創(chuàng)新函數(shù)圖像綜合訓(xùn)練- 2024年中考數(shù)學(xué)重難點突破

專題16創(chuàng)新函數(shù)圖像綜合訓(xùn)練

P「一j沙場點兵一

3

1.某同學(xué)根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，探究了函數(shù)>=k二耳的圖像和性質(zhì)，下面是他的探究過程,

請補充完整.

3

（1）寫出函數(shù)的自變量的取值范圍

⑶在平面直角坐標(biāo)系X0V中，補全此函數(shù)的圖像;

⑷根據(jù)函數(shù)圖像，寫出函數(shù)的性質(zhì)(至少兩條).

【答案】⑴尤/2

(2)|,3

4

⑶補全圖像見解析

⑷①圖像關(guān)于x=2對稱；②圖像全部在x軸上方(答案不唯一)

【分析】(1)根據(jù)分式分母不為零列式求解即可；

3

(2)把x=-2和3分另U代入y=~大即可求得；

\x-2\

(3)畫出函數(shù)圖像即可；

(4)根據(jù)圖像得出結(jié)論.

(1)

3

解：根據(jù)分式分母不能為零可知，函數(shù)y=一大的自變量尤的取值范圍是：xr2；

I尤-21

(2)

333

解：把彳=-2,y=機代入y=V得，m=p—^=-

|X-21|-2-2|4;

33

把尤=3,y=7%代入y=~^得，n=——=3,

\x-2\|3-2|

3

故答案為：,3；

4

(3)

解：如圖所示：

(4)

解：由圖像得可得①圖像關(guān)于x=2對稱；②圖像全部在x軸上方(答案不唯一).

【我思故我在】本題考查反比例函數(shù)圖像和性質(zhì)，涉及的知識有：自變量的取值范圍、畫圖

像、熟練掌握數(shù)形結(jié)合的思想是解本題的關(guān)鍵.

2.有這樣一個問題：探究函數(shù)y=的圖象與性質(zhì)，小童根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)

的圖象與性質(zhì)進(jìn)行研究，已知當(dāng)x=2時，y=9；當(dāng)x=0時，產(chǎn)-3.下面是小童探究的過

程，請補充完整：

⑴該函數(shù)的解析式為，m=,n=

⑵根據(jù)函數(shù)圖象，下列關(guān)于函數(shù)性質(zhì)的描述正確的是;

①該函數(shù)圖象是中心對稱圖形，它的對稱中心是原點.

②該函數(shù)既無最大值也無最小值.

③在自變量的取值范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小.

⑶請結(jié)合（1）中函數(shù)圖象，直接寫出關(guān)于x的不等式主耳-2x-2N0的解集.（保留1位

x+b

小數(shù))

■田山▼/、3x+39,

【答案】(l)y=----7,6

x-15

⑵②

⑶xW-1或1CXW2.5

【分析】(1)待定系數(shù)法可求函數(shù)解析式，將(7,帆)，(3,〃)代入解析式得功，〃的值，描點、

連線畫出圖象即可；

(2)依據(jù)函數(shù)圖象，即可判斷;

(3)依據(jù)函數(shù)圖象.即可得到.

(1)

3YZ7

解：寸巴％=2,y=9；x=0,^=一3代入V=....-

x+b

6+a八

3r+3

回函數(shù)的解析式為y=(mi)；

x-l

將(-4,m)代入解析式得m=二^^=|,

(2)

由圖象可知：①該函數(shù)圖象是中心對稱圖形，它的對稱中心是(1,3),錯誤，不符合題意;

②該函數(shù)既無最大值也無最小值，正確，符合題意；

③當(dāng)X>1,或X<1時，V隨X的增大而減小，錯誤，不符合題意；

故答案為：②.本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，用描點法畫反比例函數(shù)圖象.解題

的關(guān)鍵在于數(shù)形結(jié)合.

(3)

【我思故我在】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，用描點法畫反比例函數(shù)圖象.解題的

關(guān)鍵在于數(shù)形結(jié)合，利用函數(shù)圖象獲取信息.

3.某班“數(shù)學(xué)興趣小組”對函數(shù)方/-2|x|-3的圖像和性質(zhì)進(jìn)行了探究，探究過程如下,

請補充完整：

(1)自變量x的取值范圍是全體實數(shù)，x與y的幾組對應(yīng)值如下：

_52

X-3-2-10123

~22

_7_7

0~4m-4-3-4-3~40

其中，m=.

⑵根據(jù)表中數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中描點，并畫出了函數(shù)圖像的一部分，請

畫出該函數(shù)圖像的另一部分.

⑶觀察函數(shù)圖像，寫出兩條函數(shù)的性質(zhì).—.

⑷進(jìn)一步探究函數(shù)圖像發(fā)現(xiàn)：

①函數(shù)圖像與X軸有個交點，所以對應(yīng)的方程/-2|x|-3=0有個實數(shù)根；

②方程x2-2|x|-3=-3有個實數(shù)根；

③關(guān)于x的方程/-2|x|-3=a有4個實數(shù)根時，。的取值范圍是.

【答案】(1)-3

(2)圖見解析

⑶①函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱，②當(dāng)時，y隨x的增大而增大

⑷①2,2；②3；③-4<a<-3

【分析】(1)把x=-2代入函數(shù)解釋式即可得加的值；

(2)描點、連線即可得到函數(shù)的圖像；

(3)根據(jù)函數(shù)圖像得到函數(shù)產(chǎn)Y-2|x|-3的圖像關(guān)于y軸對稱；當(dāng)時，y隨x的增大

而增大；

(4)①根據(jù)函數(shù)圖像與x軸的交點個數(shù)，即可得到結(jié)論；②根據(jù)y=V-2|x|-3的圖像與

直線y=-3的交點個數(shù)，即可得到結(jié)論；③根據(jù)函數(shù)的圖像即可得到。的取值范圍.

(1)

當(dāng)x--2時,

方(一2)2-2x|-2|-3

回加=-3,

故答案為：-3.

(2)

觀察函數(shù)圖像，可得出：①函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱，②當(dāng)x>l時，y隨x的增大而增大.

故答案為：①函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱，②當(dāng)x>l時，y隨x的增大而增大.

(4)

①觀察函數(shù)圖像可知：當(dāng)x=-3、3時，y=0,

回該函數(shù)圖像與x軸有2個交點，

即對應(yīng)的方程V-2|x|-3=0有2個實數(shù)根.

故答案為：2；2.

②觀察函數(shù)圖像可知：函數(shù)方V-2|x|-3的圖像與y=-3只有3個交點.

故答案為：3.

③觀察圖像可知:關(guān)于x的方程Y-2|x|-3=a有4個實數(shù)根時,a的取值范圍是-4<a<-3.

故答案為-4<a<-3.

【我思故我在】本題為函數(shù)圖像探究題，考查了根據(jù)函數(shù)圖像判斷函數(shù)的對稱性、增減性以

及從函數(shù)的角度解決方程問題.

4.如圖，在等腰直角三角形二ABC中，BC=8,點。從點2出發(fā)，沿2c邊運動到C,連接

AD,設(shè)3D的長為x,AD的長為九請你根據(jù)學(xué)習(xí)的變量間關(guān)系的知識進(jìn)行探究活動.

表格中機=；

(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已描出了部分圖像，請你根據(jù)補全后的上表中各組對應(yīng)值,

畫出剩下的圖像；

⑶當(dāng)天=時，y取得最小值；當(dāng)X的取值范圍是時，y<5.

【答案】(1)4.5；

(2)見解析；

(3)4,1cx<7.

【分析】(1)由等腰三角形的性質(zhì)知，當(dāng)x=2和x=6時，>的值相等；

(2)通過描點，連線即可畫出；

(3)根據(jù)函數(shù)圖像即可得到答案.

(1)

由等腰三角形的性質(zhì)知，當(dāng)x=2和x=6時，y的值相等，

?*-m=4.5,

故答案為:4.5；

(2)

由圖像知：當(dāng)x=4時，y有最小值為4,

當(dāng)l<x<7時，"5,

故答案為：4,1<%<7.

【我思故我在】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，函數(shù)圖像的性質(zhì)等知識，能利用描點法化函數(shù)

圖像時關(guān)鍵.

5.模具廠計劃生產(chǎn)面積為4,周長為m的矩形模具.對于m的取值范圍，小亮已經(jīng)能用“代

數(shù)”的方法解決，現(xiàn)在他又嘗試從"圖形"的角度進(jìn)行探究，過程如下：

(1)建立函數(shù)模型

4

設(shè)矩形相鄰兩邊的長分別為x,y,由矩形的面積為4,得盯=4,即>=—；由周長為m,得

x

2(x+y)=〃?，即尸一尤+了.滿足要求的(x,y)應(yīng)是兩個函數(shù)圖象在第象限內(nèi)交點的

坐標(biāo).

(2)畫出函數(shù)圖象

4m

函數(shù)y=—(x>0)的圖象如圖所示，而函數(shù)了=-尤+丁的圖象可由直線>=-"平移得到.請

x2

在同一直角坐標(biāo)系中直接畫出直線y=-x.

(3)平移直線>=-乙觀察函數(shù)圖象

①當(dāng)直線平移到與函數(shù)y=3(x>0)的圖象有唯一交點(2,2)時，周長m的值為；

②在直線平移過程中，交點個數(shù)還有哪些情況？請寫出交點個數(shù)及對應(yīng)的周長m的取值范

圍.

(4)得出結(jié)論

若能生產(chǎn)出面積為4的矩形模具，則周長m的取值范圍為

【答案】(1)一(2)見解析(3)①〃2=8②〃止8；(4)m＞8

【分析】(1)x,y都是邊長，因此，都是正數(shù)，即可求解；

(2)直接畫出圖象即可；

(3)①把點(2,2)代入y=-x+g即可求解；②在直線平移過程中，交點個數(shù)有：0個、1

41

個、2個三種情況，聯(lián)立＞=—和＞=-％+式并整理得：x2--/nx+4=0,即可求解；

(4)運用(3)的相關(guān)結(jié)論即可.

【詳解】解：(1)x,y都是邊長，因此，都是正數(shù)，

故點(x,y)在第一象限，

答案為：一；

(2)圖象如下所示：

(3)①把點(2,2)代入>=f+g得：

2=-2+y,解得：m=8；

②在直線平移過程中，交點個數(shù)有：0個、1個、2個三種情況，

聯(lián)立y=3和,='并整理得：x2--znx+4=0,

x22

△=Lw2-4x4Z0時，兩個函數(shù)有交點，

4

解得：m>8；

(4)由(3)得：m>8.

2

6.有這樣一個問題：探究函數(shù)'=—；-3的圖象與性質(zhì).小亮根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對函

X-1

2

數(shù)y=I-3的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究.下面是小亮的探究過程，請補充完整：

2

⑴函數(shù)y=三-3中自變量x的取值范圍是

⑵表格是夕與X的幾組對應(yīng)值.

2

X-3-2-102345

22

_7_11_7_5

-5-7m

y~2一1-4-1-2~2

直接寫出m的值___________；

⑶在平面直角坐標(biāo)系中，描出了以上表中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點，根據(jù)描出的點，畫

出該函數(shù)的圖象；

⑷根據(jù)畫出的函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)下列特征：

①該函數(shù)的圖象與直線X=1越來越靠近而永不相交，該函數(shù)的圖象還與直線越來越

靠近而永不相交.

②請再寫出此函數(shù)的一條性質(zhì)：.

2

⑸已知不等式乙+》<—；-3的解集為l<x<2或無>4,則上+6的值為.

【答案】(1)X31

(2)1

⑶見解析

(4)y=-3;y隨x的增大而減小

⑸T

(1)

由題意得：x-l^O,

解得：XH1.

故答案為*1;

(2)

、,3—

當(dāng)太=一時，m=3-3=4-3=l,

2r1

即m的值為1,

故答案為1:

(3)

圖象如圖所示:

(4)

①根據(jù)畫出的函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)下列特征：

該函數(shù)的圖象與直線x=l越來越靠近而永不相交，該函數(shù)的圖象還與直線產(chǎn)-3越來越靠近

而永不相交，

故答案為方-3.

②y隨X的增大而減小，

故答案為y隨X的增大而減??；

(5)

2

團(tuán)不等式立+匕v——--3的解集為l<x<2或x>4,

x-1

7

團(tuán)直線方Ax+6過(2,-1),(4,-§)兩點，

'2k+b=-l

團(tuán)47，

4k+b=--

I3

回人+6=——

3

故答案為-§.

【我思故我在】本題考查了函數(shù)圖象和性質(zhì)，自變量的取值范圍，畫函數(shù)圖象，函數(shù)與不等

式，熟練掌握由函數(shù)有意義的條件求自變量的取值范圍，連點成曲線畫出函數(shù)圖象，根據(jù)不

等式解集確定兩個函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)，是解題的關(guān)鍵.

7.小亮在學(xué)習(xí)中遇到這樣一個問題：

如圖，點。是弧2C上一動點，線段BC=8c〃z,點A是線段8C的中點，過點C作CF〃加,

交D4的延長線于點當(dāng)ADCR為等腰三角形時，求線段5。的長度.

小亮分析發(fā)現(xiàn)，此問題很難通過常規(guī)的推理計算徹底解決，于是嘗試結(jié)合學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗研

究此問題，請將下面的探究過程補充完整：

⑴根據(jù)點。在弧8C上的不同位置，畫出相應(yīng)的圖形，測量線段BRCAED的長度，得到

下表的幾組對應(yīng)值.

BD/cm01.02.03.04.05.06.07.08.0

CD/cm8.07.77.26.65.9a3.92.40

FD/cm8.07.46.96.56.16.06.26.78.0

操作中發(fā)現(xiàn)：

①"當(dāng)點。為弧3C的中點時，BD=5.0cm".則上中。的值是_

②"線段CF的長度無需測量即可得到”.請簡要說明理由；

（2）將線段的長度作為自變量x,CD和ED的長度都是x的函數(shù)，分別記為無。和力°，并

在平面直角坐標(biāo)系尤0y中畫出了函數(shù)%0的圖象，如圖所示.請在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)

的圖象;

（3）繼續(xù)在同一坐標(biāo)系中畫出所需的函數(shù)圖象，并結(jié)合圖象直接寫出：當(dāng)ADCP為等腰三角

形時，線段3D長度的近似值.（結(jié)果保留■位小數(shù)）.

【答案】⑴①5.0；②見解析；（2）圖象見解析；（3）圖象見解析；3.5cm或5.0cm或6.3cm；

【詳解】解：（1）①點。為弧BC的中點時，由圓的性質(zhì)可得:

AB=AC

<ABAD=ACAD,

AD=AD

盟ABDGBACD,

回CD=BD=5.0,

回。=5.0；

②團(tuán)CF//5Q,

^\ZBDA=ZCFAf

ZBDA=ZCFA

^<ZBAD=ZCAF,

AD=AF

團(tuán)團(tuán)ACF團(tuán)團(tuán)ABD,

回CF=BD,

團(tuán)線段CF的長度無需測量即可得到;

（2）函數(shù)的圖象如圖所示：

（3）由（1）知C尸=3￡＞=x,

畫出的圖象，如上圖所示，當(dāng)AZJC尸為等腰三角形時,

①CF=CD,BD為與函數(shù)圖象的交點橫坐標(biāo)，即BD=5Qcm；

（2）CF=DF,BD為與如F函數(shù)圖象的交點橫坐標(biāo)，即BD=6.3cm；

③CD=DF,BD為與%F函數(shù)圖象的交點橫坐標(biāo)，即BD=3.5cm；

綜上：當(dāng)ADC尸為等腰三角形時，線段長度的近似值為3.5cm或5.0cm或6.3cm.

【我思故我在】本題考查一次函數(shù)結(jié)合幾何的應(yīng)用，學(xué)會用描點法畫出函數(shù)圖象，熟練掌握

一次函數(shù)的性質(zhì)以及三角形全等的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.有這樣一個問題：探究函數(shù)》="邛的圖象與性質(zhì)，小童根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對函

數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行例研究，已知當(dāng)x=2時，＞=7,尤=0時，＞=-3.下面是小童探究的

過程，請補充完整：

根據(jù)圖中描出的點，畫出函數(shù)圖象.

X-4-3-20234

3j_11

ym-37n

43T

（2）根據(jù)函圖象，下列關(guān)于函數(shù)性質(zhì)的描述