2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考版）-空間直線、平面的垂直

§7.5空間直線、平面的垂直

【考試要求】1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系2掌握直線與平

面、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用.

?落實(shí)主干知識(shí)

【知識(shí)梳理】

1.直線與平面垂直

(1)直線和平面垂直的定義

一般地，如果直線/與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直,就說(shuō)直線/與平面a互相垂直.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示

如果一條直線與一個(gè)平mUa、

1

nUa

面內(nèi)的兩條相交直線垂T

判定定理mCn=P

直，那么該直線與此平

/_L-

面垂直/_L〃J

ab

垂直于同一個(gè)平面的兩a-La\

性質(zhì)定理

條直線平行Z7

2.直線和平面所成的角

(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的

角.一條直線垂直于平面，我們說(shuō)它們所成的角是鱉；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，

我們說(shuō)它們所成的角是貴.

—71

(2)范圍：［0,2■

3.二面角

(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.

(2)二面角的平面角：如圖，在二面角a一/一夕的棱/上任取一點(diǎn)。，以點(diǎn)。為垂足，在半平

面a和夕內(nèi)分別作垂直于棱3的射線OA和OB,則射線OA和OB構(gòu)成的NAOB叫做二面角

的平面角.

(3)二面角的范圍：［0,兀］.

4.平面與平面垂直

(1)平面與平面垂直的定義

一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角,就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示

如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)

判定定理平面的垂線,那么這兩/

aA./3\'

個(gè)平面垂直a

兩個(gè)平面垂直，如果一

a_L￡、

個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直?

性質(zhì)定理于這兩個(gè)平面的交線,/0/_La

l-La

那么這條直線與另一個(gè)L￡7

平面垂直

【常用結(jié)論】

1.三垂線定理

平面內(nèi)的一條直線如果和穿過(guò)這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這

條斜線垂直.

2.三垂線定理的逆定理

平面內(nèi)的一條直線如果和穿過(guò)該平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在該平面內(nèi)的射

影垂直.

3.兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“義”)

(1)若直線/與平面a內(nèi)的兩條直線都垂直，則/_La.(X)

(2)若直線aJ_a,b.La,貝Ua〃6.(V)

(3)若兩平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面.(X)

⑷若a_L￡,a邛,則a//a.(X)

【教材改編題】

1.(多選)下列命題中不正確的是()

A.如果直線。不垂直于平面a,那么平面a內(nèi)一定不存在直線垂直于直線。

B.如果平面a垂直于平面￡,那么平面a內(nèi)一定不存在直線平行于平面￡

C.如果直線。垂直于平面a,那么平面a內(nèi)一定不存在直線平行于直線a

D.如果平面a_L平面B，那么平面a內(nèi)所有直線都垂直于平面夕

答案ABD

解析若直線a垂直于平面a,則直線。垂直于平面a內(nèi)的所有直線，故C正確，其他選項(xiàng)

均不正確.

2.如圖，在正方形SGiG2G3中，E,尸分別是G1G2，G2G3的中點(diǎn)，。是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿

SE,及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使Gi，G2,G3三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為G,

則在四面體S—EFG中必有（）

A.SG_LZ\EFG所在平面

B.所在平面

C.GF_LZ\SEF所在平面

D.G￡）_LZ\SEB所在平面

答案A

解析四面體S—EFG如圖所示，由SG_LGE,SG±GF,

GECGF=G且GE,GE<=平面EFG得SGLAEFG所在平面.

S.

3.已知尸。垂直于正方形ABC。所在的平面，連接PC,PA,AC,BD,則一定互相垂

直的平面有對(duì).

答案7

解析如圖，由于尸￡）垂直于正方形A2CZ）,故平面PZM_L平面ABCD,平面平面A8CD,

平面PDC_L平面ABCD,平面PZX4_L平面PDC,平面P4CJ_平面PDB,平面B43_L平面PAD,

平面平面PDC,共7對(duì).

■探究核心題型

題型一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)

例1(1)已知/,"2是平面a外的兩條不同直線.給出下列三個(gè)論斷：

?m//a；③/J_a.

以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題.

答案②③今①(或①③今②)

解析已知/,機(jī)是平面a外的兩條不同直線，由①加與②機(jī)〃a,不能推出③因?yàn)?/p>

/可以與a平行，也可以相交不垂直；由①與③/J_a能推出②機(jī)〃a；由②機(jī)〃a與③/_La

可以推出①/_Lm.

(2)(2023?婁底模擬)如圖，在三棱柱ABC—AllG中，點(diǎn)S在底面42c內(nèi)的射影恰好是點(diǎn)C.

①若點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，1.DA=DB,證明：AB±CCi.

②己知BiG=2,BiC=2?求△BCG的周長(zhǎng).

①證明,點(diǎn)Bi在底面ABC內(nèi)的射影是點(diǎn)C,

.?.8iC_L平面ABC,

平面ABC,：.BiC±AB.

在△ABC中，DA=DB=DC,：.BC±AB,

?；BCCBiC=C,BC,BiCu平面BCCM

.?.A8_L平面BCCiBi,

；CGU平面BCCM：.AB±CCi,

②解如圖，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E,使BC=CE,

連接GE,則81cl統(tǒng)CE,四邊形8CEG為平行四邊形,

則CiE統(tǒng)BiC.

由①知81CJ_平面ABC,...CiEl.平面ABC,

,?CE,BEU平面ABC,

CiEl.CE,CiELBE,

"：CiE=BiC=2y[3,CE=BC=B?=2,BE=4,

/.CC1=A/CE2+CIE2=4,BCI=7BE2+cE=2市,

：.ABCC1的周長(zhǎng)為2+4+2巾=6+2巾.

思維升華證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵

⑴證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a〃b,a_La=>b_La);

③面面平行的性質(zhì)(a_La,a〃galp);④面面垂直的性質(zhì).

(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).

跟蹤訓(xùn)練1如圖，在正方體ABCO-AiBiGA中，E,E分別是棱CD,4A的中點(diǎn).

⑴求證：ABi±BF；

(2)求證：AELBF-,

(3)棱CG上是否存在點(diǎn)P,使平面AEP?若存在，確定點(diǎn)P的位置，若不存在，說(shuō)明

理由.

⑴證明如圖，連接4B,則AB1L4B,

因?yàn)锳F_L平面ABBrAi,ASu平面ABBiAi,

所以AFLABi,

又4BCAiP=Ai,

所以AS_L平面AiBF.又3FU平面AxBF,所以

(2)證明如圖，取棱的中點(diǎn)G,連接EG,BG,W'lFG±AE,

因?yàn)锳8=ZM,AG=DE,NBAG=/ADE,所以△BAG之△ADE,所以NA8G=NZME

所以AE_LBG.又因?yàn)锽GAFG=G,所以AE_L平面BEG

又BFU平面BFG,所以A&LBE

(3)解存在.如圖，取棱CCi的中點(diǎn)P,即為所求.連接EP,AP,CiD,因?yàn)镋尸〃C。,

CiD//ABi,所以

由(1)知A8i_LBF,所以

又由(2)知且AECEP=E,

所以2口L平面AEP.

題型二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)

例2(2023?桂林模擬)如圖所示，已知在四棱錐產(chǎn)一ABC。中，底面ABC。是矩形，平面PAD±

底面ABCZ)且AB=1,B4=AO=P￡>=2,E為尸。的中點(diǎn).

(1)求證：平面PCD_L平面ACE；

(2)求點(diǎn)B到平面ACE的距離.

⑴證明由必=AO=P。，E為PD的中點(diǎn)，可得AE_LP￡),

因?yàn)镃Q_LAO,平面E4Z)_L平面ABC。，平面B4QC平面A8CD=AD,C￡)u平面ABC。，所

以CD_L平面PAD,

而AEU平面E4。，所以CD_LAE,

由CDPiPD=D,則AE_L平面PCD,

又AEU平面ACE,所以平面PC￡)_L平面4CE.

(2)解如圖，連接8，與AC交于。，則。為的中點(diǎn)，

所以點(diǎn)。到平面ACE的距離即為點(diǎn)3到平面ACE的距離.

由平面PCD_L平面ACE,過(guò)。作。M_LCE,垂足為

則OM_L平面ACE,則DM為點(diǎn)、D到平面ACE的距離.

由CDJ_平面PAD,可得CD1PD,

1、歷

又CD=DE=1,所以。M=]C￡=^-,

A/2

即點(diǎn)B到平面ACE的距離為晉.

思維升華(1)判定面面垂直的方法

①面面垂直的定義.②面面垂直的判定定理.

(2)面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用

①面面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運(yùn)用時(shí)要注意“平面內(nèi)的直

線”.②若兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，則它們的交線也垂直于第三個(gè)平面.

跟蹤訓(xùn)練2(2022?邯鄲模擬)如圖，在四棱錐P—ABC。中，AB//CD,AB±AD,CD=2AB,

平面平面ABC。，PA±AD,E和尸分別是CO和尸C的中點(diǎn)，求證：

⑴抬，平面ABC。；

⑵平面BEP〃平面PAD-,

(3)平面BEF_L平面PCD.

證明(1)：平面E4O_L平面ABCD,

且PA垂直于這兩個(gè)平面的交線AD,

平面ABCD.

(2)'：AB//CD,CD=2AB,E是CO的中點(diǎn)，

J.AB//DE,AB=DE,

四邊形AB即是平行四邊形，.,.AD//BE,

歐平面出，AOU平面%。，...BE〃平面

和尸分別是C。和PC的中點(diǎn)，：.EF//PD,

平面出。，P￡>u平面見。，〃平面B4O,

；BECEF=E,BE,EFU平面BEF,

平面BE尸〃平面PAD.

(3Y：AB±AD,；.平行四邊形ABED是矩形，：.BE±CD,ADLCD,

由①知B4_L平面ABCD,J.PALCD,

,JPA^AD^A,

，。，平面必。，：.CD±PD,

和尸分別是CO和PC的中點(diǎn)，：.PD//EF,

：.CD±EF,又,：BECEF=E,COJ_平面BEE,

：C￡>u平面PCD,；.平面BEF1平面PCD.

題型三垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用

例3如圖，已知ABC。一AiSCiP是底面為正方形的長(zhǎng)方體，ZADiAi=60°,ADi=4,點(diǎn)

尸是ADi上的動(dòng)點(diǎn).

⑴試判斷不論點(diǎn)P在ADi上的任何位置，是否都有平面平面AAiDiD,并證明你的結(jié)

論；

(2)當(dāng)尸為AA的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線AAi與5尸所成的角的余弦值;

⑶求PBi與平面AAiDiD所成的角的正切值的最大值.

解⑴是.平面AA。。，8AU平面3E4,

平面8抬J_平面AAiDiD,

無(wú)論點(diǎn)尸在AOi上的任何位置，都有平面8B4_L平面

⑵過(guò)點(diǎn)P作PELAbDi,垂足為E,連接BE,如圖，

則PE//AA1,

.,./81PE（或其補(bǔ)角）是異面直線AAi與5P所成的角.

在RtAAAiDi中，

ZAZ）iAi=60°,

ZAiADi=30°,

=A[D[=^ADi=2,

.\AiE=^A\Di=l,AAi=y^A\D\=2^3,

PE=^AAi—?B[E=yjAiBl+A\E1=y[5,

工在RtzXSPE中,

BiP^B^+PE2=2y[2,

AkPE小乖

cos//BRiPE—5尸一2后一4.

，異面直線A4與HP所成的角的余弦值為坐.

⑶由⑴知,83」平面441A

ZB1P41是PBi與平面AA1D1D所成的角，

.7DDA4812

??tanN5B4i一小尸一A\P9

???當(dāng)4尸最小時(shí)，tanNBiBh最大，

這時(shí)4PL4D1,

2\[3

得tanZBiB4i=,

即尸Bi與平面44。1。所成的角的正切值的最大值為平.

思維升華(1)三種垂直的綜合問(wèn)題，一般通過(guò)作輔助線進(jìn)行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化.

(2)對(duì)于線面關(guān)系中的存在性問(wèn)題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面關(guān)系的相

關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證.

跟蹤訓(xùn)練3(2023?柳州模擬)如圖，在三棱錐「一ABC中，AB=BC=2,M=PB=PC=AC

=2/，。為AC的中點(diǎn).

(1)證明：平面A8C；

(2)若點(diǎn)〃在棱8C上，且PM與平面A8C所成角的正切值為優(yōu),求二面角M—B4—C的平

面角的余弦值.

⑴證明方法一如圖，連接OA

'：AB=BC=2,AC=2也

：.AB2+BC2=AC2,

即△ABC是直角三角形，

又。為AC的中點(diǎn)，

：.OA=OB=OC,

又：B4=PB=PC,

△POA以△P020△POC,

ZPOA=ZPOB=ZPOC=90°.

：.PO1AC,POLOB,

'：OBHAC=O,OB,ACU平面ABC,

；.PO_L平面ABC

方法二如圖，連接08,

'：PA=PC,O為AC的中點(diǎn)，PA=PB=PC=AC=2y[2,

：.PO±AC,PO=y[6,

又：A2=BC=2,

：.AB±BC,B0=巾,

：.PO2+OB2^PB2,

：.P010B,

'：0BC\AC^0,OB,ACU平面ABC,

；.P0_L平面ABC.

(2)解由⑴知，尸。,平面ABC,

：.0M為PM在平面ABC上的射影，

ZPMO為PM與平面ABC所成角，

,,tan/PMO=OM=,

：.OM=1,

在△ABC和△OMC中，由正弦定理可得MC=1,

:.M為BC的中點(diǎn).

如圖，作MEJ_AC交AC于E,

則E為。C的中點(diǎn)，作EF_LB4交出于F，連接MF,

：.MF1PA,

???/〃產(chǎn)￡1即為所求二面角加一81一。的平面角，ME=^,

EF=喙AE=*X.X2吸=乎，

MF=7ME2+EF2=呼,

：.cosZMFE=^=^^,

MF31

故二面角M-PA-C的平面角的余弦值為千§

課時(shí)精練

應(yīng)基礎(chǔ)保分練

1.（多選）若平面a,乃滿足aCB=l,P^a,P況,則下列命題中是真命題的為（）

A.過(guò)點(diǎn)P垂直于平面a的直線平行于平面/

B.過(guò)點(diǎn)P垂直于直線/的直線在平面a內(nèi)

C.過(guò)點(diǎn)P垂直于平面￡的直線在平面a內(nèi)

D.過(guò)點(diǎn)P且在平面a內(nèi)垂直于/的直線必垂直于平面￡

答案ACD

解析由于過(guò)點(diǎn)尸垂直于平面a的直線必平行于平面力內(nèi)垂直于交線的直線，則直線平行于

平面夕，因此A正確；過(guò)點(diǎn)尸垂直于直線/的直線有可能垂直于平面a,不一定在平面a內(nèi)，

因此B不正確；根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理知，選項(xiàng)C,D正確.

2.如圖，在四棱錐P-ABCD中，△出臺(tái)與△P2C是正三角形，平面平面PBC,AC±BD,

則下列結(jié)論不一定成立的是（）

A

A.BP±ACB.PO_L平面ABC。

C.ACLPDD.平面平面ABC。

答案B

解析如圖，取線段BP的中點(diǎn)O,連接。4,OC,易得BPLOC,又。4noe=

O,所以BP_L平面。4C,所以BPJ_AC,故選項(xiàng)A正確；XACLBD,BP^BD=B,所以

AC_L平面PBD,所以AC_LP。，故選項(xiàng)C正確；又ACU平面48C￡）,所以平面P8Z）_L平面

ABCD,故選項(xiàng)D正確.

A

中

3.如圖，在斜三棱柱ABC—A由iG中,ZBAC=90°,BCi±AC,則Ci在底面ABC上的射影

H必在（）

i

4

A.直線AB上

B.直線BC上

C.直線AC上

D./XABC內(nèi)部

答案A

解析連接AG（圖略），由AC_L4B,ACXBCi,AB^BC^B,得AC_L平面ABG.：ACu平

面ABC,；.平面A8G_L平面ABC.：.Q在平面ABC上的射影H必在平面ABCi與平面ABC

的交線AB上.

4.（多選）如圖，在以下四個(gè)正方體中，直線A2與平面CDE垂直的是（）

ABCD

答案BD

解析對(duì)于A,顯然AB與CE不垂直，則直線AB與平面CDE不垂直；對(duì)于B,因?yàn)锳8LCE,

AB±ED,且CECED=E,所以A8_L平面CDE；對(duì)于C,顯然A8與CE不垂直，所以直線

AB與平面CDE不垂直；對(duì)于D,因?yàn)榧確L平面A3C,貝!|E￡>_LAB,同理CE_L43,因?yàn)?/p>

EDCCE=E,所以A8J_平面CZJE.

5.（多選）（2022?齊齊哈爾模擬）若相，〃是兩條不同的直線，a,P，y是三個(gè)不同的平面，則下

列命題錯(cuò)誤的是（）

A.若mU0,a_L￡,貝!]

B.若”z〃a,n//a,貝！I機(jī)〃”

C.若m//a,則

D.若a_Ly,a邛,則夕_Ly

答案ABD

解析由加，w是兩條不同的直線，a,y是三個(gè)不同的平面，

在A中，若a邛,則機(jī)與a相交、平行或mUa,故A錯(cuò)誤；

在B中，若》t〃a,n//a,則相與w相交、平行或異面，故B錯(cuò)誤；

在C中，若m邛,m//a,則由面面垂直的判定定理得a_L//,故C正確；

在D中，若a_Ly,a_L￡,則￡與y相交或平行，故D錯(cuò)誤.

6.（多選）在長(zhǎng)方體ABC。一AiBCQi中，已知8。與平面ABC。和平面44//所成的角均

為30。，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.AB=y[2AD

B.A8與平面ABC。所成的角為30。

C.AC^CBi

D.80與平面BBiGC所成的角為45°

答案AD

解析如圖，連接BZ）,易知NBDBi是直線21。與平面ABC。所成的角,

所以在RtABDBi中，ZBDBi=30°,

設(shè)281=1,BiD=2BBi=2,

BD=、BID2—BB4=4

易知NAB。是直線BQ與平面AAiB^B所成的角，

所以在RtAADBi中，ZABiD=30°.

因?yàn)樾蕖?2,所以4。=321。=1,

ABI^y]BiD2-AD2=y[3,

所以在RtAABBi中，AB=^AB\-BB\=^2=^2AD,所以A項(xiàng)正確；

易知NBAS是直線AB與平面ABiCiD所成的角，

因?yàn)樵赗tAABBi中，sinNBABi嘩,

AD\3Z

所以/A431W30。，所以B項(xiàng)錯(cuò)誤；

在RtZXCBS中，CBi=ylBC2+BBr=y[2,

而AC=、AB2+BC2=3,所以C項(xiàng)錯(cuò)誤；

易知NOB1C是直線B1D與平面BSC1C所成的角，

因?yàn)樵赗tZYDBC中，CBi=CD=^2,所以NZ）BiC=45。，所以D項(xiàng)正確.

7.如圖所示，在四棱錐尸一ABC。中，B4,底面ABC。，且底面各邊都相等，M是PC上的

一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足條件：①②。MLPC,③BMLPC中的時(shí)，平面

平面PCD（只要填寫一個(gè)你認(rèn)為是正確的條件序號(hào)即可）.

答案②（或③）

解析連接AC（圖略）底面ABCD,.?.?R4_LBD」.,底面各邊都相等，：.AC±BD.

VB4nAC=A,，臺(tái)。，平面出C,：.BD±PC.

當(dāng)。M_LPC（或BW_LPC）時(shí)，即有PC_L平面MB。，

而PCU平面PCD,平面MB￡)_L平面PCD.

8.在矩形ABC。中，AB<BC,現(xiàn)將△ABD沿矩形的對(duì)角線2D所在的直線進(jìn)行翻折，在翻

折的過(guò)程中，給出下列結(jié)論：

①存在某個(gè)位置，使得直線AC與直線垂直；

②存在某個(gè)位置，使得直線AB與直線CD垂直；

③存在某個(gè)位置，使得直線與直線BC垂直.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是.

答案②

AE±BD]

解析①假設(shè)AC與8。垂直，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E,連接CE,如圖所示.貝1,

BD±AC\

=3。，平面AEC,則8DLCE,而在平面中，CE與2。不垂直，故假設(shè)不成立，①不

正確；

②假設(shè)AB_LCD,平面AC。，.?.ABLAC,由可知，

存在這樣的直角三角形，使A8LAC,故假設(shè)成立，②正確；

③假設(shè)AO_LBC,'：CD±BC,ADHCD=D,.?.BCLL平面AC。，：.BC±AC,即△ABC為直

角三角形，且AB為斜邊，而A8<BC,故矛盾，假設(shè)不成立，③不正確.

9.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是/ZM8=60。且邊長(zhǎng)為a的菱形，側(cè)面PAD

為正三角形，其所在平面垂直于底面ABC。，若G為的中點(diǎn).

(1)求證：83，平面融。；

(2)求證：ADLPB-,

(3)若E為BC邊的中點(diǎn)，能否在棱PC上找到一點(diǎn)F,使平面平面ABCD?并證明你

的結(jié)論.

⑴證明在菱形A8C。中，ZDAB=60°,G為的中點(diǎn)，

所以BG±AD.

又平面B4O_L平面ABCD,平面B40rl平面A8CD=A。，8GU平面ABC。，所以83_1_平面

PAD.

(2)證明如圖，連接PG,因?yàn)闉檎切?，G為線段4。的中點(diǎn)，

AB

所以PGLAD.

由(1)知BG_LA。，又PGCBG=G,所以AD_L平面PGB.

因?yàn)镻BU平面PGB,所以A￡?_LPB

(3)解能，當(dāng)尸為線段PC的中點(diǎn)時(shí)，平面OEFL平面A8CD證明如下：

如圖，取線段PC的中點(diǎn)凡連接。E,EF,DF.

在△PBC中，F(xiàn)E//PB,在菱形ABC。中，GB//DE.

而尸EU平面。EF,OEU平面DEE,EFCDE=E,PBu平面PG8,GBU平面PG8,PBCGB

=B,所以平面。EP〃平面PGA

因?yàn)槠矫嬉浴??平面ABC。，平面以。。平面ABCZ)=A。，PGU平面以。，PG1AD,所以

PG_L平面ABCD

又PGU平面PG8,所以平面尸GBJ_平面ABC。，

所以平面￡>EF_L平面ABCD.

10.(2023?廣州模擬)如圖，在三棱錐P—A2C中，平面E4C_L平面P2C,B4_L平面A8C

(1)求證：BC_L平面B4C；

(2)若AC=BC=B4,求二面角A—PB—C的平面角的大小.

⑴證明如圖，作AOLPC交尸C于點(diǎn)。，

因?yàn)槠矫姹谻_L平面P8C,平面必CC平面P8C=PC,A￡)u平面以C,

所以AOJ_平面PBC,

又BCU平面PBC,所以AO_LBC,

又因?yàn)锽4_L平面ABC,BCU平面ABC,

所以PALBC,

又E4,AOU平面B4C,B4AAD=A,

所以BC_L平面PAC.

(2)解如圖，作AO_LPC交PC于點(diǎn)。，DE_LPB交PB于點(diǎn)E,連接AE,

由(1)知AO_L平面PBC,

因?yàn)镻8U平面PBC,則AD±PB,

又A。，OEU平面AOE,ADCiDE=D,

所以平面AOE,

因?yàn)锳￡X平面ADE,

所以PB1AE,

則NAED即為二面角A—C的平面角.

又DEU平面PBC,則AD1DE,

不妨設(shè)AC=BC=B4=1,

則PC=?AD=*=*,

又由⑴知8(?，平面PAC,

因?yàn)锳CU平面PAC,

所以BCVAC,

所以AB=嫄，E4_L平面ABC,

又ABU平面ABC,

則PA±AB,貝IPB=木,AE=^^T

近

則sin/AED=愛=泉=坐,

3

由圖知二面角A—PB-C的平面角為銳角,

JT

所以ZAED^,

TT

即二面角A—PB—C的平面角的大小為,

合提升練

11.如圖，正三角形外。所在平面與正方形ABC。所在平面互相垂直，。為正方形ABCD的

中心,M為正方形ABC。內(nèi)一點(diǎn),且滿足則點(diǎn)M的軌跡為（）

AB

D

答案A

解析如圖，取A￡>的中點(diǎn)E,連接PE,PC,CE.

因?yàn)闉檎切?

所以PELAD,

又平面B4￡）_L平面A8C￡）,平面B4￡>Cl平面

所以PE_L平面43CD,

從而平面PECJ_平面A8CD,分別取PC,AB的中點(diǎn)F,G,連接。氏DG,FG,

由PD=DC知DF_LPC,易得DG1EC,

則Z)GJ_平面PEC,

又尸CU平面PEC,

所以DG±PC,

又DFCDG=D,

所以PCJ_平面DFG,

又點(diǎn)尸是PC的中點(diǎn),

因此，線段。G上的點(diǎn)滿足MP=MC.

12.（多選）如圖所示，一張A4紙的長(zhǎng)、寬分別為2小a,2a,A,B,C,。分別是其四條邊的

中點(diǎn).現(xiàn)將其沿圖中虛線折起，使得尸1,P2,P3,尸4四點(diǎn)重合為一點(diǎn)尸，從而得到一個(gè)多面

體.下列關(guān)于該多面體的命題正確的是（）

Pi

-)C

\t

-D~

A.該多面體是四棱錐

B.平面54。_L平面BCD

C.平面BAC_L平面AC￡）

D.該多面體外接球的表面積為汕

答案BC

解析由題意得該多面體是一個(gè)三棱錐，故A錯(cuò)誤；

平面BCD.

又：APU平面BAQ,；.平面8A￡>J_平面8C。，故B正確；同理可證平面8ACJ_平面AC。，

故C正確；通過(guò)構(gòu)造長(zhǎng)方體可得該多面體的外接球半徑所以該多面體外接球的表

面積為5兀/,故D錯(cuò)誤.

13.（多選）如圖，在正方體ABC。一AiBGA中，點(diǎn)尸在線段8C上運(yùn)動(dòng)，則下列說(shuō)法正確

的是（）

A.直線3。」平面A。。

B.三棱錐尸一4G。的體積為定值

TT7T

C.異面直線AP與4。所成角的取值范圍是E，I

D.直線GP與平面AC0所成角的正弦值的最大值為當(dāng)

答案ABD

解析A項(xiàng)，如圖，連接Bid,

由正方體可得

且BBi_L平面ABCZh,

又4GU平面A/CbDi,

貝ijBBiXAiCi,

因?yàn)?101083=81,

所以4G，平面BDiBi,

又BAU平面BD?,

所以AiGLBDi.

同理，連接AOi,易證得小。，2。|,

因?yàn)?DCAiCi=Ai,AiD,AiQu平面AC。，

所以8?！蛊矫?G。，故A正確；

B項(xiàng)，/棱錐棱錐G-4P?'

因?yàn)辄c(diǎn)尸在線段囪C上運(yùn)動(dòng)，

所以SAAQP=^AiD-AB,為定值，

且G到平面4P。的距離即為G到平面AiBiCD的距離，也為定值，

故三棱錐尸一4G。的體積為定值，故B正確；

C項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)P與線段BiC的端點(diǎn)重合時(shí)，AP與4。所成角取得最小值，最小值為全故C錯(cuò)

誤；

D項(xiàng)，因?yàn)橹本€平面4G。，

所以若直線GP與平面4G。所成角的正弦值最大，

則直線GP與直線BA所成角的余弦值最大，

即點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到81c中點(diǎn)處，直線GP與直線8。1所成角為/G8A,

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,在Rt^ACiB中，

nnCiB仍#1/rTria

cosZ.CiBDi—BD]—yj2—35故D正確.

2

14.如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E,尸分別在線段AB,AD±,AE=EB=AF=3FD=4,沿

直線跖將△AEF翻折成△A'EF,使平面A'EB_L平面8ER則二面角A'一即一。的平

面角的余弦值為.

答案當(dāng)

解析如圖，取線段￡尸的中點(diǎn)X,AF的中點(diǎn)G,連接A'G,A1H,GH.

由題意，知A'E=A'/及”是E尸的中點(diǎn)，

所以A，HLEF.

又因?yàn)槠矫鍭'跖_(tái)1平面2所，平面A'EFC平面BEF=EF,A'"U平面A'EF,

所以A'H_L平面3EF.

又APU平面BEP,故A'HLAF.

又因?yàn)镚,H分別是AF,EF的中點(diǎn)，

所以GH//AB,

所以GH±AF,

又A'HCGH=H,

于是AP_L平