2024年中考數(shù)學(xué)探究性訓(xùn)練-銳角三角形

備考2024年中考數(shù)學(xué)探究性訓(xùn)練專題27銳角三角形

一、選擇題

1.以下是某數(shù)學(xué)興趣小組開展的課外探究活動(dòng)，探究目的：測(cè)量小河兩岸的距離，探究過程：在河

兩岸選取相對(duì)的兩點(diǎn)P、A,在小河邊取P4的垂線PB上的一點(diǎn)C,測(cè)得PC=50米，Z.PCA=42°,則

C.50ttm42°米D.50ttm480米

2.探究；我們知道，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.例如在AABC中,

ZA=30°,AC=3,NA所對(duì)的邊為百，滿足已知條件的三角形有兩個(gè)（我們發(fā)現(xiàn)其中一個(gè)△ABC是

直角三角形，如圖），則滿足已知條件的三角形的第三邊AB的長(zhǎng)為（）

A.2A/3B.2V3-3C.273或D.或28一3

3.東莞市某學(xué)校數(shù)學(xué)探究小組利用無人機(jī)在操場(chǎng)上開展測(cè)量教學(xué)樓高度的活動(dòng)，如圖，此時(shí)無人機(jī)

在離地面30米的點(diǎn)D處，操控者站在點(diǎn)A處，無人機(jī)測(cè)得點(diǎn)A的俯角為30。，測(cè)得教學(xué)樓樓頂點(diǎn)C

處的俯角為45。，操控者和教學(xué)樓BC的距離為60米，則教學(xué)樓BC的高度是（）米.

A.60—30遍B.30A/3C.3073-30D.30^/3-15

4.在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示兩張等腰三角形紙片，如圖所示.圖1的三角形邊長(zhǎng)分別為4,4,2；

圖2的三角形的腰長(zhǎng)也為4,底角等于圖1中三角形的頂角；某學(xué)習(xí)小組將這兩張紙片在同一平面內(nèi)

拼成如圖3的四邊形OABC,連結(jié)AC該學(xué)習(xí)小組經(jīng)探究得到以下四個(gè)結(jié)論，其中錯(cuò)誤的是（）

AB

A.Z0CB=2ZACBB.ZOAB+ZOAC=90°

C.AC=2V15D.BC=4V3

5.如圖，某研究性學(xué)習(xí)小組為測(cè)量學(xué)校A與河對(duì)岸工廠B之間的距離，在學(xué)校附近選一點(diǎn)C,利用

測(cè)量?jī)x器測(cè)得乙4=60。，NC=90。，AC=2km.據(jù)此，可求得學(xué)校與工廠之間的距離AB等于

h

C

A.2kmB.3kmC.2^3kmD.4km

6.公元3世紀(jì)，劉徽發(fā)現(xiàn)可以用圓內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)近似地表示圓的周長(zhǎng).如圖所示，他首先在

圓內(nèi)畫一個(gè)內(nèi)接正六邊形，再不斷地增加正多邊形的邊數(shù)；當(dāng)邊數(shù)越多時(shí)，正多邊形的周長(zhǎng)就越接近

于圓的周長(zhǎng).劉徽在《九章算術(shù)》中寫道：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與

圓周合體而無所失矣.“我們稱這種方法為劉徽割圓術(shù)，它開啟了研究圓周率的新紀(jì)元.小牧通過圓

內(nèi)接正n邊形，使用劉徽割圓術(shù)，得到兀的近似值為（）

二、填空題

7.在一堂關(guān)于“折紙問題”的數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐探究課中，小明同學(xué)將一張矩形ABCD紙片，按如圖進(jìn)行

折疊，分別在BC、AD兩邊上取兩點(diǎn)E,F,使CE=AF,分別以DE,BF為對(duì)稱軸將4CDE與AABF

翻折得到與AABF,且邊C舊與AB交于點(diǎn)G,邊A，F(xiàn)與CD交于一點(diǎn)H.已知tanNEBG=

J，A'G=6,C'G=l,則矩形紙片ABCD的周長(zhǎng)為_________.

C囹____E______5

DFA

8.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,AB=10,BC=6，點(diǎn)D是邊AC上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D

作CE1AB于E點(diǎn).請(qǐng)?zhí)骄肯铝袉栴}：

B--------------C

(1)若DE=4,貝ljCD=_________；

(2)若CD=3,設(shè)點(diǎn)F是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接FD、FE,以FD、FE為鄰邊作平行

四邊形FDGE,且使得頂點(diǎn)G恰好落在AC邊上，貝I)CF=_

9.數(shù)學(xué)小組研究如下問題：遵義市某地的緯度約為北緯28。，求北緯28緯線的長(zhǎng)度.

小組成員查閱相關(guān)資料，得到如下信息：

信息一：如圖1,在地球儀上，與赤道平行的圓圈叫做緯線

信息二：如圖2,赤道半徑。4約為6400千米，弦BC||OA,以BC為直徑的圓的周長(zhǎng)就是北緯28。

緯線的長(zhǎng)度；(參考數(shù)據(jù)：?！?,sin28°?0.47,cos28°?0.88,tan28°20.53)

根據(jù)以上信息，北緯28。緯線的長(zhǎng)度約為_____一千米.

疊之

圖1圖2

10.數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組制作了如下的三角函數(shù)計(jì)算圖尺：在半徑為1的半圓形量角器中，畫一個(gè)直

徑為1的圓，把刻度尺CA的0刻度固定在半圓的圓心O處，刻度尺可以繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn).從圖中所示

的圖尺可讀出sinZAOB的值是.

90

三'理論探究題

11.閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

我們所學(xué)的銳角三角函數(shù)反映了直角三角形中的邊角關(guān)系:

如圖(1)所示.sincos

/iD/ID

,BC

tana=■斤.

21C?

一般地，當(dāng)a,p為任意角時(shí)，sin(a+B)與sin(a?B)的值可以用下面的公式求得

sin(a+P)=sinacosP+cosasin仇sin(a-P)=sina

cosp-cosasinp.

例如：sin15°=sin(45o-30o)=sin45°cos30°-cos45°

sin30。=匹出

4

任務(wù)：

(1)計(jì)算：sin75。=；

(2)如圖(2)所示，在ZkABC中,ZB=15°,NC=45。，AC=2存2,求AB和BC的長(zhǎng).

12.構(gòu)建幾何圖形解決代數(shù)問題是“數(shù)形結(jié)合”思想的體現(xiàn)，在計(jì)算位幾15。時(shí)，如圖1,在出中,

AC1

ZC=90°,^ABC=30°,延長(zhǎng)使連接ZD,得乙。二15。，所以tanl5。=m=

(2)如圖2,銳角乙=a，已知tcma=TH,求證：tan-=^m2+^~-?

2m

13.閱讀下列材料：

在AABC中,/A,ZB）/C所對(duì)的邊分別為a,b,c,求證：瀛b

-sinB'

證明：如圖1,過點(diǎn)C作CDLAB于點(diǎn)D,則：

上JZA

句。\

BaCBaCBC

圖1圖2圖3

在RtZXBCD中，CD=asinB,

在RtZ\ACD中，CD=bsinA,

asinB=bsinA,

a_b

"sinA-sinB

根據(jù)上面的材料解決下列問題：

（1）如圖2,在AABC中，NA,ZB,NC所對(duì)的邊分別為a,b,c、求證：島=薪，

（2）如圖3,現(xiàn)有一片三角形區(qū)域需美化，已知NA=67。，ZB=53°,AC=80m,求這片區(qū)域的面

積（結(jié)果保留根號(hào)，參考數(shù)據(jù)：sin53%0.8,sin67%0.9）.

14.如圖1,△4BC為等邊三角形，其邊長(zhǎng)為3.點(diǎn)。，E分別在邊ZB,AC1.,RAD=AE=2,連接0E,

顯然有BD=CE.

JAb

一/

（圖1）（圖2）（S3）

（1）問題發(fā)現(xiàn)

如圖2,若將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度a（0。<a<60°）結(jié)論"BD=CE"仍成立嗎?請(qǐng)作

出判斷，并證明你的結(jié)論；

（2）問題解決

如圖3,在（1）的情形下，當(dāng)點(diǎn)5,D,E三點(diǎn)正好在一條直線上時(shí)，求CE的長(zhǎng).

15.綜合與實(shí)踐

圖①圖②圖③

（1）【問題情境】在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們以“折疊矩形”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng).已知，在矩形4BCD

中，AB=6,4。=10，點(diǎn)P是4B邊上一點(diǎn)，將△APC沿直線PD折疊，點(diǎn)/的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E.

【操作發(fā)現(xiàn)】

操作一：如圖①，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，過點(diǎn)E作EF||AB,交BD于點(diǎn)F,連結(jié)4K試判定四邊形4BEF

的形狀，并說明理由；

操作二：如圖②，當(dāng)點(diǎn)E落在BC邊上時(shí)，AP=；

（2）操作三：如圖③，當(dāng)點(diǎn)P為4B中點(diǎn)時(shí)，延長(zhǎng)DE交BC于點(diǎn)G,連結(jié)PG,則tan/PGB=.

16.在AZBC中，AACB=90°,遂=小，。是邊BC上一點(diǎn)，將△ABD沿4。折疊得到△4ED,連接BE.

如圖1,當(dāng)zn=1,4E落在直線4c上時(shí).

①求證：^DAC=Z.EBC-,

②填空：器的值為;

（2）類比探究

如圖2,當(dāng)血片1,4E與邊BC相交時(shí)，在4。上取一點(diǎn)G,使乙4CG=NBCE,CG交ZE于點(diǎn)”.探究空

的值（用含小的式子表示），并寫出探究過程；

（3）拓展運(yùn)用

在(2)的條件下，當(dāng)巾=孝，。是BC的中點(diǎn)時(shí)，若EB-EH=6,求CG的長(zhǎng).

17.綜合與實(shí)踐：在學(xué)習(xí)《解直角三角形》一章時(shí)，小邕同學(xué)對(duì)一個(gè)角的倍角的三角函數(shù)值與這個(gè)角

的三角函數(shù)值是否有關(guān)系產(chǎn)生了濃厚的興趣，并進(jìn)行研究.

RB

.二N

/)ACAC

Ifil圖2

(1)【初步嘗試】我們知道：tan60°=,tan30°=.

發(fā)現(xiàn)：tanX2tan。)(填“=”或“H").

(2)【實(shí)踐探究】在解決“如圖1,在RtAZBC中，ZC=90°,AC=2,BC=1,求tan(±4)的值"

這一問題時(shí)，小邕想構(gòu)造包含號(hào)4的直角三角形，延長(zhǎng)CA到點(diǎn)D,使D4=AB,連接BD,所以可得AD=

上BAC,問題即轉(zhuǎn)化為求AD的正切值，請(qǐng)按小邕的思路求tan(累)的值.

⑶【拓展延伸】如圖2,在RM2BC中，ZC=90°,AC=3,tanA=去請(qǐng)模仿小邕的思路或者

用你的新思路，試著求一求tan2A的值.

(1)【問題探究】在學(xué)習(xí)三角形中線時(shí)，我們遇到過這樣的問題：如圖①，在△力BC中，點(diǎn)。為BC

邊上的中點(diǎn)，AB=4,AC=6,求線段40長(zhǎng)的取值范圍.我們采用的方法是延長(zhǎng)線段4。到點(diǎn)E,使

得AD=DE,連結(jié)CE,可證AABD會(huì)AECD,可得CE==4,根據(jù)三角形三邊關(guān)系可求4。的范圍，

我們將這樣的方法稱為“三角形倍長(zhǎng)中線”.則4。的范圍是：.

(2)【拓展應(yīng)用】

①如圖②，在△4BC中，BC=2BD,AD=3,AC=2^,^BAD=90°,求AB的長(zhǎng).

②如圖③，在AABC中，。為BC邊的中點(diǎn)，分別以4B、AC為直角邊向外作直角三角形，且滿足乙4BE=

AACF=30°,連結(jié)EF,若力。=2百，貝ijEF=.(直接寫出)

19.

在矩形紙片ABC。中，點(diǎn)E,點(diǎn)F分別是邊AD,BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)BE,DF.

將矩形紙片4BCD分別沿直線BE,DF折疊，點(diǎn)4的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)N.若點(diǎn)F與點(diǎn)M重

合，ON與EF交于點(diǎn)G,如圖①，求證：DG=GM.

(2)【探究】

a.如圖②，當(dāng)點(diǎn)M,N落在對(duì)角線BD上時(shí)，AB=4,AD=6,則MN=.

b.如圖③，當(dāng)點(diǎn)M,N落在對(duì)角線AC上時(shí)，EM與DN交于點(diǎn)P,BM與FN交于點(diǎn)Q,連結(jié)PQ,若力B=4,

AD=6,PQ=.

20.AABC和ACEF均為等邊三角形，0分別為BC和EF的中點(diǎn)，連接力0,4C=8,DF=6.

⑴【特例發(fā)現(xiàn)】如圖1,當(dāng)點(diǎn)。，點(diǎn)E與點(diǎn)F分別在A。，BC上時(shí)，可以得出結(jié)論：鋁=；

直線4。與直線CF的位置關(guān)系是.

(2)【探究證明】如圖2,將圖1中的ADEF繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)。恰好落在線段4c上，連接

CF.(l)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由.

(3)【拓展運(yùn)用】如圖3,將圖1中的ADEF繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(19。<a<60。)，連接49,FC,

它們的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H,當(dāng)DH=OF時(shí)：

①連接0D,判斷四邊形OFHD的形狀，并給予證明；

②直接寫出cos(60。一a)的值.

(1)【問題呈現(xiàn)】

如圖1,AZBC和ATWE者B是等邊三角形，連接BD,CE.求證：BD=CE.

(2)【類比探究】

如圖2,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，AABC=AADE=90°.連接BD,CE.請(qǐng)直接寫出,

的值.

(3)【拓展提升】

如圖3,AZBC和AaOE者E是直角三角形，^ABC=AADE=90°,且需=器=/連接B￡),CE.延

長(zhǎng)CE交BQ于點(diǎn)F,交于點(diǎn)G.求sin/BFC的值.

22.如圖

【方法嘗試】如圖1,矩形4BFC是矩形4CGE以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。所得的圖

形，CB、EO分別是它們的對(duì)角線.求證:CB1ED.

【類比遷移】如圖2,在RCA4BC和RtAZDE中，ABAC=ADAE=90°,AC=亞,AB=巾,

AE=痘，AD=1.將△繞點(diǎn)4在平面內(nèi)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角ZB4E為毆0。<a<360°),連接CE,

BD.

①請(qǐng)判斷線段CE和BQ的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；

②當(dāng)點(diǎn)B,D,E在同一直線上時(shí)，求線段CE的長(zhǎng).

【拓展延伸】如圖3,在RtAZBC中，AACB=90°,AB=6,過點(diǎn)2作AP||BC,在射線AP上取一

點(diǎn)。，連接CD,使得tcm乙48=桃，請(qǐng)直接寫出線段BD的最值.

23.(1)【探究發(fā)現(xiàn)】如圖，在正方形4BCQ中，E為4。邊上一點(diǎn)，將△2EB沿BE翻折得到△BEF,

延長(zhǎng)EF交CD邊于點(diǎn)G.求證：△BFGSABCG；

(2)【類比遷移】如圖，在矩形2BCD中，E為4。邊上一點(diǎn)，且4。=8,AB=6,將AAEB沿BE

翻折得到ABEF,延長(zhǎng)EF交BC邊于點(diǎn)G,延長(zhǎng)B尸交CD邊于點(diǎn)H,且FH=CH,求4E的長(zhǎng);

(3)【實(shí)踐創(chuàng)新】如圖，為等腰三角形，AABC=90°,O為斜邊AC的中點(diǎn)，M,N為線

段4C上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足ZMBN=45°,設(shè)ZMB。=a,乙NBO=6,AB=V2,證明：tan(a+6)=

tana+tanS

1—tancr-tany?,

四'實(shí)踐探究題

24.仁皇閣是一個(gè)著名景點(diǎn)，某校九年級(jí)研學(xué)期間參觀了仁皇閣，數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)仁皇閣高度產(chǎn)生了

測(cè)量

測(cè)量角度的儀器，皮尺，刻度尺等

工具

組別測(cè)量方案示意圖測(cè)量方案說明

A

、一惠

如圖1,先在仁皇閣底部廣場(chǎng)的C處用儀器測(cè)得閣樓

頂端A的仰角為27。，然后從C處向閣樓底部前進(jìn)

組1

10m到達(dá)D處，此時(shí)在D處測(cè)得閣樓頂端A的仰角

CDB

圖1為30。.

*E

如圖2,身高1.5m的組員站在仁皇閣正門邊上合

組2影.打印出照片后量得此組員圖上高度GH為0.5cm,

量得仁皇閣圖上高度EF為12.9cm.

圖2

(1)任務(wù)一請(qǐng)分別計(jì)算兩組中測(cè)量得到的閣樓高度；(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位.參考數(shù)據(jù)sin27°?

0.45,cos27"0.89,tan27°?0.50,41,V31.73)

(2)任務(wù)二后續(xù)經(jīng)過查證后發(fā)現(xiàn)小組2數(shù)據(jù)更為精確，請(qǐng)你幫小組1分析可能產(chǎn)生誤差的原因.(寫

出一條即可)

25.如圖1,某人的一器官后面A處長(zhǎng)了一個(gè)新生物，現(xiàn)需檢測(cè)其到皮膚的距離.為避免傷害器官，可

利用一種新型檢測(cè)技術(shù)，檢測(cè)射線可避開器官從側(cè)面測(cè)量.某醫(yī)療小組制定方案，通過醫(yī)療儀器的測(cè)量

獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，并利用數(shù)據(jù)計(jì)算出新生物到皮膚的距離方案如下:

課題檢查新生物到皮膚的距離

工具醫(yī)療儀器等

Sc皮膚_____________

示意

蠹物

圖

圖1圖2

如圖2,新生物在A處，先在皮膚上選擇最大限度地避開器官的B處照射新生物，檢測(cè)射

線與皮膚MN的夾角為NDBN；再在皮膚上選擇距離B處9cm的C處照射新生物，檢測(cè)

說明

射線與皮膚MN的夾角為NECN.

測(cè)量

NDBN=35°,ZECN=22°,BC=9cm.

數(shù)據(jù)

請(qǐng)你根據(jù)上表中的測(cè)量數(shù)據(jù)，計(jì)算新生物A處到皮膚的距離（結(jié)果精確到0.1cm,參考數(shù)據(jù)：

sin35°~0.57,cos35°?0.82,tan35~0.70,sin22°~0.37,cos22°?0.93,tan22°~0.40）.

26.【問題背景】

在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，張老師將班級(jí)學(xué)生分成“扶搖”、“驚鴻”、“騏驥”三個(gè)小組，運(yùn)用直角三角尺

測(cè)量三個(gè)不同直尺的寬度.（直尺的每?jī)蓚€(gè)長(zhǎng)刻度之間的長(zhǎng)度是1cm）

【實(shí)踐探究】

（1）扶搖組同學(xué)用含45。的三角尺，提出按照?qǐng)D1的方案，直尺與直角三角尺ZBC的邊4C重合，

另一邊分別交力aBC于點(diǎn)E,F.點(diǎn)4,C,E,尸的讀數(shù)分別為13,20,4.2,0,則該直尺的寬度FC

的長(zhǎng)為cm；

（2）驚鴻組同學(xué)用含45。的三角尺，提出按照?qǐng)D2的方案，直尺與直角三角尺4BC的斜邊AB重合,

另一邊分別交ZC,BC于點(diǎn)M,N點(diǎn)A,B,M,N的讀數(shù)分別為20,10,3,7,求該直尺的寬度；

（3）騏驥組同學(xué)用含30。的三角尺，提出按照?qǐng)D3的方案，直尺與直角三角尺力BC斜力B平行，直

分別交AC,BC于點(diǎn)S,P,T,Q.點(diǎn)S,T,P,Q的讀數(shù)分別為20,10,1.8,4.6,Z.B=30°,直接寫

出該直尺的寬度.（結(jié)果精確到0.1cm）.0（參考數(shù)據(jù)：V3x1.73）

27.綜合與實(shí)踐：【問題情境】：通過查看出廠包裝袋上的數(shù)據(jù)，數(shù)學(xué)活動(dòng)小組的同學(xué)發(fā)現(xiàn)44紙的長(zhǎng)

與寬分別為297zmn和210nwi,其比值為第n1.414,而迎71.414,他們上網(wǎng)查閱資料也發(fā)現(xiàn)44

紙的長(zhǎng)與寬的比是一個(gè)特殊值“遮”.不妨定義長(zhǎng)與寬的比為魚：1的矩形為“標(biāo)準(zhǔn)矩形”.【操作實(shí)踐】：

如圖1,數(shù)學(xué)活動(dòng)小組的同學(xué)在幾何畫板軟件上畫了一個(gè)正方形4BCD,連接對(duì)角線BD,在射線DC

上截取了￡>E=DB,過點(diǎn)E作EF12B交ZB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,令=1.

【問題探究工

(1)求證：四邊形4FE。為“標(biāo)準(zhǔn)矩形”；

(2)如圖2,數(shù)學(xué)活動(dòng)小組的同學(xué)在圖1的基礎(chǔ)上隱藏了線段BC,在線段EF上取一點(diǎn)P,連接BP,

DP.

①當(dāng)QP平分ZBDE時(shí)，求PF的長(zhǎng)；

②當(dāng)ABCP的周長(zhǎng)最小時(shí)，求ZPBF的正切值.

28.某“綜合與實(shí)踐”小組開展了測(cè)量本校旗桿高度的實(shí)踐活動(dòng).他們制訂了測(cè)量方案，并利用課余時(shí)間

完成了實(shí)地測(cè)量.他們?cè)谠撈鞐U底部所在的平地上，選取兩個(gè)不同測(cè)點(diǎn)，分別測(cè)量了該旗桿頂端的仰角

以及這兩個(gè)測(cè)點(diǎn)之間的距離.為了減小測(cè)量誤差，小組在測(cè)最仰角的度數(shù)以及兩個(gè)測(cè)點(diǎn)之間的距離時(shí),

都分別測(cè)量了兩次并取它們的平均值作為測(cè)量結(jié)果，測(cè)量數(shù)據(jù)如下表(不完整).

課題測(cè)量旗桿的高度

----A

7

成員組長(zhǎng)XXX組員：XXX,XXX,XXX

測(cè)量工具測(cè)量角度的儀器、皮尺等

說明：線段GH表示學(xué)校旗桿，測(cè)量角度的儀

測(cè)育嚷示意圖器的高度AC=BD=1.5m,測(cè)點(diǎn)A,B與H

在同一條水平直線上，A,B之間的距離可以

直接測(cè)得，且點(diǎn)G,H,A,B,C,D都在同

E__________J__

HBA一豎直平面內(nèi).點(diǎn)C,D,E在同一條直線上，

點(diǎn)E在GH上.

測(cè)量項(xiàng)目第一次第二次平均值

NGCE的度

25.6°25.8°25.7°

數(shù)

測(cè)量數(shù)據(jù)

NGDE的

31.2°30.8°31°

度數(shù)

A,B之間

5.4m5.6m

的距離

任務(wù)一：兩次測(cè)量，A,B之間的距離的平均值是▲m.

任務(wù)二：根據(jù)以上測(cè)量結(jié)果，請(qǐng)你幫助該“綜合與實(shí)踐”小組求出學(xué)校旗桿GH的高度.

(參考數(shù)據(jù)：sin25.7°?0.43,cos25.7°.0.90,tan25.7°?0.48,sin31°工0.52,cos31°工0.86,

tan31°?0.60)

任務(wù)三：該“綜合與實(shí)踐”小組在制訂方案時(shí)，討論過“利用物體在陽光下的影子測(cè)量旗桿的高度”

的方案，但未被采納，你認(rèn)為其原因可能是什么？

29.問題：如何設(shè)計(jì)“倍力橋”的結(jié)構(gòu)？

圖1是搭成的“倍力橋”,縱梁a,c夾住橫梁b,使得橫梁不能移動(dòng)，結(jié)構(gòu)穩(wěn)固.圖2是長(zhǎng)為(cm),

寬為3cm的橫梁側(cè)面示意圖，三個(gè)凹槽都是半徑為1cm的半圓，圓心分別為內(nèi)，02,03,

OiM=OiN,O2Q=O3P=2cm,縱梁是底面半徑為1cm的圓柱體，用相同規(guī)格的橫梁、縱

梁搭“橋”，間隙忽略不計(jì).

探究1：

縱苑

橫海

圖I

（1）圖3是“橋”側(cè)面示意圖，A,B為橫梁與地面的交點(diǎn)，C,E為圓心，D,Hi，&是橫梁側(cè)面

兩邊的交點(diǎn)，測(cè)得ZB=32cm,點(diǎn)C到AB的距離為12cm,試判斷四邊形CDE/的形狀，并求I的值.

（2）若搭成的“橋”剛好能繞成環(huán)，其側(cè)面示意圖的內(nèi)部形成一個(gè)多邊形.

①若有12根橫梁繞成環(huán)，圖4是其側(cè)面示意圖，內(nèi)部形成十二邊形修"2H3-412,求，的值；

②若有n根橫梁繞成的環(huán)（"為偶數(shù),且n>6）,試用關(guān)于n的代數(shù)式表示內(nèi)部形成的多邊形

“用2"3一?%的周長(zhǎng).

30.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分

家萬事休”，數(shù)學(xué)中，數(shù)和形是兩個(gè)最主要的研究對(duì)象，它們之間有著十分密切的聯(lián)系，在一定條件

下，數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透.在我校的數(shù)學(xué)選修課上，同學(xué)們針對(duì)四邊形面積求解的問題

進(jìn)行了探究：

圖1圖2

（1）【問題提出】

如圖1,在o中，乙4=45。，AB=8,AD=6,E是40的中點(diǎn)，點(diǎn)F在DC上，且DF=5,

求四邊形4BFE的面積；（結(jié)果保留根號(hào)）

（2）【問題解決】

如圖2所示，現(xiàn)規(guī)劃在一處灘地上規(guī)劃一個(gè)五邊形河畔公園ABCDE,按設(shè)計(jì)要求，要在五邊形河

畔公園4BCDE內(nèi)挖一個(gè)四邊形人工湖。PMN,使點(diǎn)。、P、M、N分別在邊BC、CD、AE.上，且滿

足B。=2AN=2CP,AM=0C.已知五邊形4BCDE中，NA=zB=ZC=90。，AB=800m,BC=

1200m,CD=600m,AE=900m,為滿足人工湖周邊各功能場(chǎng)所及綠化用地需要，想讓人工湖面積

盡可能小,請(qǐng)問，是否存在符合設(shè)計(jì)要求的面積最小的四邊形人工湖0PMN?若存在，求四邊形。PMN

面積的最小值及這時(shí)點(diǎn)N到點(diǎn)4的距離；若不存在，請(qǐng)說明理由.

答案解析部分

1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】D

6.【答案】A

7.【答案】62

8.【答案】(1)!

⑵導(dǎo)

9.【答案】33792

10.【答案】|

【答案】⑴手

(2)解：如圖所示，過點(diǎn)A作ADLBC于點(diǎn)D,在BC上找點(diǎn)E,使BE=AE,

A

VZC=45°,AC=2V3-2,ZDAC=45°.

...AD=CD,sinC第，

/icz乙7s-z

AD=V6-V2.

?../B=15。，sinB嚼，gp76-72=76-V2>

AABM.

VBE=AE,/.ZB=ZEAB=15°.

/.ZAED=30°.

.\AE=2AD=2V6-2V2.

tanNAED=器，即孚旦常1

ED=3V2-V6.

CB—BE+DE+DC=2V6-2V2+3V2-V6+V6-V2—2V6.

12.【答案】(1)V2-1

(2)證明：延長(zhǎng)CB使BD=2B,連接ZD,得AD=全

設(shè)BC=1,

tana—m,

???AC=m,AB=J/+i，

??CD—J*+1+1

.tan?！猰—m(Vm2+l-1)_(Vm2+1—1)

2Vm2+1+1(Vm2+1+1)(Vm2+1—1)m

13.【答案】(1)證明：過點(diǎn)A作ADJ_BC交BC于點(diǎn)D,如圖2所示:

在RtAABD中，AD=csinB,

在RtAACD中，AD=bsinC,

/.csinB=bsinC,

?b_c

**sinB-sinC'

(2)解：過點(diǎn)A作AELBC交BC于點(diǎn)E,如圖3所示:

NBAC=67。，NB=53。，ZC=60°,

在RtAACE中，ZE=ZC?sin60。=80x字=40百(m)，

..AC_BC

*sinB=sin^BAC"

4cfin/B4c?80義0.9

：

.BCsinA~0.8=90(zn),

2

■-S^ABc=1x90x40V3=1800V3(m).

這片區(qū)域的面積為1800V3m2.

14.【答案】(1)解：“BD=CE”仍成立.

,?NBAC=NDAE,NBAD=NCAE.

又：AB=AC,AD=AE,AABAD^ACAE(SAS).

，BD=CE.

(2)解：作AFLBE于點(diǎn)F.

?.'△ABC為等邊三角形，；.ZBAC=60°.AZDAE=ZBAC=60°.

又AD=AE,.;△ADE為等邊三角形.

，AE=AD=DE=2,ZEAF=30°.

.,.EF=1,AF=V3,DF=EF=1.

在Rt^ABF中，BF=V4B2—4尸2=12_(圾2=限

.\BD=BF-DF=V6-1,.-.CE=BD=V6-1.

15.【答案】(1)學(xué)

⑵竽

16.【答案】(1)解：①證明：如圖1,延長(zhǎng)4。交BE于P,

B

圖1

由折疊知，乙4FB=90。=乙4CB,

???/LDAC+/.ADC=乙BDF+乙EBC=90°,

???Z-ADC=乙BDF,

???Z-DAC=Z-EBC；

②1

(2)解：如圖2,延長(zhǎng)ZD交BE于F,

B

圖2

由⑴①知，乙DAC=LEBC,

■:Z-ACG=乙BCE,

??.△ACG^LBCE,

CGAC

-'-CE=BC"m；

(3)解：由折疊知，^AFB=90°,BF=FE,

???點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，

??.BD=CD,

???D尸是ABCE的中位線，

???DF"CE,

:?乙BEC=^BFD=90。,Z.AGC=zFCG,Z.GAH=/.CEA,

由(2)知，AACGS^BCE,

ACAC、B

^AGC=乙BEC=90°,訪=%：=2血=V2,

2bL

CG^DC1

-''AG^tan^GAC=AC=^

設(shè)CG=x,貝4G=V2x,BE—2x,CE=V2x

??.AG=CE,

??.△ZG*ZkECH(44S),

???AH=EH,GH=CH,

1

?*?GH=

在中，根據(jù)勾股定理得，AH=jAG2+GH2=lx,

???EB?EH=6,

，2c%?13%=,6,

???x—魚或久=—四（舍），

即CG=A/5.

17.【答案】8，學(xué)學(xué)【實(shí)踐探究】在解決“如圖1,在Rt△ABC中，NC=90°,AC=2,BC=1,求tan（N）

5乙

的值”這一問題時(shí)，小邕想構(gòu)造包含號(hào)4的直角三角形，延長(zhǎng)C4到點(diǎn)D,使DA=AB,連接BD,所以

可得乙D=±NB4C,問題即轉(zhuǎn)化為求功的正切值，請(qǐng)按小邕的思路求tan（聶）的值【答案】解：如圖

R

1,在RtZkABC中，ZC=90。，AC=2,BC=1,--'=/'______j-,.AB=AC2+BC2=V5-

D...............AC

圖I

.'-ADAB=：.^D=AABD,：.ABAC=2AD,CD=AD+AC=2+^5,：-tan^A=tanD=

1fL=代一2.【拓展延伸】如圖2,在中，ZC=90°,AC=3,tanZ=5請(qǐng)模仿小邕的思

V5+23

路或者用你的新思路，試著求一求tan24的值.【答案】解：如圖2,作AB的垂直平分線交/C于點(diǎn)E,

\B

連接BE..1._J則NBEC=2N4ZE=BE,N4=N4BE.?.?RtAZBC中，NC=90。,4。=

AE\C

i‘q，

1__

3,tanX=q.；?BC=1,AB—VTU.設(shè)ZE=x,則EC=3—%,在Rt/XEBC中，%2=(3-X)2+1,解

八BC3

得尤=1，即ZE=BE=|,EC=1./.tan24=tanZ_8EC==不

(1)V3；等；*

(2)解：如圖1,在HtAZBC中，ZC=90c,AC=2,BC=1,

B

*二二N

DAC

ffll

???XB=y/AC2+BC2=V5.

?'-AD=AB=V5,

/.Z.D=Z-ABD,

:.乙BAC=2乙D,CD=AD+AC=2+V5,

1

/.tan2A—tanD==V5-2.

V5+2

(3)解：如圖2,作ZB的垂直平分線交4c于點(diǎn)E,連接BE.

圖2

則ZBEC=2乙4,AE=BE,Z4=^ABE.

RtAABC^,z_C=90°,AC—3,tan/l=:.

：.BC=1,AB=V10.

設(shè)ZE=x,貝!JEC=3—x,

在RMEBC中，%2=(3-%)2+l,

解得％="l，即ZE=BE=I*,EC-/

nro

Atan24=tanzFFC=注=本

18.【答案】(1)1<AD<5

(2)解：①如圖②，延長(zhǎng)2。到點(diǎn)E,^AD=DE,連結(jié)CE,

???BD=CD,匕ADB=乙EDC,AD=DE,

???△/Br?ECD(SZS),

Z.E=^BAD=90°,DE=AD=3,CE=AB,

在RM/EC中，AE=6,AC=2V10,

???CE=VXC2—AE2=V40—36=2,

AB=CE=2；

②如圖③，延長(zhǎng)ZO到點(diǎn)G,使ZD=GD,連結(jié)CG,

F

E

BD\C

'、

G

(圖③)

由(1)知道GCD(SAS},

:.Z.G—匕BAD,AB=CG,

???乙BAD+乙CAG+LEAF=360°-^EAB-^LFAC=180°,

???NG+/-CAG+^EAF=180°,

又???ZG+"AG+乙ACG=180°,

?，?Z.EAF=Z-ACG,

EAEA/ADU+or\oFAArr+2co

???亞=就=tanZ-ABE=tan30=手，蔗=tanZ.ACF=tan30=丁

EA_FA

GC=AC'

??.△EAF^LGCA,

EFV3

GA=^

EF=*4G，

vAG=2AD=4V3,

???EF=*X4A/3=4-

故答案為：4.

19.【答案】(1)證明：???四邊形/BCD是矩形，

???乙ABC=3=90°,ABHCD,

由折疊得：/-BME=^A=90°,

???四邊形是矩形，

??.AB//EM,

???EM//CD,

???(GMD=乙CDM,

由折疊得：乙CDF=CGDF,

???Z-GMD=Z.GDF,

DG=GM；

（2）8-2V13;

20.【答案】（1）遍；AD1CF

（2）解：成立.

證明：如圖2,連接DO,

.AO_OC_4

"'DO='OF=3,

又AAOD=/.COF,

??.△AOD^COF,

...罌=槳=學(xué)=技乙OCF=〃）AD,

CrUC4

又”/LOAD+^ACO=90°,

???ZOCF+^ACO=90°,

即力。1CF.

故（1）中的結(jié)論仍然成立；

（3）解：①矩形.

證明：如圖3,連接。。，設(shè)DF與/C交點(diǎn)為M,則乙4Mo=a,

（圖3）

由(2)可知NH=90°,

一1

又?：DH=OF,0F=^DF=3,

1

???DH=”F,

”廠DH1

:.cosZ-HDF=口戶=2，

???乙HDF=60°,

-1

又「乙ODF=REDF=30。，

乙ODH=90°,

又乙DOF=AH=90°,

???四邊形OFHD是矩形.

@cos(60°—a)=3+^^.

21.【答案】(1)證明：???△ABC和都是等邊三角形，

AD=AE,AB=AC,乙DAE=ABAC=60°,

^DAE-乙BAE=Z.BAC-乙BAE,即=Z.EAC

：.AADB三AAEC(SAS)

BD=CE

(2)解：???△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，乙4BC=NACE=90。，AD=DE,AB=BC

AE=yjAD2+DE2=6AD，AC=AB2+BC2=夜/B，

AE42AD_AD

"^C~/ZAB~^B

ADAE=ABAC=45°,

^DAE-ABAE=ABAC-乙DAE,即乙DAB=Z.EAC

??.ADABEAC,

.BDAD_AD_V2

"~CE~~AE^/ZAD一不

(3)解：???△ABC和ATWE都是直角三角形，^ABC=AADE=90°,且需=器=半

???AABC八ADE,

?"E="票=需

ZDXE-乙BAE=ABAC-乙BAE,即NfMB=Z.EAC,

???ADAB八EAC,

???乙ABD=Z.ACE,

■:Z-AGC=Z-FGB,

???Z-BFC=乙CAB,

r>r

???smZ-BFC=smZ-BAC=衣,

設(shè)ZB=3k,BC=4k,則力C=y/AB2+BC2=7(3/c)2+(4/c)2=5k，

BC_4k_4

???sinzBFCAC=5k=5

22.【答案】解：【方法嘗試】證明：如圖1中，延長(zhǎng)CB交DE于T.

???四邊形/HFC是矩形,

：.￡.CAB=90°,

■:乙ABC=乙EBT,

，乙BTE=乙CAB=90°,

ACB1DE；

【類比遷移】解：①結(jié)論：CE=y/3BD,CE1BD.

理由：如圖2中，延長(zhǎng)CE交3D于點(diǎn)Q,交43于點(diǎn)O.

：.^CAE=匕BAD,

VXC=V21,AB=?XF=V3,AD=1,

..AC_AE_

9AB=AD=

△CAE?XBAD,

?嚼=籍=舊，^ACE=^ABD,

'：^AOC=乙BOQ,

：.^OQB=AOAC=90°,

：.CE=-J3BD,CE1BD；

②如圖2-1中，當(dāng)點(diǎn)D落在線段BE上時(shí)，設(shè)BD=x,

圖2T

'."EC=y[3BD,EC1BD,

EC—V3x,

BC=yjAB2+AC2=J(")2+(何＞=2夕，DE=y/AD2+AE2=Jl2+(V3)2=2-

"：BC2=EC2+BE2,

(277)2=(2+%)2+(V3x)2,

整理得，x2+x—6—0,

解得x=-3或2(負(fù)根舍棄)，

/.CE=2V3.

如圖2-2中，當(dāng)點(diǎn)E在線段BD上時(shí)，設(shè)BD=ni,則EC=遍小，BE=m-2,

圖2-2

"：BC2=BE2+EC2,

3m2+(m—2)2=28,

???租=3或一2(負(fù)根舍棄)，

?'?EC=V3m=3A/3,

綜上所述，EC的長(zhǎng)為2百或3百；

【拓展延伸】BD的最小值為畢一》,最大值為窣+?

4444

23.【答案】(1)證明：由翻折的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)可得，AB=BF=BC,ZBFE=乙4=90。,

?./.BFG=90°=ZC,

在RtABFG和RtABCG中，

..(BG—BG

?IFF=BC'

：.Rt△BFG=RtABCG(HL),

△BFG=△BCG；

(2)解：如圖，延長(zhǎng)BH,4D交于點(diǎn)Q,

設(shè)FH=CH=x,貝IJBH=6+x,

在RMBCH中，由勾股定理得，BC2+CH2=BH2,即82+/=(6+K)2,解得％=1

:.DH=DC-HC=^-,

'：AQDH==90°,乙DQH=AAQB,

：.ADQHsAAQB,

.?骼=器，即兀=：,解得DQ=當(dāng)，

力QAB8+DQ67

在RtADHQ中,由勾股定理得，HQ='即+QQ2=資,

?廠c廠”,“c7,275108

??FQ=FH+HQ=可+-2j~=

?:乙QDH=LQFE=9。。,乙DQH=^FQE,

：.ADQH八FQE,

]]88

,/=端，即蠢=備，解得"=小

~7~

Q

?>AE=EF=2，

???4E的長(zhǎng)為方

(3)證明：???/?[△Z3C為等腰三角形，LABC=90°,O為斜邊ZC的中點(diǎn),

???乙4=乙4cB=45°,OB=OA=OC,

如圖，將△B4M繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△艮4時(shí)，連接NM',CM,，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△BAM=△BAM'，BM=BM，AM=CM'，乙BCM,=匕BAM=45。，

Z-MBM=90。，

■:乙MBN=45°,

**-zM'BN=45。，

在AMBN和BN中，

(BM=BM'

9：］AMBN=^M'BN'

vBN=BN

:FMBN三AM'BN(SAS)，

：-MN=MN=OM+ON，

VzMBAf=45°,A.MBO=a,乙NBO=R,AB=g

.\OB=AB-cos45°=1,tan(a+jS)=tan45°=1,tana=^^=OM,tanS=—ON,tana+

UDUD

tanS=OM+ON,tana?tan6=OM-ON,

￡.BCM+/LACB=90。，

2

:?在RtANCM'中，由勾股定理得M,N2=CM'+CN2，

即M'N2=AM2+CN2=(1-?！?2+(1-0N)2

=2-2(0M+ON)+OM2+ON2

=2-2(0M+ON)+(OM+ONy-2OM-ON

=2-2MN+M'N2-2OM-ON

：.OM-ON=M'N，

,tana+tanSOM+ONM'N>o\

?,用閑蠢=「兩西=0=14=tan(a+/?)，

tana+tan0

/.tan(a+°)=1—tancr-tan^

24.【答案】（1）解：組1,vAB1BC,

???乙ABC=90°,

在At△