2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型 阿基米德折弦定理含解析

2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型19阿基米德折弦定理

一、方法突破

【問題呈現(xiàn)】

阿基米德（WC瓦”依/es,公元前287-公元前212年，古希臘）是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)

家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子.

折弦定義:從圓周上任一點出發(fā)的兩條弦，所組成的折線，我們稱之為該圖的一條折弦。

阿基米德折弦定理:一個圓中一條由兩長度不同的弦組成的折弦所對的兩段弧的中點在

較長弦上的射影，就是折弦的中點。

如下圖所示，和BC是。O的兩條弦（即A3C是圓的一條折弦），BOAB,M是ABC

的中點，則從M向8C所作垂線之垂足。是折弦ABC的中點，即8=48+8。。

【證明方法】

方法1:補短法

如圖，延長。3至R使5b二84

???/是A5c的中點

?：ZMCA=^MAC=/MBC

：?M、B、A、。四點共圓

?：NMCA+/MBA=180°

：,/MBC+NMBF=180

?：NMBA=/MBF

TMB=MB,BF=BA

/.AMBF^AMBA

?：/F=/MAB=/MCB

.,.MF=MC

VMD±CF

?：CD=DF=DB+BF=AB+BD

方法2:截長法

如圖，在CO上截取

'：MD±BG

；?MB=MG,ZMGB=ZMBC=ZMAC

???M是A8C的中點

?：ZMAC=NMCA=NMGB

即/MGB=/MCB+NBCA=NMC8+ZBMA

又NMGB=/MCB+NGMC

???NBMA=NGMC

TMA=MC

?：AMBA^AMGC(SAS)

?：AB=GC

?：CD=CG+GD=AB+BD

方法3:垂線法

如圖，作MH_L射線A3,垂足為"。

:加是A5c的中點

/.MA=MC

VMD1BC

???NMDC=90o=NH

：?NMAB=NMCB

?：AMHA^ZXMDC(AAS)

?：AH=CD,MH=MD

災(zāi)VMB=MB

.,.RtAMHB^RtAMDB(HL)

/.HB=BD

?：CD=AH=AB+BH=AB+BD

二、典例精析

1.如圖，AC是劣弧，M是AC的中點，3為A以上任意一點.自知向3c弦引垂線，垂

足為D,求證：AB+BD=DC.

2.如圖所示，在。中，BC=2,AB=AC,點。為劣弧AC上的動點，且cosA2C=叵

-10

(1)求然的長度；

(2)求的值；

(3)過A點作求證：BH=CD+DH.

3.小明學(xué)習(xí)了垂徑定理，做了下面的探究，請根據(jù)題目要求幫小明完成探究.

(1)更換定理的題設(shè)和結(jié)論可以得到許多真命題.如圖1,在。中，C是劣弧的中點，

直線CD_LAB于點E,則AE=BE.請證明此結(jié)論；

(2)從圓上任意一點出發(fā)的兩條弦所組成的折線，成為該圓的一條折弦.如圖2,PA,PB

組成O的一條折弦.C是劣弧AB的中點，直線COLM于點E,則/歸=FE+PB.可

以通過延長。6、"相交于點再連接"(證明結(jié)論成立.請寫出證明過程；

(3)如圖3,PA.組成一。的一條折弦，若C是優(yōu)弧AB的中點，直線CDLP4于點E,

則AE,M與尸3之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論，不必證明.

4.已知A、B、C、。是,O上的四點，CD=BD,AC是四邊形ABCD的對角線

(1)如圖1,連接33,若NCZ)5=6O。，求證：AC是NZMB的平分線；

(2)如圖2,過點。作DE_LAC,垂足為E,若AC=7,AB=5,求線段AE1的長度.

圖1圖2

5.如圖，AABC內(nèi)接于O,BC=2,AB=AC,點。為AC上的動點，J.cosZABC=—.

10

(1)求AB的長度；

(2)在點。的運動過程中，弦AD的延長線交3c延長線于點E,^AD-AE的值是否變化？

若不變，請求出4>/場的值；若變化，請說明理由；

(3)在點。的運動過程中，過4點作AH_LBD,求證：BH=CD+DH.

三、鞏固練習(xí)

1.先閱讀命題及證明思路，再解答下列問題.

命題：如圖1,在正方形ABCD中，已知：ZEAF=45°,角的兩邊AE、AF分別與3C、CD

相交于點E、F,連接￡F.求證：EF=BE+DF.

證明思路：

如圖2,將AABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。至AADE.AB=AD,ZBAD=90°,:.AB^AD

重合.ZADC=ZB=90°,=180。，點F、D、￡是一條直線.

根據(jù)&4S,得證,^EF=EF=ED+DF=BE+DF.

(1)特例應(yīng)用

如圖1,命題中，如果BE=2,DF=3,求正方形ABCD的邊長.

(2)類比變式

如圖3,在正方形ABCD中，已知NE49=45。，角的兩邊AE\AF分別與3C、CO的延

長線相交于點E、F,連接￡F.寫出砂、BE、DF之間的關(guān)系式，并證明你的結(jié)論.

(3)拓展深入

如圖4,在O中，AB.AD是O的弦，且=M>N是O上的兩點，

ZMAN=-ZBAD.

2

①如圖5,連接MN、MD,求證：MH=BM+DH,DMLAN；

②若點C在(點C不與點A、D、N、M重合)上，連接CB、CD分別交線段AM、

2.問題提出

如圖①，AB.AC是一O的兩條弦，AC>AB,M是BAC的中點MD_LAC,垂足為。,

求證：CD^BA+AD.

小敏在解答此題時，利用了“補短法”進行證明，她的方法如下:

如圖②，延長C4至E,使連接M4、MB、MC.ME、BC.

(請你在下面的空白處完成小敏的證明過程.)

推廣運用

如圖③，等邊AA5c內(nèi)接于O,AB^l,。是AC上一點，NABD=45°,AE±BD,垂

足為E,則ABDC的周長是.

拓展研究

如圖④，若將“問題提出”中“加是BAC的中點”改成是2c的中點”，其余條件不

變，“8=加+AD”這一結(jié)論還成立嗎？若成立，請說明理由；若不成立，寫出CD、BA.

A3三者之間存在的關(guān)系并說明理由.

3.在：。中AB=AC,順次連接A、B、C.

(1)如圖1,若點〃是AC的中點，且MN//AC交3c延長線于點N,求證：MN為O

的切線；

(2)如圖2,在(1)的條件下，連接MC,過點A作AP_L5M于點尸，若BP=a,MP=b,

CM=c,則a、b、c有何數(shù)量關(guān)系？

(3)如圖3,當(dāng)N54C=60。時，E是3c延長線上一點，。是線段至上一點，且BD=CE,

若BE=5,AAEF的周長為9,請求出邑的的值？

4.【問題呈現(xiàn)】阿基米德折弦定理：阿基米德（archimedes,公元前287-公元前212年，

古希臘）是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子.如圖1,

至和3c是‘。的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），點/是ABC的中

點，則從M向3C所作垂線的垂足。是折弦ABC的中點，即CD=DB+BA.下面是運用“截

長法”證明8=08+54的部分證明過程.

證明：如圖2,在CD上截取CG=AB,連接M4、MB、MC和MG.

M是ABC的中點，

:.MA=MC,

又?ZA=ZC,BA=GC,

:.AMAB=AMCG,

:.MB=MG,

又-MDLBC,

:.BD=DG,

:.AB+BD=CG+DG^CD=DB+BA.

【理解運用】如圖1,AB.BC是。的兩條弦，AB=4,BC=6,點"是ABC的中點,

MD_L8C于點。，則；

【變式探究】如圖3,若點M是AC的中點，【問題呈現(xiàn)】中的其他條件不變，判斷CD、

DB、54之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明.

【實踐應(yīng)用】如圖4,3c是一O的直徑，點A圓上一定點,點。圓上一動點，且滿足

ZDAC=45°,若AB=6,O的半徑為5,則">=____.

［三,

圖1圖2圖3圖4

5.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出并證明了“折弦定理”.如圖1,A3和BC是O的兩條弦

（即折線ABC是圓的一條折弦），BC>AB,M是優(yōu)弧ABC的中點，則從“向3c所作

垂線的垂足。是折弦"C的中點，即CD=43+瓦）.

(1)請按照下面的證明思路，寫出該證明的剩余部分;

證明：如圖2,在CB上截取CG=AB,

連接MB,和MG.

M是ABC的中點，

MA=MC,

:.MA=MC.

(2)如圖(3),已知等邊AABC內(nèi)接于.O,AB=2,D為。上一點，ZABD=45。,

AELBD,垂足為E,請你運用“折弦定理”求ABDC的周長.

專題19阿基米德折弦定理

一、方法突破

【問題呈現(xiàn)】

阿基米德（WC瓦”依/es,公元前287-公元前212年，古希臘）是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)

家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子.

折弦定義:從圓周上任一點出發(fā)的兩條弦，所組成的折線，我們稱之為該圖的一條折弦。

阿基米德折弦定理:一個圓中一條由兩長度不同的弦組成的折弦所對的兩段弧的中點在

較長弦上的射影，就是折弦的中點。

如下圖所示，和BC是。0的兩條弦（即A3C是圓的一條折弦），BOAB,M是ABC

的中點，則從M向8C所作垂線之垂足。是折弦ABC的中點，即8=48+8。。

---------------、八

【證明方法】

方法1:補短法

如圖，延長。3至R使5b二84

???/是A5c的中點

?：ZMCA=^MAC=/MBC

：?M、B、A、。四點共圓

?：NMCA+/MBA=180°

：,/MBC+NMBF=180

?：NMBA=/MBF

TMB=MB,BF=BA

/.AMBF^AMBA

?：/F=/MAB=/MCB

.,.MF=MC

VMD±CF

?：CD=DF=DB+BF=AB+BD

方法2:截長法

如圖，在CO上截取

'：MD±BG

；?MB=MG,ZMGB=ZMBC=ZMAC

???M是A8C的中點

?：ZMAC=NMCA=NMGB

即/MGB=/MCB+NBCA=NMC8+ZBMA

又NMGB=/MCB+NGMC

???NBMA=NGMC

TMA=MC

?：AMBA^AMGC(SAS)

?：AB=GC

?：CD=CG+GD=AB+BD

方法3:垂線法

如圖，作MH_L射線A3,垂足為"。

:加是A5c的中點

/.MA=MC

VMD1BC

???NMDC=90o=NH

：?NMAB=NMCB

?：AMHA^ZXMDC(AAS)

?：AH=CD,MH=MD

災(zāi)VMB=MB

.,.RtAMHB^RtAMDB（HL）

/.HB=BD

?：CD=AH=AB+BH=AB+BD

二、典例精析

1.如圖，AC是劣弧，M是AC的中點，3為A以上任意一點.自知向3c弦引垂線，垂

足為D,求證：AB+BD=DC.

M

【解答】證明：在CD上取點N,使QV=AB,連接CM,MN

M是AC的中點,

AM=CM,

:.AM=CM（等弧對等弦），

又ZBAM=ZBCM,

在和ACNM中，

'CN=AB

<ZBAM=ZBCM,

AM=CM

=ACNM（SAS）,

:.BM=MN,

.?.MMZV為等腰三角形（BN為底），

又MD1BN,

二。為BN中點（等腰三角形三線合一），

:.BD=DN

AB+BD=CD.

2.如圖所示，在：O中，BC=2,AB=AC,點。為劣弧AC上的動點，且cosA2C=^°

-10

(1)求他的長度；

(2)求"*.AE的值；

(3)過A點作AH_L3D,求證：BH=CD+DH.

【解答】解：(1)作

AB=AC,AM±BC,BC=2BM,

CM=-BC=1,

2

/fBMA/W

cosZABC=-----=-----

AB10

在RtAAMB中，BM=19

BM

:.AB=

cosZABC

(2)連接DC,

AB=ACf

ZACB=ZABC,

四邊形ABCD內(nèi)接于圓O,

ZAPC+ZABC=180°,

ZACE+ZACB=180°,

ZADC=ZACE9

ZCAE公共角，

:.\EAC^\CAD,

.AC_AE

,AD-AC'

:.ADAE=AC2=10；

(3)證明：在BD上取一點N,使得3N=CD,

N1與N3所對的弧是A￡),

.-.Z1=Z3,

AB=AC

在AABN和AACE>中，Z3=Z1,

BN=CD

AABNAACD(SAS),

:.AN^AD,

AN=AD,AHLBD,

:.NH=HD,

BN=CD,NH=HD,

:.BN+NH=CD+HD=BH.

3.小明學(xué)習(xí)了垂徑定理，做了下面的探究，請根據(jù)題目要求幫小明完成探究.

(1)更換定理的題設(shè)和結(jié)論可以得到許多真命題.如圖1,在。中，C是劣弧4?的中點，

直線CD_LAB于點E,則請證明此結(jié)論；

(2)從圓上任意一點出發(fā)的兩條弦所組成的折線，成為該圓的一條折弦.如圖2,PA,PB

組成O的一條折弦.C是劣弧AB的中點，直線COLM于點E,則/歸=PE+PB.可

以通過延長DB、"相交于點再連接4)證明結(jié)論成立.請寫出證明過程；

(3)如圖3,PA.PB組成。的一條折弦，若C是優(yōu)弧AB的中點，直線于點E,

則AE,也與PB之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論，不必證明.

【解答】證明：(1)如圖1,連接AD,BD,

C是劣弧AB的中點，

,\ZCDA=ZCDB,

DELAB,

:.ZAED=ZDEB=9GQ,

..ZA-^-ZADE=90°9ZB+NCDB=90。，

:.ZA=ZB,

「.AADB為等腰三角形，

CD±AB,

AE=BE；

(2)如圖2,延長。5、AP相交于點尸，再連接AD,

4)5尸是圓內(nèi)接四邊形，

:.ZPBF=ZPADf

。是劣弧AB的中點，

:.NCDA=NCDF,

CD±PA,

.??AATO為等腰三角形，

:.ZF=ZA9AE=EF,

：.ZPBF=ZF9

：.PB=PF,

:.AE=PE+PB

(3)AE=PE-PB.

連接4),BD,AB9DB、AP相交于點方，

MAC=MBC,

.\ZADC=ZBDC,

CD±AP,

:.ZDEA=ZDEF,ZADE^ZFDE,

DE=DE,

:.\DAE^^DFE,

:.AD=DF,AE=EF9

:.ZDAF=ZDFA,

.\ZDFA=ZPFB9ZPBD=ZDAP9

:.ZPFB=ZPBF,

:.PF=PB,

:.AE=PE-PB.

4.已知A、B、C、。是O上的四點，CD=BD,AC是四邊形ABCD的對角線

(1)如圖1,連接BO,若NCDB=60。，求證：AC是NZ14B的平分線；

(2)如圖2,過點。作?！阓LAC,垂足為￡,若AC=7,AB=5,求線段AE的長度.

DD

圈1圈2

【解答】(1)證明：CD=BD9

CD=BD9

ZCDB=60°f

」.ABCD是等邊三角形,

CD=BC9

:.ZCAD=ZBAC9即AC是ND4B的平分線;

(2)解：連接在線段CE上取點尸，使得￡F=AE,連接止,

DE.LAC,

:.DF=DA,

:.ZDFE=ZDAE,

CD=BD,

;.CD=BD,ZDAC=ZDCB9

:.ZDFE=ZDCB,

四邊形ABCO是圓的內(nèi)接四邊形,

.\ZDAB-^ZDCB=18Q°,

ZDFC+ZDFE=180。，

:.ZDFC=ZDAB,

在ACD尸和AB/M中，

ZDFC=/DAB

</DCF=/DBA

CD=BD

:.\CDF=\BDA{AAS),

,\CF=AB=59

AC=7,AB=5,

:.AE=^AF=^(AC-CF)=1.

5.如圖，AABC內(nèi)接于O,BC=2,=AC，點。為AC上的動點，5.cosZABC=—

10

(1)求AB的長度；

(2)在點D的運動過程中，弦AD的延長線交3c延長線于點E，問AD-AE的值是否變化?

若不變，請求出的值；若變化，請說明理由；

(3)在點。的運動過程中，過A點作求證：BH=CD+DH.

【解答】解：(1)作

AB=AC,AM±BC,BC=1BM,

:.CM=-BC=l,

2

_BM_410

cos/7AKC-------,

AB10

在RtAAMB中，BM=1,

(2)連接DC,

AB=AC,

\ZACB=ZABC9

四邊形ABC。內(nèi)接于圓O,

?.ZADC+ZABC=180°,

ZACE+ZACB=180°,

\ZADC=ZACE9

Z.CAE公共角，

\NEAC^\CAD,

AC_AE

.~AD~~AC9

:.ADAE=AC2=10；

(3)在皮)上取一點N,使得BN=CD,

在AABN和AACD中

AB=AC

</3=/l,

BN=CD

:.\ABN=\ACD(SAS),

,\AN=AD9

AN=AD,AHLBD,

,\NH=HDf

BN=CD,NH=HD,

:.BN+NH=CD+HD=BH.

三、鞏固練習(xí)

1.先閱讀命題及證明思路，再解答下列問題.

命題：如圖1,在正方形ABCD中，已知：NE4F=45。，角的兩邊AE、AF分別與BC、CD

相交于點石、F,連接￡F.求證：EF=BE+DF.

證明思路：

如圖2,將AABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。至AADE.AB=AD,ZBAD=90°,「.AB與AD

重合.NADC=NB=90。，.\ZFDE=180°,點/、D、￡'是一條直線.

根據(jù)&1S,得證AAEF二AzMF,得EF=EF=ED+DF=BE+DF.

(1)特例應(yīng)用

如圖1,命題中，如果班=2,DF=3,求正方形ABCD的邊長.

(2)類比變式

如圖3,在正方形ABCD中，己知NE4尸=45。，角的兩邊AF分別與3C、8的延

長線相交于點石、F,連接EF.寫出EF、BE、DF之間的關(guān)系式，并證明你的結(jié)論.

(3)拓展深入

如圖4,在?。中，AB.AD是O的弦，且AB=AD,M、N是O上的兩點，

AMAN=-ABAD.

2

①如圖5,連接MV、MD,求證：MH=BM+DH,DMLAN；

②若點C在ADW(點C不與點A、D、N、M重合)上，連接CB、CD分別交線段A"、

AN或其延長線于點E、F,直接寫出EF、BE、DF之間的等式關(guān)系.

設(shè)正方形ABCD的邊長為x,貝！J有CE=x-2,CF=x-3.

由材料可知：EF=BE+DF=2+3=5.

在RtACEF中，

ZC=90°,

CE2+CF-=EF2.

：.(龍一2)2+(X-3)2=52.

解得：玉=6,x2=-1(舍去)

所以正方形鉆8的邊長為6.

(2)EF=BE-DF.

理由如下：

在上取一點9，使得BF=DF.連接A尸，如圖3.

四邊形ABCD是正方形，

:.AB=AD,ZB=ZBAD=ZADC=90°.

ZADF=90°=ZB.

在廣和AAD廠中，

AB=AD

<ZB=ZADF.

BFr=DF

AABF=AAZ)F(SAS).

rr

.\AF=AF9ZBAF=ZDAF.

ZFfAF=ZBAD=90°.

ZE4F=45°,

Z.FAE=45°=ZFAE.

在△戶AE和AE4E中，

AFf=AF

<ZFfAE=ZFAE.

AE=AE

...△FfAE=AFAE(SAS).

:.FrE=FE.

:.EF=F,E=BE-BF,=BE-DF.

(3)①延長MD到點AT,使得WBAf,連接W,如圖5.

圖5

ZADMr+ZADM=180°,ZABM+ZADM=180°,

:.ZABM=ZADMf.

在AAW和AADAT中，

AB=AD

<ZABM=AADM'.

BM=DM'

\ABM=\ADM\SAS}.

/.AM=AMfZBAM=ZDAMf.

:.ZMAMr=ZBAD.

ZMAN=-ZBAD

29

:.ZMAN=-ZMAMr.

2

:.ZMAN=ZMfAN.

AM=AMf,ZMAN=ZM，AN,

：.MH=M'H=DM'+DH=BM+DH,DM±AN.

②I,當(dāng)點。在DVM上時，如圖6、7.

a

ELD.

圖6

同理可得:EF=BE+DF.

II.當(dāng)點C在上時，如圖8.

同理可得：EF=DF-BE.

2.問題提出

如圖①，AB.AC是c。的兩條弦,AC>AB,M是54c的中點ME>_LAC,垂足為D,

求證：CD=BA+AD.

小敏在解答此題時，利用了“補短法”進行證明，她的方法如下:

如圖②，延長C4至E,使/a=AB,連接M4、MB、MC,ME,BC.

（請你在下面的空白處完成小敏的證明過程.）

推廣運用

如圖③，等邊AABC內(nèi)接于O,AB=1,。是AC上一點，ZABD=45°,AE±BD,垂

足為石，則的周長是.

拓展研究

如圖④，若將“問題提出”中是A4c的中點”改成“M是5C的中點”，其余條件不

變，“CD=BA+AD”這一結(jié)論還成立嗎？若成立，請說明理由；若不成立，寫出CD、BA.

三者之間存在的關(guān)系并說明理由.

【解答】問題提出：證明：如圖2,延長C4至石，使AE=AB,連接M4、MB、MC、ME、

BC,

M是A4C的中點，

:.MB=MC,ZMBC=ZMCB,

ZMAB=180O-ZMCB,

Z￡^=180°-ZCW=180°-ZMBC,

.\ZEAM=ZBAMf

在AEW和AS4M中

AE=AB

<ZEAM=/BAM,

AM=AM

AEAM=ABAM(SAS),

:,ME=MC,

又MDLAC,

ED=CD9

DC=A￡)+AC=BA+AD；

推廣運用：解：如圖3,截取BF=CD,連接AF,AD,CD,

由題意可得：AB=AC,ZABF=ZACD,

在AAB尸和AACD中

AB=AC

</ABF=ZACD,

BF=DC

:.AABF=ACD(SAS),

:.AF=AD,

AE±BD,

:.FE=DE,貝！|CD+。石=鹿，

ZABD=45°,

ABy/2

BE=

V2-2

則ABDC的周長是1+后,

故答案為：1+后；

拓展研究：不成立，CD、BA.AD三者之間的關(guān)系:AD=BA+CD,

證明：連接石4,EF,ED,EB交AC于N,

M是5c的中點，

,\ZBEM=ZCEM,

ZBEM=ZCEM

在AEZW和AED。中，\DE=DE,

ZEDN=ZEDC=90°

:.AEDN=AEDC

.\CD=ND,ZECD=ZEND,

ZECD=ZABE9ZENC=ZANB,

:.ZANB=ZABE,

,\AN=ABf

.?.AD=AN+ND=BA+CD.

圖④

圖3

3.在中AB=AC,順次連接A、B、C.

(1)如圖1,若點M是AC的中點，且MN//AC交3c延長線于點N,求證：MN為

的切線;

(2)如圖2,在(1)的條件下，連接MC,過點A作于點P,若BP=a,MP=b,

CM=c,貝b、c有何數(shù)量關(guān)系？

(3)如圖3,當(dāng)44c=60。時，E是3c延長線上一點，。是線段回上一點，且BZ)=CE,

若BE=5,AAER的周長為9,請求出S*的值?

圖3

圖1圖2

【解答】解：(1)如圖1,連接OM,

M是AC的中點，

\OM±AC,

MN//AC,

■.OMLMN,

OM為O的半徑，

?.MN為。的切線；

(2)如圖2,連接交AC于K,連結(jié)40,

M是AC的中點,

AM=CM,

:.AM=CM=c,

AP±BMf

:.ZAPM=ZAPB=90°9

22222

AP=AM-PM=c-b9

222222

,\AB=AP-^BP=c-b+O9

AC=AB=yjc2—b2+a2,

M是AC的中點，

:.OMLAC,

..AK=CK=-AC=-ylc2-b2+a2,

22

ZAPB=ZCKM=9009ZABP=ZMCKf

..AABP^AMCK,

.BPCK

'AB~CM9

:.BPCM=CKAB,

22222

:.ac=—yjc—b+a-A/C2—Z?+?，

2

2ac=—濟'+a2,

22

(a-c)-b=09

3+Z?-C)(Q-Z?-C)=0,

a+b—c>0,

d—b—(7—0,

:.a=b+c

(3)過點B作5H//AC,過點D作DH//BC,BH與DH交于點、H,連接S,

貝！|N5D//=ZABC=60。，ZDBH=ZACB=60°,

.?.ABDH是等邊三角形,

:.BH=BD,ZDBH=60°,

:.BH=CE,Z.CBH=ZABC+ZDBH=600+60°=120°,

ZACE=180°-ZACB=120°=ZCBH,AC=BC,

:.\ACE=\CBH{SAS),

,\ZCAE=ZBCH,AE=CH,

DH!IBC,DH=CE,

???四邊形CED"是平行四邊形,

:.CE//ED,CH=ED,

,\ZBCH=ZBED,CH=AE,

.\ZBED=ZCAE9AE=ED，

過點石作于點T,交AC于點L,連接

貝!J”=AL=DL

29

ZBAC=60°9

A4DL是等邊三角形，

,\ZALD=60°=ZACB9

:.DL//BC,即HD與"在同一直線上，

，四邊形是平行四邊形，

:.CL=BH=BD=CE,LH=BC,

5-

設(shè)CE=無，貝!)CL=兀，BC=AC=5-xAD=DL=AL=AC-CL=5-2xAT=-------

f92

DF//CH9

LFLDHnLF5—2%

CLLHx5—x

.7尸_(5—2元)尤

5-x

.■.AF=AL+LF=5-2X+(5-2X)X=5(5-2X)>

5—x5—x

在RtABET中，ET=BEsm6Q°=-

29

AE2=AT2+ET2,

...鉆2=(1^)2+(孚)2=f—5%+25,

延長BFZ,ED交于點R,^\ZBHD=ZFCE,ZR=NCFE,DH=CE,

:.AHDR=ACEF(AAS)9

:.DR=EF,

5(5—2%)x+20

:.ER=ED+DR=AE+EF=9-AF=9-

5-x5-x

CH!/ED,

CHBC

.■.CH=^ER=^^x+20

BE55-x5

x+20

AE=

5

CL/%+20、

x2-5Lx+25=(———)2,

解得：%=5（舍去），x=—

289

35-2吟】,口寸“事=2,

8

作Ol/_LAL于點M,貝!|OM=ADsin60o=9x克=2,

428

15A/3

SS

?，SMEF=AADE~AADF=AZ)-ET-AF-xxx2x

ZZZ4ZZo16

圖2

圖1

4.【問題呈現(xiàn)】阿基米德折弦定理：阿基米德（arc南加edes,公元前287-公元前212年,

古希臘）是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子.如圖1,

AB和3c是。的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），3C>AB,點Af是A8C的中

點，則從M向3c所作垂線的垂足。是折弦ABC的中點，即CD=@?+BA.下面是運用“截

長法”證明CD=DB+54的部分證明過程.

證明：如圖2,在CD上截取CG=AB,連接即1、MB、MC和MG.

M是ABC的中點，

又一ZA=ZC,BA=GC,

:.MB=MG,

又?MDYBC,

:.BD=DG,

:.AB+BD^CG+DG^CD=DB+BA.

【理解運用】如圖1,AB.3c是：O的兩條弦，AB=4,3C=6,點〃是ABC的中點,

MD_L3C于點￡),則B￡>=；

【變式探究】如圖3,若點”是AC的中點，【問題呈現(xiàn)】中的其他條件不變，判斷8、

DB、54之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明.

【實踐應(yīng)用】如圖4,BC是O的直徑，點A圓上一定點，點。圓上一動點，且滿足

ZDAC=45°,若AB=6,.O的半徑為5,則AD=

【解答】解：【理解運用】：由題意可得CD=D3+54,即CD=6-CD+AB,

CD=6—CD+4,

CD=59

.\BD=BC-CD=6-5=19

故答案為：1;

【變式探究1DB=CD+BA.

證明：在D3上截取BG=BA,連接M4、MB、MC、MG,

M是弧AC的中點，

:.AM=MC,ZMBA=ZMBG,

又=

NMAB=AMGB(SAS),

:.MA=MG,

:.MC=MG,

又DM工BC,

:.DC=DG,

:.AB+DC=BG+DG,BPDB^CD+BA；

【實踐應(yīng)用】

如圖，當(dāng)點2在3c下方時，過點口作LAC于點G],

圖4

是圓的直徑，

-.ZBAC=90°,

AB=6,圓的半徑為5,

■.AC=8,

NRAC=45。，

1.CG]+AB=AG19

AG1=g(6+8)=7,

AD1-1.

當(dāng)點在3c上方時，ZD2AC=45°,同理易得A3=五.

綜上所述：49的長為7友或后，

故答案為7夜或也.

5.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出并證明了“折弦定理”.如圖1,A3和BC是O的兩條弦

（即折線ABC是圓的一條折弦），BC>AB,M是優(yōu)弧ABC的中點，則從“向3c所作

垂線的垂足。是折弦"C的中點，即CD=43+瓦）.

（1）請按照下面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；

證明：如圖2,在CB上截取CG=AB,

連接M4,MB,MC和MG.

M是ABC的中點，

MA=MC,

（2）如圖（3）,已知等邊AABC內(nèi)接于〈。，AB=2,。為O上一點，NABD=45°,

AEYBD,垂足為E,請你運用“折弦定理”求ABDC的周長.

【解答】（1）證明：如圖2,在上截取CG=>1B,

連接M4,MB,MC和MG.

M是ABC的中點，

MA=MC,

:.MA=MC.

在AMBA和AMGC中

BA=GC

<ZA=ZC,

MA=MC

:.AMBA=AMGC(SAS)f

:.MB=MG,

又MDIBC,

:.BD=GD,

...DC=GC+GD=AB+BD；

(2)解：如圖3,截取即=CD,連接"，AD,CD,

由題意可得：AB=AC,ZABF=ZACD,

在AAB尸和AACD中

AB=AC

</ABF=ZACD,

BF=DC

:.AABF=ACD(SAS),

.\AF=AD,

AE±BD,

:.FE=DE,貝!ICD+D石=5石，

ZAB￡>=45°,

??5￡=半=夜,

72

則ABDC的周長是2+272.

圖2

專題20最值之胡不歸問題

一、方法突破

【故事介紹】

從前有個少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家.根據(jù)“兩點之

間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家8之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當(dāng)

趕到家時，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭.鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不

斷念叨著“胡不歸？胡不歸？…”（“胡”同"何”）

而如果先沿著驛道AC先走一段，再走砂石地，會不會更早些到家？

驛道

【模型建立】

如圖，一動點尸在直線外的運動速度為VI,在直線上運動的速度為V2,且V1<V2,

A、8為定點，點C在直線MN上，確定點C的位置使生+些的值最小.

%匕

【問題分析】

即求8C+fc4c的最小值.

【問題解決】

構(gòu)造射線使得sin/D4AM:,CH/AC=k,CH=kAC.

B

sina==k,H

CH=kAC

將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值，過B點作BHLAD交于點C,交AD于H點、,此時

8C+CH取到最小值，即BC+fc4c最小.

【模型總結(jié)】

在求形如“P8+狂4'的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與松4相等的線段，將“PB+初4”型問

題轉(zhuǎn)化為“P2+PC'型.

而這里的PA必須是一條方向不變的線段，方能構(gòu)造定角利用三角函數(shù)得到kPA的等線段.

【問題】

如圖，點P為射線/上的一動點，A、B為定點，求P8+枕4的最小值

【問題解決】

構(gòu)造射線使得sina=A,PC/PA=k,CP=kAP.

B

5

由、

、、

、、D

將問題轉(zhuǎn)化為求PB+PC最小值，過B點作BCLAD交/于點尸，交AO于C點，此時PB+PC

取到最小值，即PB+k最小.

7

二、典例精析

1.如圖，在zVRC中，NA=90。，4=60。，AB=2,若。是BC邊上一動點，則+

2

的最小值為（）

A.273+6B.6C.A/3+3D.3

2.如圖，在AABC中，NA=15。，AB=10,尸為AC邊上的一個動點（不與A、C重合），

連接5尸，則把AP+P8的最小值是（）

2

B

「10^

A.5A/2B.5GD.8

3

3.如圖，ABCD中，ZDAB=60°,AB=6,BC=2,P為邊CD上的一動點，則P3+走尸D

2

tanA=2,班'_LAC于點E,。是線段班上的一個

動點，則CD+弓2。的最小值是（

)

A.2A/5B.4下C.5也D.10

5.如圖所示，已知拋物線、=。（尤+3）（尤-1）（4￥0）,與x軸從左至右依次相交于A、3兩點,

與y軸相交于點C,經(jīng)過點A的直線y=-&+6與拋物線的另一個交點為D.

（1）若點。的橫坐標(biāo)為2,求拋物線的函數(shù)解析式；

（2）若在第三象限內(nèi)的拋物線上有點尸，使得以A、B、尸為頂點的三角形與AABC相似,

求點P的坐標(biāo)；

（3）在（1）的條件下，設(shè)點E是線段相＞上的一點（不含端點），連接3E.一動點。從

點3出發(fā)，沿線段班以每秒1個單位的速度運動到點E,再沿線段即以每秒純個單位

3

的速度運動到點。后停止，問當(dāng)點E的坐標(biāo)是多少時，點。在整個運動過程中所用時間最

少？

三、中考真題演練

1.如圖所示，菱形ABCO的邊長為5,對角線03的長為46，尸為03上一動點，則

A.4B.5C.2A/5D.3百

2.如圖，AASC中，AB=AC=10,NA=45。，皮）是AASC的邊AC上的高，點、P是BD

上動點'則孝加+CP的最小值是（）

B.50C.10D.10拒

3.如圖，AABC中，AB=AC=10,tanA=3,CE>_LAB于點。，點E是線段CD的一個

動點，則2E+典CE的最小值是

10

4.如圖，拋物線,=-e2-6缶+7點交x軸于A,B兩點(點A在點3右側(cè))，交y軸

于點C,直線>=忘了+7點經(jīng)過點A、C,點M是線段AC上的一動點(不與點A,C重

合).

(1)求A,B兩點的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)點尸，。關(guān)于拋物線的對稱軸對稱時，求PW+'5AM的最小值及此時點M的坐

3

標(biāo)；

5.如圖，拋物線丫=工/+〃a+”與直線y=_J_x+3交于A,3兩點，交無軸于￡),c兩

22

點，連接AC,BC,已知A(0,3),C(3,0).

(I)求拋物線的解析式和tanN54c的值；

(II)在(I)條件下：

(1)P為y軸右側(cè)拋物線上一動點，連接R4,過點P作交y軸于點。，問：是

否存在點P使得以A,P,。為頂點的三角形與AACB相似？若存在，請求出所有符合條

件的點尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

(2)設(shè)E為線段AC上一點(不含端點)，連接一動點/從點。出發(fā)，沿線段DE以

每秒一個單位速度運動到E點，再沿線段E4以每秒立個單位的速度運動到A后停止，當(dāng)

點石的坐標(biāo)是多少時，點M在整個運動中用時最少？

Dx

6.如圖，已知拋物線y=&(x+2)(x-4)(人為常數(shù)，且%