基于“運算”實質(zhì)的單元內(nèi)容進階分析及教學建議

【摘

要】運算的意義和計算的方法構(gòu)成了運算教學的核心內(nèi)容。以“整數(shù)加減法”為例，研究團隊基于運算教學實質(zhì)劃分單元教學內(nèi)容的進階層級，并提出教學建議：在幼小銜接視角下整體規(guī)劃整數(shù)加減法教學內(nèi)容；基于豐富的情境類型，有層次地引導學生多角度理解運算意義；合理安排教學單元，圍繞學生認知難點（升階點）整合教學任務?！娟P(guān)鍵詞】運算的意義；運算方法；整數(shù)加減法；學習進階數(shù)的運算有兩種含義：一是對數(shù)量關(guān)系的表達，如加法表示兩個數(shù)量的合并；二是對數(shù)的計算的操作。一般將前者稱為運算的意義，用于分析問題和解決問題；將后者稱為計算的方法，用于獲得數(shù)運算的結(jié)果。［1］在學習整數(shù)加減法時，學生一方面要判斷“解決這一問題到底是用加法還是減法”，另一方面要正確計算出結(jié)果，并體會加法與減法本質(zhì)上都是“對計數(shù)單位的操作”。因此，運算的意義、計算方法（包括算理與算法）共同構(gòu)成了運算教學內(nèi)容的整體框架。隨著問題情境越來越復雜，數(shù)的運算逐漸過渡到數(shù)量關(guān)系和問題解決。也就是說，《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標”）中提出的“數(shù)量關(guān)系”主題，實際上是運算意義和計算方法（包括算理與算法）在更高階思維上的體現(xiàn)?！罢麛?shù)加減法”內(nèi)容在幼兒園階段就已經(jīng)有所涉及，并在現(xiàn)行小學階段的教材中從一年級一直持續(xù)到三年級，是一個跨越了多個年級的教學“大單元”。對于這部分內(nèi)容，現(xiàn)行教材大多會編排7～9個教學單元，內(nèi)容較為瑣碎零散，并不利于學生結(jié)構(gòu)化思維的建立。如何分析運算內(nèi)容的進階，整體把握單元教學內(nèi)容？學生的“升階點”有哪些？在哪些地方可以實現(xiàn)教學內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化整合？下面以“整數(shù)加減法”內(nèi)容為例，對這些問題進行探討并提出教學實施建議。一、整數(shù)加減法運算意義的進階分析在小學階段，對運算意義的理解主要體現(xiàn)為能夠正確表征情境中的數(shù)量關(guān)系，從具體情境中抽象出加法、減法模型來解決問題。加減法運算意義的教學需要給學生提供不同的問題情境。1983年，卡朋特和默澤爾詳細研究了加減法應用題，并根據(jù)語義結(jié)構(gòu)將其劃分為四種類型：變化型、結(jié)合型、比較型和相等型［2］。在這四種類型中，相等型與比較型的數(shù)學結(jié)構(gòu)極為相似，故相等型的題目可以直接轉(zhuǎn)化為比較型來描述。如相等型（加法）題目“小明有5顆彈珠，如果小紅減少8顆彈珠就和小明的彈珠一樣多，小紅有多少顆彈珠”可以改變?yōu)楸容^型“小明有5顆彈珠，小紅比小明多8顆彈珠，小紅有多少顆彈珠”。又如相等型（減法）題目“小明有8顆彈珠，小紅有5顆彈珠，小紅還需要幾顆彈珠就跟小明的彈珠一樣多”可以改變?yōu)楸容^型“小明有8顆彈珠，小紅有5顆彈珠，小明比小紅多幾顆彈珠或小紅比小明少幾顆彈珠”。比較型的語義描述更符合人們的語言表達習慣，而相等型的題意表達則較為拗口。在小學數(shù)學教材中，比較型較為常見，相等型則較少，但有部分版本（如蘇教版）教材專門編排了此類型題目。1990年，卡朋特將加法、減法的情境類型進行了調(diào)整，表述為“部分—部分—整體、合并、分開和比較四個類型”［3］，其中“部分—部分—整體”對應前文中的結(jié)合型，“合并”對應前文中的變化型，同時刪減了相等型，增加了“分開”，具體如表1所示。進一步進行分析，“部分—部分—整體”是靜態(tài)的情境模型；“合并（拿來）”與“分開（拿走）”是動態(tài)的情境模型，兩者表征的都是同一個主體所擁有的物體數(shù)量的變化；“比較”涉及兩個不同主體所擁有的物體數(shù)量之間的多少關(guān)系，這種類型的題目最初可以通過“一一對應”的方式來解決，當數(shù)量變多時，再逐漸過渡到計算。四種類型的加減法情境本質(zhì)上可分為兩大類：一類是數(shù)量變化型，另一類是數(shù)量比較型。由此，整數(shù)加減法意義的結(jié)構(gòu)變得更為清晰，且四種類型都可以從現(xiàn)行各個版本教材中找到樣例。對于學生而言，加減法現(xiàn)實情境的不同類型，在理解的難度和層級上存在差異，這種難易程度或者差異就構(gòu)成了學生學習整數(shù)加減法意義時的進階水平。每一“階”都有學生學習的困難點或生長點（即“升階點”），但有的“階”跨度不大，有的“階”則跨度較大，跨度大的“階”就是教學中需要著重突破的地方。從學生認知的角度出發(fā)，學生理解相同類型加法和減法意義的難度不一定相同。例如，在加法情境中，靜態(tài)的“部分—部分—整體”是學生最容易理解的，動態(tài)的“分開”情境則是減法的最初模型?；诖耍纱笾聦⒓訙p法意義的進階劃分為五個層級，如表2所示。情境的變化會給學生理解加減法意義帶來困難。動態(tài)的“分開”在減法情境中處于第一個層級，而在加法情境中，理解起來要困難得多，明明是“拿走”的情境卻要用“合并”的思維。同樣地，在加法情境中理解起來較為容易的動態(tài)的“合并”，如果轉(zhuǎn)化為減法情境，理解起來就會有一定的難度。對于靜態(tài)的“部分—部分—整體”和“比較”，學生在進行加減法意義轉(zhuǎn)換時理解起來相對簡單。而針對動態(tài)的“合并”與“分開”，學生理解時容易混淆加減法意義，尤其是涉及情境復雜的加減混合運算問題時，理解起來就更加困難。各個版本教材的編排邏輯大體上都遵循了這樣的內(nèi)容進階路徑，但也存在一些有待改進之處。如一些有難度的、層級較高的問題情境，沒有作為例題而是作為習題呈現(xiàn)，這就導致習題與例題之間的跨度過大，給學生造成理解上的困難。因此，教師在進行教材分析時，需要整體梳理例題和習題，甚至是一些考試評價，以及測評題目的類型與進階層級，而不能只單純關(guān)注例題。二、整數(shù)加減法計算方法（含算理）的進階分析在小學階段，數(shù)的運算對象包括整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)三類。整數(shù)加減運算在所有的四則運算中是最基礎(chǔ)的，理解和計算相對容易。然而，對于低年級的學生而言，這依然存在著進階性和層級性。其中，起到關(guān)鍵作用的就是“計數(shù)單位”。一個整數(shù)的位數(shù)越多，其結(jié)構(gòu)就越復雜，運算中所涉及的計數(shù)單位就越多，運算起來也就越有難度，這也體現(xiàn)了數(shù)與運算的一致性?；谏鲜龇治?，筆者提煉出整數(shù)加減法計算方法（含算理）的三個關(guān)鍵進階變量：位數(shù)、參與運算的計數(shù)單位個數(shù)、計數(shù)單位轉(zhuǎn)化的次數(shù)。據(jù)此劃分整數(shù)加減法計算方法（含算理）的進階層級，各個教學單元涉及的層級如表3所示。一位數(shù)加減一位數(shù)處于第1個層級，這時只有一個計數(shù)單位“一”參與運算。整十（百）數(shù)加減整十（百）數(shù)時，盡管運算對象已經(jīng)進階到兩、三位數(shù)，但由于只有一個計數(shù)單位“十”或“百”參與運算，在理解的層級上并沒有太大跨越。然而同樣是兩、三位數(shù)加減，非整十、整百數(shù)的加減就有多個計數(shù)單位參與運算。如果兩個加數(shù)的位數(shù)不同，還需要根據(jù)算理判斷哪個數(shù)位上的數(shù)跟哪個數(shù)位上的數(shù)相加、減。涉及進、退位時則更為復雜，要利用相鄰計數(shù)單位的“十進”關(guān)系，或?qū)⑿挝痪酆蠟榇髥挝?，或?qū)⒋髥挝晦D(zhuǎn)化為小單位，再繼續(xù)進行計算。除整數(shù)的位數(shù)外，從算理和算法的角度看，參與運算的計數(shù)單位個數(shù)及相互轉(zhuǎn)化的次數(shù)是決定算理和算法層級的重要維度，對幾個層級的具體說明如下。層級1：只有一個計數(shù)單位參與運算。學習完“數(shù)的認識”之后，不管是幾位數(shù)，當只有一個計數(shù)單位參與運算時，在理解層面都應該隸屬于第1個層級，這樣隨著整數(shù)位數(shù)（整十、整百）的增多，算理和算法都較易進行遷移。達成這一層級目標的認知基礎(chǔ)是“數(shù)的意義”和“數(shù)的分解與組成”。層級2：多個計數(shù)單位參與運算，但不涉及相互轉(zhuǎn)化（即不進、退位）。這個層級包括兩類情況：一類是兩個加數(shù)的位數(shù)相同，另一類是兩個加數(shù)的位數(shù)不同。從算理和算法的角度看，兩個加數(shù)位數(shù)不同時更容易使學生產(chǎn)生認知上的障礙，如“哪個數(shù)跟哪個數(shù)相加、減”“豎式中哪個數(shù)位對齊”等問題，這些問題背后的算理就是位值思想。層級3：多個計數(shù)單位參與運算，涉及一次轉(zhuǎn)化。在理解“相同數(shù)位上的數(shù)相加、減”的基礎(chǔ)上，更為復雜的運算是計數(shù)單位之間的相互轉(zhuǎn)化。“滿十進一”“退一當十”背后的算理是“十進”思想，即相鄰計數(shù)單位之間的進制是“十”，每一個數(shù)位上計數(shù)單位個數(shù)“滿十”后要向高一級計數(shù)單位轉(zhuǎn)化，當數(shù)位上計數(shù)單位的個數(shù)不夠減時要轉(zhuǎn)化為低一級計數(shù)單位，以使運算能夠進行下去。理解“十進制”并在運算中熟練進行轉(zhuǎn)化應用是保證運算結(jié)果正確的重要基礎(chǔ)。層級4：多個計數(shù)單位參與運算，涉及多次轉(zhuǎn)化。在這個層級上，并沒有更多新的知識和技能，而是在前三個層級基礎(chǔ)上，在更為復雜的情境中，對整數(shù)加減法的算理與算法進行進一步遷移和靈活應用。根據(jù)以上層級劃分，具體到某個教學單元，不同版本教材的編排體系各不相同。如在“兩位數(shù)加減一、兩位數(shù)”單元，有的教材先編排兩位數(shù)加減一位數(shù)，再編排兩位數(shù)加減兩位數(shù)，有的教材則先編排兩位數(shù)加減兩位數(shù)，再編排兩位數(shù)加減一位數(shù)，以凸顯學生在“數(shù)位”上的認知沖突。又如在“整十整百數(shù)相加減”單元，有的教材將整十數(shù)相加、整百數(shù)相加單獨編排為一個課時，有的教材則將這一內(nèi)容編排在“數(shù)的認識”單元或與兩、三位數(shù)相加減內(nèi)容進行整合，或在與一位數(shù)加一位數(shù)、整十數(shù)加整十數(shù)的對比中呈現(xiàn)整百數(shù)加整百數(shù)，強調(diào)算理與算法的一致性，體現(xiàn)計數(shù)單位的不同。每套教材的編排都有一定的內(nèi)在邏輯和既定假設(shè)。不論教材怎樣編排，筆者選擇用“位數(shù)、參與運算的計數(shù)單位個數(shù)、計數(shù)單位轉(zhuǎn)化的次數(shù)”這三個進階變量來劃定進階層級，都能夠幫助教師清晰地看到零散教學內(nèi)容背后的本質(zhì)與結(jié)構(gòu)，在教學實踐中更好地進行教學決策。三、基于進階的整數(shù)加減法單元教學建議厘清整數(shù)加減法的意義和計算方法（含算理）兩個維度的內(nèi)容進階，便于對教材編寫的邏輯體系進行梳理，也便于教師能據(jù)此整體把握教學內(nèi)容，實現(xiàn)單元結(jié)構(gòu)化教學，找到學生認知的難點和生長點，系統(tǒng)化地設(shè)置單元、課時教學目標及教學任務序列。（一）在幼小銜接視角下整體規(guī)劃整數(shù)加減法教學內(nèi)容2022年版課標最主要的變化之一是加強了學段銜接，尤其注重幼小銜接，體現(xiàn)學習目標的連續(xù)性和進階性。為此，教師需要關(guān)注一年級學生在幼兒園階段學習了什么?！?～6歲兒童學習與發(fā)展指南》（以下簡稱《指南》）指出，5～6歲兒童在數(shù)學認知方面的學習目標之一是感知和理解數(shù)、量及數(shù)量關(guān)系。具體包括：1.借助實際情境和操作活動（如合并或拿?。├斫饧雍蜏p的實際意義；2.能通過實物操作或其他方法進行10以內(nèi)的加減運算。［4］52按照《指南》的要求，大多數(shù)學生在小學入學前就已經(jīng)接觸了10以內(nèi)數(shù)的認識及加減運算?！吨改稀愤€針對理解運算的意義提出了具體教學建議：通過實物操作引導幼兒理解數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，并用“加”或“減”的辦法來解決問題。如游戲中遇到讓4個小動物住進兩間房子的問題，或生活中遇到將5塊餅干分給兩個小朋友的問題時，讓幼兒嘗試用不同的分法。鼓勵幼兒嘗試自己解決生活中的數(shù)學問題。如家里來了5位客人，桌子上只有3個杯子，還需要幾個杯子。［4］54可以看出，幼兒通過幼兒園階段的學習，已經(jīng)具備豐富的運用加減法解決問題和初步分析數(shù)量關(guān)系的數(shù)學基本活動經(jīng)驗，不僅掌握了數(shù)的分與合，還接觸了比較型（或相等型）的情境問題。現(xiàn)行不同版本教材在小學一年級上冊均安排了20多個課時來教學“10以內(nèi)數(shù)的認識和加減法”這一內(nèi)容，涉及數(shù)的讀寫、組成、書寫，加減法的意義、計算等多個方面。但是在一年級的教學中，教師要考慮與學生在幼兒園階段所學習的內(nèi)容形成的經(jīng)驗的銜接性，充分利用學生學前階段的基礎(chǔ)，提升其學習效率。如可以依據(jù)《指南》對幼兒園階段的學習要求，減少“10以內(nèi)數(shù)的認識”的部分課時，從幼兒園階段側(cè)重活動經(jīng)驗的積累過渡到小學階段對寫數(shù)、列式計算（符號表征運算意義）等方面的練習鞏固，并為涉及“十進”“位值”等數(shù)學思想的“11～20各數(shù)的認識和加減法”單元教學適當增加課時，以體現(xiàn)學段之間的進階性。（二）基于豐富的情境類型，有層次地引導學生多角度理解運算意義理解加減法的意義，主要依賴具體的現(xiàn)實情境。如果學生能夠正確判斷在何種情境下用加法解決問題，何種情況下用減法解決問題，即表明學生能夠理解并區(qū)分加減法的意義。在現(xiàn)行不同版本教材中，加減法意義的現(xiàn)實情境非常豐富，從情境表征方式上看，有文字、圖片（包括現(xiàn)實情境和數(shù)學情境）等不同形式。豐富的情境和表征方式一方面能夠幫助學生從多個角度鞏固和加深對運算意義的理解，另一方面也會讓學生眼花繚亂，造成理解上的困難。因此，教材在編寫時應分散認知難點；教師在教學時也應在厘清內(nèi)容進階的基礎(chǔ)上，準確診斷學生的進階點和生長點，在進階層級較高的內(nèi)容上多下功夫。2022年版課標在第一學段的學業(yè)要求中指出，在數(shù)與運算內(nèi)容中，學生要能夠描述加減運算的意義，知道減法是加法的逆運算。對于運算的意義而言，理解“減法是加法的逆運算”較容易的情境是“部分—部分—整體”型和“比較”型。在“部分—部分—整體”型情境中，“左手有3支鉛筆，右手有2支鉛筆，求一共有幾支鉛筆”這樣的題目用加法運算，相應地，“一共有5支鉛筆，左手有2支鉛筆，求右手有幾支鉛筆”則用減法運算。在“比較”型情境中，“小紅有12個蘋果，小明比小紅多3個蘋果，小明有幾個蘋果”用加法，相應地，“小明有15個蘋果，小紅比小明少3個蘋果，小紅有幾個蘋果”用減法。在動態(tài)的“合并”與“分開”類型中，加法的“合并”與減法的“分開”較容易理解，即“拿來”用加法，“拿走”用減法，但是加法的“分開”類型如“有一些小紅花，拿走了7朵，現(xiàn)在還剩6朵，原來有幾朵小紅花”，以及減法的“合并”類型如“小紅有3輛玩具車，她要再拿來幾輛才能有9輛玩具車”，這兩類問題用算術(shù)思維來理解題意有一定難度，而用代數(shù)思維，列方程解決問題更便捷。因此，教師一方面要通過直觀操作、課件演示或語義表達、情境創(chuàng)編等多種方式引導學生理解加減法意義；另一方面要利用加法的“分開”類型和減法的“合并”類型，有意識地發(fā)展學生的代數(shù)思維，為后續(xù)學習奠定基礎(chǔ)。（三）合理安排教學單元，圍繞學生認知難點（升階點）整合教學任務由于已經(jīng)有了幼兒園階段的學習經(jīng)驗，在借助現(xiàn)實情境（計算中提供的數(shù)據(jù)?。W習加減法的意義時，很多學生一眼就能看出計算結(jié)果。因此，在運算意義的學習中，教師可以根據(jù)表2中的進階層級具體劃分單元課時，層級1、層級2可以整合為一個課時，即在學