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文檔簡介
專題提升十以直角三角形為背景的測量問題熱點(diǎn)解讀解決此類問題,首先要弄清問題中相關(guān)的術(shù)語及關(guān)系,再畫出圖形,構(gòu)造直角三角形,將實(shí)際問題或斜三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題,再利用邊與角之間的關(guān)系來解決問題.母題呈現(xiàn)(2015·嘉興)小紅將筆記本電腦水平放置在桌子上,顯示屏OB與底板OA所在的水平線的夾角為120°時(shí),感覺最舒適(如圖1),側(cè)面示意圖為圖2;使用時(shí)為了散熱,她在底板下墊入散熱架ACO′后,電腦轉(zhuǎn)到AO′B′位置(如圖3),側(cè)面示意圖為圖4.已知OA=OB=24cm,O′C⊥OA于點(diǎn)C,O′C=12cm.(1)求∠CAO′的度數(shù);(2)顯示屏的頂部B′比原來升高了多少?(3)如圖4,墊入散熱架后,要使顯示屏O′B′與水平線的夾角仍保持120°,則顯示屏O′B′應(yīng)繞點(diǎn)O′按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)多少度?對點(diǎn)訓(xùn)練1.(2015·綿陽)如圖,要在寬為22米的九洲大道AB兩邊安裝路燈,路燈的燈臂CD長2米,且與燈柱BC成120°角,路燈采用圓錐形燈罩,燈罩的軸線DO與燈臂CD垂直.當(dāng)燈罩的軸線DO通過公路路面的中心線時(shí)照明效果最佳,此時(shí),路燈的燈柱BC的高度應(yīng)設(shè)計(jì)為()A.(11-2eq\r(2))米B.(11eq\r(3)-2eq\r(2))米C.(11-2eq\r(3))米D.(11eq\r(3)-4)米第1題圖2.(2015·濰坊)觀光塔是濰坊市的標(biāo)志性建筑,為測量其高度,如圖,一人先在附近一樓房的底端A點(diǎn)處觀測觀光塔頂端C處的仰角是60°,然后爬到該樓房頂端B點(diǎn)處觀測觀光塔底部D處的俯角是30°,已知樓房高AB約是45m,根據(jù)以上觀測數(shù)據(jù)可求觀光塔的高CD是m.第2題圖3.如圖,在山坡上植樹,已知山坡的傾斜角α是20°,小明種植的兩棵樹間的坡面距離AB是6米,要求相鄰兩棵樹間的水平距離AC在5.3~5.7米范圍內(nèi),問小明種植的這兩棵樹是否符合這個(gè)要求?(參考數(shù)據(jù):sin20°≈0.34,cos20°≈0.94,tan20°≈0.36)第3題圖4.如圖,一艘漁船位于小島M的北偏東45°方向、距離小島180海里的A處,漁船從A處沿正南方向航行一段距離后,到達(dá)位于小島南偏東60°方向的B處.(1)求漁船從A到B的航行過程中與小島M之間的最小距離(結(jié)果用根號表示);(2)若漁船以20海里/小時(shí)的速度從B沿BM方向行駛,求漁船從B到達(dá)小島M的航行時(shí)間(結(jié)果精確到0.1小時(shí)).(參考數(shù)據(jù):eq\r(2)≈1.41,eq\r(3)≈1.73,eq\r(6)≈2.45)第4題圖5.(2017·海南)為做好防汛工作,防汛指揮部決定對某水庫的水壩進(jìn)行加高加固,專家提供的方案是:水壩加高2米(即CD=2米),背水坡DE的坡度i=1∶1(即DB∶EB=1∶1),如圖所示,已知AE=4米,∠EAC=130°,求水壩原來的高度BC.(參考數(shù)據(jù):sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.2)第5題圖6.(2015·紹興)如圖,從地面上的點(diǎn)A看一山坡上的電線桿PQ,測得桿頂端點(diǎn)P的仰角是45°,向前走6m到達(dá)B點(diǎn),測得桿頂端點(diǎn)P和桿底端點(diǎn)Q的仰角分別是60°和30°.(1)求∠BPQ的度數(shù);(2)求該電線桿PQ的高度(結(jié)果精確到1m).(備用數(shù)據(jù):eq\r(3)≈1.7,eq\r(2)≈1.4)第6題圖7.(2015·云南)為解決江北學(xué)校學(xué)生上學(xué)過河難的問題,鄉(xiāng)政府決定修建一座橋,建橋過程中需測量河的寬度(即兩平行河岸AB與MN之間的距離).在測量時(shí),選定河對岸MN上的點(diǎn)C處為橋的一端,在河岸點(diǎn)A處,測得∠CAB=30°,沿河岸AB前行30米后到達(dá)B處,在B處測得∠CBA=60°,請你根據(jù)以上測量數(shù)據(jù)求出河的寬度.(參考數(shù)據(jù):eq\r(2)≈1.41,eq\r(3)≈1.73,結(jié)果保留整數(shù))第7題圖8.如圖1是一張折疊椅子,圖2是其側(cè)面示意圖,已知椅子折疊時(shí)長1.2米,椅子展開后最大張角∠CBD=37°,且BD=BC,AB∶BG∶GC=1∶2∶3,座面EF與地面平行,當(dāng)展開角最大時(shí),請解答下列問題:(1)求∠CGF的度數(shù);(2)求座面EF與地面之間的距離.(可用計(jì)算器計(jì)算,結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字,參考數(shù)據(jù):sin71.5°≈0.948,cos71.5°≈0.317,tan71.5°≈2.989)第8題圖9.(2017·達(dá)州)如圖,信號塔PQ坐落在坡度i=1∶2的山坡上,其正前方直立著一警示牌.當(dāng)太陽光線與水平線成60°角時(shí),測得信號塔PQ落在斜坡上的影子QN長為2eq\r(5)米,落在警示牌上的影子MN長為3米,求信號塔PQ的高.(結(jié)果不取近似值)第9題圖10.(2016·漳州)如圖是將一正方體貨物沿坡面AB裝進(jìn)汽車貨廂的平面示意圖.已知長方體貨廂的高度BC為eq\r(5)米,tanA=eq\f(1,3),現(xiàn)把圖中的貨物繼續(xù)往前平移,當(dāng)貨物頂點(diǎn)D與C重合時(shí),仍可把貨物放平裝進(jìn)貨廂,求BD的長.(結(jié)果保留根號)第10題圖參考答案專題提升十以直角三角形為背景的測量問題【母題呈現(xiàn)】(1)∵O′C⊥OA于點(diǎn)C,OA=OB=24,O′C=12,∴sin∠CAO′=eq\f(O′C,O′A)=eq\f(O′C,OA)=eq\f(12,24)=eq\f(1,2).∴∠CAO′=30°.(2)如圖,過點(diǎn)B作BD⊥AO交AO的延長線于點(diǎn)D.∵sin∠BOD=eq\f(BD,OB),∴BD=OB·sin∠BOD.∵∠AOB=120°,∴∠BOD=60°.∴BD=OB·sin∠BOD=24×eq\f(\r(3),2)=12eq\r(3).∴顯示屏的頂部B′比原來升高了(36-12eq\r(3))cm.(3)顯示屏O′B′應(yīng)繞點(diǎn)O′按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°.理由如下:如圖,電腦顯示屏O′B′繞點(diǎn)O′按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α度至O′E處,O′F∥OA.∵電腦顯示屏O′B′與水平線的夾角仍保持120°,∴∠EO′F=120°.∴∠FO′A=∠CAO′=30°.∵∠AO′B′=120°.∴∠EO′B′=∠FO′A=30°,即α=30°.∴顯示屏O′B′應(yīng)繞點(diǎn)O′按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°.【對點(diǎn)訓(xùn)練】1.D2.1353.AB=6米,∠A=20°,∴AC=AB·cos∠A≈6×0.94=5.64米,∴符合要求.4.(1)90eq\r(2)海里;(2)MB=60eq\r(6)海里,∴60eq\r(6)÷20≈7.4(小時(shí)),∴漁船從B到達(dá)小島M的航行時(shí)間約為7.4小時(shí).5.設(shè)BC=x米,在Rt△ABC中,∠CAB=180°-∠EAC=50°,AB=eq\f(BC,tan50°)≈eq\f(BC,1.2)=eq\f(5BC,6)=eq\f(5,6)x米,在Rt△EBD中,∵i=DB∶EB=1∶1,∴BD=BE,∴CD+BC=AE+AB,即2+x=4+eq\f(5,6)x,解得x=12,即BC=12米,答:水壩原來的高度為12米.6.如圖,延長PQ交直線AB于點(diǎn)C,(1)∵在B點(diǎn)測得端點(diǎn)P點(diǎn)的仰角是60°,即∠PBC=60°,∴∠BPQ=90°-∠PBC=90°-60°=30°.(2)設(shè)PQ=x,則QB=QP=x,在△BCQ中,BC=x·cos30°=eq\f(\r(3),2)x,QC=eq\f(1,2)x,在△ACP中,CA=CP,∴6+eq\f(\r(3),2)x=eq\f(1,2)x+x,解得x=2eq\r(3)+6.∴PQ=2eq\r(3)+6≈9,即該電線桿PQ的高度約為9m.第6題圖如圖,過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D,設(shè)CD=x,∵在直角△ACD中,∠CAD=30°,∴AD=eq\f(CD,tan30°)=eq\r(3)x.同理,在直角△BCD中,BD=eq\f(CD,tan60°)=eq\f(\r(3),3)x,又∵AB=30,∴AD+BD=30,即eq\r(3)x+eq\f(\r(3),3)x=30.解得x≈13.答:河的寬度為13米.第7題圖8.(1)∠CGF=71.5°(2)0.57m如圖,作MF⊥PQ于F,QE⊥MN于E,則四邊形EMFQ是矩形.在Rt△QEN中,設(shè)EN=x,則EQ=2x,∵QN2=EN2+QE2,∴20=5x2,∵x>0,∴x=2,∴EN=2,EQ=MF=4,∵M(jìn)N=3,∴FQ=EM=1,在Rt△PFM中,PF=FM·tan60°=4eq\r(3),∴PQ=PF+FQ=(4eq\r(3)+1)米.第9題圖
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