正態(tài)分布 課件-2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊

7.5正態(tài)分布正態(tài)曲線與正態(tài)分布的歷史淵源

現(xiàn)實中，除了前面已經(jīng)研究過的離散型隨機變量外，還有大量問題中的隨機變量不是離散型的，它們的取值往往充滿某個區(qū)間甚至整個實軸，但取一點的概率為0，我們稱這類隨機變量為連續(xù)型隨機變量.離散型隨機變量的概率分布規(guī)律用分布列描述，

(兩點分布、超幾何分布、二項分布等)

連續(xù)型隨機變量的概率分布規(guī)律用什么來描述？人的身高、體重、肺活量；電視機的壽命；小麥的株高、穗長、單位面積產(chǎn)量；零件的尺寸；某地每年7月的平均氣溫、降水量；居民的月均用水量……問題：自動流水線包裝的食鹽，每袋標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為400g.由于各種不可控的因素，任意抽取一袋食鹽的質(zhì)量與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量之間或多或少會存在一定的誤差(實際質(zhì)量減去標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量).用X表示這種誤差，則X是一個連續(xù)型隨機變量.檢測人員在一次產(chǎn)品檢驗中，隨機抽取了100袋食鹽，獲得誤差X(單位：g)的觀測值如下：(1)如何描述這100個樣本誤差數(shù)據(jù)的分布？(1)如何描述這100個樣本誤差數(shù)據(jù)的分布？可用頻率分布直方圖描述這組誤差數(shù)據(jù)的分布，如圖所示.其中每個小矩形的面積表示誤差落在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的頻率，觀察圖形可知：誤差觀測值有正有負(fù)，并大致對稱地分布在X=0的兩側(cè)，而且小誤差比大誤差出現(xiàn)得更頻繁.隨著樣本數(shù)據(jù)量越來越大，讓分組越來越多，組距越來越小，由頻率的穩(wěn)定性可知，頻率分布直方圖的輪廓就越來越穩(wěn)定，接近一條光滑的鐘形曲線.頻率分布折線圖光滑的鐘形曲線(2)如何構(gòu)建適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ涂坍嬚`差X的分布？可用圖中的鐘形曲線(曲線與水平軸之間的區(qū)域的面積為1)來描述袋裝食鹽質(zhì)量誤差的概率分布.例如，任意抽取一袋食鹽，誤差落在[-2，-1]內(nèi)的概率，可用圖中黃色陰影部分的面積表示.(3)由函數(shù)知識知，右圖中的鐘形曲線是一個函數(shù).那么，這個函數(shù)是否存在解析式呢？100個數(shù)據(jù)(食鹽質(zhì)量誤差)100個數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖輪廓n(n>>100)個數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖輪廓接近一條光滑的鐘型曲線正態(tài)密度曲線

思考1

由函數(shù)知識可知，圖(3)中的鐘形曲線是一個函數(shù).那么，這個函數(shù)是否存在解析式呢?0-6-420-2f(x)0.050.100.150.20X46(3)答案是肯定的.在數(shù)學(xué)家的不懈努力下，找到了以下刻畫隨機誤差分布的解析式:其中μ∈R，σ>0為參數(shù).顯然，對任意的x∈R，f(x)>0，它的圖象在x軸的上方，可以證明x軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1.我們稱f(x)為正態(tài)密度函數(shù)，稱它的圖象為正態(tài)密度曲線，簡稱正態(tài)曲線，若隨機變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)，則稱隨機變量X服從正態(tài)分布，記為X~N(μ,σ2).特別當(dāng)μ=0,σ=1時，稱隨機變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.1.正態(tài)分布：正態(tài)分布在概率和統(tǒng)計中占有重要地位，它廣泛存在于自然現(xiàn)象、生產(chǎn)和生活實踐之中．在現(xiàn)實生活中，很多隨機變量都服從或近似服從正態(tài)分布，例如，某些物理量的測量誤差，某一地區(qū)同年齡人群的身高、體重、肺活量等，一定條件下生長的小麥的株高、穗長、單位面積產(chǎn)量，自動流水線生產(chǎn)的各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)（如零件的尺寸、纖維的纖度、電容器的電容），某地每年7月的平均氣溫、平均濕度、降水量等，一般都近似服從正態(tài)分布．思考2

觀察正態(tài)曲線及相應(yīng)的密度函數(shù)，你能發(fā)現(xiàn)正態(tài)曲線的哪些特點?思考2

觀察正態(tài)曲線及相應(yīng)的密度函數(shù)，你能發(fā)現(xiàn)正態(tài)曲線的哪些特點?由X的密度函數(shù)及圖象可以發(fā)現(xiàn)，正態(tài)曲線還有以下特點:(1)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x=μ對稱；(2)曲線在x=μ處達(dá)到峰值(3)當(dāng)|x|無限增大時，曲線無限接近x軸.

思考3一個正態(tài)分布由參數(shù)μ和σ完全確定，這兩個參數(shù)對正態(tài)曲線的形狀有何影響?它們反映正態(tài)分布的哪些特征?思考3一個正態(tài)分布由參數(shù)μ和σ完全確定，這兩個參數(shù)對正態(tài)曲線的形狀有何影響?它們反映正態(tài)分布的哪些特征?由于正態(tài)曲線關(guān)于x=μ對稱，因此，當(dāng)參數(shù)σ固定時，正態(tài)曲線的位置由μ確定，且隨著μ的變化而沿x軸平移，所以參數(shù)μ反映了正態(tài)分布的集中位置，可以用均值來估計，故有當(dāng)μ固定時，因為正態(tài)曲線的峰值與σ成反比，而且對任意的σ>0，正態(tài)曲線與x軸之間的區(qū)域的面積總為1.因此，當(dāng)σ較小時，峰值高，曲線“瘦高”，表示隨機變量X的分布比較集中；當(dāng)σ較大時，峰值低，曲線“矮胖”，表示隨機變量X的分布比較分散，所以σ反映了隨機變量的分布相對于均值μ的離散程度，可以用標(biāo)準(zhǔn)差來估計，故有σ=0.5012-1-2x-33x=μσ=1σ=2(1)曲線在x軸的上方，與x軸不相交；(3)曲線與x軸之間的面積為1；(4)當(dāng)μ一定時，σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中.2.正態(tài)曲線的性質(zhì)：(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x=μ對稱，且曲線在x=μ處取得最大值；(5)參數(shù)μ反映了正態(tài)分布的集中位置，σ反映了隨機變量的分布相對于均值μ的離散程度.在實際問題中，參數(shù)μ，σ可以分別用樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差來估計，故有練習(xí)：1.若X～N(2,3)，則E(X)=______，D(X)=_______.

2.X～N(μ,σ2)，若E(X)=3，σ(X)=2，則μ=______，σ=______.

23321.如圖所示，是一個正態(tài)曲線．試根據(jù)該圖象寫出其正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式，求出總體隨機變量的均值和方差．3.正態(tài)曲線下的面積規(guī)律：-x1-x2

x2

x1

a-a正態(tài)曲線下對稱區(qū)域的面積相等對應(yīng)的概率也相等利用“對稱法”求正態(tài)分布下隨機變量在某個區(qū)間的概率.練習(xí)若X～N(1,σ2)，且P(X<0)=a，則(1)P(X>1)=_________；(2)P(X>0)=_________；(3)P(0<X<1)=_______；(4)P(X<2)=_________；(5)P(0<X<2)=_______.012-1-2xy-334μ=10.51-a0.5-a1-a1-2a練習(xí)1

已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(X≤4)=0.84，則P(X≤0)=

A．0.16

B．0.32

C．0.68

D.0.84解：因為X~N(2，σ2)，所以μ

=2．由正態(tài)分布曲線的對稱性可知，P(X≤0)=

P(X≥4)=1－0.84=0.16

．

特別地，數(shù)學(xué)期望μ

=

0，方差

σ2

=

1時的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其密度函數(shù)記為其圖象如圖所示，隨機變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，簡記為X～N(0，1)．練習(xí)2

已知隨機變量ξ服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，且P(ξ<－1.96)＝0.025，則P(|ξ

|<1.96)

＝

A．0.025

B．0.050

C．0.950

D．0.975

解：因為ξ服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，所以μ

=

0．由正態(tài)分布曲線的對稱性可知，

P(|ξ

|<1.96)

＝P(－1.96<

ξ

<1.96)

＝1－P(

ξ

>1.96)－P(

ξ

<－1.96)

＝1－2P(

ξ

<－1.96)

＝1－0.05=0.95．P86-例.李明上學(xué)有時坐公交車,有時騎單車,他各記錄了50次坐公交車和騎單車所花的時間,經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到:坐公交車平均用時30min,樣本方差為36;騎單車平均用時34min,樣本方差為4.假設(shè)坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態(tài)分布.(1)估計X，Y的分布中的參數(shù)；(2)根據(jù)(1)中的估計結(jié)果，利用信息技術(shù)工具畫出X和Y的分布密度曲線；解：(1)隨機變量X的樣本均值為30，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為6，

隨機變量Y的樣本均值為34，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為2，

用樣本均值估計參數(shù)μ，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計參數(shù)σ，

可得X~N(30，62)，Y~N(34，22).P86-例.李明上學(xué)有時坐公交車,有時騎單車,他各記錄了50次坐公交車和騎單車所花的時間,經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到:坐公交車平均用時30min,樣本方差為36;騎單車平均用時34min,樣本方差為4.假設(shè)坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態(tài)分布.(3)如果某天有38min可用，李明應(yīng)選擇哪種交通工具?

如果某天只有34min可用，又應(yīng)該選擇哪種交通工具?請說明理由.解：(1)X~N(30，62)，Y~N(34，22).若有38min可用，則騎單車不遲到的概率大，應(yīng)選擇騎單車；若只有34min可用，則坐公交車不遲到的概率大，應(yīng)選擇坐公交車.(3)應(yīng)選擇在給定時間內(nèi)不遲到的概率大的交通工具.由圖知，P(X≤38)<P(Y≤38)，P(X≤34)>P(Y≤34).新

知

探

索

若X~N(μ，σ2)，則隨機變量X在μ的附近取值的概率較大，在離μ較遠(yuǎn)處取值的概率較?。唧w地，如圖所示，隨機變量X取值落在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ)內(nèi)

的概率約為68.27%，落在區(qū)間(μ－2σ，μ＋2σ)內(nèi)

的概率約為95.45%，落在區(qū)間(μ－3σ，μ＋3σ)內(nèi)

的概率約為99.73%．假設(shè)X~N(μ,σ2)，可以證明:對給定的k∈N*，P(μ-kσ≤X≤μ+kσ)是一個只與k有關(guān)的定值.特別地，4.特殊區(qū)間的概率：上述結(jié)果可用右圖表示.由此看到，盡管正態(tài)變量的取值范圍是(-∞,+∞)，但在一次試驗中，X的取值幾乎總是落在區(qū)間[μ-3σ,μ+3σ]內(nèi)，而在此區(qū)間以外取值的概率大約只有0.0027，通常認(rèn)為這種情況幾乎不可能發(fā)生.在實際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(μ,

σ2)的隨機變量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值，這在統(tǒng)計學(xué)中稱為3σ原則.課本87頁1.設(shè)隨機變量X~N(0,1)，則X的密度函數(shù)為_____________________，P(X≤0)=_____，P(|X|≤1)=_______，P(X≤1)=________，P(X>1)=________(精確到0.0001.)0.50.68270.841350.15865O1-1xyμ=0方法：把普通的待求區(qū)間向(μ?σ，μ+σ)，(μ?2σ，μ+2σ)，(μ?3σ，μ+3σ)這三個區(qū)間進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后利用3個特殊概率、0.5、1等求出相應(yīng)概率.課本87頁

2.設(shè)隨機變量X~N(0,22)，隨機變量Y~N(0,32)，畫出分布密度曲線草圖，并指出P(X≤-2)與P(X≤2)的關(guān)系，以及P(|X|≤1)與P(|Y|≤1)之間的大小關(guān)系.O1-1xyσ=3σ=22-2解：作出分布密度曲線如圖示，由圖可知，例

在某次數(shù)學(xué)考試中，假設(shè)考生的成績ξ服從正態(tài)分布

N(90，100)．

（1）求考試成績位于區(qū)間(70，110)上的概率；（2）若這次考試共有2000名考生，試估計考試成績在(80，100)間的考生大約有多少人．解：因為ξ~N(90，100)，所以μ

=

90，σ2=100，σ

=10．

（1）由正態(tài)分布的性質(zhì)可知，考生成績在μ－2σ=90－2×10=70和μ＋2σ=90＋2×10=110之間的概率約為0.9545．例

在某次數(shù)學(xué)考試中，假設(shè)考生的成績ξ服從正態(tài)分布

N(90，100)．

（1）求考試成績位于區(qū)間(70，110)上的概率；（2）若這次考試共有2000名考生，試估計考試成績在(80，100)間的考生大約有多少人．解：因為ξ~N(90，100)，所以μ

=

90，σ2=100，σ

=10．

（2）由正態(tài)分布的性質(zhì)可知，考生成績在μ－σ

=

80和μ＋σ

=100之間的概率是0.6827．

又因為一共有2000名學(xué)生參加考試，因此考試成績在（80，100）間的考生大約有2000×0.6827≈1365（人）．[提升]

某年級的一次信息技術(shù)測驗成績X近似服從正態(tài)分布N(70，102)，如果規(guī)定低于60分為不及格，求（1）成績不及格的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例；（2）成績在80～90內(nèi)的學(xué)生占總?cè)藬?shù)的比例．解：因為X~N(70，102)，所以μ

=70，σ

=10．

（1）由正態(tài)分布的性質(zhì)可知，成績在μ－σ

=60和μ＋σ

=80之所占的比例為0.6827．所以不及格即成績低于60分人數(shù)所占的比例為即不及格即成績低于60分人數(shù)所占的比例為15.865%．

[提升]

某年級的一次信息技術(shù)測驗成績X近似服從正態(tài)分布N(70，102)，如果規(guī)定低于60分為不及格，求（1）成績不及格的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例；（2）成績在80～90內(nèi)的學(xué)生占總?cè)藬?shù)的比例．解：（2）成績在80～90內(nèi)的學(xué)生占總?cè)藬?shù)的比例為

即成績在80～90內(nèi)的學(xué)生占總?cè)藬?shù)的比例為13.59%．

例2(1)已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2,σ2),且P(ξ<4)＝0.8,則P(0<ξ<2)＝()A.0.6 B.0.4

C.0.3 D.0.2√(2)據(jù)統(tǒng)計，某臍橙的果實橫徑(單位：mm)服從正態(tài)分布N(80，52)，則果實橫徑在[75，90]內(nèi)的概率為(

)附:若X～N(μ,σ2),則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827,P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545.A.0.6827 B.0.8413

C.0.8186 D.0.9545例2(1)已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2,σ2),且P(ξ<4)＝0.8,則P(0<ξ<2)＝()A.0.6 B.0.4

C.0.3 D.0.2√(2)據(jù)統(tǒng)計，某臍橙的果實橫徑(單位：mm)服從正態(tài)分布N(80，52)，則果實橫徑在[75，90]內(nèi)的概率為(

)附:若