2020年中考數(shù)學(xué) 壓軸 圓的證明與計算

2020中考數(shù)學(xué)壓軸專題圓的證明與計算(含答案)

1.如圖，在"BC中，ZABC=90°,D是邊AC上的一點，連接8。，使乙4=2/1,E

是BC上的一點，以BE為直徑的。O經(jīng)過點D.

(1)求證：AC是。。的切線；

(2)若/A=60。，OO的半徑為2,求陰影部分的面積.(結(jié)果保留根號和兀)

第2題圖

⑴證明：如解圖，連接。。，

第2題解圖

?：OB=OD,：.N1=NODB,

：.ZDOC=Z1+ZODB=2Z1,

XVZA=2Z1,：.ZDOC=ZA,

'：ZABC=90°,：.ZA+ZC=ZDOC+ZC=90°,

：.ZODC=9Q°,即OD±AC,

,.1點D在。。上，。。是半徑，

；.AC是。。的切線；

(2)解：*?ZA=60°，,ZDOE=60°,/C=30。，

在RtAOCD中，。。=2,C￡)=(9Z)tan60o=20,

_Q?_1r-60兀*22_0Q2

??S陰影=X0CD-S扇形0DE=p<2x2V3-=A/3-鏟.

2.如圖，點C在以AB為直徑的。。上，AO與過點C的切線垂直，垂足為O,A。交。。

于點E.

⑴求證：AC平分NZMB;

(2)連接BE交AC于點F,若cosACAD-1，求性的值.

第2題圖

(1)證明：連接0C,如解圖①,

第2題解圖①

???。是。。的切線，

：.OC±CD,

VAD1CD,

???OC//AD,

???ZDAC=ZOCA,

9：OC=OA,

：.ZOCA=ZOAC,

???ZDAC=ZOAC,

???AC平分NO"；

⑵解：如解圖②，連接5C,

第2題解圖②

VAB是。。的直徑，

???ZACB=90。，

4

VcosZCAD=^/

設(shè)AD=4x,貝!]AC=5x,CD-3x,，tanND4c=-,

4

ZEBC=ZDAC,由（D得，ZBAC=ZDAC,

???ZEBC=ZBAC,

3

tanZEBC=tanZBAC=tanZDAC=]，

.CF_BC_3

,?BC-AC-4，

.BCCF_33

,?ACBC_4X4z

.—CF_——9,?.?—CF—_9—?.?A—F_—1—

"AC16AF7FC9'

3.如圖，已知。。的直徑CD=6,A,B為圓周上兩點，且四邊形OABC是平行四邊形，

過A點作直線EF//BD,分別交CD、CB的延長線于點E,尸，A。與8。交于G點.

⑴求證：EF是。。的切線；

⑵求AE的長

(1)證明：：CD是。。的直徑，.?.BO_LCB

;在平行四邊形0ABe中,OA//CB,J.OALBD,

5L'：EF//BD,：.OALEF,

VOA是。。的半徑，是。。的切線；

⑵解：；四邊形0A8C是平行四邊形，在。O中，。4=0C,

四邊形0ABe是菱形,

如解圖，連接0B，貝［|OB=0C=BC,

即小OBC是等邊二角形.

：.ZC=60°,：.ZAOE=60°,

在R3A0E中,AE^AOtanZAOE-3yj3.

4.如圖，在R3ABC中，NC=90。，以BC為直徑的。。交AB于點。，切線。E交AC

于點E.

(1)求證：ZA=ZADE；

(2)若AO=16,DE=10,求8c的長.

第4題圖

⑴證明：如解圖，連接

???。石是。。的切線，

：.ZODE=90°,

：.ZADE+ZBDO=90°.

*.*ZACB=90。，

???ZA+ZB=90。，

又?：OD=OB,

4B=4BDO,

ZA=ZADE；

⑵解：如解圖，連接

第4題解圖

ZADE=ZA,

:.AE=DE,

VBCBOO的直徑,ZACB=90°,

EC是。。的切線，

:.DE=EC,

：.AE=EC,

又,：DE=10,

：.AC-2DE-20,

在RtAADC中，DC=.2。2-162=12,

設(shè)BD=x.

在RtABDC中，BC2=X2+122,

在RtAABC中,

BC2=(x+16)2-202,

：.X1+122=(X+16)2-202,

解得x=9,

:.BC=7122+92=15.

5.如圖，已知AB是。。的直徑，CO與。。相切于C,BE〃CO.

⑴求證：BC是/ABE的平分線；

⑵若OC=8,。0的半徑。4=6,求CE的長.

第5題圖

⑴證明：9：BE//C0,

：.ZOCB=ZEBC,

?；OC=OB,

：.ZOCB=ZOBC,

：.ZOBC=ZEBC,

???是NA旗的平分線；

⑵解：設(shè)AD=x,則DO=x+6,

???。。是。。的切線，???CO_LCO,

???ZDCO=90°z

在RtAJ)CO中，^DC2+CO2=DO2,

：.82+62=(x+6)2,解得x=4,

：.DO=W,

??〃.CEBO

,:CO〃BE1：.京-京,

.CE6.「萬_24

8105,

6.如圖，在△ANC中，A5=AC,以A5為直徑的。。交AC邊于點。，過點C作。/〃A3,

與過點B的切線交于點F,連接BD.

⑴求證：BD=BF；

(2)若4B=10,8=4,求5c的長.

第6題圖

⑴證明：???5尸是。。的切線，

JZABF=90°,

'：CF//AB,

JN尸=90。，ZABC=ZFCB,

「AB是。。的直徑，

JZADB=ZBDC=90°,

工ZF=ZBDC,

U：AB=AC,

：.ZABC=ZACB,

???ZACB=ZFCB,

在小BCD和小BCF中，

NF=ZBDC

|ZFCB=ZDCB,

^BC=BC

：.ABCD^ABCF(AAS),

：.BD=BF；

⑵解：\9AB=AC,AB=10,

：.AC=10,

VCZ)=4,

.9.AD=6,

在RtAADB中，由勾股定理得BD=q1。2-62=8,

在RtABCD中，由勾股定理得BC=yj82+42=4#,

：.BC的長為4下.

7.如圖，在。。中，4C與雙)是。。的直徑，BELAC,CFLBD,垂足分別為E,F.

⑴四邊形ABC。是什么特殊的四邊形？請判斷并說明理由；

(2)求證：BE=CF.

第7題圖

⑴解：四邊形ABC。是矩形，理由如下：

?；AC與30是。。的直徑，

ZABC=ZADC=90°,ZBAD=ZBCD=90°,

.??四邊形A8CZ)是矩形；

⑵證照：,：BE±AC,CF±BD,

：./BEO=/CFO=90°,

在ABOE^UAco尸中，

ZBEO=/CFO

|ZBOE=ZCOF,

IOB=OC

：.ABOE^ACOF(AAS).

：.BE=CF.

8.如圖，PB為。O的切線，8為切點，直線R9交。。于點&F.過點5作R9的垂線

BA,垂足為點。，交。。于點A,延長AO與。。交于點。，連接3c,AF.

⑴求證：直線以為。。的切線；

(2)若3C=6,tanF=^,求。。的半徑.

第8題圖

⑴證明：如解圖，連接。B,

第8題解圖

?；尸8是。。的切線，

ZPBO=90°,

OA=OB,BALPO于點D,

：.AD^BD,

點〃為A8的中點，即OP垂直平分AB,

???ZAOP=ZBOP,

在4出0和4PBO中，

OA=OB

|ZAOP=ZBOP,

[OP=OP

??.△BAO之△P50(SAS),

???ZPAO=ZPBO=90°,

??,O4為。。的半徑，，直線以為。。的切線；

9

(2)解：：OA=OC,AD=BDrBC=6,

：?0D=,BC=3,

設(shè)AD=x,

貝[]tanF=^=',

DFDF2

：.DF-2x,：.OA^OF^2x-3,

在RtAAOD中，由勾股定理得(2x-3)2=X2+32,

解得X=4,X2=0(不合題意,舍去),

/.OA=2x-3=5,即。。的半徑為5.

9.如圖，AB是。。的直徑，弦COLAB于點E,點尸在。。上，/1=/BCD.

(1)求證：CB//PD；

(2)若8c=3,sinZBPD，求°。的直徑?

第9題圖

⑴證明：：ZBPD=ZBCD,Zl=/BCD,

，N1=ZBPD,

：.CB//PD；

⑵解：如解圖，連接AC,

第9題解圖

*/AB是。。的直徑,

ZACB=90°,

\UCD±AB,

???ZBPD=/CAB,

3

/.sinZBPD=sinZCAB=g，

即5H，

,:BC=3,

：.AB=5,

即。。的直徑是5.

10.如圖，AB是。。的直徑，點尸是AB延長線上一點,PC切。O于點C,在線段PA上

截取PD=PC,連接CD并延長交。。于點E,連接BC、BE.

(1)求證：NABE=ZBCE；

⑵若。。的半徑為|，BC=3,求tanNBEC的值?

第10題圖

⑴證明：如解圖，連接CO并延長交。O于點F,連接BF,^]ZBFC=ZBEC,ZFBC=90°.

第10題解圖

*：PD=PC,

ZPDC=ZPCD.

??,尸。切。。于點c,

???ZPCB+ZBCF=90°,

又ZBFC+ZBCF=90。，

ZPCB=ZBFC,

：.ZPCB=ZBEC.

ZABE=ZPDC-/BEC,ZBCE=ZPCD-ZPCB,

I.ZABE=ZBCE；

(2)解：VBC=3rCF=2OC=5r

???在RtABCF中，由勾月殳定理得，BF=yJcFz-BC?=4,

tanZBFC==4，

BF4

由(1)知NB尸。二ZBEC,

3

tanZBEC=tanZBFC=7

H.如圖，AB是。O的直徑，點C是。。上一點，A。和過點C的切線互相垂直，垂足為

。，直線。C與A8的延長線相交于點P,弦CE平分/ACB,交直徑AB于點F,連接

BE.

⑴求證：AC平分/D4B；

(2)若tanZPCB=(，BE=5娘，求的長.

第11題圖

⑴證明：如解圖，連接0C,

"：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

是。。的切線，且AOLCZ),

：.ZOCP=ZD^90°,

：.OC//AD,

：.ZCAD=ZOCA=ZOAC,即AC平分ND48；

⑵解：如解圖，連接AE,

第11題解圖

?.?弦CE平分NACB,

ZACE=/BCE,

：.AE^BE,

:.AE=BE,

又是直徑，

ZAEB=90°,AB=@BE=10,；.OB=OC=5,

,/ZPCB=APAC,NP=NP,

.PBBC

△APCBs/VAHC,赤=用，

2(_z/l

3?PB_BC_3

tanZ.PCB-tanNCAB=

PCCA4

設(shè)PB=3x,則PC=4x,

在RtAPOC中，根據(jù)勾股定理得，(3x+5),=(4X)2+52,

角軍得X1=0,4=耳.

:>0".x=3，，PC=空.

又丁ZPCB=ZPAC,ZBCE=ZACF,

，ZPCB+ZBCE=ZPAC+ZACF,^ZPCF=ZPFC,

.120

：.PF=PC=—.

12.如圖，已知ZXABC的邊AB是。。的切線，切點為B,AC經(jīng)過圓心。并與圓相交于點

D、C,過C作直線CE±AB,交AB的延長線于點E.

(1)求證：CB平分/ACE；

⑵若8E=3,CE=4,求。。的半徑.

第12題圖

(1)證明：如解圖，連接OB,

第12題解圖

「AB是。。的切線,

AOB±AB,

'：CELAB,

J.OB//CE,

AZ1=Z3,

OB=OC,

：.Z1=Z2,

AZ2=Z3,

???C5平分NAC5；

⑵如解圖，連接5。，

9：CE±AB,

ZE=90°,

：.BC=\jBE2+CE2=#2+42=5,

???C。是。。的直徑，

???ZDBC=90°z

ZE=ZDBC,

:.ADBCsABEC,

?CD_BC

^^C~CE'

:?BC2=CDCE,

???。=弓=學(xué)’

,125

：.OC=^CD=-r>

Zo

的半徑為2信5

13.如圖，AB為。。的直徑，直線CD切。。于點M,BELCD于點E.

(1)求證：ZBME=/MAB；

⑵若=y,sinZBAM,求?！愕陌霃?

第13題圖

(1)證明：如解圖，連接。

，直線CD切。。于點M,

：.NOMD=90°,

第13題解圖

ZBME+ZOMB=90°,

為。。的直徑，

NAMB=90°,

???ZAMO+ZOMB=90°z

???ZBME=ZAMO.

9：OA=OM,

ZMAB=ZAMO.

：.ZBME=ZMAB；

(2)解：由⑴可得，ZBM