2023-2024學(xué)年天津市十二重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年天津市十二重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知函數(shù)的圖像如圖所示，則和分別是（）A． B． C． D．2．函數(shù)的圖象（）A．關(guān)于點(diǎn)（－，0）對(duì)稱 B．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 C．關(guān)于y軸對(duì)稱 D．關(guān)于直線x=對(duì)稱3．已知扇形的半徑為，圓心角為，則該扇形的面積為（）A． B． C． D．4．某中學(xué)初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，根據(jù)下列頻率分布條形圖（部分）可知，該校女教師的人數(shù)為（）A．93 B．123 C．137 D．1675．已知向量，，則向量的夾角的余弦值為（）A． B． C． D．6．在等比數(shù)列中，，，則等于（）A．256 B．-256 C．128 D．-1287．已知，則的值等于（）A． B． C． D．8．在正方體中，為棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正切值為A． B． C． D．9．從三件正品、一件次品中隨機(jī)取出兩件，則取出的產(chǎn)品全是正品的概率是（）A． B． C． D．10．已知直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，則的斜率為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在四面體中，平面ABC，，若四面體ABCD的外接球的表面積為，則四面體ABCD的體積為_(kāi)______．12．如圖是一個(gè)算法流程圖.若輸出的值為4，則輸入的值為_(kāi)_____________.13．函數(shù)在的值域是______________.14．如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為3，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為_(kāi)____．15．設(shè)向量，，______.16．的值為_(kāi)__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．如圖，四棱錐P－ABCD的底面是矩形，側(cè)面PAD是正三角形，且側(cè)面PAD⊥底面ABCD，E為側(cè)棱PD的中點(diǎn)．（1）求證：PB//平面EAC；（2）求證：AE⊥平面PCD；（3）當(dāng)為何值時(shí)，PB⊥AC？18．設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若，求函數(shù)的值域.19．如圖，在中，，D是BC邊上的一點(diǎn)，，，.（1）求的大小；（2）求邊的長(zhǎng).20．△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為，已知△ABC面積為.（1）求角C；（2）若D為AB中點(diǎn)，且c=2，求CD的最大值.21．已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，其始邊與軸正半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)，若，且.（1）求的值；（2）求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

通過(guò)識(shí)別圖像，先求，再求周期，將代入求即可【詳解】由圖可知：，，將代入得，又，，故故選C【點(diǎn)睛】本題考查通過(guò)三角函數(shù)識(shí)圖求解解析式，屬于基礎(chǔ)題2、A【解析】

關(guān)于點(diǎn)（－，0）對(duì)稱，選A.3、A【解析】

化圓心角為弧度值，再由扇形面積公式求解即可．【詳解】扇形的半徑為，圓心角為，即，該扇形的面積為，故選．【點(diǎn)睛】本題主要考查扇形的面積公式的應(yīng)用．4、C【解析】.5、C【解析】

先求出向量，再根據(jù)向量的數(shù)量積求出夾角的余弦值．【詳解】∵，∴．設(shè)向量的夾角為，則．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算和向量夾角的求法，解題的關(guān)鍵是求出向量的坐標(biāo)，然后根據(jù)數(shù)量積的定義求解，注意計(jì)算的準(zhǔn)確性，屬于基礎(chǔ)題．6、A【解析】

先設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題中條件求出，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，所以，因?故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的基本量的計(jì)算，熟記通項(xiàng)公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.7、B【解析】．8、C【解析】

利用正方體中，，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求共面直線與所成角的正切值，在中進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】在正方體中，，所以異面直線與所成角為，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為，則由為棱的中點(diǎn)，可得，所以，則.故選C.【點(diǎn)睛】求異面直線所成角主要有以下兩種方法：（1）幾何法：①平移兩直線中的一條或兩條，到一個(gè)平面中；②利用邊角關(guān)系，找到（或構(gòu)造）所求角所在的三角形；③求出三邊或三邊比例關(guān)系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求兩直線的方向向量；②求兩向量夾角的余弦；③因?yàn)橹本€夾角為銳角，所以②對(duì)應(yīng)的余弦取絕對(duì)值即為直線所成角的余弦值.9、B【解析】

利用古典概型概率公式求解即可.【詳解】設(shè)三件正品分別記為，一件次品記為則從三件正品、一件次品中隨機(jī)取出兩件，取出的產(chǎn)品可能為，共6種情況，其中取出的產(chǎn)品全是正品的有3種所以產(chǎn)品全是正品的概率故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用古典概型概率公式計(jì)算概率，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

直接代入兩點(diǎn)的斜率公式，計(jì)算即可得出答案。【詳解】故選A【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)的斜率公式，屬于基礎(chǔ)題。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

設(shè),再根據(jù)外接球的直徑與和底面外接圓的一條直徑構(gòu)成直角三角形求解進(jìn)而求得體積即可.【詳解】設(shè),底面外接圓直徑為.易得底面是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形.則由正弦定理得.又外接球的直徑與和底面外接圓的一條直徑構(gòu)成直角三角形有.又外接球的表面積為,即.解得.故四面體體積為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了側(cè)棱垂直于底面的四面體的外接球問(wèn)題.需要根據(jù)題意建立底面三角形外接圓的直徑和三棱錐的高與外接球直徑的關(guān)系再求解.屬于中檔題.12、-1【解析】

對(duì)的范圍分類，利用流程圖列方程即可得解．【詳解】當(dāng)時(shí)，由流程圖得：令，解得：，滿足題意．當(dāng)時(shí)，由流程圖得：令，解得：，不滿足題意．故輸入的值為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了流程圖知識(shí)，考查分類思想及方程思想，屬于基礎(chǔ)題．13、【解析】

利用，即可得出．【詳解】解：由已知，，又

，

故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了反三角函數(shù)的求值、單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．14、【解析】

該多面體為正八面體，將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)正四棱錐，通過(guò)計(jì)算兩個(gè)正四棱錐的體積計(jì)算出正八面體的體積.【詳解】以正方體所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體為正八面體，也可以看作是兩個(gè)正四棱錐的組合體，每一個(gè)正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)均為．則其中一個(gè)正四棱錐的高為h．∴該多面體的體積V．故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查正八面體、正四棱錐體積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

利用向量夾角的坐標(biāo)公式即可計(jì)算.【詳解】.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量夾角公式的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于容易題.16、【解析】

=三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【解析】

1）連結(jié)BD交AC于O，連結(jié)EO,由EO//PB可證PB//平面EA．（2）由側(cè)面PAD⊥底面ABCD，，可證，又PAD是正三角形，所以AE⊥平面PCD．（3）設(shè)N為AD中點(diǎn)，連接PN，則，可證PN⊥底面ABCD，所以要使PB⊥AC，只需NB⊥AC，由相似三角形可求得比值．【詳解】（1）連結(jié)BD交AC于O，連結(jié)EO,因?yàn)镺，E分別為BD.PD的中點(diǎn),所以EO//PB,,所以PB//平面EAC．（2）正三角形PAD中，E為PD的中點(diǎn)，所以，，又，所以，AE⊥平面PCD．（3）設(shè)N為AD中點(diǎn)，連接PN，則．又面PAD⊥底面ABCD，所以，PN⊥底面ABCD．所以，NB為PB在面ABCD上的射影．要使PB⊥AC，只需NB⊥AC，在矩形ABCD中，設(shè)AD＝1，AB＝x,由,得∽，解之得：,所以，當(dāng)時(shí)，PB⊥AC．【點(diǎn)睛】本題綜合考查線面平行的判定，線面垂直的判定，及探索性問(wèn)題找異面直線垂直，第三問(wèn)難度較大，需要把異面直線垂直轉(zhuǎn)化為射影垂直，即共面垂直問(wèn)題．18、（1）；（2）.【解析】分析：（1）由二倍角公式將表達(dá)式化一得到，，令，得到單調(diào)區(qū)間；（2）時(shí)，，根據(jù)第一問(wèn)的表達(dá)式得到值域.詳解：（1）由令得：所以，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（2）當(dāng)時(shí)，所以，函數(shù)的值域是：.點(diǎn)睛：本題求最值利用三角函數(shù)輔助角公式將函數(shù)化為的形式，利用三角函數(shù)的圖像特點(diǎn)得到函數(shù)的值域.19、（1）（2）【解析】

（1）在中，由余弦定理運(yùn)算即可；（2）在中，由正弦定理運(yùn)算即可.【詳解】解：（1）在中，，，，由余弦定理可得,又，即；（2）由（1）得，在中，，，由正弦定理可得：，即.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.20、（1）（2）【解析】

（1）根據(jù)，由正弦定理化角為邊，得，再根據(jù)余弦定理即可求出角C；（2）由余弦定理可得，又，結(jié)合基本不等式可求得．由中點(diǎn)公式的向量式得，再利用數(shù)量積的運(yùn)算，即可求出的最大值．【詳解】（1）依題意得，，由正弦定理得，，即，由余弦定理得，，又因?yàn)椋?（2）∵，，∴，即．∵為中點(diǎn)，所以，∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以的最大值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用正、余弦定理解三角形，以及利用中點(diǎn)公式的向量式結(jié)合基本不等式解決