2024屆高考數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)模擬卷 【全國卷（文科）】(含答案)

2024屆高考數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)模擬卷【全國卷（文科）】

學(xué)校：___________姓名：班級：考號：_

一'選擇題

1.若z(l+i)=l—5i,則三=()

A.-2-3iB._2+3iC.3-3iD，3+3i

2.設(shè)集合A={xeZ|2x2+x—6K0},3={x|0<x<2},則A(\B)=()

A.[-2,0]C.{-2,一1,0}D.{-2,-1}

3.命題“,€&]-％-120”的否定是()

A.”*GR，eX—x—1?0"B.“^ceR，eX—x—l<0"

C/X/xcR,e"-x-l<0’'D."m%eR，e*-x-l<0”

4.已知等差數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和為S”,%+%(；=%+4,則S]5=()

A.40B.60C.120D.180

5.函數(shù)/（力=釁在在［―兀,可上的大致圖象為（）

X+1

6.已知sin(q-m=Lcosasin/?=，WJcos(2a+2/?)=()

36

BC

A三i-4

7.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），其俯視圖是兩個同心圓，且小圓的內(nèi)接四

3

邊形是正方形，則該幾何體的體積等于Cm（）

MftlH

2871

A1127r11271_28%口IA

A.---------oB?---------loCr.-------o"?--------10

3333

8.已知6件產(chǎn)品中有2件次品，從中隨機(jī)抽取2件，其中恰好有1件正品的概率為（）

9.已知4=3°-4,1=(1083。)3,。=1083(1(增3。),則()

^-a>b>cB.a>c〉bC.b>c>a^c>a>b

10.將函數(shù)/(x)=2sin[@c」](0>O)的圖象向左平移△個單位得到函數(shù)y=g(x)的

I3)3a)

圖象，若尸且⑺在一工工上為增函數(shù)，則。最大值為（）

64

A-iB.2C.3D.7?

—x^+x?,xK0,

11.已知函數(shù)/（x）=｛inx若函數(shù)g（x）=/（x）-加有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)用的取

---,%>0,

值范圍是（）

M”。0：B.(e,+oo)C.(-co,0)(e,+co)D.(一8,0)',+(?]

12.已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,，數(shù)列也｝的前"項(xiàng)和為T"，且。用=S,+〃,

%=1,b“=」一,則使得7；<“恒成立的實(shí)數(shù)〃的最小值為()

4+1

37

A.lB.-C.-D.2

26

二、填空題

13.已知平面向量a=(2,4),b=(-1,2),c=a-(a-b)b,則|c|=.

14.已知圓河：/+丫2_2紗+1—4=0與圓N：f+y2—4x+3=0有3條公切線，則。

的值為.

22

15.已知雙曲線0：=一當(dāng)=1(。〉0力〉0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳，K，過點(diǎn)心的直線與

a2b~

C的右支交于A,B兩點(diǎn)，且AF{LAB^^AB的內(nèi)切圓半徑廠=；㈤回，則C的離心率為

16.已知圓錐sq的軸截面SA3為正三角形，球與圓錐sq的底面和側(cè)面都相切.設(shè)圓

錐SO］的體積、表面積分別為匕,S1,球。2的體積、表面積分別為匕，S2,則

匕&=

三、解答題

17.現(xiàn)已知甲、乙兩公司員工月薪情況統(tǒng)計(jì)如下：

甲公司

月薪范圍/千

[4,6)[6,8)[8,10)[10,12]

元

頻率0.20.40.30.1

乙公司

(1)根據(jù)上述信息，如果你是求職者，你會選擇哪一家公司？說明理由.

(2)已知甲公司員工月薪在8000—10000元的人數(shù)為300,乙公司員工月薪在8000—

10000元的人數(shù)為400,求甲、乙兩公司所有員工中，月薪不低于10000元的頻率.

(3)某獵頭公司對1000名求職者的就業(yè)意愿進(jìn)行了調(diào)查，得到如下統(tǒng)計(jì)表格：

~齡結(jié)構(gòu)

95后00后

就業(yè)意愿jj——一

選擇甲公司200250

選擇乙公司200350

根據(jù)表格，是否有99%的把握認(rèn)為“就業(yè)意愿與年齡結(jié)構(gòu)有關(guān)”？

附：K2=---------n(ad-bcY------,其中〃=0+6+o+』.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0250.0100.005

k3.8415.0246.6357.879

18.如圖，已知在三棱柱ABC-A4cl中，A^JL平面ABC,AB=A\=2,AABC

為正三角形，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)R為CG的中點(diǎn).

(1)求證：跖〃平面AB】G；

(2)求三棱錐用-AEF的體積.

19.在△ABC中，內(nèi)角A,B,。所對的邊分別是a,b,c,已知

Z?sinAcosC+asmC-cosB=^3acosA.

(1)求tanA的值；

(2)若Z?=l,c=2,ADLBC,。為垂足，求AD的長.

22i

20.設(shè)橢圓c：=+l=i（a〉6〉o）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，工，離心率e=L長軸為4,

a1b22

且過橢圓右焦點(diǎn)工的直線/與橢圓C交于”,N兩點(diǎn).

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若QM.ON=-2,其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線/的斜率；

（3）若是橢圓C經(jīng)過原點(diǎn)。的弦，且MN//A6,判斷史上是否為定值？若是定值，

\MN\

請求出，若不是定值，請說明理由.

21.設(shè)函數(shù)=+2x-a（lnx+x）.

（1）求函數(shù)〃x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若方程/（x）=c（ceR）有兩個不相等的實(shí)數(shù)根苞,々，證明:七強(qiáng)]〉。?

22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線G的參數(shù)方程為[x=2c°s。（。為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)。為

[y=2sin。

極點(diǎn)，以X軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為夕=4cos,-1].

（1）寫出曲線G的普通方程和曲線。2的直角坐標(biāo)方程；

（2）曲線G與。2交于兩點(diǎn),求直線AB的直角坐標(biāo)方程及.

23.已知/（力42%—2卜忖—3|.

（1）求不等式/（x）W5的解集；

（2）若不等式/（x）N6-3a-|x-31對任意實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

參考答案

1.答案：B

2:(1-5i)(l-i)-4-6i

解析：依題意,看=-2-3i,

(l+i)(l-i)2

所以W=—2+3i-

故選:B

2.答案：C

解析：集合A={xeZ|（2x—3）（龍+2）V0}={_2,T0,l},B={x[0<x<2},\B={x[x<0

或x22},則4&6）={-2,-1,0},故選（2.

3.答案：D

解析：根據(jù)全稱量詞命題的否定可知，

命題"VxeR，e*-x-lNO"的否定是"HxeR，e*-

故選：D.

4.答案：B

解析：由題意知：%+。10=。8+。9=“9+4，則。8=4，則幾="^^義15=15%=60.

故選：B.

5.答案：C

解析：“T）==菱當(dāng)=/（%）,“X）在[-兀,可上為偶函數(shù).

cosO

又〃0)=二1,

02+1

.??只有選項(xiàng)C的圖象符合.

故選:C.

6.答案：B

解析：因?yàn)閟in(a-/?)=sinacosG一cosasin/?=」,而cosasin’,因止匕sinacos—

362

貝Usin(o+尸)=sinacos/3+cosasin尸=一,

2i

所以cos(2a+2/?)=cos2(。+/?)=1—2sin?(a+/)=1一2x(—)2=—

故選：B.

7.答案：C

解析：圓臺的體積為匕=g(兀.J2+兀.2?+五T^)X4=3^,

設(shè)正四棱柱的底面邊長為。，

則&a=2,得0=3,則正四棱柱的體積匕=血2x4=8.

故幾何體的體積為匕-％=*-8.

故選：C.

8.答案：A

解析：由題意，設(shè)4件正品的編號分別為a,b,c,d,2件次品的編號分別為A,B,

則從這6件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件的所有情況為(a,A),(a,3),(仇A),(43),(c,A),

(c,B),(J,A),(d,B),(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),(A,B),共15

種.設(shè)恰好有1件正品為事件C則事件C包含的情況有(a,A),(a,3),("A),

Q

(b,B),(c,A),(c,B),(d,A),(d,B),共8種,則P(C)=支.故選A.

9.答案：A

0430433

解析：因?yàn)閍=3>3°=bZ?=(log3a)=(log331=0.4<0.4°=1，且0,4>0，即

10.答案：B

解析：函數(shù)/(%)=2sinjox-巴［3>0)的圖象向左平移△個單位得到函數(shù)y=g(x)的

<3J3G

圖象，

則g(%)=2sin=2sinaa,

又因?yàn)閥=g(x)在-土；上為增函數(shù)，

所以e-二

解得：a)<29故co的最大值為2.

故選：B.

11.答案：D

解析：當(dāng)時，/(x)=-x3+x2,尸(x)=-3x]x-iJwO,/(x)單調(diào)遞減；當(dāng)了>0

時，/(%)=—,r(x)JTnx,當(dāng)x=e時，/(%)=0,當(dāng)x〉e時，尸(%)<0,

XX

/(X)單調(diào)遞減，當(dāng)0<x<e時，f\x)>0,/(x)單調(diào)遞增.所以在x=e處取得極大

值，/(e)=-,并且當(dāng)0<%<1時，/(x)<0,當(dāng)x>l時，/(x)>0,作出函數(shù)/(%)的

e

大致圖象，如圖所示.

o\1/eX

則必須滿足加>工或相<0,故選D.

由圖可知g(x)=/(x)-7%只有1個零點(diǎn),

e

12.答案：C

解析：當(dāng)〃=1時，。2=。1+1=2，

當(dāng)〃之2時，a“=S?_]+n-l,

所以=S“+〃—(SAT+〃T),即，l=

n+i2冊+1，

所以*+1=2口+1),

l,n=l

則{a'+l},n>2,為等比數(shù)列,a=<

n3r-2-l,n>2?

即“之2時，4+1=32",

177

11^11^71得」.

所以1―+1+++〃2—XM

23122n-2J632n-266

13.答案：872

解析：a—(2,4),b=(—1,2),..ab=6,.'.c=(2,4)-6(-1,2)=(8,-8),.-.|c1=872.

14.答案：土收

解析：由題可得，圓M+(y-a)2=4,圓心為(0,a),半徑為2；圓

N:（x-2）~+y2=1,圓心為（2,0）,半徑為1.因?yàn)閮蓤A有3條公切線，所以兩圓外切,

故圓心距|MN|=+/=3,解得。=土6.

15.答案：叵

3

解析：由題意作出圖形，設(shè)|你|=上，則|*|=m+2a,忸國="，則忸￡|="+2”,

又因?yàn)?月，AB，所以='，

所以〃陋〃叫+?=￡，化簡得療+2am=*①

|A用+|AB|+忸娟=42：(mm++nn+2a)\2

222

在Rt△片A8中,（然了+（”）2=（耳鳥J,即（加+2a『+療=4C=4（6Z+/?）,

化簡得m2+2ma=2b?②，由①②可得〃=J2b，

在Rt△4A5中,（然）2+（皿）2=（期y,即（根+2〃）2+（根+92=（〃+2Q）2,

化筒得m2+2ma+mn—2na③，由②③可得機(jī)=2〃-垃b,

所以W-+（2a-=4（/+⑹,化簡得a（4a-3網(wǎng)=0，解得9=半，

所以離心率e=￡=、￡?兀正=姮.

a匕23

16.答案：1

解析：不妨設(shè)正三角形SAB的邊長為2,則圓錐S&的底面半徑為1,高為百，母線長為2,

所以K=^.71XI2X6=^^-7T,S1=7rxl2+7txlx2=3兀；易得球。2的半徑為，所以

4V2名=3故匕.邑

，所以片4’H9A工

17.答案：（1）選擇甲公司

（3）有99%的把握認(rèn)為“就業(yè)意愿與年齡結(jié)構(gòu)有關(guān)”

解析：（1）由題意，甲公司平均月薪的估計(jì)值

辱=02x5+0.4x7+0.3x9+0.1x11=7.6（千元）,

乙公司平均月薪的估計(jì)值

=0.1x3+0.2x5+0.3x7+0.2x9+0.15x11+0.05x13=7.5（千元）,

因?yàn)樗健慈?，所以從平均月薪收入更高的角度，?yīng)選擇甲公司.

（2）設(shè)甲公司有々人，則洶=0.3,解得々=1000.

%

設(shè)乙公司有〃2人，則---=0.2,解得〃2=2000.

〃2

則兩公司員工月薪不低于10000元的總?cè)藬?shù)為1000x0.1+2000x0.2=500,

故甲、乙兩公司所有員工中，月薪不低于10000元的頻率為空=▲.

30006

_1000X(200X350-250X200)22000

（3）由題意,K2。6.734〉6.635,

晨一450x550x400x600297

故有99%的把握認(rèn)為“就業(yè)意愿與年齡結(jié)構(gòu)有關(guān)”.

18.答案：（1）證明見解析

⑵—

3

解析：（1）證明：如圖，取8月的中點(diǎn)P,連接PE,PF.

E,P分別為AB,8瓦的中點(diǎn)，:.EPIIABX.

EPu平面ABC，A51U平面AB?,，EP〃平面人耳￡.

又P,歹分別為881,CG的中點(diǎn)，：PFHB\C[.

仁平面ABG，片。]<=平面ABC1，.?.。/〃平面4片￡.

EPPF=P,二平面EPF〃平面A4cl.

又，EFu平面EPF,〃平面A片C「

(2)連接CE.AABC為正三角形，:.CELAB.

招!平面ABC,AA]u平面A1ABB1,平面A,ABB,1平面ABC.

平面AABBj平面ABC=AB,CEu平面ABC,平面443瓦.

AB=2,.?.?！?6.又。。1〃平面445片，.?.點(diǎn)R到平面AA3g的距離為由.

故三棱錐B「AEF的體積為—.

3

19.答案：(1)tanA=g

(2)AD=1

解析：(1)因?yàn)閆?sinAcosC+asinCcosB=百acosA,

所以由正弦定理可得sin3sinAcosC+sinAsinCcosB=百sinAcosA.

因?yàn)閟inAW0,所以sinBcosC+sinCcosB=下＞cosA,

即sin(B+C)=y/3cosA.

因?yàn)锳+5+C=TI,所以sin(3+C)=sinA,

所以sinA=bcosA.則tanA=6.

(2)因?yàn)閠anZBAC=VL所以sinZBAC=且，cosZBAC=-.

22

在△ABC中，由余弦定理a2^b2+c2-2bccosABAC,

Ma2=12+22-2X1X2X-=3,即a=G.

2

由L/?csinZBAC=^a?A。，^J-xlx2x—=ix73A￡>,解得AD=1.

22222

22

20.答案：（1）土+2L=i

43

⑵±血

（3）是定值，定值為4

解析：（1）由后心率e=L長軸為4,得q=2,c=1，

2

所以》2=/一C2=3，

22

故橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為：工+匕=1.

43

（2）由（1）得橢圓的右焦點(diǎn)工的坐標(biāo)為（L。），

設(shè)直線/的方程為：y=A（x-l）,直線/與橢圓C交于兩點(diǎn)”（西,％）,9々,力），

-1

由《43得,（3+4左2）爐—8左2%+442—12=0,

y=k（x-Y）

8k2442一12

則xt+x2

3+4公3+4左2

-9k2

所以必?％=左2[石々一（玉+%2）+1]

3+442

因OMON=—2,

所以i—,即霍9k2

3+4公

解得k=±V2，

故直線/的斜率為±0.

（3）四￡是定值，理由如下,

\MN\

由（2）得：直線/的方程為:y=左（％-1）,直線/與橢圓C交于兩點(diǎn)”（國,%）,陽工2，%），

8必4k2-12

x+x

123+4左2，—3+4左2

22

則|腦V|=y/（l+k）[（xl+x2）-4xlx2]

J(1+F)K8k24左2—12

-4x

3+4左23+4左2

12(1+fc2)

―3+4左2'

由AB是橢圓C經(jīng)過原點(diǎn)。的弦，設(shè)A(m,ri),3(-加,-〃),直線AB的斜率為kAB,

貝”AB「=4m2+4",

由肱V〃AB得，左題=—=—==1,

2mm43

48(1+左2)

n\ABf=

3+4左2

48(1+/)

所以熱3+4左2

=4,為定值.

12(l+Zr2)

3+4左2

21.答案：(1)當(dāng)。<0時，函數(shù)“X)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+oo)；

當(dāng)a>0時,單調(diào)增區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間為

(2)證明見解析

解析：(1)因?yàn)?(X)=7+2x-a(lnx+x),則

/,(%)=2%+2-。+1]=少上山=且3%%>0).

kXJJCJC

當(dāng)a<0時,/'(司>0,函數(shù)在(0,抬)上單調(diào)遞增，

此時函數(shù)/(%)的單調(diào)增區(qū)間為(O,+OO).

當(dāng)。>0時，由/'(尤)>0,得x〉]油/'(九)<0,得0<x<￡,

所以函數(shù)“X)的單調(diào)增區(qū)間為+s],單調(diào)減區(qū)間為￡|?

(2)因?yàn)槲?，?是方程/(%)=。的兩個不等實(shí)根，由(1)知〃>().

2

不妨設(shè)0<%<%2,貝UM+2石-a(ln%+^)=c,x2+2%-“(in%+%2)=0，

兩式相減得k+2萬一君-2X2=⑼+aln%—ax2-aynx2=〃(再+ln%-x2-lnx2).

所以a=k+2x「君―2々.因?yàn)閞M=0,

玉+ln玉一%—In%V2J

當(dāng)X￡[°段]時,/'(X)<0,當(dāng)x￡[■|>+00)時"'(%)>0,

要證原命題成立,只需證三*〉4即可，即證明%+招>"2%-巖-2%,

22玉+lnx—ln12

即證明片_君+(%+尤2)(1nx-lnx2)<+2%-xf-