合格品，求另一件也為合格品的概率；(2)關(guān)于隨機變量，俄國數(shù)學(xué)家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若隨機變量X具有數(shù)學(xué)期望，方差，則對任意正數(shù)，均有成立.（i）若，證明：；（ii）利用該結(jié)論表示即使分布未知，隨機變量的取值范圍落在期望左右的一定范圍內(nèi)的概率是有界的.若該工廠聲稱本廠元件合格率為90%，那么根據(jù)所給樣本數(shù)據(jù)，請結(jié)合“切比雪夫不等式”說明該工廠所提供的合格率是否可信？（注：當隨機事件A發(fā)生的概率小于0.05時，可稱事件A為小概率事件）【答案】(1)(2)（i）證明見解析；（ii）不可信.【分析】（1）由條件概率的公式進行求解即可；（2）（i）由求出，再結(jié)合切比雪夫不等式即可證明；（ii）設(shè)隨機抽取100件產(chǎn)品中合格品的件數(shù)為，，由切比雪夫不等式判斷出，進而可得出結(jié)論.【詳解】（1）記事件為抽到一件合格品，事件為抽到兩個合格品，（2）（i）由題：若，則又所以或由切比雪夫不等式可知，所以；（ii）設(shè)隨機抽取100件產(chǎn)品中合格品的件數(shù)為，假設(shè)廠家關(guān)于產(chǎn)品合格率為的說法成立，則，所以，由切比雪夫不等式知，，即在假設(shè)下100個元件中合格品為70個的概率不超過0.0225，此概率極小，由小概率原理可知，一般來說在一次試驗中是不會發(fā)生的，據(jù)此我們有理由推斷工廠的合格率不可信.4．（2024·江蘇徐州·一模）某中學(xué)對該校學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和預(yù)習(xí)情況進行長期調(diào)查，學(xué)習(xí)興趣分為興趣高和興趣一般兩類，預(yù)習(xí)分為主動預(yù)習(xí)和不太主動預(yù)習(xí)兩類，設(shè)事件A：學(xué)習(xí)興趣高，事件B：主動預(yù)習(xí)．據(jù)統(tǒng)計顯示，，，．(1)計算和的值，并判斷A與B是否為獨立事件；(2)為驗證學(xué)習(xí)興趣與主動預(yù)習(xí)是否有關(guān)，該校用分層抽樣的方法抽取了一個容量為的樣本，利用獨立性檢驗，計算得．為提高檢驗結(jié)論的可靠性，現(xiàn)將樣本容量調(diào)整為原來的倍，使得能有99.5%的把握認為學(xué)習(xí)興趣與主動預(yù)習(xí)有關(guān)，試確定的最小值．附：，其中．0.100.050.0100.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)，，不相互獨立(2)【分析】（1）利用條件概率公式以及全概率公式計算即可；（2）作出新的列聯(lián)表，然后求出新的值，列不等式求解即可.【詳解】（1）由已知，，又因為，所以，所以，又，所以，所以A與B不為獨立事件；（2）假設(shè)原列聯(lián)表為興趣高興趣不高總計主動預(yù)習(xí)不太主動預(yù)習(xí)總計根據(jù)原數(shù)據(jù)有若將樣本容量調(diào)整為原來的倍，則新的列聯(lián)表為：興趣高興趣不高總計主動預(yù)習(xí)不太主動預(yù)習(xí)總計則，解得，又，所以的最小值為.5．（2024·江蘇南通·二模）甲公司推出一種新產(chǎn)品，為了解某地區(qū)消費者對新產(chǎn)品的滿意度，從中隨機調(diào)查了1000名消費者，得到下表：滿意不滿意男44060女46040(1)能否有的把握認為消費者對新產(chǎn)品的滿意度與性別有關(guān)；(2)若用頻率估計概率，從該地區(qū)消費者中隨機選取3人，用X表示不滿意的人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.附：，.0.10.050.01k2.7063.8416.635【答案】(1)有的把握認為消費者對新產(chǎn)品的滿意度與性別有關(guān)(2)分布列見解析，期望【分析】（1）先利用所給數(shù)據(jù)表完善列聯(lián)表，再利用公式求出，利用臨界值表進行判定；（2）先求出不滿意的概率為，由二項分布求解概率，列表得到分布列，利用期望公式進行求解【詳解】（1）補全列聯(lián)表如圖所示：滿意不滿意總計男44060500女46040500總計9001001000，故有的把握認為消費者對新產(chǎn)品的滿意度與性別有關(guān)．（2）由題知，從該地區(qū)的消費者中隨機抽取1人，不滿意的概率為，的所有可能取值為0，1，2，3，且．，所以的分布列為：0123所以．6．（2024·河北滄州·一模）某商場舉辦摸球贏購物券活動．現(xiàn)有完全相同的甲?乙兩個小盒，每盒中有除顏色外形狀和大小完全相同的10個小球，其中甲盒中有8個黑球和2個白球，乙盒中有3個黑球和7個白球．參加活動者首次摸球，可從這兩個盒子中隨機選擇一個盒子，再從選中的盒子中隨機摸出一個球，若摸出黑球，則結(jié)束摸球，得300元購物券；若摸出的是白球，則將摸出的白球放回原來盒子中，再進行第二次摸球．第二次摸球有如下兩種方案：方案一，從原來盒子中隨機摸出一個球；方案二，從另外一個盒子中隨機摸出一個球．若第二次摸出黑球，則結(jié)束摸球，得200元購物券；若摸出的是白球，也結(jié)束摸球，得100元購物券．用X表示一位參加活動者所得購物券的金額．(1)在第一次摸出白球的條件下，求選中的盒子為甲盒的概率．(2)①在第一次摸出白球的條件下，通過計算，說明選擇哪個方案第二次摸到黑球的概率更大；②依據(jù)以上分析，求隨機變量的數(shù)學(xué)期望的最大值.【答案】(1)(2)①方案二中取到黑球的概率更大；②【分析】（1）利用全概率公式和概率的乘法公式計算；（2）①利用全概率公式和條件概率公式計算，根據(jù)數(shù)據(jù)下結(jié)論；②兩種方案分別求出期望，根據(jù)數(shù)據(jù)下結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)試驗一次，“取到甲盒”為事件，“取到乙盒”為事件，“第一次摸出黑球”為事件，“第一次摸出白球”為事件，，所以，所以選中的盒子為甲盒的概率為.（2）①，所以方案一中取到黑球的概率為：，方案二中取到黑球的概率為：，因為，所以方案二中取到黑球的概率更大.②隨機變量的值為，依據(jù)以上分析，若采用方案一：，，，，若采用方案二：，，，，所以隨機變量的數(shù)學(xué)期望的最大值.7．（2024·黑龍江·二模）一座小橋自左向右全長100米，橋頭到橋尾對應(yīng)數(shù)軸上的坐標為0至100，橋上有若干士兵，一陣爆炸聲后士兵們發(fā)生混亂，每個士兵爬起來后都有一個初始方向（向左或向右），所有士兵的速度都為1米每秒，中途不會主動改變方向，但小橋十分狹窄，只能容納1人通過，假如兩個士兵面對面相遇，他們無法繞過對方，此時士兵則分別轉(zhuǎn)身后繼續(xù)前進（不計轉(zhuǎn)身時間）.(1)在坐標為10，40，80處各有一個士兵，計算初始方向不同的所有情況中，3個士兵全部離開橋面的最長時間（提示：兩個士兵面對面相遇并轉(zhuǎn)身等價于兩個士兵互相穿過且編號互換）；(2)在坐標為10、20、30、……、90處各有一個士兵，初始方向向右的概率為，設(shè)最后一個士兵離開獨木橋的時間為秒，求的分布列和期望；(3)若初始狀態(tài)共個士兵，初始方向向右的概率為，計算自左向右的第個士兵（命名為指揮官）從他的初始方向離開小橋的概率，以及當取得最大值時取值．【答案】(1)90秒(2)分布列見解析；期望秒(3)，當取得最大值時取值為1【分析】（1）先計算單個士兵走過的最遠路程，再求得時間；（2）列出T的所有可能取值并計算概率，然后列出分布列，根據(jù)期望公式計算.（3）根據(jù)遞推寫出概率的通項，再由單調(diào)性即可得解.【詳解】（1）由于兩個士兵面對面相遇并轉(zhuǎn)身等價于兩個士兵互相穿過且編號互換，所以在最長時間下，坐標為10處的士兵必須向右，最長時間為秒，所以3個士兵全部離開橋面的最長時間為90秒.（2）T的可能取值為50，60，70，80，90，，所以T的分布列T5060708090P期望秒（3）自左向右的第個士兵（命名為指揮官）從他的初始方向離開小橋的概率，則有個士兵時，則左右各增加的一名士兵分為以下幾種情況：指揮官的初始方向上增加的士兵與指揮官的方向相同或者兩名士兵開始時均朝指揮官方向運動，此時指揮官離開小橋的方向與時指揮官離開小橋的方向相同，所以，所以，又，所以，所以，易得單調(diào)遞減，所以最大值對應(yīng)取值為1.當取得最大值時取值為18．（2024·河北邯鄲·三模）某民營學(xué)校為增強實力與影響力，大力招攬名師、建設(shè)校園硬件設(shè)施，近5年該校招生人數(shù)的數(shù)據(jù)如下表：年份序號x12345招生人數(shù)y/千人0.811.31.72.2(1)由表中數(shù)據(jù)可看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以證明；(2)求關(guān)于的回歸直線方程，并預(yù)測當年份序號為7時該校的招生人數(shù)．參考數(shù)據(jù)：，，．參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，．【答案】(1)證明見解析(2)，2.8千人．【分析】（1）求出，代入求出相關(guān)系數(shù)即可；（2）根據(jù)公式求出，再求出，則得到回歸直線方程，再代入數(shù)據(jù)預(yù)測即可.【詳解】（1）由題意知，，，所以，因為與1非常接近，故可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系．（2），，所以關(guān)于的回歸直線方程為．當時，，由此預(yù)測當年份序號為7時該校的招生人數(shù)為2.8千人．9．（2024·重慶·一模）實現(xiàn)“雙碳目標”是黨中央作出的重大戰(zhàn)略決策，新能源汽車、電動汽車是重要的戰(zhàn)略新興產(chǎn)業(yè)，對于實現(xiàn)“雙碳目標”具有重要的作用．為了解某市電動汽車的銷售情況，調(diào)查了該市某電動汽車企業(yè)近6年產(chǎn)值情況，數(shù)據(jù)如下表所示：年份201820192020202120222023編號x123456產(chǎn)值y/百萬輛91830515980(1)若用模型擬合y與x的關(guān)系，根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，求出y與x的經(jīng)驗回歸方程（精確到0.01）；(2)為了進一步了解車主對電動汽車的看法，從某品牌汽車4S店當日5位購買電動汽車和3位購買燃油汽車的車主中隨機選取4位車主進行采訪，記選取的4位車主中購買電動汽車的車主人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望，參考數(shù)據(jù)：，其中．參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其經(jīng)驗回歸直線的斜率截距的最小二乘估計分別為．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）令，利用最小二乘法求出，即可得解；（2）分析可知，利用超幾何分布可得出隨機變量的分布列，利用超幾何分布的期望公式可求【詳解】（1）令，，則，，所以，所以（2）由題意得，，，，，分布列為：1234數(shù)學(xué)期望10．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）土壤食物網(wǎng)對有機質(zhì)的分解有兩條途徑，即真菌途徑和細菌途徑．在不同的土壤生態(tài)系統(tǒng)中，由于提供能源的有機物其分解的難易程度不同，這兩條途徑所起的作用也不同．以細菌分解途徑為主導(dǎo)的土壤，有機質(zhì)降解快，氮礦化率高，有利于養(yǎng)分供應(yīng)，以真菌途徑為主的土壤，氮和能量轉(zhuǎn)化比較緩慢，有利于有機質(zhì)存財和氮的固持．某生物實驗小組從一種土壤數(shù)據(jù)中隨機抽查并統(tǒng)計了8組數(shù)據(jù)，如下表所示：編號12345678細菌百萬個708090100110120130140真菌百萬個8.010.012.515.017.521.027.039.0其散點圖如下，散點大致分布在指數(shù)型函數(shù)的圖象附近．(1)求關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；(2)在做土壤相關(guān)的生態(tài)環(huán)境研究時，細菌與真菌的比值能夠反映土壤的碳氮循環(huán)．以樣本的頻率估計總體分布的概率，若該實驗小組隨機抽查8組數(shù)據(jù)，再從中任選4組，記真菌（單位：百萬個）與細菌（單位：百萬個）的數(shù)值之比位于區(qū)間內(nèi)的組數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.附：經(jīng)驗回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，【答案】(1)(2)分布列見解析，2【分析】（1）令，將指數(shù)型回歸方程轉(zhuǎn)化為線性回歸方程，利用最小二乘法的估計系數(shù)公式，即可求得答案；（2）確定真菌與細菌的數(shù)值之比位于區(qū)間內(nèi)的組數(shù)，即可確定X的取值，求出每個值對應(yīng)的概率，即可得分布列，即可求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由于，故，令，則，，則，，故，則關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程為；（2）由已知圖表可知從第1組到第8組的真菌（單位：百萬個）與細菌（單位：百萬個）的數(shù)值之比依次為：，，故樣本中比值位于內(nèi)的組數(shù)有4組，則X的可能取值為：，則,，故X的分布列為：X01234P則.11．（2024·廣東江門·一模）在數(shù)字通信中，信號是由數(shù)字0和1組成的序列，且傳輸相互獨立.由于隨機因素的干擾，發(fā)送的信號0或1有可能被錯誤地接收為1或0.已知發(fā)送0時，收到1的概率為，收到0的概率為：發(fā)送1時，收到0的概率為，收到1的概率為.假設(shè)發(fā)送信號0和1是等可能的.(1)已知接收的信號為1，且，求發(fā)送的信號是0的概率；(2)現(xiàn)有兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次；三次傳輸是指每個信號重復(fù)發(fā)送3次.收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1).已知發(fā)送1，若采用三次傳輸方案譯碼為1的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為1的概率，求β的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意確定發(fā)送的信號為0、1的概率以及接收信號為0、1的概率，根據(jù)全概率公式可求出已知接收的信號為1的概率，根據(jù)條件概率的計算公式，即可求得答案；（2）分別求出采用三次傳輸方案譯碼為1的概率和采用單次傳輸方案譯碼為1的概率，由題意列出不等式，解不等式，即可求得答案.【詳解】（1）設(shè)A：發(fā)送的信號為1，B：接收到的信號為1，則：發(fā)送的信號為0，：接收到的信號為0，則，故，故；（2）采用三次傳輸方案譯碼為1的概率為，采用單次傳輸方案譯碼為1的概率為，由題意得而，故，故.12．（2024·廣東韶關(guān)·二模）小明參加社區(qū)組織的射擊比賽活動，已知小明射擊一次、擊中區(qū)域甲的概率是，擊中區(qū)域乙的概率是，擊中區(qū)域丙的概率是，區(qū)域甲，乙、丙均沒有重復(fù)的部分．這次射擊比賽獲獎規(guī)則是：若擊中區(qū)域甲則獲一等獎；若擊中區(qū)域乙則有一半的機會獲得二等獎，有一半的機會獲得三等獎；若擊中區(qū)域丙則獲得三等獎；若擊中上述三個區(qū)域以外的區(qū)域則不獲獎．獲得一等獎和二等獎的選手被評為“優(yōu)秀射擊手”稱號．(1)求小明射擊1次獲得“優(yōu)秀射擊手”稱號的概率；(2)小明在比賽中射擊4次，每次射擊的結(jié)果相互獨立，設(shè)獲三等獎的次數(shù)為X，求X分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)分布列見解析；【分析】（1）根據(jù)概率已知條件記“射擊一次獲得‘優(yōu)秀射擊手’稱號”為事件；射擊一次獲得一等獎為事件；射擊一次獲得一等獎為事件，分析可知，利用互斥事件的概率加法計算公式所以求即可.（2）根據(jù)題意判斷，根據(jù)二項分布求概率、期望公式計算即可.【詳解】（1）記“射擊一次獲得‘優(yōu)秀射擊手’稱號”為事件；射擊一次獲得一等獎為事件；射擊一次獲得一等獎為事件，所以有，所以，，所以.（2）獲得三等獎的次數(shù)為，的可能取值為，，，，；記“獲得三等獎”為事件，所以，所以，，，，，所以顯然，.13．（2024·湖南·二模）猜歌名游戲是根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名，該游戲中有A，B，C三首歌曲.嘉賓甲參加猜歌名游戲，需從三首歌曲中各隨機選一首，自主選擇猜歌順序，只有猜對當前歌曲的歌名才有資格猜下一首，并且獲得本歌曲對應(yīng)的獎勵基金.假設(shè)甲猜對每首歌曲的歌名相互獨立，猜對三首歌曲的概率及猜對時獲得相應(yīng)的獎勵基金如下表：歌曲猜對的概率0.80.50.5獲得的獎勵基金金額/元100020003000(1)求甲按“”的順序猜歌名，至少猜對兩首歌名的概率；(2)甲決定按“”或者“”兩種順序猜歌名，請你計算兩種猜歌順序嘉賓甲獲得獎勵基金的期望；為了得到更多的獎勵基金，請你給出合理的選擇建議，并說明理由.【答案】(1)0.4(2)期望都是2200，按照“A，B，C”的順序猜歌名，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)互斥事件和獨立重復(fù)試驗的概率公式即可求解.（2）先根據(jù)題意寫出甲決定按“”的順序猜歌名獲得獎金數(shù)的所有可能取值，根據(jù)獨立重復(fù)試驗的概率公式求得每一個取值對應(yīng)的概率，由數(shù)學(xué)期望的計算方法得出；再同理得出甲決定按“”順序猜歌名的數(shù)學(xué)期望；最后可通過計算、比較方差得出答案或者分析獲得0元的概率得出答案.【詳解】（1）由題意可知甲按“”的順序猜歌名，至少猜對兩首歌名分兩種情況：猜對；猜對，這兩種情況不會同時發(fā)生.設(shè)“甲按‘A，B，C’的順序猜歌名至少猜對兩首歌名”為事件E，由甲猜對每首歌曲的歌名相互獨立可得.（2）甲決定按“”順序猜歌名，獲得的獎金數(shù)記為，則的所有可能取值為，所以；甲決定按“”順序猜歌名，獲得的獎金數(shù)記為，則的所有可能取值為，所以.參考答案一：由于，由于，所以應(yīng)該按照“”的順序猜歌名.參考答案二：甲按“C，B，A”的順序猜歌名時，獲得0元的概率為0.5，大于按照“A，B，C”的順序猜歌名時獲得0元的概率0.2，所以應(yīng)該按照“A，B，C”的順序猜歌名.其他合理答案均給分14．（2024·廣東佛山·二模）聯(lián)合國將每年的4月20日定為“聯(lián)合國中文日”，以紀念“中華文字始祖”倉頡[jié]造字的貢獻，促進聯(lián)合國六種官方語言平等使用，為宣傳“聯(lián)合國中文日”，某大學(xué)面向在校留學(xué)生舉辦中文知識競賽，競賽分為“個人賽”和“對抗賽”，競賽規(guī)則如下：①個人賽規(guī)則：每位留學(xué)生需要從“拼音類”、“成語類”、“文化類”三類問題中隨機選1道試題作答，其中“拼音類”有4道，“成語類”有6道，“文化類”有8道，若答對將獲得一份獎品．②對抗賽規(guī)則：兩位留學(xué)生進行答題比賽，每輪只有1道題目，比賽時兩位參賽者同時回答這一個問題，若一人答對且另一人答錯，則答對者獲得1分，答錯者得分；若兩人都答對或都答錯，則兩人均得0分，對抗賽共設(shè)3輪，累計得分為正者將獲得一份獎品，且兩位參賽者答對與否互不影響，每次答題的結(jié)果也互不影響．(1)留學(xué)生甲參加個人賽，根據(jù)以往答題經(jīng)驗，留學(xué)生甲答對“拼音類”、“成語類”“文化類”的概率分別為，，，求留學(xué)生甲答對了所選試題的概率．(2)留學(xué)生乙和留學(xué)生丙參加對抗賽，根據(jù)以往答題經(jīng)驗，每道題留學(xué)生乙和留學(xué)生丙答對的概率分別為，，求留學(xué)生乙獲得獎品的概率．【答案】(1)(2)．【分析】（1）設(shè)甲選1道“拼音類”試題為事件，選1道“成語類”試題為事件，選1道“文化類”試題為事件，答對試題為事件，結(jié)合條件概率和全概率公式，即可求解；（2）根據(jù)題意，利用獨立事件的概率乘法公式和獨立重復(fù)試驗的概率公式求得相應(yīng)的概率，結(jié)合互斥事件的概率加法，即可求解.【詳解】（1）解：設(shè)留學(xué)生甲選1道“拼音類”試題為事件，選1道“成語類”試題為事件，選1道“文化類”試題為事件，答對試題為事件，則，，，，所以.（2）解：每一輪中留學(xué)生乙得1分的概率為，每一輪中留學(xué)生乙得0分的概率為，每一輪中留學(xué)生乙得的概率為，在3輪比賽后，留學(xué)生乙得3分的概率為，在3輪比賽后，留學(xué)生乙得2分的概率為，在3輪比賽后，留學(xué)生乙得1分的概率為，所以乙最終獲得獎品的概率為．15．（2024·湖北·一模）2023年12月30號，長征二號丙/遠征一號S運載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點火起飛，隨后成功將衛(wèi)星互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)實驗衛(wèi)星送入預(yù)定軌道，發(fā)射任務(wù)獲得圓滿完成，此次任務(wù)是長征系列運載火箭的第505次飛行，也代表著中國航天2023年完美收官．某市一調(diào)研機構(gòu)為了了解當?shù)貙W(xué)生對我國航天事業(yè)發(fā)展的關(guān)注度，隨機的從本市大學(xué)生和高中生中抽取一個容量為n的樣本進行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表：學(xué)生群體關(guān)注度合計關(guān)注不關(guān)注大學(xué)生高中生合計附：，其中．(1)完成上述列聯(lián)表，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，認為關(guān)注航天事業(yè)發(fā)展與學(xué)生群體有關(guān)，求樣本容量n的最小值；(2)該市為了提高本市學(xué)生對航天事業(yè)的關(guān)注，舉辦了一次航天知識闖關(guān)比賽，包含三個問題，有兩種答題方案選擇：方案一：回答三個問題，至少答出兩個可以晉級；方案二：在三個問題中，隨機選擇兩個問題，都答對可以晉級．已知小華同學(xué)答出三個問題的概率分別是，，，小華回答三個問題正確與否相互獨立，則小華應(yīng)該選擇哪種方案晉級的可能性更大？（說明理由）【答案】(1)(2)選擇方案一，理由見解析【分析】（1）先補全列聯(lián)表，求得關(guān)于的表達式，再利用獨立性檢驗得到關(guān)于的不等式，解之即可得解；（2）利用獨立事件的概率公式分別求得方案一與方案二中小化晉級的概率，再比較即可得解.【詳解】（1）學(xué)生群體關(guān)注度合計關(guān)注不關(guān)注大學(xué)生高中生合計零假設(shè)為：關(guān)注航天事業(yè)發(fā)展與學(xué)生群體無關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到，因為依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，認為關(guān)注航天事業(yè)發(fā)展與學(xué)生群體有關(guān)，所以，由題可知，n是10的倍數(shù)，（2）記小華同學(xué)答出三個問題的事件分別A，B，C，則，，，記選擇方案一通過的概率為，則；記選擇方案二通過的概率為，則；，小華應(yīng)該選擇方案一.16．（2024·河北·模擬預(yù)測）2024年初，多地文旅部門用各種形式展現(xiàn)祖國大美河山，掀起了一波旅游熱潮．某地游樂園一迷宮票價為8元，游客從處進入，沿圖中實線游玩且只能向北或向東走，當路口走向不確定時，用拋硬幣的方法選擇，硬幣正面朝上向北走，否則向東走（每次拋擲硬幣等可能出現(xiàn)正反兩個結(jié)果）直到從號出口走出，且從號出口走出，返現(xiàn)金元．

(1)隨機調(diào)查了進游樂園的50名游客，統(tǒng)計出喜歡走迷宮的人數(shù)如表：男性女性總計喜歡走迷宮121830不喜歡走迷宮13720總計252550判斷能否在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為喜歡走迷宮與性別有關(guān)？附：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828(2)走迷宮“路過路口”記為事件，從“號走出”記為事件，求和的值；(3)設(shè)每天走迷宮的游客為500人，則迷宮項目每天收入約為多少？【答案】(1)不能(2)，(3)元【分析】（1）計算出卡方，即可判斷；（2）根據(jù)條件概率的概率公式計算可得；（3）依題意每名游客游玩一次游樂園收入可能取值為，求出所對應(yīng)的概率，即可求出的期望，從而估計出預(yù)期收益.【詳解】（1）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得，所以不能在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為喜歡走迷宮與性別有關(guān).（2）依題意當路口走向不確定時，用拋硬幣的方法選擇，所以向北與向東走的概率均為，由到路口需向北走個，向東走個路口，則不同路線有條，所以，事件表示從出發(fā)經(jīng)過路口最后從號路口走出，則，所以，表示從出發(fā)最后從號路口走出的條件下經(jīng)過路口的概率，又，，所以.（3）依題意從號出口走出，返現(xiàn)金元，所以每名游客游玩一次游樂園收入可能取值為，所以，，，，，，，所以每名游客游玩一次游樂園收入的期望為：，每天走迷宮的游客為人，則迷宮項目每天收入約為元.17．（2024·湖北·二模）某高中學(xué)校為了解學(xué)生參加體育鍛煉的情況，統(tǒng)計了全校所有學(xué)生在一年內(nèi)每周參加體育鍛煉的次數(shù)，現(xiàn)隨機抽取了60名同學(xué)在某一周參加體育鍛煉的數(shù)據(jù)，結(jié)果如下表：一周參加體育鍛煉次數(shù)01234567合計男生人數(shù)1245654330女生人數(shù)4556432130合計579111086460(1)若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為3次及3次以上的，稱為“經(jīng)常鍛煉”，其余的稱為“不經(jīng)常鍛煉”．請完成以下列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系；性別鍛煉合計不經(jīng)常經(jīng)常男生女生合計(2)若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為0次的稱為“極度缺乏鍛煉”，“極度缺乏鍛煉”會導(dǎo)致肥胖等諸多健康問題．以樣本頻率估計概率，在全校抽取20名同學(xué)，其中“極度缺乏鍛煉”的人數(shù)為，求和；(3)若將一周參加體育鍛煉6次或7次的同學(xué)稱為“運動愛好者”，為進一步了解他們的生活習(xí)慣，在樣本的10名“運動愛好者”中，隨機抽取3人進行訪談，設(shè)抽取的3人中男生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：0.10.050.012.7063.8416.635【答案】(1)填表見解析；性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系(2)，(3)分布列見解析；期望為【分析】（1）由60名同學(xué)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表，代入公式可得，即可得結(jié)論；（2）求出隨機抽取一人為“極度缺乏鍛煉”者的概率，由二項分布即可得和；（3）易知的所有可能取值為，利用超幾何分布公式求得概率即可得分布列和期望值.【詳解】（1）根據(jù)統(tǒng)計表格數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表如下：性別鍛煉合計不經(jīng)常經(jīng)常男生72330女生141630合計213960零假設(shè)為：性別與鍛煉情況獨立，即性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性無關(guān)；根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)計算可得根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系，此推斷犯錯誤的概率不超過0.1（2）因?qū)W校總學(xué)生數(shù)遠大于所抽取的學(xué)生數(shù)，故近似服從二項分布，易知隨機抽取一人為“極度缺乏鍛煉”者的概率即可得，故，．（3）易知10名“運動愛好者”有7名男生，3名女生，所以的所有可能取值為；且服從超幾何分布：故所求分布列為0123可得18．（2024·山東日照·一模）隨著科技的不斷發(fā)展，人工智能技術(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域也將會更加廣泛，它將會成為改變?nèi)祟惿鐣l(fā)展的重要力量．某科技公司發(fā)明了一套人機交互軟件，它會從數(shù)據(jù)庫中檢索最貼切的結(jié)果進行應(yīng)答．在對該交互軟件進行測試時，如果輸入的問題沒有語法錯誤，則軟件正確應(yīng)答的概率為；若出現(xiàn)語法錯誤，則軟件正確應(yīng)答的概率為．假設(shè)每次輸入的問題出現(xiàn)語法錯誤的概率為．(1)求一個問題能被軟件正確應(yīng)答的概率；(2)在某次測試中，輸入了個問題，每個問題能否被軟件正確應(yīng)答相互獨立，記軟件正確應(yīng)答的個數(shù)為X，的概率記為，則n為何值時，的值最大？【答案】(1)0.75(2)7或8【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合全概率公式運算求解；（2）由題意可知：且，結(jié)合數(shù)列單調(diào)性分析求解.【詳解】（1）記“輸入的問題沒有語法錯誤”為事件A，“回答正確”為事件B，由題意可知：，則，所以.（2）由（1）可知：，則，可得，令，則，令，解得，可知當，可得；令，解得，可知當，可得；令，解得，可得；所以當或時，最大，即n為7或8時，的值最大.19．（2024·山東青島·一模）為促進全民閱讀，建設(shè)書香校園，某校在寒假面向全體學(xué)生發(fā)出“讀書好、讀好書、好讀書”的號召，并開展閱讀活動．開學(xué)后，學(xué)校統(tǒng)計了高一年級共1000名學(xué)生的假期日均閱讀時間（單位：分鐘），得到了如下所示的頻率分布直方圖，若前兩個小矩形的高度分別為0.0075，0.0125，后三個小矩形的高度比為3：2：1．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計高一年級1000名學(xué)生假期日均閱讀時間的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；(2)開學(xué)后，學(xué)校從高一日均閱讀時間不低于60分鐘的學(xué)生中，按照分層抽樣的方式，抽取6名學(xué)生作為代表分兩周進行國旗下演講，假設(shè)第一周演講的3名學(xué)生日均閱讀時間處于[80，100）的人數(shù)記為，求隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)67（分鐘）(2)分布列見解析；期望為1【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)等于每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和求解；（2）依題意求出隨機變量的分布列，并利用數(shù)學(xué)期望公式求解.【詳解】（1）由題知：各組頻率分別為：0.15，0.25，0.3，0.2，0.1，日均閱讀時間的平均數(shù)為：（分鐘）（2）由題意，在[60，80），[80，100），[100，120]三組分別抽取3，2，1人的可能取值為：0，1，2則

所以的分布列為：01220．（2024·山東煙臺·一模）聯(lián)合國新聞部將我國農(nóng)歷二十四節(jié)氣中的“谷雨”定為聯(lián)合國中文日，以紀念“中華文字始祖”倉頡的貢獻.某大學(xué)擬在2024年的聯(lián)合國中文日舉行中文知識競賽決賽，決賽分為必答?搶答兩個環(huán)節(jié)依次進行.必答環(huán)節(jié)，共2道題，答對分別記30分?40分，否則記0分；搶答環(huán)節(jié)，包括多道題，設(shè)定比賽中每道題必須進行搶答，搶到并答對者得15分，搶到后未答對，對方得15分；兩個環(huán)節(jié)總分先達到或超過100分者獲勝，比賽結(jié)束.已知甲?乙兩人參加決賽，且在必答環(huán)節(jié)，甲答對兩道題的概率分別，乙答對兩道題的概率分別為，在搶答環(huán)節(jié)，任意一題甲?乙兩人搶到的概率都為，甲答對任意一題的概率為，乙答對任意一題的概率為，假定甲?乙兩人在各環(huán)節(jié)?各道題中答題相互獨立.(1)在必答環(huán)節(jié)中，求甲?乙兩人得分之和大于100分的概率；(2)在搶答環(huán)節(jié)中，求任意一題甲獲得15分的概率；(3)若在必答環(huán)節(jié)甲得分為70分，乙得分為40分，設(shè)搶答環(huán)節(jié)經(jīng)過X道題搶答后比賽結(jié)束，求隨機變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)；(2)；(3)分布列見解析，.【分析】（1）把得分之和大于100分的事件分拆，再利用相互獨立事件及互斥事件的概率公式計算即得.（2）甲獲得15分的事件是甲搶到答正確與乙搶到答錯的事件和，再列式求出概率.（3）求出的可能值及各個值對應(yīng)的概率，列出分布列并求出數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）兩人得分之和大于100分可分為甲得40分、乙得70分，甲得70分、乙得40分，甲得70分、乙得70分三種情況，所以得分大于100分的概率.（2）搶答環(huán)節(jié)任意一題甲得15分的概率.（3）的可能取值為2，3，4，5，由搶答任意一題甲得15分的概率為，得搶答任意一題乙得15分的概率為，，，，，所以的分布列為：2345數(shù)學(xué)期望.21．（2024·山東棗莊·一模）有甲、乙兩個不透明的罐子，甲罐有3個紅球，2個黑球，球除顏色外大小完全相同．某人做摸球答題游戲．規(guī)則如下：每次答題前先從甲罐內(nèi)隨機摸出一球，然后答題．若答題正確，則將該球放入乙罐；若答題錯誤，則將該球放回甲罐．此人答對每一道題目的概率均為．當甲罐內(nèi)無球時，游戲停止．假設(shè)開始時乙罐無球．(1)求此人三次答題后，乙罐內(nèi)恰有紅球、黑球各1個的概率；(2)設(shè)第次答題后游戲停止的概率為．①求；②是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，試說明理由．【答案】(1)(2)①，②存在，最大值【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可求解，（2）根據(jù)題意可得，即可利用作商求解單調(diào)性，即可求解最值.【詳解】（1）記“此人三次答題后，乙罐內(nèi)恰有紅、黑各一個球”，“第次摸出紅球，并且答題正確”，；“第次摸出黑球，并且答題正確”，；“第次摸出紅球或黑球，并且答題錯誤”，，所以．又；；，所以．同理：所以．（2）①第次后游戲停止的情況是：前次答題正確恰好為4次，答題錯誤次，且第次摸出最后一球時答題正確．所以．②由①知，所以．令，解得；，解得．所以，所以的最大值是．22．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）淄博燒烤、哈爾濱冬日冰雪、山河四省夢幻聯(lián)動、鄂了贛飯真湘……，2023年全國各地的文旅部門在網(wǎng)絡(luò)上掀起了一波花式創(chuàng)意宣傳，帶火了各地的文旅市場，很好地推動國內(nèi)旅游業(yè)的發(fā)展．已知某旅游景區(qū)在手機APP上推出游客競答的問卷，題型為單項選擇題，每題均有4個選項，其中有且只有一項是正確選項．對于游客甲，在知道答題涉及的內(nèi)容的條件下，可選出唯一的正確選項；在不知道答題涉及的內(nèi)容的條件下，則隨機選擇一個選項．已知甲知道答題涉及內(nèi)容的題數(shù)占問卷總題數(shù)的．(1)求甲任選一題并答對的概率；(2)若問卷答題以題組形式呈現(xiàn)，每個題組由2道單項選擇題構(gòu)成，每道選擇題答對得2分，答錯扣1分，放棄作答得0分．假設(shè)對于任意一道題，甲選擇作答的概率均為，且兩題是否選擇作答及答題情況互不影響，記每組答題總得分為X．（i）求和；（ii）求．【答案】(1)；(2)（i）；（ii）．【分析】（1）利用全概率公式即可求出題目答對的概率；（2）（i）由事件的相互獨立性即可求解；（ii）由題意可求出的每個值對應(yīng)的概率，即得分布列，進而求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）記“甲任選一道題并答對”為事件M，“甲知道答題涉及內(nèi)容”為事件A．

依題意，，，，．

因為事件與互斥，所以

．（2）（i）；.（ii）依題意，隨機變量．；

；

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故．23．（2024·福建·模擬預(yù)測）11分制乒乓球比賽規(guī)則如下：在一局比賽中，每兩球交換發(fā)球權(quán)，每贏一球得1分，先得11分且至少領(lǐng)先2分者勝，該局比賽結(jié)束；當某局比分打成10∶10后，每球交換發(fā)球權(quán)，領(lǐng)先2分者勝，該局比賽結(jié)束.現(xiàn)有甲、乙兩人進行一場五局三勝、每局11分制的乒乓球比賽，比賽開始前通過拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣來確定誰先發(fā)球.假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的概率為，乙發(fā)球時甲得分的概率為，各球的比賽結(jié)果相互獨立，且各局的比賽結(jié)果也相互獨立.已知第一局目前比分為10∶10.(1)求再打兩個球甲新增的得分X的分布列和均值；(2)求第一局比賽甲獲勝的概率；(3)現(xiàn)用估計每局比賽甲獲勝的概率，求該場比賽甲獲勝的概率.【答案】(1)分布列見解析，均值(2)(3)【分析】（1）易知的所有可能取值為，根據(jù)條件概率公式可求得對應(yīng)概率取值可得分布列和均值；（2）根據(jù)獲勝規(guī)則求出第一局比賽甲獲勝概率的表達式，解得；（3）由五局三勝制的規(guī)則，可知的所有可能取值為，求出對應(yīng)概率相加即可求得甲獲勝的概率為.【詳解】（1）依題意，的所有可能取值為設(shè)打成后甲先發(fā)球為事件，則乙先發(fā)球為事件，且，所以，.所以的分布列為012故的均值為.（2）設(shè)第一局比賽甲獲勝為事件，則.由（1）知，，由全概率公式，得解得，即第一局比賽甲獲勝的概率.（3）由（2）知，故估計甲每局獲勝的概率均為，根據(jù)五局三勝制的規(guī)則，設(shè)甲獲勝時的比賽總局數(shù)為，因為每局的比賽結(jié)果相互獨立，所以的所有可能取值為，因此可得；故該場比賽甲獲勝的概率.24．（2024·福建莆田·二模）某商場將在“周年慶”期間舉行“購物刮刮樂，龍騰旺旺來”活動，活動規(guī)則：顧客投擲3枚質(zhì)地均勻的股子．若3枚骰子的點數(shù)都是奇數(shù)，則中“龍騰獎”，獲得兩張“刮刮樂”；若3枚骰子的點數(shù)之和為6的倍數(shù)，則中“旺旺獎”，獲得一張“刮刮樂”；其他情況不獲得“刮刮樂”．(1)據(jù)往年統(tǒng)計，顧客消費額（單位：元）服從正態(tài)分布．若某天該商場有20000位顧客，請估計該天消費額在內(nèi)的人數(shù)；附：若，則．(2)已知每張“刮刮樂”刮出甲獎品的概率為，刮出乙獎品的概率為．①求顧客獲得乙獎品的概率；②若顧客已獲得乙獎品，求其是中“龍騰獎”而獲得的概率．【答案】(1)16372(2)①；②【分析】（1）由題意，由此結(jié)合題中數(shù)據(jù)以及對稱性即可求解相應(yīng)的概率，進一步即可求解；（2）由題意有，進一步分3大種情況求得，對于①，由全概率公式即可求解；對于②，由條件概率公式即可求解.【詳解】（1）由題意，若某天該商場有20000位顧客，估計該天消費額在內(nèi)的人數(shù)為；（2）設(shè)事件“顧客中龍騰獎”，事件“顧客中旺旺獎”，事件“顧客獲得乙獎品”，由題意知，事件包括的事件是：“3枚骰子的點數(shù)之和為6”，“3枚骰子的點數(shù)之和為12”，“3枚骰子的點數(shù)之和為18”，則（i）若“3枚骰子的點數(shù)之和為6”，則有“1點，1點，4點”，“1點，2點，3點”，“2點，2點，2點”，三類情況，共有種；（ii）若“3枚骰子的點數(shù)之和為12”，則有“1點，5點，6點”，“2點，5點，5點”，“2點，4點，6點”，“3點，4點，5點”，“3點，3點，6點”，“4點，4點，4點”，六類情況，共有種；（iii）若“3枚骰子的點數(shù)之和為18”，則有“6點，6點，6點”，一類情況，共有1種；所有，①由全概率公式可得，即顧客獲得乙獎品的概率為；②若顧客已獲得乙獎品，求其是中“龍騰獎”而獲得的概率是，所以顧客已獲得乙獎品，求其是中“龍騰獎”而獲得的概率是.25．（2024·浙江·模擬預(yù)測）某商場推出購物抽獎促銷活動，活動規(guī)則如下：①顧客在商場內(nèi)消費每滿100元，可獲得1張抽獎券；②顧客進行一次抽獎需消耗1張抽獎券，抽獎規(guī)則為：從放有5個白球，1個紅球的盒子中，隨機摸取1個球（每個球被摸到的可能性相同），若摸到白球，則沒有中獎，若摸到紅球，則可獲得1份禮品，并得到一次額外抽獎機會（額外抽獎機會不消耗抽獎券，抽獎規(guī)則不變）；③每位顧客獲得的禮品數(shù)不超過3份，若獲得的禮品數(shù)滿3份，則不可繼續(xù)抽獎；(1)顧客甲通過在商場內(nèi)消費獲得了2張抽獎券，求他通過抽獎至少獲得1份禮品的概率；(2)顧客乙累計消耗3張抽獎券抽獎后，獲得的禮品數(shù)滿3份，則他在消耗第2張抽獎券抽獎的過程中，獲得禮品的概率是多少？(3)設(shè)顧客在消耗張抽獎券抽獎后，獲得的禮品數(shù)滿3份，要獲得張抽獎券，至少要在商場中消費滿元，求的值.（重復(fù)進行某個伯努利試驗，且每次試驗的成功概率均為.隨機變量表示當恰好出現(xiàn)次失敗時已經(jīng)成功的試驗次數(shù).則服從參數(shù)為和的負二項分布.記作.它的均值，方差）【答案】(1)；(2)；(3)，.【分析】（1）確定一次摸獎摸到白球的概率，根據(jù)對立事件的概率計算，即可得答案；（2）分別求出顧客乙累計消耗3張抽獎券抽獎后，獲得的禮品數(shù)滿3份，以及顧客乙在消耗第2張抽獎券抽獎的過程中，獲得禮品的概率，根據(jù)條件概率的計算公式，即可求得答案；（3）由題意確定，結(jié)合負二項分布的均值和方差公式，即可求得答案.【詳解】（1）由題意可知一次摸獎摸到紅球的概率為，摸到白球的概率為，故甲至少獲得1份禮品的概率；（2）設(shè)“顧客乙累計消耗3張抽獎券抽獎后，獲得的禮品數(shù)滿3份”，“顧客乙在消耗第2張抽獎券抽獎的過程中，獲得禮品”，，；（3）由題意可知則，.26．（2024·浙江溫州·二模）紅旗淀粉廠2024年之前只生產(chǎn)食品淀粉，下表為年投入資金（萬元）與年收益（萬元）的8組數(shù)據(jù)：102030405060708012.816.51920.921.521.92325.4(1)用模擬生產(chǎn)食品淀粉年收益與年投入資金的關(guān)系，求出回歸方程；(2)為響應(yīng)國家“加快調(diào)整產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)”的號召，該企業(yè)又自主研發(fā)出一種藥用淀粉，預(yù)計其收益為投入的．2024年該企業(yè)計劃投入200萬元用于生產(chǎn)兩種淀粉，求年收益的最大值．（精確到0.1萬元）附：①回歸直線中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，②1612920400109603③【答案】(1)(2)36.5【分析】（1）利用回歸直線的公式求和的值，可得回歸方程.（2）建立函數(shù)關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值.【詳解】（1）∴回歸方程為：（2）2024年設(shè)該企業(yè)投入食品淀粉生產(chǎn)x萬元，預(yù)計收益（萬元），，得∴其在上遞增，上遞減27．（2024·河北廊坊·模擬預(yù)測）人工智能（英語：Artificialintelligence，縮寫為）亦稱智械、機器智能，指由人制造出來的可以表現(xiàn)出智能的機器．通常人工智能是指通過普通計算機程序來呈現(xiàn)人類智能的技術(shù)．人工智能的核心問題包括建構(gòu)能夠跟人類似甚至超卓的推理、知識、規(guī)劃、學(xué)習(xí)、交流、感知、移物、使用工具和操控機械的能力等．當前有大量的工具應(yīng)用了人工智能，其中包括搜索和數(shù)學(xué)優(yōu)化、邏輯推演．而基于仿生學(xué)、認知心理學(xué)，以及基于概率論和經(jīng)濟學(xué)的算法等等也在逐步探索當中．思維來源于大腦，而思維控制行為，行為需要意志去實現(xiàn)，而思維又是對所有數(shù)據(jù)采集的整理，相當于數(shù)據(jù)庫．某中學(xué)計劃在高一年級開設(shè)人工智能課程．為了解學(xué)生對人工智能是否感興趣，隨機從該校高一年級學(xué)生中抽取了400人進行調(diào)查，整理得到如下列聯(lián)表：感興趣不感興趣合計男生18040220女生12060180合計300100400(1)依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為對人工智能是否感興趣與性別有關(guān)聯(lián)？(2)從對人工智能感興趣的學(xué)生中按性別采用分層抽樣的方法隨機抽取10人，再從這10人中隨機抽取3人進行采訪，記隨機變量表示抽到的3人中女生的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)答案見解析(2)分布列見解析；.【分析】（1）根據(jù)兩個條件概率值求出列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，利用卡方公式計算的值，再與對應(yīng)的小概率值比