浙江省中考數(shù)學總復習第五章基本圖形(二)第27講圖形與變換第1課時圖形軸對稱與中心對稱講解篇

第27講圖形與變換第1課時圖形軸對稱與中心對稱1．軸對稱與軸對稱圖形考試內容考試要求軸對稱軸對稱圖形a定義把一個圖形沿某一條直線折疊，如果能夠與另一個圖形，那么就說這兩個圖形成軸對稱，這條直線就是，兩個圖形的對應點叫做對稱點．如果一個圖形沿某條直線對折，對折的兩部分能夠完全，那么就稱這樣的圖形為軸對稱圖形，這條直線叫做這個圖形的．區(qū)別軸對稱是指兩個全等圖形之間的相互位置關系．軸對稱圖形是指具有特殊形狀的一個圖形．軸對稱的性質1.對稱點的連線被對稱軸____________________；2．對應線段____________________；3．對應線段或延長線段的交點在____________________上；4．成軸對稱的兩個圖形．c2.中心對稱與中心對稱圖形考試內容考試要求中心對稱中心對稱圖形a定義把一個圖形繞著一點旋轉后，如果與另一個圖形重合，那么這兩個圖形成中心對稱，這個點叫做其對稱中心，旋轉前后重合的點叫做對稱點．把一個圖形繞著某點旋轉后，能與其自身重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做．區(qū)別中心對稱是指兩個全等圖形之間的相互位置關系．中心對稱圖形是指具有特殊形狀的一個圖形．中心對稱的性質1.中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經過____________________，而且被對稱中心____________________；2．成中心對稱的兩個圖形．c考試內容考試要求基本思想轉化思想：有關幾條線段之和最短的問題，都是把它們轉化到同一條直線上，然后利用“兩點之間線段最短”來解決．c(2016·紹興)我國傳統(tǒng)建筑中，窗框(如圖1)的圖案玲瓏剔透、千變萬化，窗框一部分如圖2，它是一個軸對稱圖形，其對稱軸有()A．1條B．2條C．3條D．4條2．(2016·湖州)為了迎接杭州G20峰會，某校開展了設計“YJG20”圖標的活動，下列圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是()(2017·衢州)如圖，矩形紙片ABCD中，AB＝4，BC＝6，將△ABC沿AC折疊，使點B落在點E處，CE交AD于點F，則DF的長等于()A.eq\f(3,5)B.eq\f(5,3)C.eq\f(7,3)D.eq\f(5,4)4．(2017·麗水)如圖，由6個小正方形組成的2×3網格中，任意選取5個小正方形并涂黑，則黑色部分的圖形是軸對稱圖形的概率是____________________．【問題】給出下列圖形．(1)這些圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是________；(2)畫出平行四邊形ABCD關于DC所在直線對稱的平行四邊形A1B1C1D1；(3)通過(1)、(2)解題體驗，你想到哪些知識和方法？【歸納】通過開放式問題，歸納、疏理軸對稱圖形和中心對稱圖形；軸對稱和中心對稱以及畫圖．類型一軸對稱與軸對稱圖形、中心對稱與中心對稱圖形eq\a\vs4\al(例1)(1)(2015·無錫)下列圖形中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是()A．等邊三角形B．平行四邊形C．矩形D．圓(2)(2017·山東模擬)如圖，四邊形ABCD是菱形，O是兩條對角線的交點，過O點的三條直線將菱形分成陰影和空白部分．當菱形的兩條對角線的長分別為6和8時，則陰影部分的面積為________．【解后感悟】(1)軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，兩邊圖形折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后重合；(2)解答的關鍵是菱形是中心對稱圖形，并判斷出陰影部分的面積等于菱形的面積的一半．(1)如圖，△ABC中，AB＝AC，△ABC與△FEC關于點C成中心對稱，連結AE，BF，當∠ACB為________度時，四邊形ABFE為矩形()A．90°B．30°C．60°D．45°(2015·陽谷模擬)若∠AOB＝45°，P是∠AOB內一點，分別作點P關于直線OA、OB的對稱點P1，P2，連結OP1，OP2，則下列結論最準確的是()A．OP1⊥OP2B．OP1＝OP2C．OP1≠OP2D．OP1⊥OP2且OP1＝OP2(2017·溫州模擬)如圖，在正方形方格中，陰影部分是涂黑7個小正方形所形成的圖案，再將方格內空白的一個小正方形涂黑，使得到的新圖案成為一個軸對稱圖形的涂法有種．類型二網格、平面直角坐標系中的圖形變換eq\a\vs4\al(例2)如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點都在格點上，點A的坐標為(2，4)，請解答下列問題：(1)畫出△ABC關于x軸對稱的△A1B1C1，并寫出點A1的坐標；(2)畫出△A1B1C1繞原點O旋轉180°后得到的△A2B2C2，并寫出點A2的坐標．【解后感悟】本題運用圖形的軸對稱變換及旋轉變換．解答此類題目的關鍵是掌握旋轉的特點，然后根據(jù)題意找到各點的對應點，然后順次連結即可．2．(1)(2015·杭州模擬)如下圖均為2×2的正方形網格，每個小正形的邊長均為1，請分別在四個圖中各畫出一個與△ABC成軸對稱、頂點在格點上，且位置不同的三角形．(2)(2017·寧波)在4×4的方格中，△ABC的三個頂點都在格點上．①在圖1中畫出與△ABC成軸對稱且與△ABC有公共邊的格點三角形(畫出一個即可)；②將圖2中的△ABC繞著點C按順時針方向旋轉90°，畫出經旋轉后的三角形．(3)(2015·南昌)如圖，正方形ABCD與正方形A1B1C1D1關于某點中心對稱，已知A，D1，D三點的坐標分別是(0，4)，(0，3)，(0，2)．(1)求對稱中心的坐標；(2)寫出頂點B，C，B1，C1的坐標．類型三軸對稱變換解決折疊問題eq\a\vs4\al(例3)(1)(2016·齊齊哈爾)如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A＝60°，點M是AD邊的中點，連結MC，將菱形ABCD翻折，使點A落在線段CM上的點E處，折痕交AB于點N，則線段EC的長為.【解后感悟】此題運用菱形的性質以及銳角三角函數(shù)關系等知識，解題的關鍵是從題目中抽象出直角三角形．(2)如圖，在?ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊DC，AB上，DE＝BF，把平行四邊形沿直線EF折疊，使得點B，C分別落在點B′，C′處，線段EC′與線段AF交于點G，連結DG，B′G.求證：①∠1＝∠2；②DG＝B′G.【解后感悟】本題運用軸對稱的性質、平行四邊形的性質、全等三角形的證明等知識，首先折疊問題是一種常見題型，折疊前后的兩個圖形對應邊、對應角相等，也就是說折疊變換就是全等變換．另外本題考查了一種常見的解題思路，證明兩條線段相等或兩個角相等，可以證明它們所在的兩個三角形全等．(1)(2015·莆田)數(shù)學興趣小組開展以下折紙活動：①對折矩形ABCD，使AD和BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；②再一次折疊紙片，使點A落在EF上，并使折痕經過點B，得到折痕BM，同時得到線段BN.觀察，探究可以得到∠ABM的度數(shù)是()A．25°B．30°C．36°D．45°(2016·河南)如圖，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3.點E為射線BC上一個動點，連結AE，將△ABE沿AE折疊，點B落在點B′處，過點B′作AD的垂線，分別交AD，BC于點M，N.當點B′為線段MN的三等分點時，BE的長為.類型四軸對稱變換解決最小值問題eq\a\vs4\al(例4)(2015·內江)如圖，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內，在對角線AC上有一點P，使PD＋PE最小，則這個最小值為()A.eq\r(3)B．2eq\r(3)C．2eq\r(6)D.eq\r(6)【解后感悟】此題主要運用了軸對稱求最短路線以及正方形、等邊三角形的性質，把線段PD與PE長度之和轉化為兩點之間線段最短是解題關鍵．4．(2016·百色)如圖，正△ABC的邊長為2，過點B的直線l⊥AB，且△ABC與△A′BC′關于直線l對稱，D為線段BC′上一動點，則AD＋CD的最小值是()A．4B．3eq\r(2)C．2eq\r(3)D．2＋eq\r(3)【探索研究題】(2017·臺州)如圖，矩形EFGH四個頂點分別在菱形ABCD的四條邊上，BE＝BF，將△AEH，△CFG分別沿邊EH，F(xiàn)G折疊，當重疊部分為菱形且面積是菱形ABCD面積的eq\f(1,16)時，則eq\f(AE,EB)為()A.eq\f(5,3)B．2C.eq\f(5,2)D．4【方法與對策】利用菱形的翻折變換(折疊問題)為背景給出問題的信息，借助基本圖形，即陰影部分是菱形，揭示數(shù)量關系，設AB＝4y，BE＝x，從而得出陰影部分邊長為4y－2x，再由重疊部分面積是菱形ABCD面積的eq\f(1,16)，可得陰影部分邊長為eq\f(AB,4)＝y(tǒng)，根據(jù)4y－2x＝y(tǒng)，求出x，從而得出答案．【對稱圖形的概念理解不透】以下圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是()A．等邊三角形B．矩形C．等腰梯形D．平行四邊形參考答案第27講圖形與變換第1課時圖形軸對稱與中心對稱【考點概要】1．重合對稱軸重合對稱軸垂直平分相等對稱軸全等2.180°180°對稱中心對稱中心平分全等【考題體驗】1．B2.D3.B4.eq\f(1,3)【知識引擎】【解析】(1)①(2)(3)軸對稱和軸對稱圖形、中心對稱和中心對稱圖形以及對稱變換畫圖．【例題精析】例1(1)A(2)12例2(1)如圖所示：點A1的坐標(2，－4)；(2)如圖所示，點A2的坐標(－2，4)．例3(1)如圖，過點M作MF⊥DC于點F，∵在邊長為2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M為AD中點，∴2MD＝AD＝CD＝2，∠FDM＝60°，∴∠FMD＝30°，∴FD＝eq\f(1,2)MD＝eq\f(1,2)，∴FM＝DM×cos30°＝eq\f(\r(3),2)，∴MC＝eq\r(FM2＋CF2)＝eq\r(7)，∴EC＝MC－ME＝eq\r(7)－1.故答案為：eq\r(7)－1.(2)證明：①由折疊知，∠1＝∠CEF，又由平行四邊形的性質知，CD∥AB，∴∠2＝∠CEF，∴∠1＝∠2.②由折疊知，BF＝B′F，又∵DE＝BF，∴DE＝B′F，由①知∠1＝∠2，∴GE＝GF，又由平行四邊形的性質知，CD∥AB，∴∠DEF＝∠EFB，由折疊知，∠EFB＝∠EFB′，∴∠DEF＝∠EFB′，即∠DEG＋∠1＝∠GFB′＋∠2，∴∠DEG＝∠GFB′，∴△DEG≌△B′FG(SAS)，∴DG＝B′G.例4由題意，可得BE與AC交于點P.∵點B與D關于AC對稱，∴PD＝PB，∴PD＋PE＝PB＋PE＝BE最?。哒叫蜛BCD的面積為12，∴AB＝2eq\r(3).又∵△ABE是等邊三角形，∴BE＝AB＝2eq\r(3).故所求最小值為2eq\r(3).故選B.【變式拓展】1．(1)C(2)D(3)32．(1)(2)①畫出下列其中一個即可．②①根據(jù)對稱中心的性質，可得對稱中心的坐標是D1D的中點，∵D1，D的坐標分別是(0，3)，(0，2)，∴對稱中心的坐標是(0，2.5)．②∵A，D的坐標分別是(0，4)，(0，2)，∴正方形ABCD與正方形A1B1C1D1的邊長都是：4－2＝2，∴B，C的坐標分別是(－2，4)，(－2，2)，∵A1D1＝2，D1的坐標是(0，3)，A1的坐標是(0，1)，∴B1，C1的坐標分別是(2，1)，(2，3)，綜上，可得頂點B，C，B1，C1的坐標分別是(－2，4)，(－2，2)，(2，1)，(2，3)．(1)B(2)eq\f(3\r(2),2)或eq