2024屆山西省呂梁地區(qū)數(shù)學高二年級上冊期末聯(lián)考試題（含解析）

2024屆山西省呂梁地區(qū)數(shù)學高二上期末聯(lián)考試題

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.“五一”期間，甲、乙、丙三個大學生外出旅游，已知一人去北京，一人去兩安，一人去云南.回來后，三人對去向

作了如下陳述：甲：“我去了北京，乙去了西安.”乙：“甲去了西安，丙去了北京.”丙：“甲去了云南，乙去了北京.”事

實是甲、乙、丙三人陳述都只對了一半（關于去向的地點僅對一個）.根據(jù)以上信息，可判斷下面說法中正確的是。

A.甲去了西安B.乙去了北京

C.丙去了西安D.甲去了云南

2.“%>2”是“x〉的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，的取值范圍為[-1,2],則輸出s的取值范圍為（）

A.[-3,4]B.[-3,6]

C.[-3,3][4,4W)D.(—oo,4]

4.已知C：x1+y2-2x-2y-2=Q,直線x+2y+2=Q,M為直線/上的動點，過點拉作C的切線"A,

MB,切點為A,B,則四邊形面積的最小值為()

A.lB.2

C.2&D.4

5.若直線/:2x+〃y+l=0與直線4：%-2y+2=0平行，則。=()

A.lB.-1

C.4D.-4

6.已知拋物線Y=4y內一點過點P的直線/交拋物線于A,B兩點,且點P為弦A3的中點，則直線/的

方程為O

A.%+2>-3=0B.％-2y+l=0

C2x-y+l=0D.x+y-2=0

7.黃金矩形是寬(b)與長Q的比值為黃金分割比(2=避二1)的矩形，如圖所示，把黃金矩形ABC。分割成

a2

一個正方形AD歷和一個黃金矩形6CEF,再把矩形5CEF分割出正方形CEGH.在矩形ABC。內任取一點，則

該點取自正方形CEG”內的概率是

8.已知三棱錐P-ABC的各頂點都在同一球面上，且平面ABC,若該棱錐的體積為2叵，AB=2,AC=1,

3

NS4c=60。，則此球的表面積等于()

A.5TIB.8萬

C.167rD.20TT

9.設函數(shù)/(x)=tanx-x,xw左乃+g,keZ,貝!J()

C.7(l)</f<7(4)Dj⑴<〃4)</7C

10.直線/：y=x—1與圓。：必+/=4的位置關系是（）

A.相交B.相切

C.相離D.都有可能

11.設函數(shù)八％）在定義域內可導，y=/（x）的圖象如圖所示，則導函數(shù)丁=/'（九）的圖象可能為（）

12.長方體ABCD—A4G。中，AB=2,BC=1,44=2,M為側面CCQQ內（含邊界）的動點，且滿足

tanZMAD+tanZMBC=，則四棱錐Af—ABC。體積的最小值為。

A.述B,也

33

「2百4有

Lz?\J?

99

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若拋物線C：丁2=2°40>0）上的一點41：,%］到它的焦點的距離為3,則0=_.

14.數(shù)據(jù)6,8,9,10,7的方差為

15.命題“若％2-2尤=0，則x=2”的逆否命題為

16.如圖所示，在直二面角。一45一E中，四邊形A3C。是邊長為2的正方形，AAE3是等腰直角三角形，其中

ZAEB=90°,則點。到平面ACE的距離為

D,C

大十二

E

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知拋物線E：V=2px(p>0)過點0(1,2),尸為其焦點，過尸且不垂直于x軸的直線/交拋物線E

于A,B兩點,動點P滿足的垂心為原點O.

(1)求拋物線E的方程；

(2)求證：動點尸在定直線機上，并求的最小值.

18.(12分)“中山橋”是位于蘭州市中心，橫跨黃河之上的一座百年老橋，如圖①，橋上有五個拱形橋架緊密相連，

每個橋架的內部有一個水平橫梁和八個與橫梁垂直的立柱，氣勢宏偉，素有“天下黃河第一橋”之稱.如圖②，一個拱形

橋架可以近似看作是由等腰梯形A5WW和其上方的拋物線(部分)組成，建立如圖所示的平面直角坐標系，

已知A8=44m，NA=45°,AC=4m,CD=5m,立柱DN=5.55m.

圖①圖②

(1)求立柱CM及橫梁旅的長；

(2)求拋物線MOP的方程和橋梁的拱高O9.

19.(12分)設“，5是實數(shù)，若橢圓E:5+]=l(a〉6〉0)過點且離心率為：.

(1)求橢圓E的標準方程;

(2)過橢圓E的上頂點尸分別作斜率為匕，區(qū)的兩條直線與橢圓交于C，。兩點，且《+&=：，試探究過C,D

兩點的直線是否過定點？若過定點，求出定點坐標；否則，說明理由.

20.(12分)已知函數(shù)/(%)=3雙2+雙一1,a^R.

（1）當a=4時，求不等式/（x）＞0的解集;

⑵若/（x）WO在尺上恒成立，求”取值范圍.

21.（12分）已知K，工是橢圓C：二+W=1（?！?〉0）的左、右焦點，離心率為巫，點A在橢圓C上，且△4片鳥

ab2

的周長為40+4.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若3為橢圓C上頂點，過。（0,8）的直線/與橢圓C交于兩個不同點P、Q,直線5P與X軸交于點直線

與x軸交于點N,判斷|。知耳皿|是否為定值.若是，求出定值，若不是，請說明理由.

22.（10分）某高校自主招生考試分筆試與面試兩部分，每部分考試成績只記“通過”與“不通過”，兩部分考試都“通過”

者，則考試“通過”，并給予錄取.甲、乙兩人在筆試中“通過”的概率依次為050.6,在面試中“通過”的概率依次為

0.4,0.3,筆試和面試是否“通過”是獨立的，那么

（1）甲、乙兩人都參加此高校的自主招生考試，誰獲得錄取的可能性大？

（2）甲、乙兩人都參加此高校的自主招生考試，求恰有一人獲得錄取的概率.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、D

【解題分析】根據(jù)題意，先假設甲去了北京正確，則可分析其他人的陳述是否符合題意，再假設乙去西安正確，分析

其他人的陳述是否符合題意，即可得答案.

【題目詳解】由題意得，甲、乙、丙三人的陳述都只對了一半，

假設甲去了北京正確，

對于甲的陳述：則乙去西安錯誤，則乙去了云南；

對于乙的陳述：甲去了西安錯誤，則丙去了北京正確；

對于丙的陳述：甲去了云南錯誤，乙去了北京也錯誤，故假設錯誤.

假設乙去了西安正確，

對于甲的陳述：則甲去了北京錯誤，則甲去了云南；

對于乙的陳述：甲去了西安錯誤，則丙去了北京正確；

對于丙的陳述：甲去了云南正確，乙去了北京錯誤，

此種假設滿足題意，故甲去了云南.

故選：D

2、B

【解題分析】根據(jù)充分條件和必要條件的概念即可判斷.

【題目詳解】；2〈石，二“x>2”是“%〉有”的必要不充分條件.

故選：B.

3、A

3t,—1,,/<1

【解題分析】由程序圖可得，S="，，雙L0,再分段求解函數(shù)的值域，即可求解

【題目詳解】由程序圖可得s=C，

4z-r,-lW2

當—L"<1時，3t^[-3,3),當瓚2時，4?-Z2=-(?-2)2+4G[3,4],

綜上所述，$的取值范圍為[-3,4]

故選：A

4、B

【解題分析】易知四邊形M4C3的面積為S=|M4|?H=2—4,然后由慳。最小，根據(jù)MC與直線/：

x+2y+2=0垂直求解.

[題目詳解]C：/+,2_2》_2,_2=0化為標準方程為：(尤_1)2+(,_1)2=4,

由切線長得：|阿=_氏2,

四邊形MAC3的面積為S=\MA\-R=2^|MC|2-4,

若四邊形M4c3的面積最小，則眼。最小，

此時MC與直線/：x+2y+2=0垂直，

所以McL=/N=君，

所以四邊形MACB面積的最小值5niin=2,(肩—4=2，

故選：B

5、D

【解題分析】根據(jù)兩直線平行可得出關于實數(shù)〃的等式，由此可解得實數(shù)。的值.

【題目詳解】由于直線/:2尤+ay+l=O與直線/2：x—2y+2=0平行，則亍二三彳萬，解得。=汽.

故選：D.

6、B

【解題分析】利用點差法求出直線斜率，即可得出直線方程.

【題目詳解】設4（%,乂）,5（%2，%），

X；=4%

則兩式相減得（七一%）（玉+%）=4（%-%），

=4y2

即左二&九1+犬21

4~2

玉-x2

貝恒線方程為y-l=g(x-l),即x—2y+l=0.

故選：B.

7、C

【解題分析】設矩形的長，寬分別為。力,所以6=避匚。，把黃金矩形ABC。分割成一個正方形ADEF和一個黃

2

金矩形BCEF,所以CE=a-6=之音a，設矩形A6C。的面積為S，正方形CEGH的面積為S’,設在矩形ABCD內

2

s

任取一點，則該點取自正方形CEGH內的概率是P,則尸=《==非-2,故本題選C.

3布-1

a,------a

2

【題目詳解】本題考查了幾何概型，考查了運算能力.

8、D

【解題分析】由條件確定三棱錐尸-ABC的外接球的球心位置及球的半徑，再利用球的表面積公式求外接球的表面積.

【題目詳解】由已知AB=2,AC=1,44c=60。，可得三棱錐的底面是直角三角形，ZACB=90°,由？平

面ABC可得就是三棱錐外接球的直徑，SoBc=Lx2xlxsin60°=且，V==」x走xPA=2叵，即

△0223323

巴4=4,則尸5=VPA2+AB2=2A/5，故三棱錐外接球的半徑為亞，所以三棱錐外接球的表面積為S=4兀R?=20萬

故選：D.

【題目點撥】與球有關的組合體問題，一種是內切，一種是外接.解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，

確定有關元素間的數(shù)量關系，并作出合適的截面圖，如球內切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長

等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.

9、A

【解題分析】根據(jù)導數(shù)得出/(X)在三］的單調性，進而由單調性得出大小關系.

【題目詳解】因為/'(x)=［紅土］一一1>0,所以/(%)在I。,］］,已，藺上單調遞增.

\cosxjcosx12八22J

因為0<1<?后，所以0(0)<〃1)而/(0)=0,所以0</⑴</

fi4<—<—,所以/(4)</-=tan-^-----=v3-—<0.

故選：A

10、A

【解題分析】求出圓心到直線的距離，然后與圓的半徑進行大小比較即可求解.

【題目詳解】解：圓。：爐+,2=4的圓心c(o,o),r=2,

|0-0-lLV2

因為圓心C(0,0)到直線/:y=x—1的距離d=<2,

&-2

所以直線/：y=x-1與圓C：/+y2=4的位置關系是相交,

故選:A.

11、D

【解題分析】根據(jù)“X)的圖象可得“X)的單調性，從而得到了'(X)在相應范圍上的符號和極值點，據(jù)此可判斷

/'(X)的圖象.

【題目詳解】由/(%)的圖象可知，/(力在(-8,0)上為增函數(shù)，

且在(0,+。)上存在正數(shù)m,n,使得〃力在(O,m),(?,+w)上為增函數(shù),

在(m,")為減函數(shù)，

故尸(左)在(O,+8)有兩個不同的零點，且在這兩個零點的附近，/'(%)有變化，

故排除A,B.

由“龍)在(-8,0)上為增函數(shù)可得了'(同20在(-8,0)上恒成立，故排除C.

故選：D.

【題目點撥】本題考查導函數(shù)圖象的識別，此類問題應根據(jù)原函數(shù)的單調性來考慮導函數(shù)的符號與零點情況，本題屬

于基礎題.

12、D

【解題分析】取CD的中點。，以點。為坐標原點，DA>DC、DR的方向分別為X、V、z軸的正方向建立空間

直角坐標系，分析可知點M的軌跡是以點C、。為焦點的橢圓，求出橢圓的方程，可知當點M為橢圓與棱CC,或DD]

的交點時，點加到平面ABC。的距離取最小值，由此可求得四棱錐A3CD體積的最小值.

【題目詳解】取CD的中點。，以點。為坐標原點，ZM、DC、0n的方向分別為n、丁、z軸的正方向建立如下

圖所示的空間直角坐標系，

設點川(O,y,z),其中0<z<l,則。(0,-1,0)、C(0,l,0),

所以，tanZMAD+tanZMBC=\DM|+|CM|=2百>\CD\=2,

所以點聞的軌跡是以點C、。為焦點，且長軸長為2g的橢圓的一部分,

則a=A/3>c=l>b=y/a2—c1=\f2，

22

所以，點四的軌跡方程為匕+二=l(%=0,—l<y<l,0<2<

32、

點加到平面ABC。的距離為z,當點M為曲線q+：=l（x=O,—1＜丁＜1,04241）與棱。6或棱。2的交點時,

點M到平面ABCD的距離取最小值，

將丁=±1代入方程（+；=1@=0,一1三”1,04241）得2=半，

因此，四棱錐M-ABCD體積的最小值為、2義冬8=迪.

339

故選：D.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、4

【解題分析】通過拋物線的定義列式求解

【題目詳解】根據(jù)拋物線的定義知“+"=3,所以。=4.

42

故答案為：4

14、2

【解題分析】首先求出數(shù)據(jù)的平均值，再應用方差公式求它們的方差.

【題目詳解】由題設，平均值為0=6+8+；+1。+7=8,

15_

方差1=色（%-召=2.

5z=i

故答案為：2.

15、若％w2,貝（I龍2-2》/0

【解題分析】否定原命題條件和結論，并將條件與結論互換，即可寫出逆否命題.

【題目詳解】由逆否命題的定義知：原命題的逆否命題為“若xw2,則無2—2》#0”.

故答案為：若xw2,則三―2x/0.

2有

l1bfi、----

3

【解題分析】建立合適空間直角坐標系，分別表示出點A,C,D,E的坐標，然后求解出平面ACE的一個法向量〃，利

\AD-n\

用公式求解出點。到平面ACE的距離.

【題目詳解】以A3的中點。為坐標原點，分別以0E,03所在的直線為x軸、y軸，過。垂直于平面4狙的方向為

z軸,

建立如下圖所示的空間直角坐標系,

則A（O,-1,O）,E（1,O,O）,D（0,-l,2）,C（0,l,2）,

AD=（O,O,2）,AE=（l,l,O）,AC=（O,2,2）,

n-AE=0%+y=0

設平面ACE的法向量〃=(羽％z),則＜，即

n-AC=0y+z=Qf

令y=l,???〃=（—

|AD-H|_22J3

故點D到平面ACE的距離d=J==——

故答案當

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

S_

17、(1)/=4x；(2)證明見解析，三時幽的最小值為2百.

【解題分析】(1)將點。的坐標代入拋物線方程，由此求得0的值，進而求得拋物線E的方程.

(2)設出直線I的方程,聯(lián)立直線I的方程與拋物線的方程，寫出韋達定理,設出直線AP,BP的方程,聯(lián)立直線AP,BP

S

的方程求得P的坐標，由此判斷出動點尸在定直線x=-3上.求得*坦的表達式，利用基本不等式求得其最小值.

【題目詳解】(1)將。點坐標代入拋物線方程得22=2pxl,p=2,所以y2=4x.

（2）由（1）知拋物線E的方程為V=4x,所以歹（1,0）,設直線/的方程為x=?+l,設人（石,乂）,5（%,％），由

x=ty+l%+為=4f

消去X得y2一43一4=0,所以＜.由于。為三角形八鉆的垂心，所以

y2=4x/,%=—4

所以直線AP的方程為y—x=-即了=—同理可求得直線

%3

=--x+-y,

族的方程為y=—7X+1為?由＜44-1X+%=今/、

，結合j；y=_4'解得「（—3,3。，所以P在定直線x=—3上.

%3

=-4-+-4-K2

-3-3?2-1|3r+4

直線/的方程為無=9+1=＞%-9-1=0，P到直線/的距離為4=。到直線/的距離為

產

”一21|團”小朋義4慟+4|_3加2

2^/1+FVl+F'囪2t

SA“B1X|A5|XJ2

&=局/=土空時取等號.所以自皿的最小值為2G.

2\t\3^\QAB

【題目點撥】本小題主要考查拋物線方程的求法，考查直線和拋物線的位置關系，考查拋物線中三角形面積的有關計

算，屬于中檔題.

18、(1)CM=4m,MF-36m

(2)x2=-100y,OH=7.24m

【解題分析】（1）根據(jù)梯形的幾何性質，即可求解;

（2）表示出的坐標，代入拋物線方程中，結合條件解得p值，繼而求得拱高.

【小問1詳解】

由題意，知NA=45。,AC=4加，則CM=4加,

因為A5尸”是等腰梯形，由對稱性知:

AC=BE—4/n,

所以MF=CE=AB—AC—E3=44—4-4=36(相)，

【小問2詳解】

由（1）知CH=AH—AC=18,

所以點M的橫坐標為-18,

則N的橫坐標為-(18-5)=-13.

設點的縱坐標分別為山，

M,Ny2,

由圖形，知E―%|=|5.55—4|=1.55

設拋物線的方程為必=-2py(p>0),將點N代入，得

(-18)2=-2孫，

(-13)2=—2p%，

兩式相減，得2〃()明山)=182?132=155,

解得：2P=100

故拋物線的方程為好二100y,

,11

因此，當x=-18時，y---------x9---------x324=—3.24根,

故聞=3.24%

所以橋梁的拱高OH=3.24+4=7.24m.

19、(1)"1;

(2)過定點，坐標為卜4代,-6).

【解題分析】(1)根據(jù)橢圓的離心率公式，結合代入法進行求解即可；

(2)根據(jù)直線斜率公式和一元二次方程根與系數(shù)的關系進行求解即可.

【小問1詳解】

因為橢圓離心率為:，

「1

所以有一=—na?=4c之na?=4(6z2—b2)n4b2=3a2(1).

a2

9

3

1(〃〉6>0)過點1,所以_IO一由(可解:

1⑵1)(2)

22

。2=4,〃=3,所以該橢圓方程為：—+^=1；

43

【小問2詳解】

由(1)可知：P(0,6),

設直線CD的方程為：y=kx+m,若k=U,由橢圓的對稱性可知：匕+&=0,不符合題意,

當上W0時，

(22

土+匕=1

直線CD的方程與橢圓方程聯(lián)立得：｛43=(3+4左2)尤2+8協(xié)雙+4療—12=0,

y=kx+m

設COi，%),D(x2,y2),

-8mk4"，-12

X,1+%2=---------7,M1X,=------丁>

'3+4左2-3+4左2

因為匕+&=g，所以

2^+」=培+⑺-收+優(yōu)+(機一,)=1+("-6)羽+京小+(加-我士=工書，

%入22匹922

，

(m-)(x2+xt')=(^--2k)xix2,,把％+X,=—陰與%%2=—~早代入得：

2

21-3+4k-%3+442

—81nk2=(i-2k)?——n8mk(m-6)=(2k--)(4m2-12)=>(m-2y/3k)2=(2百人-6丫,

3+4k23+4k2

所以有根-2y/3k=2yf3k—A/3或rn--—(2^/3^-y(3),

解得：m=4#)k-6或m=#f，

當相=6時，直線y二丘+百，直線恒過定點(0,8)，

此時與尸點重合，不符合題意，

當機=4?時，丁=依+4辰一百=左。一4代)—直線恒過點卜4百6),

當直線CD不存在斜率時，此時。(和“)，。(冷-%)，因為左+&=g，所以

入2+土且="n*=1nX]=-4G<-2,兩點不在橢圓上，不符合題意，

綜上所述：過c,O兩點的直線過定點，定點坐標為卜4&,-百).

【題目點撥】關鍵點睛：根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關系是解題的關鍵.

20、(1)或卜(2)[—12,0].

【解題分析】(1)解不含參數(shù)的一元二次不等式即可求出結果；

(2)二次函數(shù)的恒成立問題需要對二次項系數(shù)是否為。進行分類討論，即可求出結果.

【題目詳解】(1)當a=4時，/(X)=12X2+4X-1>0,即(2x+l)(6x—l)>0,

解得x<—，或X〉；，

26

所以，解集為｛%%<一1或

(2)因為/(%)=3依2+依一1忘0在R上恒成立,

①當a=0時，/(%)=—1〈。恒成立;

〃<0

②當〃。0時,解得—12WavO,

A=6i2+12〃(0

綜上，a的取值范圍為[-12,0].

22

21、(1)—+^-=1

84

40

(2)\OM\-\ON\=—

3

【解題分析】(1)利用橢圓的定義可得2a+2c=4&+4,而離心率6=$=正，解方程組，即可得解;

a2

(2)設直線P。的方程為x=r(y-8),將其與橢圓的方程聯(lián)立，由P,Q,3三點的坐標寫出直線網(wǎng)，的方程,

進而知點“，N的坐標，再結合韋達定理，進行化簡，即可得解

【小問1詳解】

解：因為△4月鳥的周長為4亞+4，所以2a+2c=4A歷+4，即a+c=2e+2.

又離心率6=g=立，所以。=2四，c=2,

a2

所以〃=a2—c2=4,