廣東省深圳市高三第一次調(diào)研考試數(shù)學試卷

試卷類型：A

2024年深圳市高三年級第一次調(diào)研考試

數(shù)學

2024.2

本試卷共4頁，19小題，滿分150分，考試用時120分鐘

注意事項：

1.答題前，考生請務必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.用

2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘

貝占處”.

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂

黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應

位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按

以上要求作答的答案無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

（43）Sin（a+l）=

1.若角夕的終邊過點I'人則I（）

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)余弦函數(shù)定義結合誘導公式計算求解即可.

/\44（兀）4

【詳解】因為角a的終邊過點（4,3）,所以cosa=/..=二,所以sin[e+5）=cose=M.

故選：A

2.已知i為虛數(shù)單位，若2=—―，則z.z=（）

1+1

A.72B.2C.-2iD.2i

【答案】B

【解析】

【分析】由復數(shù)的運算及共輾復數(shù)的定義即可求出結果.

2gi)

【詳解】因為Z=;—r=所以5=l-i,

1+1(l+i)-(l-i)

z-z=(l+i).(l-i)=2.

故選：B.

3.已知函數(shù)了(%)是定義域為R的偶函數(shù)，在區(qū)間(0,+。)上單調(diào)遞增，且對任意為戶2，均有

/(玉X2)=/(%)/(9)成立，則下列函數(shù)中符合條件的是()

A.y=ln|x|B.j=x3C.y=2國D.y=\x\

【答案】D

【解析】

【分析】由指數(shù)、對數(shù)運算性質(zhì)結合函數(shù)單調(diào)性、奇偶性定義逐一判斷每個選項即可求解.

【詳解】對于A,/(x,x2)=hil^l=hi|x,|+ln|x2|=/(jq)+/(x2),故A錯誤；

對于B,/(-1)=-1=-/(1).故y=_?不是偶函數(shù)，故B錯誤；

對于C,/■(芯)/(々)=2聞2網(wǎng)=2爪引=/(玉+々)，故C錯誤；

對于D,/(國蒼)=|七刃=|引國=/&)/(9),

又y=/(x)=W定義域為全體實數(shù)，它關于原點對稱，且/(—￡)=卜可=國=/(力,

即函數(shù)/(%)是定義域為R的偶函數(shù)，

當x>0時，/(%)=%單調(diào)遞增，滿足題意.

故選：D.

4.已知a力是夾角為120。的兩個單位向量，若向量a+Xb在向量a上的投影向量為2a，則2=()

「2白2百

3

【答案】A

【解析】

【分析】由投影向量計算公式可得答案.

Cl+?aa+?a

【詳解】0+2。在向量。上的投影向量為3-----------a=2a-------------=2.

aa

故選：A

5.由0,2,4組成可重復數(shù)字的自然數(shù)，按從小到大的順序排成的數(shù)列記為{4},即6=0,。2=2,4=4,

若=2024，則〃=（）

A34B.33C.32D.30

【答案】B

【解析】

【分析】由題意可知一位自然數(shù)有2個，兩位自然數(shù)有6個，三位自然數(shù)有18個，利用列舉法列出符合題

意得自然數(shù)，即可求解.

【詳解】由0,2,4組成可重復數(shù)字自然數(shù)，按從小到大的順序排成數(shù)列{4},

則一位自然數(shù)有2個，兩位自然數(shù)有32-3=6個,

三位自然數(shù)有33-9=18個，四位自然數(shù)有34—27=54個,

又四位自然數(shù)為2000,2002,2004,2020,2022,2024,

2024為四位自然數(shù)中的第6個，所以“=1+2+6+18+6=33.

故選：B

6.已知某圓臺的上、下底面半徑分別為？G，且々=2。若半徑為2的球與圓臺的上、下底面及側面均

相切，則該圓臺的體積為（）

28兀40兀56兀112兀

A——B.——C.-----D.-------

3333

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)圓臺的軸截面圖，結合圓臺和球的結構特征求解？弓，然后代入圓臺體積公式求解即可.

【詳解】如圖,

設圓臺上、下底面圓心分別為則圓臺內(nèi)切球的球心。一定在。1。2的中點處，

設球。與母線A3切于M點，所以所以OM=OOj=OQ=2,

所以AO。1與全等，所以AM=小同理所以43=4+2=3/,

過A作AGJ_BQ2，垂足為G,則5G=々_八=(,AG=O]Q=4,

所以AG2=Afi2一3G2,所以16=(3幻2—片=8/，所以《=&,所以弓=2夜，

所以該圓臺的體積為，2兀+8兀+4兀卜4=號.

故選：C

,、征+2,〃=2左一1*,、

7.已知數(shù)列｛〃〃｝滿足q=%=l,4+2=_(左wN*),若S〃為數(shù)列｛凡｝的前〃項和，則

一,YI—Z/C

A.624B.625C.626D.650

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)給定的遞推公式，按奇偶分類求和即得.

a+2,n=2k-l

【詳解】數(shù)列｛4｝中，%=%=1，t+2n

[-an,n=2kaej

當〃=2左—1/EN*時，-2,即數(shù)列｛%｝的奇數(shù)項構成等差數(shù)列，其首項為1，公差為2,

”125x24_

貝[|Q[+/+。5++&9=25x1+——--x2=625,

時，&母=-1,即數(shù)列｛%｝的偶數(shù)項構成等比數(shù)列，其首項為1,公比為T,

當"=2k,k€N：

an

1X],

則%+%+。6+rM

501-(-1)

所以S50—(%+%+。5++〃49)+(〃2+%+〃6+…+〃50)=626.

故選：C

22

8.已知雙曲線石：鼻—斗=1(〃〉0,/?〉0)的左、右焦點分別為耳,B，過點歹2的直線與雙曲線E的右支

ab

交于AB兩點，^\AB\=\AF｛\,且雙曲線E的離心率為血，貝i」cos/BAG=()

311

A.一近B.——C.一D.——

8488

【答案】D

【解析】

【分析】由雙曲線的定義結合已知條件求得忸閭=2°,從而再得忸周=4。，由余弦定理求得cos/86片,

由誘導公式得cos/A8耳，設|班|=加，貝14用=m+2匹再由余弦定理求得加=§。，從而利用余弦

定理求解即可.

【詳解】因為雙曲線E的離心率為J5,所以c="z，因為|A卻=|人耳|,

所以忸K|=|AB|—=由雙曲線的定義可得忸耳卜忸閭=|班卜勿=2a,

所以忸用=4a=2|%|,

4礦+8礦-16礦A/2

在ABFE中，由余弦定理得cosZBF^=，用羋m一曹一

2\BF2\-\F1F2\2x2ax2y/2a4

在^中，cosN￡￡A=—cos/4￡5=字，設|隹|=加，則|人耳|=加+2。,

由|前『=|片閭2+|”「一2|耳閶|A閶cos/片&A得

2X/7

(2a+m)2=(2應a)?+m2-2-2應a■m?,解得加=§o,所以悄耳|=學,

4

64a之64a2

----+------16a2

M「+M*防21

所以cos/BA4=99

21A4?〔明_8a8a

2x——x——8

33

【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵是利用cosN4心A=-cos月8,結合余弦定理與雙曲線的定

義，從而得解.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.“體育強則中國強，國運興則體育興”.為備戰(zhàn)2024年巴黎奧運會，已知運動員甲特訓的成績分別為：9,

12,8,16,16,18,20,16,12,13,則這組數(shù)據(jù)的（）

A.眾數(shù)為12B.平均數(shù)為14C.中位數(shù)為14.5D.第85百分位數(shù)為16

【答案】BC

【解析】

【分析】由眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)，第百分位數(shù)的定義求出即可.

【詳解】成績從小到大排列為：8,9,12,12,13,16,16,16,18,20.

A：出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)為16,故A錯誤;

B：平均數(shù)=5(8+9+12+12+13+16+16+16+18+20)=14,故B正確;

C：中位數(shù)為：史史=14.5,故C正確；

2

D：第85百分位數(shù)為第10*0.85=8.5,即第9位，為18,故D錯誤;

故選：BC.

10.設。>18>0,且Ina=2—6,則下列關系式可能成立的是（）

A.a=bB.b—a=cC.a=2024Z?D.ab>e

【答案】AC

【解析】

【分析】首先求出l<a<e2,再分別構造函數(shù)，結合導數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性一一分析即可.

【詳解】由于lna=2—b,知Z?=2—lna,及其則Z?=2—lna>0,解得leave?,

對AB,b—a=2—lna—a,設函數(shù)/(a)=2-Ino-a,leave?,/'(a)=---1<0,

a

2

故/(a)在(H)上單調(diào)遞減，則-e2=/(e2)</(a)</(l)=i,gp_e,故A對B錯；

,?…7b2-lna、門/、2-ina、2“、lna-3八

對C,由于l<a<e,—=---------,設g(a)=----------,l<a<e,g(a)=------—<0,

aaaa

故g(a)(Le?)上單調(diào)遞減，0=g(e2)<g(a)<g⑴=2,故26(0,2),

b1

若。=2024上一=——￡(0,2),故C對；

a2024

對D,ab=a(2-ina),設/z(a)=a(2-lna),a《Le?),//(a)=2-(lna+l)=l-lna,

令〃(a)=0,則。=。，則。h\a)>0,則aw(e,e2),hr(a)<0,

2

則/z(a)在(l,e)上單調(diào)遞增，在(e,e?)上單調(diào)遞減，^(?)=6,/1(1)=2,/1(6)=0,故/z(a)e(0,e],即

0<ab<e,故D錯誤.

故選：AC.

11.如圖，八面體。的每一個面都是邊長為4的正三角形，且頂點C,D,E在同一個平面內(nèi).若點M在四

邊形3CDE內(nèi)(包含邊界)運動，N為AE的中點，則()

TT

A.當”為。石的中點時，異面直線"N與所成角為1

B.當〃平面ACD時，點M的軌跡長度為2垃

C.當時，點加到的距離可能為百

D.存在一個體積為W的圓柱體可整體放入c內(nèi)

3

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)幾何體的特征，化空間為平面，逐個推理，計算分析.

因為3CDE為正方形，連接3D與CE,相交于點。，連接Q4,則0￡),0E,Q4兩兩垂直，

故以｛OD,OE,OA｝為正交基地，建立如圖所示的空間直角坐標系，

0(20,0,0),5(—20,0,0),￡(0,272,0),C(0,—2點,0),A(O,O,20),F(0,0,—2五)，N為

AE的中點，則N(O,0,后).

當M為OE的中點時，M(72,72,0),MN=1-叵0,吟,CF=(0,272,-2A/2),

MNCF_|0+0-4|_1

設異面直線MN與。尸所成角為8,cos6?=cos^MN,CF)

\MN\\CF\2X42

jrTT

9e(0,—],故。=—,A正確；

23

設尸為。石的中點，N為AE的中點，則尸N〃A。，ADu平面AC。，PN(Z平面AC。,

則PN〃平面ACD,又MN〃平面ACD,又MNcPN=N,設QeBC,

故平面ACVP〃平面ACD,平面ACD1平面6cDE=CD,

平面腦VPI平面5cDE=P。，則尸。〃CD,則。為BC的中點，

點M在四邊形BCDE內(nèi)（包含邊界）運動，則MePQ,

點M的軌跡是過點。與CD平行的線段尸。，長度為4,B不正確；

當時，設M（x,y,0）,跖4=（―x,—y,20）,ME=（-x,2亞-y,0）,

MA-ME=x2+y（y-242）=Q,得V+J_20y=0,即-+（,_?了=2,

即點”的軌跡以OE中點K為圓心，半徑為J5的圓在四邊BCDE內(nèi)（包含邊界）的一段?。ㄈ缦聢D），

K到的距離為3,弧上的點到BC的距離最小值為3-0，

因為3-收<6,所以存在點/到的距離為班，C正確；

由于圖形的對稱性，我們可以先分析正四棱錐A-3CDE內(nèi)接最大圓柱的體積，

設圓柱底面半徑為〃，高為人P為OE的中點，。為的中點，PQ=4,AO=2肥,

根據(jù)一AGH相似,AOP,得型=型，即，=201」,九=加（2—廠），

OPAO2141

則圓柱體積V=nr2h=五兀戶（2—r）,

3

設V（r）=缶（2產(chǎn)-r）（0<r<2）,求導得V'（r）=岳（4>-3產(chǎn)）,

44

令V'（r）=。得，r=一或廠=0,因為0<廠<2,所以廠=0舍去，即廠二一，

33

44

當0<r<—時，r（r）>0,當一〈/<2時，r（r）<0,

33

即r=3時￡有極大值也是最大值，V有最大值必亞，

327

32^/259672-135麻33—而F8432—8225八±,32725

---------=-----------=-----------------二------------------>0，改------>—

273272727273

所以存在一個體積為野的圓柱體可整體放入。內(nèi)，D正確.

故選：ACD.

【點睛】關鍵點點睛：異面直線所成的角；線面平行性質(zhì)；空間點的軌跡，圓柱的體積計算，利用導數(shù)求體

積的最值.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若函數(shù)/（x）=sin（ox+0）[o>0,|9|<、J的最小正周期為兀，其圖象關于點中心對稱，則

0=.

【答案】—不

3

【解析】

【分析】由三角函數(shù)的周期公式求出口=2,再由正弦型函數(shù)的對稱中心即可求出。.

27r

【詳解】由7=問=兀（?！?）得，（0=2,所以〃x）=sin（2x+0）,

又/（x）=sin（2x+°）的圖象關于點,0j中心對稱，

4兀4兀][71

所以----（p=ku,左￡Z,解得（p=------Fku,左￡Z,又|同<一,

332

71

所以，攵=1,0=—

3

7T

故答案為：-；

3

13.設點A（—2,0）,3,9,0；0（0,1）,若動點p滿足|酬=2忸邳，且AP=XAB+〃AC,則彳+2〃的

最大值為.

【答案片

【解析】

【分析】設P（XD）,根據(jù)向量的坐標表示和模的概念可得V+y2=1,由題意和相等向量可得

-3

X—2=—2+2〃2

2,進而2+2〃=（（x+y-2）,結合基本不等式計算即可求解.

【詳解】設P(x,y),則以=(-2-x,-y),P8=(T3-y),

由|尸,=2pq,得J(-2-x)2+(-y)2=2)(-；-x)2+(-y)'，

整理，得爐+丁2=1,

3

又A-,y),AB=(-,0),AC=(2,1),

3

x+2——>1+2^

代入AP=AAB+/LIACN<

y二〃

332

有，x+y+2——A+3//=—(4+2〃)，以4+2〃——(%+y+2),

由1=必+丁222孫，得沖<；,當且僅當X=y=1時等號成立,

所以(％+))2=x2+2xy+y2<1+1=2,得％+y4企,

所以/L+2"=g(jr+y+2)?g(A/2+2)=+4.

即4+2〃的最大值為26+4

3

故答案為：號

14.已知函數(shù)/（力=。（％-玉）（%-/）（%—項）（0>°），設曲線y=/（九）在點（4〃七））處切線的斜率

為kt（z=1,2,3）,若為,々,￡均不相等，且％2=-2,則%+4左3的最小值為.

【答案】18

【解析】

/、111

【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，可得匕?=L2,3）的表達式，由此化簡推出丁+7=彳，結合左2=-2說明

勺〉0次3〉0,繼而利用基本不等式，即可求得答案.

【詳解】由于/（%）=々（％_芭）（％_%2）（%_%3）3>0），

故廣(X)=〃[(%_玉)(1_%2)+(1-%2)(X―%3)+(%_%3)(1—石)]，

故左=〃(%—%2)(%—&)&=a(X2一七)(%2一%)，攵3一%)(%3一%)，

貝U-------1---------1.........-―7------夏------7—7-------------73--------------r+-:-----晝-------7

k[k]左3a\Xl-X1)\X\-X3)。(工2-%3)(%2—X])a\X3-X1)(X3~X2)

=0,

111

由％2=-2,得丁+鼠=5,

/V]/V3乙

由％2=-2,即匕=a（七一七）（%2一%）<0，知巧位于為七之間,

不妨設X1<x2<x3,則左1〉0,&〉0,

故41+443=2(a+4k3)=18,

、&1&3/

k.k、

當且僅當《；J

1即左1=6,&=3時等號成立,

--1--=

2

故則院+443的最小值為18,

故答案為：18

【點睛】關鍵點睛：本題考查了導數(shù)的幾何意義以及不等式求最值的應用，解答的關鍵是利用導數(shù)的表達

111

式推出廠+1=力，并說明匕〉0,&〉0,然后利用基本不等式求最值即可.

左1左32

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.設S”為數(shù)列｛4｝的前幾項和，已知g=4,S4=20,且］｝1為等差數(shù)列.

（1）求證：數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列；

（2）若數(shù)列也｝滿足偽=6,且爭=',設7”為數(shù)列也｝的前九項和，集合V=H；|7；CN*1,求

17

an+2（

M（用列舉法表示）.

【答案】（1）證明見解析

(2)M={6,8,9,10,11}

【解析】

【分析】（1）設等差數(shù)列的公差為d,由題意可得H+3d=5、S]+2d=4,解得S1=2,d=1,結

合?！?S”一S3求得％=eN*）,即可證明;

（2）由⑴可得*=—與，根據(jù)累乘法可得a=一一二結合裂項相消求

v

bnn+2ri^n+L）nn+1'

和法計算即可求解.

【小問1詳解】

的公差為d,則2=工+31,即H+3d=5,①

設等差數(shù)列

n41

因為S2=q+%=S]+4,所以由￡■=:+[,得S]+2d=4.②

C

由①、②解得H=2,d=l,所以二L=〃+1,即邑=〃(八+1),

n

當2時，an=Sn-Sn_1=n(n+l)-(n-l)n=2n,

當〃=1時，〃i=Si=2,上式也成立，所以為二2幾(〃)，

所以數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列.

【小問2詳解】

履gInn

由⑴可知工=E'

當心2時事*上b°in—1n—212

?—=----x----xx—x6=

n+1n3〃(幾+1)'

-2^1.J_

因為2=6滿足上式，所以2=12(n€N'

+nn+1

I2

因為當一eN*時，〃=L2,3,5,H,所以"={6,8,9,10,11}.

n+\

16.如圖，在四棱錐P—ABCD中，四邊形A3CD是菱形，平面A5CD1平面R4。，點M在OP上，且

DM=2MP,AD=AP,ZPAD=120°.

(1)求證：3￡)工平面ACM；

(2)若NA￡>C=60°,求平面AQ0與平面夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵好

5

【解析】

【分析】(1)由余弦定理結合勾股定理逆定理可得后結合平面ABCD1平面上4。，可得

MA八BD,后結合AC13?？傻媒Y論；

(2)由(1)結合題意建立如圖所示的空間直角坐標系，分別求出平面與平面R3P的法向量，即可

得答案.

【小問1詳解】

不妨設AD=AP=3,；NMD=120°,=2"?,

DP=3出,DM=2^/3,PM=73，

由余弦定理得AM=/加+城―2Ap?MPcos300=6，

在AADM■中，AD2+AM2DM2MA±AD,

平面ABC。1平面QA。，平面ABCDc平面B4Z）=AD,〃Au平面Q4￡）,

;.M4_L平面ABCD.

Q5。u平面ABCD,AM，3￡）,

四邊形A3CD是菱形，AC，BD,

又?ACMA=A,且ACu平面AW,MAu平面ACM,r.平面A。/.

【小問2詳解】

在平面A3CD內(nèi)，過點8作A。的垂線，垂足為N,

「平面ABCD1平面RW,平面ABCDc平面E4D=AD,

.,.5NL平面ADP,

又四邊形A3CD是菱形，NADC=60°,;./BZM=30°,

△ACD,AABC均為等邊三角形，

以點A為坐標原點，AD,AM及過點A平行于NB的直線分別為蒼yz軸，

建立空間直角坐標系（如圖），

則A（0,0,0）,3-|，0,孚，0（3,0,0）,尸一1，浮，°

由（1）3￡）上平面ACM,

BD=為平面AQ0的一個法向量,

設平面ABP的法向量為m=（羽y,z）,

33y/3n

AB-m=0,22

則《即4

AP-m=0,33y/3n

——XH--------y=0

122

令彳=出，可得加=（、行」,1b,2琲

???平面ACM與平面ABP的夾角的余弦值為好

5

17.在某數(shù)字通信中，信號的傳輸包含發(fā)送與接收兩個環(huán)節(jié).每次信號只發(fā)送。和1中的某個數(shù)字，由于隨

機因素干擾，接收到的信號數(shù)字有可能出現(xiàn)錯誤，已知發(fā)送信號0時，接收為0和1的概率分別為

?（0<?<1）,1-a；發(fā)送信號1時，接收為1和。的概率分別為萬（0（用<1）,1—月.假設每次信號的

傳輸相互獨立.

（1）當連續(xù)三次發(fā)送信號均為0時，設其相應三次接收到的信號數(shù)字均相同的概率為/（q）,求/'（0）的

最小值;

（2）當連續(xù)四次發(fā)送信號均為1時，設其相應四次接收到的信號數(shù)字依次為記其中連續(xù)出

現(xiàn)相同數(shù)字的次數(shù)的最大值為隨機變量X（為々,馬,與中任意相鄰的數(shù)字均不相同時，令X=l）,若

夕=2,求x的分布列和數(shù)學期望.

3

【答案】（1）:

202

（2）分布列見解析；期望為不-

81

【解析】

【分析】（1）由獨立乘法、互斥加法得函數(shù)/（a）表達式，進一步即可求解最小值；

（2）X的可能取值為1,2,3,4.有獨立乘法、互斥加法公式求出對應的概率，進而得分布列以及數(shù)學期

望.

【小問1詳解】

由題可知/（a）=a3+（1-6Z）3=3<z2—3a+l=3（（z—+；,

因為0<a<l,所以當a=g時，/（a）的最小值為;.

【小問2詳解】

由題設知，X的可能取值為1,2,3,4.

①當X=1時，相應四次接收到的信號數(shù)字依次為0101或1010.

i212112128

因1th,尸（X=l）=_X-X—X---1---X-X—X-=—,

\,3333333381

②當X=2時，相應四次接收到的信號數(shù)字依次為0010,或0100,或1101,或1011,或1001,或0110,

或1100,或0011.

?,,z、，（2丫I2cG221c（1Y（2?.364

因止匕，=2）=—X—X—x2+—x—x—x2+—x—x4=—=一，

'73333⑶U）819

③當X=3時，相應四次接收到的信號數(shù)字依次為1110,或0111,或0001,或1000.

因止匕，P（X=3）=f-^x-x2+-xf->|x2=—,

y3y3313J81

④當x=4時，相應四次接收到的信號數(shù)字依次為oooo,或iin.

因此，P（X=4）=&+O].

所以X的分布列為

X1234

842017

p

8198181

Qa9017908

因此，X的數(shù)學期望E（X）=lx2+2x9+3x?+4義,=*.

v'818818181

18.已知函數(shù)/（x）=a（X-l）e*+i-2xlnx-x2（aeR）.

（1）當a=0時，求函數(shù)在區(qū)間［尸,1］上的最小值；

（2）討論函數(shù)/（尤）的極值點個數(shù)；

（3）當函數(shù)/（九）無極值點時，求證：tzsin—>—.

2aTi

【答案】（1）-1

（2）答案見解析（3）證明見解析

【解析】

【分析】⑴對/（X）=—2才1狀一/求導，構造函數(shù)后再求導，由二次導數(shù)得到g（x）在［尸,1］上單調(diào)遞

減，再由零點存在定理確定/（%）的最小值.

（2）求導后令/。）=0得。=型工二1,再利用換元法設lnx+x+l=f,得到。=耳，構造函數(shù)

ee

/<?)=—,利用導數(shù)分析其單調(diào)性和極值，畫出圖像，再由方程人(。=。根的個數(shù)討論函數(shù)零點的個數(shù).

⑶先證明當時，包竺〉逑，構造函數(shù)“("=里?求導后分析單調(diào)性得到

最小值=迪可證明之;再由⑵知，當函數(shù)/(*)無極值點時，。2：，則0<］<(<：，

取最小值取x='-,則有2asin」-〉述，即可證明.

2〃2a7i

【小問1詳解】

當〃=0時，/(x)=-2xlnx-x2,

則f(x)--2^1-lax+%-2x=-2(inx+%+1),

令g(x)=/'(%),貝解(可=-2、+1］,

因為無e［e-2』］,所以/(力<0.則g(x)在［e；l］上單調(diào)遞減，

又因為/'(e.2)=2(l_e-2)>0，r(l)=_4<0,

所以土0e(e-2,1)使得/'(%)=0J(x)在(-2,%)上單調(diào)遞增，在5,1)上單調(diào)遞減.

因此，〃龍)在k一2,1］上的最小值是/(尸)與/⑴兩者中的最小者.

因為/(1B=4e-2—e-=e-2(4_片=

所以函數(shù)/(X)在"2,1］上的最小值為_i.

【小問2詳解】

/'(X)=a|^1-e^1+(x-1)Qx+iJ-2^1-Inx+x?—-2x=axex+l-2(inx+x+1),

由/,(%)=。，解得a=2(l-+：+l)=2(hu：x+l),

C

易知函數(shù)y=Inx+x+1在(0,+8)上單調(diào)遞增，且值域為R,

2t

令111￥+兄+1=L由/'(x)=0,解得Q=F，

設=?，則/(0=工。，

ee

因為當￡<1時，當"1時，〃'(。<0,所以函數(shù)人。)在(―8,1)上單調(diào)遞增，在(1,+e)上單調(diào)

遞減.

2-a,limh(t)=limg

根據(jù)/l⑴二一Jf-8時，/Z(X)3二0,

x—><x)、/i—>coe

得丸⑺的大致圖像如圖所示.

因此有：

(i)當a二時，方程/z?)=a無解，即/'(x)無零點，"力沒有極值點;

(ii)當a=|時,f'(x)=2e^+x-2(lux+x+1),

m(x)=e'-x-1(x>0),貝|加(x)=e*-l,4e'-1>0=>X>0.

則m(x)在［0,+。)上時單調(diào)遞增函數(shù)，即e，>x+l,

得/,(%)>2(lnx+x+l)-2(lnx+x+l)=0,此時/(%)沒有極值點；

(iii)當0<aq時，方程％)=a有兩個解，即/'(X)有兩個零點，“X)有兩個極值點；

(iv)當a<0時，方程網(wǎng)/)=。有一個解，即/'(九)有一個零點，/(九)有一個極值點.

綜上，當a<0時，/(九)有一個極值點；當。<a<—時，/(九)有兩個極值點；當心一時，/(%)沒有極

ee

值點.

【小問3詳解】

先證明當時，史竺〉述.

I4JX71

則，,(X)=(c°SX)：T血

設"(x)=

X

記p(x)=xcosx-sinxxe0,,貝U/7'(x)=1?cosx+x-(-sinx)-cosx=-xsinx<0,p(x)在

上單調(diào)遞減,

(后2后

當>寸，p(x)<p(0)=0,〃,x)<0,則/⑴在上單調(diào)遞減，”(%)「工

即當時，不等式吧竺〉述成立.

I4）X71

21eJT

由（2）知，當函數(shù)“X）無極值點時，a>-,則0（丁V]<一,

eH44

五天%#sin%2^/2,仙1向右c.12A/2

在不等式---->-----中，取％=—,則有2asm——>-----,

x712〃2a7i

即不等式asin」-〉也成立.

2aTt

【點睛】關鍵點點睛：

（1）求函數(shù)在給定區(qū)間上的最值時，通常求導，利用導數(shù)的單調(diào)性分析最值，若在給定區(qū)間上不是單調(diào)

的，常用零點存在定理分析其單調(diào)性，再比較區(qū)間的端點值找到最值.

（2）討論函數(shù)的極值點個數(shù)值，通常轉(zhuǎn)化為分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像交點的個數(shù)或兩函數(shù)相等時方

程根的個數(shù)問題用導數(shù)分析其單調(diào)性，求最值，再數(shù)形結合分析交點個數(shù)或方程根個數(shù).

（3）證明不等式成立問題時可采用構造函數(shù)，找到不等式一邊的最小值大于另一邊，或最大值小于另一

邊，即函數(shù)不等式恒成立問題.

2

19.已知動點P與定點4（〃?,0）的距離和P到定直線％=上的距離的比為常數(shù)%.其中相>0,〃>0,且

mn

記點尸的軌跡為曲線C.

（1）求C的方程，并說明軌跡的形狀；

（2）設點8（-機0）,若曲線C上兩動點均在x軸上方，AMBN,且AN與相交于點Q.

L11

①當m=2點,〃=4時，求證：向可+兩的值及A3。的周長均為定值；

②當加〉〃時，記A5Q的面積為S,其內(nèi)切圓半徑為小試探究是否存在常數(shù)X,使得S=X廠恒成立？

若存在，求;I（用表示）；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）答案見解析

（2）①證明見解析；②存；—

2n

【解析】

22

【分析】（1）設P（x,y）,由題意可得二+,=由結合橢圓、雙曲線的標準方程即可求解；

nn—m

⑵設點〃(%,%)川(%,%)，“'(七，％)，其中%〉0，%>0且退=一々，%=—%?

(i)由41///即可知跖4”三點共且忸時=|41”，設MW：x=ty+272,聯(lián)立。的方程，利

11

用韋達定理表示M+%,%%，進而表示出\AM\+\BN\,結合(1)化簡計算即可；由橢圓的定義，由

..(8-

AM//BN^\BQ\=，進而表示出仙。|+忸。|,化簡計算即可;

11:"J1

\AM\+\BN\/\AM\+\BN\

(ii)由(i)可知M,AM'三點共線,且忸N|=|A"[,設比"：x=sy+m,聯(lián)立C的方程，利用韋

112n

達定理表示%+%,%%,計算化簡可得\AM\+\BN\二正方,結合由內(nèi)切圓性質(zhì)計算即可求解.

【小問1詳解】

d(X-m)2+y2_m

2

設點由題意可知nn，

x----