2024年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)真題分類匯編：幾何圖形面積問(wèn)題

3.5二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

第2課時(shí)幾何圖形面積問(wèn)題

一、選擇題

1.（2023?天津）如圖，要圍一個(gè)矩形菜園4BCD,共中一邊4D是墻，且4D的長(zhǎng)不能超過(guò)26m,其余的三邊

用籬笆，且這三邊的和為40m.有下列結(jié)論：

①4B的長(zhǎng)可以為6m；

②4B的長(zhǎng)有兩個(gè)不同的值滿足菜園4BCD面積為192m2；

③菜園ABC。面積的最大值為200m2.

其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

〃////////〃///////〃/

AD

菜園

臺(tái)!-------------------------1c

A.0B.1C.2D.3

二、填空題

2.（2023?遼寧沈陽(yáng)）如圖，王叔叔想用長(zhǎng)為60m的柵欄，再借助房屋的外墻圍成一個(gè)矩形羊圈ABCD,已知

房屋外墻足夠長(zhǎng)，當(dāng)矩形力BCD的邊m時(shí)，羊圈的面積最大.

--------------'C

3.（2022?新疆）如圖，用一段長(zhǎng)為16m的籬芭圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形圍欄（墻足夠長(zhǎng)），則這個(gè)圍欄的最

大面積為m2.

三、解答題

4.（2023?山東濰坊）工匠師傅準(zhǔn)備從六邊形的鐵皮ABCDEF中，裁出一塊矩形鐵皮制作工件，如圖所示.經(jīng)

測(cè)量，AB||DE,4B與DE之間的距離為2米，4B=3米，4F=BC=1米，乙4=NB=90。，zC=ZF=

135°.MH,HG,GN是工匠師傅畫出的裁剪虛線.當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為多少時(shí)，矩形鐵皮的面積最大，

最大面積是多少？

5.（2023?黑龍江大慶）某建筑物的窗戶如圖所示，上半部分AABC是等腰三角形，AB=AC,AF-.BF=3:4,

點(diǎn)G、H、尸分別是邊4B、AC.BC的中點(diǎn)；下半部分四邊形BCDE是矩形，BE\\1J\\MN\\CD,制造窗戶框的材

料總長(zhǎng)為16米（圖中所有黑線的長(zhǎng)度和），設(shè)BF=￡米，BE=y米.

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量》的取值范圍；

（2）當(dāng)x為多少時(shí)，窗戶透過(guò)的光線最多（窗戶的面積最大），并計(jì)算窗戶的最大面積.

6.（2023?江蘇徐州）如圖，正方形紙片4BCD的邊長(zhǎng)為4,將它剪去4個(gè)全等的直角三角形，得到四邊形

EFGH.設(shè)4E的長(zhǎng)為x,四邊形EFGH的面積為y.

AHD

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；

⑵當(dāng)2E取何值時(shí)，四邊形EFGH的面積為10?

(3)四邊形EFGH的面積是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

7.(2023?山東荷澤)某學(xué)校為美化學(xué)校環(huán)境，打造綠色校園，決定用籬笆圍成一個(gè)一面靠墻(墻足夠長(zhǎng))

的矩形花園，用一道籬笆把花園分為A,B兩塊(如圖所示)，花園里種滿牡丹和芍藥，學(xué)校已定購(gòu)籬笆120

米.

〃〃/(〃〃〃/(〃〃/4//

AB

(1)設(shè)計(jì)一個(gè)使花園面積最大的方案，并求出其最大面積；

(2)在花園面積最大的條件下，A,B兩塊內(nèi)分別種植牡丹和芍藥，每平方米種植2株，知牡丹每株售價(jià)25

元，芍藥每株售價(jià)15元，學(xué)校計(jì)劃購(gòu)買費(fèi)用不超過(guò)5萬(wàn)元，求最多可以購(gòu)買多少株牡丹？

8.(2022?遼寧沈陽(yáng))如圖，用一根長(zhǎng)60厘米的鐵絲制作一個(gè)“日”字型框架ABCD,鐵絲恰好全部用完.

(1)若所圍成矩形框架A8CZ)的面積為144平方厘米，則A8的長(zhǎng)為多少厘米?

(2)矩形框架ABC。面積最大值為平方厘米.

9.（2022?山東威海）某農(nóng)場(chǎng)要建一個(gè)矩形養(yǎng)雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的一邊靠墻，另外三邊用木柵欄圍成.已知墻長(zhǎng)25m,

木柵欄長(zhǎng)47m,在與墻垂直的一邊留出1m寬的出入口（另選材料建出入門）.求雞場(chǎng)面積的最大值.

出入口

10.（2022?內(nèi)蒙古赤峰）【生活情境】

為美化校園環(huán)境，某學(xué)校根據(jù)地形情況，要對(duì)景觀帶中一個(gè)長(zhǎng)力。=4m,寬力B=1m的長(zhǎng)方形水池力BCD進(jìn)

行加長(zhǎng)改造（如圖①，改造后的水池力BNM仍為長(zhǎng)方形，以下簡(jiǎn)稱水池1）,同時(shí)，再建造一個(gè)周長(zhǎng)為12nl的

矩形水池EFGH（如圖②，以下簡(jiǎn)稱水池2）.

E,---------------------------

水池2

尸I-----------------------1G

圖①圖②

【建立模型】

如果設(shè)水池4BCD的邊力。加長(zhǎng)長(zhǎng)度DM為尤（m）。>0）,加長(zhǎng)后水池1的總面積為為⑺?），則y1關(guān)于x的函數(shù)

解析式為：Yi=%+4（%>0）；設(shè)水池2的邊EF的長(zhǎng)為x（m）（0<x<6）,面積為y2（m2）,則%關(guān)于久的函

2

數(shù)解析式為：y2=-x+6x（0<x<6）,上述兩個(gè)函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖像如圖③.

圖③

【問(wèn)題解決】

(1)若水池2的面積隨EF長(zhǎng)度的增加而減小，則EF長(zhǎng)度的取值范圍是(可省略單位)，水池2面積

的最大值是m2；

(2)在圖③字母標(biāo)注的點(diǎn)中，表示兩個(gè)水池面積相等的點(diǎn)是,此時(shí)的x(m)值是；

(3)當(dāng)水池1的面積大于水池2的面積時(shí)，x(m)的取值范圍是；

(4)在1<x<4范圍內(nèi)，求兩個(gè)水池面積差的最大值和此時(shí)％的值；

(5)假設(shè)水池力BCD的邊4D的長(zhǎng)度為6(m),其他條件不變(這個(gè)加長(zhǎng)改造后的新水池簡(jiǎn)稱水池3),則水池3

的總面積>3(m2)關(guān)于x(m)(久>0)的函數(shù)解析式為：y3-x+b(x>0).若水池3與水池2的面積相等時(shí)，

x(m)有唯一值，求6的值.

11.(2022?江蘇無(wú)錫)某農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃建造一個(gè)矩形養(yǎng)殖場(chǎng)，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形養(yǎng)殖場(chǎng)一面靠墻(墻

的長(zhǎng)度為10m),另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個(gè)面積為1:2的矩形，已知柵欄的總長(zhǎng)度

為24m,設(shè)較小矩形的寬為xm(如圖).

(1)若矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積為36m2,求此時(shí)尤的值；

(2)當(dāng)x為多少時(shí)，矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積最大？最大值為多少？

12.(2022?湖南湘潭)為落實(shí)國(guó)家《關(guān)于全面加強(qiáng)新時(shí)代大中小學(xué)勞動(dòng)教育的意見》，某校準(zhǔn)備在校園里利

用圍墻(墻長(zhǎng)12m)和21m長(zhǎng)的籬笆墻，圍成I、II兩塊矩形勞動(dòng)實(shí)踐基地.某數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了兩種方

案(除圍墻外，實(shí)線部分為籬笆墻，且不浪費(fèi)籬笆墻)，請(qǐng)根據(jù)設(shè)計(jì)方案回答下列問(wèn)題：

4?〃/〃〃Z〃/〃/〃/〃〃//〃〃4R

H

F

I區(qū)Il區(qū)

DGC

圖Cl圖②

(1)方案一：如圖①，全部利用圍墻的長(zhǎng)度，但要在I區(qū)中留一個(gè)寬度2E=1m的水池且需保證總種植面積

為32m2,試分別確定CG、DG的長(zhǎng)；

(2)方案二：如圖②，使圍成的兩塊矩形總種植面積最大，請(qǐng)問(wèn)BC應(yīng)設(shè)計(jì)為多長(zhǎng)？此時(shí)最大面積為多少？

參考答案與解析

一、選擇題

1.(2023?天津)如圖，要圍一個(gè)矩形菜園4BCD,共中一邊4D是墻，且4。的長(zhǎng)不能超過(guò)26m,其余的三邊

用籬笆，且這三邊的和為40m.有下列結(jié)論：

①2B的長(zhǎng)可以為6m；

②AB的長(zhǎng)有兩個(gè)不同的值滿足菜園4BCD面積為192m2；

③菜園4BCD面積的最大值為200m2.

其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()

///////////////〃///〃

AD

菜園

----------1c

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】設(shè)4B的長(zhǎng)為xm,矩形ABCD的面積為ym2,則BC的長(zhǎng)為(40-2x)m,根據(jù)矩形的面積公式列二次

函數(shù)解析式，再分別根據(jù)4。的長(zhǎng)不能超過(guò)26m,二次函數(shù)的最值，解一元二次方程求解即可.

【詳解】設(shè)力B的長(zhǎng)為xm,矩形4BCD的面積為yn?,則BC的長(zhǎng)為(40-2%)m,由題意得

y-%(40—2尤)=-2x2+40x=—2(x—10)2+200,

其中0<40-2xW26,即7Wx<20,

①AB的長(zhǎng)不可以為6m,原說(shuō)法錯(cuò)誤；

③菜園4BCD面積的最大值為200m2,原說(shuō)法正確；

②當(dāng)y=-2(x-10)2+200=192時(shí)，解得x=8或x=12,

???AB的長(zhǎng)有兩個(gè)不同的值滿足菜園2BCD面積為192m2,說(shuō)法正確；

綜上，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是2個(gè)，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解一元二次方程，準(zhǔn)確理解題意，列出二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)

鍵.

二、填空題

2.(2023?遼寧沈陽(yáng))如圖，王叔叔想用長(zhǎng)為60m的柵欄，再借助房屋的外墻圍成一個(gè)矩形羊圈ABCD,已知

房屋外墻足夠長(zhǎng)，當(dāng)矩形力BCD的邊4B=m時(shí)，羊圈的面積最大.

D

【答案】15

【分析】設(shè)2B為xm,貝ljBC=(60-2x)m,根據(jù)矩形的面積公式可得關(guān)于尤的二次函數(shù)關(guān)系式，配方后即

可解.

【詳解】解：設(shè)4B為xm,面積為Sm2,

由題意可得：S=x(60-2x)=-2(x-15)2+450,

.?.當(dāng)x=15時(shí)，S取得最大值，

即4B=15m時(shí)，羊圈的面積最大，

故答案為：15.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用.最大面積的問(wèn)題常利函數(shù)的增減性來(lái)解答，我

們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后結(jié)合實(shí)際選擇最優(yōu)方案.其中要注意應(yīng)該在自變量的

取值范圍內(nèi)求最大值(或最小值)，也就是說(shuō)二次函數(shù)的最值不一定在％=-白時(shí)取得.

2a

3.(2022?新疆)如圖，用一段長(zhǎng)為16m的籬芭圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形圍欄(墻足夠長(zhǎng))，則這個(gè)圍欄的最

大面積為m2.

【答案】32

【分析】設(shè)圍欄垂直于墻的一邊長(zhǎng)為x米，則平行于墻的一邊長(zhǎng)為(16-2x)米，列出圍欄面積S關(guān)于x的

二次函數(shù)解析式，化為頂點(diǎn)式，即可求解.

【詳解】解：設(shè)圍欄垂直于墻的一邊長(zhǎng)為x米，則平行于墻的一邊長(zhǎng)為(16-2%)米，

/.圍欄的面積S=x'(16—2x)=—2x2+16%=—2(%—4)2+32(m2),

.?.當(dāng)x=4時(shí)，S取最大值，最大值為32,

故答案為：32.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)已知條件列出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

4.(2023?山東濰坊)工匠師傅準(zhǔn)備從六邊形的鐵皮4BCDEF中，裁出一塊矩形鐵皮制作工件，如圖所示.經(jīng)

測(cè)量，AB||DE,4B與DE之間的距離為2米，AB=3米，4F=BC=1米，乙4=NB=90。，zC=ZF=

135°.MH,HG,GN是工匠師傅畫出的裁剪虛線.當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為多少時(shí)，矩形鐵皮MNGH的面積最大，

最大面積是多少？

【答案】當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為］米時(shí)，矩形鐵皮MNGH的面積最大，最大面積是胃平方米

【分析】連接CF,分別交于點(diǎn)P，交GN于點(diǎn)Q,先判斷出四邊形4BCF是矩形，從而可得NEFC=NDCF=

45°,再判斷出四邊形力MPF和四邊形BCQN都是矩形，從而可得PM=AF=BC=QN=1米，AM=

PF,BN=CQ,MH1CF,GN1CF,然后設(shè)矩形MNGH的面積為y平方米，MH=GN=x米，貝MM=PH=

(x-1)米，BN=GQ=(x—1)米，利用矩形的面積公式可得y關(guān)于x的二次函數(shù)，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)

求解即可得.

【詳解】解：如圖，連接CF,分別交于點(diǎn)P,交GN于點(diǎn)Q,

???N4=NB=90°,

???AF||BC,

AF=BC=1米，

???四邊形48CF是平行四邊形,

又?：/力=NB=90°,

.??四邊形48CF是矩形，

???/.AFC=Z.BCF=90°,CF||AB,

???乙BCD=AAFE=135°,

???乙EFC=乙DCF=45°,

?.?四邊形MNGH是矩形，

???MH1AB,GN1AB,GN=MH,

.?.四邊形4MPF和四邊形BCQN都是矩形，

PM=4F=BC=QN=1米，AM=PF,BN=CQ,MH1CF,GN1CF,

Rt△PF”和Rt△QCG都是等腰直角三角形，

???PH=PF,GQ=CQ,

???AM=PH,BN=GQ,

設(shè)矩形MNGH的面積為y平方米，MH=GN=x米，貝IjAM=PH=(x—1)米，BN=GQ=(x-1)米，

■.■AB=3米，

???MN=AB—AM—BN=(5—2x)米，

y=MH-MN=x(5-2x)=-2(x-，+

又AB||DE,48與DE之間的距離為2米，AF=BC=1米，

A1<X<2,

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)IWKW,時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)時(shí)，y隨X的增大而減小，

則當(dāng)x時(shí)，y取得最大值，最大值為多

答：當(dāng)MH的長(zhǎng)度為:米時(shí)，矩形鐵皮MNGH的面積最大，最大面積是與平方米.

48

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的幾何應(yīng)用、矩形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題

關(guān)鍵.

5.(2023?黑龍江大慶)某建筑物的窗戶如圖所示，上半部分△ABC是等腰三角形，AB=AC,AF-.BF=3:4,

點(diǎn)G、H、尸分別是邊4B、AC.BC的中點(diǎn)；下半部分四邊形BCDE是矩形，BE||〃||MN||CD,制造窗戶框的材

料總長(zhǎng)為16米(圖中所有黑線的長(zhǎng)度和)，設(shè)BF=x米，BE=y米.

A

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量工的取值范圍；

（2）當(dāng)x為多少時(shí)，窗戶透過(guò)的光線最多（窗戶的面積最大），并計(jì)算窗戶的最大面積.

【答案】⑴y=4-等（0<“<為

（2）當(dāng)x=T時(shí)，窗戶透過(guò)的光線最多（窗戶的面積最大），最大面積為,.

【分析】（1）由BE=y可表示出〃,MN,GD的長(zhǎng)，由=%,AF\BF=3:4可表示出BC,AF,AB,AC,FG,

尸”的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出y與％之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）根據(jù)（1）中相關(guān)數(shù)據(jù)列出函數(shù)解析式，然后利用函數(shù)的性質(zhì)解答.

【詳解】（1）??,四邊形BCDE是矩形，

：.BC||DE,

\9BE\\IJ\\MN\\CD,

：.BE=IJ=MN=CD=y.

U：AB=AC,F是邊BC的中點(diǎn)，

：.BC=DE=2%,AFIBC,

9：AF\BF=3:4,

3x

,\AF=—

4f

：.AB=AC=y/BF2+AF2=—.

4

:點(diǎn)G、H、F分別是邊4B、AC的中點(diǎn)，

1C.

：.FG=FH=-AB=—x,

28

????4y=Y/16—C2,xxC2-5-%-xc2---5-%-x2c---3--%,

J844

A17x"八

4------>0

8

{x>0

Q7

.,.0<x<—,

17

.17x

..y=4A-丁0<%<

(2)設(shè)面積為S,

,1c3x

則S=2%（4-等）+-x2%x—

24

7

=8x-9

2

7%號(hào)+弓，

2

.?.當(dāng)x=3寸，窗戶透過(guò)的光線最多(窗戶的面積最大)，最大面積為荽

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用，正確列出函數(shù)解析式是解答本題的關(guān)鍵.

6.(2023?江蘇徐州)如圖，正方形紙片4BCD的邊長(zhǎng)為4,將它剪去4個(gè)全等的直角三角形，得到四邊形

EFGH.設(shè)4E的長(zhǎng)為％,四邊形EFGH的面積為y.

(1)求y關(guān)于％的函數(shù)表達(dá)式；

(2)當(dāng)4E取何值時(shí)，四邊形EFG”的面積為10?

⑶四邊形EFGH的面積是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(l)y=2x2-8x+16(0<x<4)

⑵當(dāng)2E取1或3時(shí)，四邊形EFGH的面積為10；

(3)存在，最小值為8.

【分析】(1)先證出四邊形EFGH為正方形，用未知數(shù)x表示其任一邊長(zhǎng)，根據(jù)正方形面積公式即可解決問(wèn)

題；

(2)代入y值，解一元二次方程即可；

(3)把二次函數(shù)配方化為頂點(diǎn)式，結(jié)合其性質(zhì)即可求出最小值.

【詳解】⑴解：???在正方形紙片ABCD上剪去4個(gè)全等的直角三角形,

:.乙AHE=ADGH,乙DGH+乙DHG=90°,HG=HE,

???4EHG=180°—4AHE-乙DHG,

乙EHG=90。，四邊形EFGH為正方形，

在△力￡7/中，AE=x,AH=BE=4B-4E=4-x,NA=90。，

???HE2=AE2+AH2=/+(4-x)2=2x2-8x+16,

正方形EFGH的面積y=HE2=2x2-8x+16；

vAE,4H不能為負(fù)，

0<%<4,

故y關(guān)于％的函數(shù)表達(dá)式為y=2/-8x+16(0<x<4)

(2)解：令y=10,得2/-8%+16=10,

整理，得/-4%+3=0,

解得--1,久2=3,

故當(dāng)4E取1或3時(shí)，四邊形EFGH的面積為10；

(3)解：存在.

正方形EFGH的面積y=2x2-8x+16=2(x-2)2+8(0<x<4)；

.?.當(dāng)％=2時(shí)，y有最小值8,即四邊形EFGH的面積最小為8.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系，對(duì)于第三問(wèn)，只需把二次函數(shù)表達(dá)式配

方化為頂點(diǎn)式，即可求解.

7.(2023?山東荷澤)某學(xué)校為美化學(xué)校環(huán)境，打造綠色校園，決定用籬笆圍成一個(gè)一面靠墻(墻足夠長(zhǎng))

的矩形花園，用一道籬笆把花園分為A,3兩塊(如圖所示)，花園里種滿牡丹和芍藥，學(xué)校已定購(gòu)籬笆120

米.

〃〃/(〃〃〃/(〃〃/4//

AB

(1)設(shè)計(jì)一個(gè)使花園面積最大的方案，并求出其最大面積；

(2)在花園面積最大的條件下，48兩塊內(nèi)分別種植牡丹和芍藥，每平方米種植2株，知牡丹每株售價(jià)25

元，芍藥每株售價(jià)15元，學(xué)校計(jì)劃購(gòu)買費(fèi)用不超過(guò)5萬(wàn)元，求最多可以購(gòu)買多少株牡丹？

【答案】(1)長(zhǎng)為60米，寬為20米時(shí)，有最大面積，且最大面積為1200平方米

⑵最多可以購(gòu)買1400株牡丹

【分析】(1)設(shè)長(zhǎng)為X米，面積為y平方米，則寬為野米，可以得到y(tǒng)與X的函數(shù)關(guān)系式，配成頂點(diǎn)式求

出函數(shù)的最大值即可；

(2)設(shè)種植牡丹的面積為a平方米，則種植芍藥的面積為(1200-a)平方米，由題意列出不等式求得種植

牡丹面積的最大值，即可解答.

【詳解】(1)解：設(shè)長(zhǎng)為x米，面積為y平方米，則寬為野米，

.,.y=xX12°%=—|x2+40x=—|—60)2+1200,

.,.當(dāng)x=60時(shí)，y有最大值是1200,

此時(shí)，寬為工f=20(米)

答：長(zhǎng)為60米，寬為20米時(shí)，有最大面積，且最大面積為1200平方米.

(2)解：設(shè)種植牡丹的面積為。平方米，則種植芍藥的面積為(1200-a)平方米，

由題意可得25x2a+15x2(1200-a)<50000

解得：a<700,

即牡丹最多種植700平方米，

700X2=1400(株)，

答：最多可以購(gòu)買1400株牡丹.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要

的條件.

8.(2022?遼寧沈陽(yáng))如圖，用一根長(zhǎng)60厘米的鐵絲制作一個(gè)“日”字型框架A8CD,鐵絲恰好全部用完.

(1)若所圍成矩形框架ABCD的面積為144平方厘米，則AB的長(zhǎng)為多少厘米?

(2)矩形框架ABCD面積最大值為平方厘米.

【答案】(1)48的長(zhǎng)為8厘米或12厘米.

(2)150

【分析】（1）設(shè)4B的長(zhǎng)為x厘米，則有七三厘米，然后根據(jù)題意可得方程寧f=144,進(jìn)而求解

即可；

（2）由（1）可設(shè)矩形框架A8CO的面積為S,則有5=竺押，=-|（X-10）2+150,然后根據(jù)二次函

數(shù)的性質(zhì)可進(jìn)行求解.

【詳解】（1）解：設(shè)的長(zhǎng)為無(wú)厘米，則有4。="厘米，由題意得：

整理得：%2-20%+96=0,

解得：%i=8,%2=12,

..60—3%八

?〉U，

2

0<%<20,

%i=8,x2=12都符合題意，

答：A3的長(zhǎng)為8厘米或12厘米.

（2）解：由（1）可設(shè)矩形框架A5CO的面積為S平方厘米，則有：

2

S=60-3X.X=_|x2+30刀=_|（%_10）+150,

V--<0,且0<x<20,

2

...當(dāng)x=10時(shí)，S有最大值，即為S=150；

故答案為：150.

【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程及二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)題干中的等量關(guān)系.

9.（2022?山東威海）某農(nóng)場(chǎng)要建一個(gè)矩形養(yǎng)雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的一邊靠墻，另外三邊用木柵欄圍成.已知墻長(zhǎng)25m,

木柵欄長(zhǎng)47m,在與墻垂直的一邊留出1m寬的出入口（另選材料建出入門）.求雞場(chǎng)面積的最大值.

出入口

【答案】288m2

【分析】設(shè)與墻平行的一邊為mi（后25）,則與墻垂直的一邊長(zhǎng)為土干m,設(shè)雞場(chǎng)面積為yn?,根據(jù)矩形

面積公式寫出二次函數(shù)解析式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值即可.

【詳解】解：設(shè)與墻平行的一邊為xm(爛25),則與墻垂直的一邊長(zhǎng)為冶上m,設(shè)雞場(chǎng)面積為yn?,

2

根據(jù)題意，得y=%-=—|%+24%=-|(x-24)2+288,

...當(dāng)x=24時(shí)，y有最大值為288,

雞場(chǎng)面積的最大值為288ml.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確列出二次函數(shù)解析式.

10.(2022.內(nèi)蒙古赤峰)【生活情境】

為美化校園環(huán)境，某學(xué)校根據(jù)地形情況，要對(duì)景觀帶中一個(gè)長(zhǎng)4。=4m,寬AB=1m的長(zhǎng)方形水池4BCD進(jìn)

行加長(zhǎng)改造(如圖①，改造后的水池4BNM仍為長(zhǎng)方形，以下簡(jiǎn)稱水池1),同時(shí)，再建造一個(gè)周長(zhǎng)為12m的

矩形水池EFGH(如圖②，以下簡(jiǎn)稱水池2).

水池2

水池；1

J-------------------------------------------

圖①圖②

【建立模型】

如果設(shè)水池力BCD的邊40加長(zhǎng)長(zhǎng)度DM為x(m)(>>0),加長(zhǎng)后水池1的總面積為為(m?),則為關(guān)于久的函數(shù)

解析式為：刈=乂+4(>>0)；設(shè)水池2的邊EF的長(zhǎng)為x(m)(0<x<6),面積為y2(m2),則乃關(guān)于萬(wàn)的函

2

數(shù)解析式為：y2=-%+6x(0<%<6),上述兩個(gè)函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖像如圖③.

【問(wèn)題解決】

(1)若水池2的面積隨EF長(zhǎng)度的增加而減小，貝UEF長(zhǎng)度的取值范圍是(可省略單位)，水池2面積

的最大值是m2；

(2)在圖③字母標(biāo)注的點(diǎn)中，表示兩個(gè)水池面積相等的點(diǎn)是,此時(shí)的x(m)值是；

(3)當(dāng)水池1的面積大于水池2的面積時(shí)，x(m)的取值范圍是；

(4)在1<x<4范圍內(nèi)，求兩個(gè)水池面積差的最大值和此時(shí)久的值；

(5)假設(shè)水池48CD的邊4。的長(zhǎng)度為6(m),其他條件不變(這個(gè)加長(zhǎng)改造后的新水池簡(jiǎn)稱水池3),則水池3

的總面積、3(m2)關(guān)于久(m)(x>0)的函數(shù)解析式為：y3=x+b(x>0).若水池3與水池2的面積相等時(shí),

式(m)有唯一值，求b的值.

【答案】(l)3<x<6；9

(2)C,E-,1,4；

(3)0<x<1或4<x<6

(嶗，1

⑸胃

【分析】(1)將函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式即可解決問(wèn)題；

(2)交點(diǎn)即為面積相等的點(diǎn)，聯(lián)立方程組，求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可；

(3)觀察函數(shù)圖象，結(jié)合點(diǎn)C,點(diǎn)E的坐標(biāo)可得結(jié)論；

(4)求出面積差的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；

(5)根據(jù)面積相等列出一元二次方程，依據(jù)△=(),求出。的值即可.

【詳解】(1),.,%=一/+6K=-(%—3尸+9

拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,9),對(duì)稱軸為廣3,

:水池2的面積隨EF長(zhǎng)度的增加而減小，

長(zhǎng)度的取值范圍是3<x<6；水池2面積的最大值是9m2；

故答案為：3<x<6；9；

(2)由圖象得，兩函數(shù)交于點(diǎn)C,E,

所以，表示兩個(gè)水池面積相等的點(diǎn)是C,E；

聯(lián)立方程組[曠=彳:]

解得,

的值為1或4,

故答案為：C,E；1或4

(3)由(2)知，C(1,5),E(4,8),

又直線在拋物線上方時(shí)，0V%V1或4<x<6,

所以，水池1的面積大于水池2的面積時(shí)，％(m)的取值范圍是0<%V1或4<%V6,

故答案為0<x<1或4<x<6；

(4)在1V汽<4范圍內(nèi),兩個(gè)水池面積差M=(―%2+6%)—(%+4)=—X2+5%—4=—(%—|)2+￡

V-1<0,

，函數(shù)有最大值，

V0<x<6

...當(dāng)x=|時(shí)，函數(shù)有最大值，為，

即，當(dāng)x時(shí)，面積差的最大值為9，

(5)?.,水池3與水池2的面積相等，

.".x+b=—x2+6x,

整理得，X2—5x+b—0

：x(m)有唯一值，

；.△=(一5產(chǎn)-4b=0

解得，b=v

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

11.(2022?江蘇無(wú)錫)某農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃建造一個(gè)矩形養(yǎng)殖場(chǎng)，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形養(yǎng)殖場(chǎng)一面靠墻(墻

的長(zhǎng)度為10m),另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個(gè)面積為1:2的矩形，已知柵欄的總長(zhǎng)度

為24m,設(shè)較小矩形的寬為無(wú)m(如圖).

(1)若矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積為36m2,求此時(shí)x的值；

(2)當(dāng)x為多少時(shí)，矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積最大？最大值為多少？

【答案】(l)x的值為2m；

(2)當(dāng)％=三時(shí)，矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積最大，最大值為詈n?

【分析】(1)由BC=x,求得&)=3x,AB=8-x,利用矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積為36m2,列一元二次方程，解方

程即可求解；

(2)設(shè)矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積為S,列出矩