2024屆寧波市重點(diǎn)中學(xué)高一下數(shù)學(xué)期末調(diào)研模擬試題含解析

2024屆寧波市重點(diǎn)中學(xué)高一下數(shù)學(xué)期末調(diào)研模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知，，且，，則的值為（）A． B．1 C． D．2．空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B．C． D．3．已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則（）A．2019 B．1010 C．2018 D．10114．若且，則下列不等式成立的是()A． B． C． D．5．已知向量，且，則的值為（）A．1 B．3 C．1或3 D．46．用輾轉(zhuǎn)相除法，計(jì)算56和264的最大公約數(shù)是()．A．7 B．8 C．9 D．67．某學(xué)校隨機(jī)抽取20個(gè)班，調(diào)查各班中有網(wǎng)上購物經(jīng)歷的人數(shù)，所得數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示．以組距為5將數(shù)據(jù)分組成[0，5），[5，10），…，[30，35），[35，40]時(shí)，所作的頻率分布直方圖是（）A． B．C． D．8．函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，得到函數(shù)的圖象，若為偶函數(shù)，則的值為（）A． B． C． D．9．在等差數(shù)列中，若，則（）A．10 B．15 C．20 D．2510．已知直線3x?y+1=0的傾斜角為α，則A． B．C．? D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若，則在，，…，中，滿足的的個(gè)數(shù)為______.12．記，則函數(shù)的最小值為__________．13．設(shè)x、y滿足約束條件，則的取值范圍是______.14．在ΔABC中，a比c長4，b比c長2，且最大角的余弦值是-12，則15．如圖，正方形中，分別為邊上點(diǎn)，且，，則________.16．已知等比數(shù)列中，，，則該等比數(shù)列的公比的值是______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在中，角的對邊分別為，已知.（1）求角；（2）若的面積為，求在上的投影.18．在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，圓的圓心為，半徑為2.（Ⅰ）若，直線經(jīng)過點(diǎn)交圓于、兩點(diǎn)，且，求直線的方程；（Ⅱ）若圓上存在點(diǎn)滿足，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．已知向量=,=,=,為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）若△為直角三角形，且∠為直角，求實(shí)數(shù)的值；（2）若點(diǎn)、、能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)應(yīng)滿足的條件.20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2⑴若圓E的半徑為2，圓E與x軸相切且與圓C外切，求圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；⑵若過原點(diǎn)O的直線l與圓C相交于A,B兩點(diǎn)，且OA=AB，求直線l的方程．21．在數(shù)列中，，.（1）分別計(jì)算，，的值；（2）由（1）猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

由已知求出，的值，再由，展開兩角差的余弦求解，即可得答案．【詳解】由，，且，，，，∴，∴，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查兩角和與差的余弦、倍角公式，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意“拆角配角”思想的運(yùn)用.2、A【解析】

關(guān)于軸對稱，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)、豎坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)．【詳解】關(guān)于軸對稱的兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)、豎坐標(biāo)均互為相反數(shù)．所以點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查空間平面直角坐標(biāo)系，考查關(guān)于坐標(biāo)軸、坐標(biāo)平面對稱的問題．屬于基礎(chǔ)題．3、A【解析】

利用基本元的思想，將已知條件轉(zhuǎn)化為和的形式，列方程組，解方程組求得，進(jìn)而求得的值.【詳解】由于數(shù)列是等差數(shù)列，故，解得，故.故選：A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式的基本量計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

利用不等式的性質(zhì)對四個(gè)選項(xiàng)逐一判斷.【詳解】選項(xiàng)A:，符合，但不等式不成立，故本選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；選項(xiàng)B:當(dāng)符合已知條件，但零沒有倒數(shù)，故不成立，故本選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；選項(xiàng)C:當(dāng)時(shí)，不成立，故本選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；選項(xiàng)D:因?yàn)?，所以根?jù)不等式的性質(zhì)，由能推出，故本選項(xiàng)是正確的，因此本題選D.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，結(jié)合不等式的性質(zhì)，舉特例是解決這類問題的常見方法.5、B【解析】

先求出，再利用向量垂直的坐標(biāo)表示得到關(guān)于的方程，從而求出.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，則，解得所以答案選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

根據(jù)輾轉(zhuǎn)相除法計(jì)算最大公約數(shù).【詳解】因?yàn)樗宰畲蠊s數(shù)是8，選B.【點(diǎn)睛】本題考查輾轉(zhuǎn)相除法，考查基本求解能力.7、A【解析】由于頻率分布直方圖的組距為5，去掉C、D，又[0,5)，[5,10)兩組各一人，去掉B，應(yīng)選A．8、B【解析】f（x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）的圖象向左平移φ（0＜φ＜）個(gè)單位，得到g（x）=2sin（2x-2φ﹣）．為偶函數(shù)，故得到，故得到2sin（-2φ﹣）=-2或2，．因?yàn)椋实玫?，k=-1,的值為.故答案為B．9、C【解析】

設(shè)等差數(shù)列的公差為，得到，又由，代入即可求解，得到答案.【詳解】由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，又由，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了計(jì)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題，.10、A【解析】

由題意利用直線的傾斜角和斜率求出tanα的值，再利用三角恒等變換，求出要求式子的值．【詳解】直線3x-y+1=0的傾斜角為α，∴tanα=3，

∴，

故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的傾斜角和斜率，三角恒等變換，屬于中檔題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1【解析】

運(yùn)用周期公式，求得，運(yùn)用誘導(dǎo)公式及三角恒等變換，化簡可得，即可得到滿足條件的的值．【詳解】解：，可得周期，，則滿足的的個(gè)數(shù)為．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的周期性及應(yīng)用，考查三角函數(shù)的化簡和求值，以及運(yùn)算能力，屬于中檔題．12、4【解析】

利用求解.【詳解】，當(dāng)時(shí)，等號成立.故答案為：4【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對值不等式求最值，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.13、【解析】

由約束條件可得可行域，將問題轉(zhuǎn)化為在軸截距取值范圍的求解；通過直線平移可確定的最值點(diǎn)，代入點(diǎn)的坐標(biāo)可求得最值，進(jìn)而得到取值范圍.【詳解】由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示：將的取值范圍轉(zhuǎn)化為在軸截距的取值范圍問題由平移可知，當(dāng)過圖中兩點(diǎn)時(shí)，在軸截距取得最大和最小值，，的取值范圍為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃中的取值范圍問題的求解，關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化成直線在軸截距的取值范圍的求解問題，通過數(shù)形結(jié)合的方式可求得結(jié)果.14、15【解析】

由a比c長4，b比c長2，用c表示出a與b，可得出a為最大邊，即A為最大角，可得出cosA的值，由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)，同時(shí)利用余弦定理表示出cosA，將表示出的a與b代入，并根據(jù)最大角的余弦值，得到關(guān)于c的方程，求出方程的解得到c的值，然后由b，c及sinA的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．【詳解】根據(jù)題意得：a=c+4，b=c+2，則a為最長邊，∴A為最大角，又cosA=-12，且∴A=120cos整理得：c2-c-6=0，即(c?3)(解得：c=3或c=?2(舍去)，∴a=3+4=7，b=3+2=5，則△ABC的面積S=12bcsinA=15故答案為：153【點(diǎn)睛】余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）a2=b2+15、（或）【解析】

先設(shè)，根據(jù)題意得到，再由兩角和的正切公式求出，得到，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)，則所以，所以，因此.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換的應(yīng)用，熟記公式即可，屬于?？碱}型.16、【解析】

根據(jù)等比通項(xiàng)公式即可求解【詳解】故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列公比的求解，屬于基礎(chǔ)題三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）當(dāng)時(shí)，在上的投影為；當(dāng)時(shí)，在上的投影為.【解析】

（1）由已知條件，結(jié)合正弦定理，求得，即可求得C的大??；（2）由已知條件，結(jié)合三角形的面積公式及余弦定理，求得的值，再由向量的數(shù)量積的運(yùn)算，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理知，即，又，所以，所以，在中，，所以，又，所以；?）在中，由余弦定理得，由，即，因此，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，在上的投影為；當(dāng)時(shí)，在上的投影為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式的應(yīng)用，其中在解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要抓住題設(shè)條件和利用某個(gè)定理的信息，合理應(yīng)用正弦定理和余弦定理求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.18、（Ⅰ）或.（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）勾股定理求出圓心到直線的距離d，利用d=1以直線的斜率存在、不存在兩種情況進(jìn)行分類討論；（Ⅱ）設(shè)，由求出x、y滿足的關(guān)系式，可得點(diǎn)在圓上，推出圓與圓有公共點(diǎn)，所以，列出不等式求解即可.【詳解】（Ⅰ）當(dāng)，圓心為，圓的方程為，設(shè)圓心到直線的距離為，則.①若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，，解得，此時(shí)的方程為，即.②若直線的斜率不存在，直線的方程為，驗(yàn)證滿足，符合題意.綜上所述，直線的方程為或.（Ⅱ）設(shè)，則，于是由得，即，所以點(diǎn)在圓上，又點(diǎn)在圓上，故圓與圓有公共點(diǎn)，即,于是，解得，因此實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，向量的數(shù)量積，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系求參數(shù)，屬于中檔題.19、（1）；（2）【解析】

（1）利用向量的運(yùn)算法則求出，，再利用向量垂直的充要條件列出方程求出m；（2）由題意得A，B，C三點(diǎn)不共線，則與不共線，列出關(guān)于m的不等式即可．【詳解】（1）因?yàn)?，=，=，所以，，若△ABC為直角三角形，且∠A為直角，則，∴3（2﹣m）+（1﹣m）＝0，解得．（2）若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則這三點(diǎn)不共線，即與不共線，得3（1﹣m）≠2﹣m，∴實(shí)數(shù)時(shí)，滿足條件．【點(diǎn)睛】本題考查向量垂直、向量共線的充要條件、利用向量共線解決三點(diǎn)共線、三點(diǎn)不共線等問題，屬于基礎(chǔ)題．20、(1)(x+3)2+(y-2)2【解析】

（1）設(shè)出圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2，由圓E與x軸相切，可得b=r，由圓E與圓C外切，可得兩圓心距等于半徑之和，由此解出（2）法一：設(shè)出A點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0)，根據(jù)OA=AB，可得到點(diǎn)B坐標(biāo)，把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入圓法二：設(shè)AB的中點(diǎn)為M，連結(jié)CM，CA，設(shè)出直線l的方程，由題求出CM的長，利用點(diǎn)到直線的距離即可得求出k值，從而得到直線l的方程【詳解】⑴設(shè)圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2因?yàn)閳AE的半徑為2，與x軸相切，所以b=2因?yàn)閳AE與圓C外切所以EC=3，即a由①②解得a=±3,b=2故圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+3)2+⑵方法一;設(shè)A(因?yàn)镺A=AB，所以A為OB的中點(diǎn)，從而B(2因?yàn)锳，B都在圓C上所以x解得x0=-故直線l的方程為：y=±方法二：設(shè)AB的中點(diǎn)為M，連結(jié)CM，CA設(shè)AM=t，CM=d因?yàn)镺A=AB，所以O(shè)M=3t在RtΔACM中，d2在RtΔOCM中，d2由③④解得d=由題可知直線l的斜率一定存在，設(shè)直線l的方程為y=kx則d=2k故直線l的方程為y=±【點(diǎn)睛】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與直線方程，解題關(guān)鍵是設(shè)出方程，找出關(guān)系式，屬于中檔題。21、(1),；

(2),證明見解析【