小題壓軸題專練13-向量（最值問題1）-2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

小題壓軸題專練13—向量（最值問題1）一．單選題1．已知是三角形的外心，若，且，則實(shí)數(shù)的最大值為A．3 B． C． D．2．在中，，，，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為A． B． C． D．3．已知向量，，滿足，，，的最大值．最小值分別為，，則的值為A． B． C． D．4．半徑為1的扇形中，，為弧上的動(dòng)點(diǎn)，已知，記，則A．若，則的最小值為3 B．若，則有唯一點(diǎn)使取最小值 C．若，則的最小值為3 D．若，則有唯一點(diǎn)使取最小值5．已知為單位向量，向量滿足，則的最大值為A． B．2 C． D．36．已知向量，的夾角為，，若向量滿足，則的取值范圍是A．， B． C． D．，7．在中，，是邊上的點(diǎn)，且，若，則的最小值A(chǔ)． B． C． D．8．在三棱錐中，，，兩兩垂直且，點(diǎn)為的外接球上任意一點(diǎn)，則的最大值為A．4 B．2 C． D．二．多選題9．已知，分別為曲線和上的動(dòng)點(diǎn)，且，不重合．為坐標(biāo)原點(diǎn)，，．記，，則下列選項(xiàng)正確的是A．若，則 B．若，則 C．當(dāng)取得最小值時(shí)， D．當(dāng)取得最小值時(shí)，四邊形為正方形10．中，，，則下列結(jié)論中正確的是A．若為的重心，則 B．若為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則為定值4 C．若、為邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且的最小值為 D．已知是內(nèi)部（含邊界）一點(diǎn)，若，且，則的最大值是111．在平面直角坐標(biāo)系中，，，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是A．的最小值為2 B．若，，則的面積等于4 C．若，，則的最小值為5 D．若，，且與的夾角，，則12．在中，，，其中，均為邊上的點(diǎn)，分別滿足：，，則下列說法正確的是A．為定值3 B．面積的最大值為 C．的取值范圍是， D．若為中點(diǎn)，則不可能等于三．填空題13．已知平面向量，的夾角為，且，則的最小值是．14．已知平面向量，，，與的夾角為，且，則的最小值是．15．在迎接夏天的日子里，我校學(xué)生自發(fā)組織了熱烈的籃球比賽．如圖，是籃球場(chǎng)地的部分示意圖，在高為4的等腰梯形中，，，．點(diǎn)是以為直徑的半圓的中點(diǎn)，點(diǎn)是半徑為6的半圓上的一個(gè)四等分點(diǎn)，點(diǎn)為半圓上任一點(diǎn)，且點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，已知．設(shè)點(diǎn)為線段上任一點(diǎn)，則的最小值為．16．已知非零平面向量，，滿足，的夾角為，與的夾角為，，，則的取值范圍是．

小題壓軸題專練13—向量（最值問題1）1．解：如圖所示：設(shè)，，，，由得，化簡(jiǎn)得，由是三角形的外心可知，是三邊中垂線交點(diǎn)，得，，代入上式得，．根據(jù)題意知，是三角形外接圓的半徑，可得，，代入，得，，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)，等號(hào)成立．故選：．2．解：設(shè)，，根據(jù)題意得，解得，，，，，，又、、三點(diǎn)共線，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．故選：．3．解：假設(shè)、、，因?yàn)?，所以，，，即，滿足條件的向量的終點(diǎn)在以，為圓心、半徑等于的圓上，的最大值與最小值分別為，，，故選：．4．解：設(shè)，如圖：以為原點(diǎn)，以、所在直線分別為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系．則，，，，，，，，，．①若，取，，則，，，，，，，，，，，，此時(shí)，、兩點(diǎn)重合，對(duì)；取，，則，當(dāng)時(shí)取最小值，此時(shí)、兩點(diǎn)重合，點(diǎn)不唯一，錯(cuò)；②若，取，，則，當(dāng)時(shí)，，錯(cuò)；取，時(shí)，則，當(dāng)時(shí)取最小值，點(diǎn)不唯一，錯(cuò)．故選：．5．解：設(shè)與的夾角，由可知，說的終點(diǎn)的軌跡是以的終點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，的最大值是圓心與的終點(diǎn)之間的距離加上半徑，即為．．故選：．6．解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系：設(shè)，，，得，如圖所示的終點(diǎn)在圓上或內(nèi)部．，令，該直線要與圓相切或相交，則圓心到直線的距離，解得：．故選：．7．解：如圖，，，，，，是邊的兩個(gè)三等分點(diǎn)，，，則，，可得，即，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．的最小值為，故選：．8．解：如圖：因?yàn)?，，兩兩垂直且，所以，三棱錐的外接球就是分別以，，為棱的正方體的外接球，如平面圖所示，三棱錐的外接球的球心，為正方體的體對(duì)角線的中點(diǎn)，易知球的半徑為．設(shè)線段的中點(diǎn)為，，．當(dāng)取得最大值時(shí)，有最大值．而當(dāng)，，在同一個(gè)大圓上且，點(diǎn)與線段在球心的異側(cè)時(shí)，最大，如立體圖、即（圖所示，此時(shí)，，，，，則的最大值為，故選：．9．解：設(shè)，，，，則，，，，，，對(duì)于，，，，，，選項(xiàng)正確；對(duì)于，，，，可取，，此時(shí)與不平行，選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，當(dāng)取得最小值時(shí)，，此時(shí)，又，，可得，選項(xiàng)正確；對(duì)于，，當(dāng)時(shí)，取最小值，此時(shí)，，滿足，又，且，四邊形為正方形，選項(xiàng)正確．故選：．10．解：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，所在直線為，軸建立平面直角坐標(biāo)系．則，，．，．對(duì)于，由重心坐標(biāo)公式，可得，，則，，，，，故錯(cuò)誤；對(duì)于，設(shè)，則，則，故正確；對(duì)于，不妨設(shè)靠近，，則，得，，，，．則，，．當(dāng)時(shí)，取得最小值為，故正確；對(duì)于，由，且為內(nèi)一點(diǎn)，，得，即，則的最大值大于1，故錯(cuò)誤．故選：．11．解：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取“”，的最小值是2，對(duì)；當(dāng)，時(shí)，，，，可知軸且，點(diǎn)到的距離為2，的面積為，錯(cuò)；點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，則的最小值為，對(duì)；，，，與的夾角，，，得：．，令，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“”，，對(duì)．故選：．12．解：設(shè)．，為中點(diǎn)．，，，，，，對(duì)；，又，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)，取“”，，，對(duì)；，，，當(dāng)時(shí)，、重合，取得最大值3．對(duì)；，當(dāng)為鈍角時(shí)可能取到，錯(cuò)．故選：．13．解：如圖所示，設(shè)，則，，三點(diǎn)共線，且，設(shè)，因?yàn)槠矫嫦蛄颗c的夾角為，所以點(diǎn)在一條直線上運(yùn)動(dòng)，且這條直線與的夾角為，設(shè)這條直線為，所以，于是，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，連接交直線于點(diǎn)，連接交直線與點(diǎn)，所以，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，不等式取等號(hào)．在中，，由余弦定理可得，即．故的最小值為．故答案為：．14．解：設(shè)，因?yàn)榕c的夾角為，所以與的夾角為，所以，，設(shè)，則，在中，由正弦定理可得，因?yàn)?，，所以，于是，?dāng)，即時(shí)，不等式等號(hào)成立．所以的最小值為．故答案為：．15．解：由題意，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，