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文檔簡介
昆明市2023屆“三診一模”高三復(fù)習(xí)教學(xué)質(zhì)量檢測
數(shù)學(xué)
一、單選題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)
是符合題目要求的.
1,已知集合-={=123,可,3={x|lnx<l},則AB=()
A.{1,2}B.{0,1,2}C.{1,2,3}D.{0,1,2,3)
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)對數(shù)求解集合8,再求交集即可得結(jié)果.
【詳解】由題意可得:B={x|lnx<l}={x|0<x<e},
故AB={1,2}.
故選:A.
2.歐拉公式:e'?=cos,+*in6?將復(fù)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)聯(lián)系起來,在復(fù)變函數(shù)中占有非常重要的地
位,根據(jù)歐拉公式,復(fù)數(shù)e%在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義結(jié)合象限角的三角函數(shù)值的符號分析判斷
【詳解】由題意可得:=cos3+i-sin3對應(yīng)點(diǎn)為(cos3,sin3),
則cos3<0,sin3>0,
故(cos3,sin3)位于第二象限.
故選:B.
3.某單位職工參加某APP推出的“二十大知識問答競賽”活動,參與者每人每天可以作答三次,每次作答
20題,每題答對得5分,答錯(cuò)得0分,該單位從職工中隨機(jī)抽取了10位,他們一天中三次作答的得分情況
如圖:
得分
100
95~?-?-第三次作答
一第二次作答
9§0鄉(xiāng)H廠、_第一次作答
12345678910職主編號
根據(jù)圖,估計(jì)該單位職工答題情況,則下列說法正確的是()
A.該單位職工一天中各次作答平均分保持一致
B.該單位職工一天中各次作答的正確率保持一致
C.該單位職工一天中第三次作答得分的極差小于第二次的極差
D.該單位職工一天中第三次作答得分的標(biāo)準(zhǔn)差小于第一次的標(biāo)準(zhǔn)差
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)給出統(tǒng)計(jì)圖數(shù)據(jù),分別計(jì)算出三次作答的平均分、正確率、極差、標(biāo)準(zhǔn)差,即可作出判斷.
【詳解】由題可得,該單位抽取的10位員工三次作答的得分分別為:
1號員2號員3號員4號員5號員6號員7號員8號員9號員10號員
工工工工工工工工工工
第一次
65808580909090859090
作答
第二次
80859090959095909595
作答
第三次
8590959510010010095100100
作答
對于A:第一次作答的平均分為:,X(65+80+85+80+90+90+90+85+90+90)=84.5,
第二次作答的平均分:焉x(80+85+90+90+95+90+95+90+95+95)=90.5,
第三次作答的平均分:^x(85+90+95+95+100+100+100+95+100+100)=96,
故該單位職工一天中各次作答的平均分不一致,故A錯(cuò)誤;
845x10-5
對于B:第一次作答的正確率:x100%=84.5%,
20x10
905x1f)-5
第二次作答的正確率:-x100%=90.5%,
20x10
96x10-5
第三次作答的正確率:xl正%=96%,
20x10
故該單位職工一天中各次作答的正確率不一致,故B錯(cuò)誤;
對于C:該單位職工一天中第三次作答得分的極差:100-85=15,
該單位職工一天中第二次作答得分的極差:95-80=15,
故該單位職工一天中第三次作答得分的極差等于第二次的極差,故C錯(cuò)誤;
對于D:該單位職工一天中第三次作答得分的標(biāo)準(zhǔn)差:
2222
S3=x[(85-96)+(90-96)+(95-96)x3+(100-96)x5]=276,
該單位職工一天中第一次作答得分的標(biāo)準(zhǔn)差:
Si=,木x[(65-84.5)2+(80-84.5)2x2+(85-84.5)2x2+(90-84.5)2x5]=457.25>后=246,
故該單位職工一天中第三次作答得分的標(biāo)準(zhǔn)差小于第一次的標(biāo)準(zhǔn)差,故D正確,
故選:D.
4.已知{4}和也}均為等差數(shù)列,%=La=2,%O+4O=39,則數(shù)列{%+〃}的前50項(xiàng)的和為
()
A.5000B.5050C.5100D.5150
【答案】B
【解析】
【分析】由題設(shè)易知{4+2}為等差數(shù)列,結(jié)合已知求公差,應(yīng)用等差數(shù)列前“項(xiàng)和公式求和即可.
【詳解】由題設(shè){4+包}也為等差數(shù)列,且公差d為{4}、也,}公差的和,
39-3
又Q+4=3,%。+—39,故d=—=4,
/、SOx49
所以{%+〃}前50項(xiàng)和為50x3+—^—x4=5050.
故選:B
5.已知直線xcos8+ysine=l(〃eR)與圓。:12+,2=4交于4,3兩點(diǎn),則NAO§=()
A.eB.20C.-D.—
33
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)垂徑定理求弦長|A理,再結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解.
【詳解】圓。:爐+產(chǎn)=4的圓心為0(0,0),半徑r=2,
?.?圓心0(0,0)到直線xcos,+ysin。-1=0的距離d=,,+2力=1,
則|AB|=2y1r2—d2=2^/3,
|OA|2+|OB|2-|AB|24+4—12£
可得cosNA03=且NAO5w(0,7i),
2\OA\-\OB\2x2x22
2兀
???ZAOB=——
3
故選:D.
6.函數(shù)y=sin尤ln(e*+ef)在區(qū)間[―私兀]上的圖象大致為()
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性排除B、D,再取特值x=W排除C.
2
【詳解】對于函數(shù)/(x)=sinxln(eX+eT),
/(%)+/(-x)=sinxln(e*+ex)+sin(-x)ln(e「*+e*)=sinxln(e*+-sin尤In(e*+b)=0,
故了(尤)為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,B、D錯(cuò)誤;
nA1itit、
71It
1
又:=sin-Ine+e5=Ine?+e萬且6萬>e,e萬>0,
2J\7
故/[]J=lne2+e2>ln(e+O)=l,C錯(cuò)誤;
故選:A.
7.已知函數(shù)〃%),g(x)的定義域均為R,4%)為偶函數(shù)且〃x)+/(x+2)=3,g(x)+g(10—x)=2,
9
則Z[F(")+gG)]=()
;=i
4547
A.21B.22C.——D.—
22
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意證明/(x)+/(10—x)=3,結(jié)合對稱性分析運(yùn)算即可.
【詳解】?."(%)為偶函數(shù)且〃x)+/(x+2)=3,則〃f)+/(x+2)=3,
故/(%)關(guān)于點(diǎn)]qJ對稱,
XV/(x+2)+/(x+4)=3,則〃力=〃%+4),
則"%)是以周期為4的周期函數(shù),故〃%)關(guān)于點(diǎn)對稱,
A/(x)+/(10-x)=3,
則
>(,)=[〃1)+〃9)]+[〃2)+〃8)]+卜(3)+〃7)]+卜(4)+八6)]+;[〃5)+〃5)]=3*4+9司
又?:g(%)+g(10-X)=2,
則
91
Zg(^)=[g⑴+g⑼]+[g⑵+g⑻]+[g⑶+g⑺[+[g⑷+g⑹]+不[g(5)+g⑸]=2x4+l=9
i=l/
故£9[/a)+g(i)]=9£/(,)+9!>(,)=彳?7+9=47S.
1=11=11=1/乙
故選:C.
8.某機(jī)床廠工人利用實(shí)心的圓錐舊零件改造成一個(gè)正四棱柱的新零件,且正四棱柱的中心在圓錐的軸上,
下底面在圓錐的底面內(nèi).已知該圓錐的底面圓半徑為3cm,高為3cm,則該正四棱柱體積(單位:cm3)
的最大值為()
A.54(10-7A/2)B.8C.yD.9
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)。C=x,借助于圓錐的軸截面分析可得CF=3-x,利用柱體體積公式可求得V=2(3%2-%3),
求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)求最值.
【詳解】顯然當(dāng)正四棱柱的上底面頂點(diǎn)在圓錐表面時(shí)的體積較大,
如圖,借助于圓錐的軸截面,
由題意可得:OA=OB=OP=3cm,
0ApnACOP
設(shè)底面對角線0。=口111,%€(0,3),則——■=——■,可得CE=-----------=AC=(3-x)cm,
v7ACCFOAv7
故該正四棱柱體積V=g(2x『?(3—x)=2(3X2-X3),
構(gòu)建/(X)=2(3V—J?),則r(x)=6x(2-x),
V%e(0,3),
當(dāng)0<x<2時(shí),/^)>0;當(dāng)2<%<3時(shí),尸(力<0;
則/(x)在(0,2)上單調(diào)遞增,在(2,3)上單調(diào)遞減,
A/(x)</(2)=8,
故該正四棱柱體積的最大值為8(cm3).
【點(diǎn)睛】方法定睛:利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟
⑴建模:分析實(shí)際問題中各量之間的關(guān)系,列出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型,寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)
系式、=加).
(2)求導(dǎo):求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)廣(x),解方程廣(x)=0.
(3)求最值:比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和使1(x)=0的點(diǎn)的函數(shù)值的大小,最大(小)者為最大(小)值.
(4)作答:回歸實(shí)際問題作答.
二、多選題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)是
符合題目要求的,全部選對得5分,部分選對得2分,有選錯(cuò)的得0分.
Illiuuur/rr\
9.已知。力=0,忖=忖=1,設(shè)。4=。,OB=b,OC=c(cwO),則下列正確的是()
A.若a-c=b-c,貝Uc=a+6
B.c-a+b則o-c=Z?,c
C.以Q4,OC為鄰邊的平行四邊形的面積為
D.若(a——c),則J°的最大值為也擔(dān)
【答案】BCD
【解析】
【分析】對A、B、C:根據(jù)平面向量的數(shù)量積分析判斷;對D:根據(jù)題意求得點(diǎn)C的軌跡方程,結(jié)合圓的
性質(zhì)分析判斷.
【詳?軍】對A:若a.c=6c,貝Ua-c-4c=(a—人)?c=0,可得(a-6)_Lc,
YYY
注意到W=W=1,可得c=4(〃+b),XwO,A錯(cuò)誤;
iiiirzrrxzrrxzrnr2r2
對B:若c=a+b,且M==則c,(a—=(a+/?),(a-Z?)=a—b=1—1=0,
rzrr、rrrr
則c-a—6=c-〃_c-6=0,故=B正確;
對C:以Q4,OC為鄰邊的平行四邊形的面積
1|UWuumr
S=2x—xOAxOCx|sinZAOC|=ac|sinZAOC\=\c\|sinZAOC\,
2I
b?=|/?||c|cosZ.BOC-c|cosZBOC\,
JT
「則〃J_b,即NAO3=5,則有:
當(dāng)ZAOC=]+ZBOC時(shí),則卜inZAOC|=sin^+NBOc)=\cosZBOC\,
當(dāng)ZAOC=-|-ZBOC時(shí),則卜inZAOC\=sm\^~ZBOcj=|cosZBOC\,
故S="c;
當(dāng)ZAOC=]+ZBOC時(shí),貝]sinZAOC=—=\cosZBOC\,
故S=〃?(?;
綜上所述:以。4,OC為鄰邊的平行四邊形的面積為卜式卜C正確;
對D:不妨設(shè)4(1,0),3(0,1),C(x,y),則】=(l,O)?=(O,l):=(x,y),
1111
可得a_c=(l_jv,_y),Z?_c=(一%,]-y),
—c)M?!猚),貝ij(l—%)(—%)+(—y)(l—y)=0,整理得[一£|=g,
點(diǎn)C(x,y)的軌跡為以為圓心,半徑廠=1的圓
又=由圓可知x<^+r=叵匕,
22
故a.c的最大值為叵U,D正確;
2
故選:BCD.
22
10.已知雙曲線E:丹一2=1(。〉0]〉0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳,B,過原點(diǎn)的直線/與雙曲線交
于A,3兩點(diǎn),若四邊形月為矩形且|A4|=2|Ag|,則下列正確的是()
A.\AB\=245aB.E的漸近線方程為y=±岳
4
C.矩形445月的面積為4a2D./的斜率為土耳
【答案】AD
【解析】
【分析】對A、C:根據(jù)題意結(jié)合雙曲線的定義可求得|A娟=2|A閶=4a,|A@=|4閶=2氐,分析運(yùn)算;
對B:由°=氐,可得b=2a,進(jìn)而可求E的漸近線方程;對D:利用余弦定理可求COS/AO8,進(jìn)而
可求tanNA。瑪,注意結(jié)合雙曲線的對稱性分析判斷.
【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限,
如圖,由題意可得:四邊形人43層為平行四邊形,
由雙曲線的定義可得:|A£H"|=2|"H"l=l"l=2a,則|明|=2|9|=4a,
對A:;四邊形罵為矩形,則|A3|=|耳目=用2=收療+伽丫=2氐,A正
確;
對B:由選項(xiàng)A可得:2c=2y[5a,則c=y[5a.b-yjc2—a2—2a,
b
注意到雙曲線E的焦點(diǎn)在x軸上,則石的漸近線方程為y=±—x=±2x,B錯(cuò)誤;
a
對C:矩形AfjB8的面積為S=2xg|A周義M閶=4424=8〃,c錯(cuò)誤;
對D:可知:|Q4|=|(詞=J5alA閭=2〃,
5/+5。2—443
則2〃」*瑞;;『「且NAOKeO,'
W-5
/------2-------4qin/AOF4
可得sinZAOF2=Jl-COSZAOF2=—,故tanZAOF2=-------=
-5cosZAOF3
4
由雙曲線的對稱性可得:/的斜率為土一,D正確;
3
故選:AD.
11.三棱錐P—ABC中,R4,平面ABC,PBLBC,記NPC4=a,NPCB=0,ZACB=y,則
下列正確的是()
A.cosa<cosf3B.cosP<cosy
C.COS7=%2D.若tantz=sin/,則24與平面尸5c所成的角為
cosa
45°
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)題意結(jié)合線面垂直可證8C,AB,利用直角三角形的余弦值的定義與取值范圍分析可判斷A、
sin0=,
B、C;對D:建系,利用空間向量求線面夾角可得IrU/°丫,根據(jù)題意分析判斷.
詳解】平面ABC,且AC,5Cu平面ABC,則上4_LAC,PALBC,
PB±BC,PAIPB=P,PA,PBu平面PAB,
3cl平面R43,
由A3u平面R43,可得3CLAB,
設(shè)AB=a,3C="PA=c,則=y/a2+c2,AC=J/+加,PC=y/a2+b2+c2,
22
可得costz=4£y/a+bnBCbBCb
—卜,cosp-=—/,cosy-=—,--
PCVa2+^2+c2PC力2+/+。2AC777^
,,COS/?口Lc
故cosy----,即cosp=cosacos/,
cosa
0,1,則cosa,cos/£(0,1),
cosp<cosa.cos/3<cos/,
故A錯(cuò)誤,B、C正確;
如圖,以3為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,則4(040),5(0,0,0),。魚0,0),P(0,a,c),
UUULUllUUU
可得3C=(d0,0),3P=(0,a,c),AP=(0,0,c),
設(shè)平面尸3。的法向量為〃=(x,y,z),貝!,
n-BP=ay+cz=0
令y=c,則%=0,z=—〃,即〃=(0,G—a),
IT
設(shè)以與平面尸5c所成的角為0,-,
PAAB
當(dāng)tanCL-sin/時(shí),即---=----,則PA-AB,即。=〃,
ACAC
此時(shí)£=1,Sin6?=—,則6=45°,
a2
即Q4與平面P5C所成的角為45。,D正確.
故選:BCD.
12.對于函數(shù)/(%),若存在兩個(gè)常數(shù)。,b,^f(a+x)-f(a-x)=b,則稱函數(shù)/(%)是“J函
數(shù)”,則下列函數(shù)能被稱為“J函數(shù)”的是()
A./(x)=eT
C./(x)=3x-lD./(x)=tanx
【答案】ABD
【解析】
14-2〃
【分析】對A:根據(jù)題意結(jié)合指數(shù)哥運(yùn)算分析判斷;對B:根據(jù)題意整理得/(〃+%)./(〃-x)+1
ya2-x2
分析判斷;對C:根據(jù)題意整理得“a+力"(a—x)=—9尤2+(3a—l廣,分析判斷,對口:根據(jù)題意結(jié)合
兩角和差的正切公式運(yùn)算分析.
【詳解】對A:若〃x)=e"則/(。+分/(。_'=y'4-=62\
即存在兩個(gè)常數(shù)aeR,b=e2a,使得使得/(a+a/(a—x)=b成立,
故/(x)=e"為“/函數(shù)”,A正確;
對B:若/⑺=小一,則
2-(a+x)2-(a-x)_4-2a+a2-x24-2a,
f(a+x)-f(a-x)=
a+xVa-xa2-x2二L’
±^<+1為定值,則4—2a=0,解得a=2,且4一2。一
若
a-x
故存在兩個(gè)常數(shù)a=2力=1,/(2+x)-/(2-x)=L
上方為“/函數(shù)”,B正確;
則〃x)=
X
對C:若/(x)=3x-l,則/(a+x)"(a—x)=[3(a+無一九)-1]=—9/+(3?-1)"
:-9尤2+(3a-l)2不為定值,
即不存在兩個(gè)常數(shù)。,b,使得x)=b,
〃x)=3x-l不為“/函數(shù)”,C錯(cuò)誤;
對D:若/(x)=tanx,則
“、“、/、/、tana+tan%tantz-tanxtan2?-tan2x
j(a+x)-jla-x)=tanla-bx)-tanla-x)=----------------------------x-------------------------------=-----------------------------
1-tanatanx1+tanatanx1-tanatanx
22
若tan61__tanx=匕,gp(^tan2?-Z?^-(l-Z?tan2ajtan2x=0,
1-tan2tztan2x
tan2a-b=0
可得《解得b=tan2a=l,
1-Z?tan2a=0
即存在兩個(gè)常數(shù)4=弓+£/€2,。=1,使得使得/(a+x>/(a—力=人成立,
故〃x)=tanx為“J函數(shù)”,D正確;
故選:ABD.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:對于新定義問題要充分理解定義,嚴(yán)格按照定義的要求推理、運(yùn)算,注意區(qū)別我們已
學(xué)的相近知識.該題型重點(diǎn)考查學(xué)生的思維邏輯能力.
三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.
13.若函數(shù)/(x)=2x+〃cosx在定義域R上不單調(diào),則正整數(shù)九的最小值是.
【答案】3
【解析】
2
【分析】求導(dǎo),令/'(1)=0,得到”=^,再根據(jù)sinxe[—1,1],且〃eN*求解.
sinx
【詳解】解:因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=2x+〃cosx,
所以/'(x)=2-wsin%,
7
令/''(x)=0,^n=--,
sinx
因?yàn)閟inxe[-l,l],且〃eN*,
所以〃22,
當(dāng)九=2時(shí),/,(x)=2-2sin%>0,則〃尤)單調(diào)遞增,
當(dāng)〃>2時(shí),當(dāng)/'(x)=2—〃sinx>。時(shí),sinx<—;
n
2
當(dāng)了'(X)=2—〃sinx<0時(shí),sinx>—,
n
所以了(%)不單調(diào)遞增,
所以正整數(shù)〃的最小值是3,
故答案為:3
14.一個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組共有2名男生3名女生,從中隨機(jī)選出2名參加交流會,在已知選出的2名中有1
名是男生的條件下,另1名是女生的概率為.
【答案】|
【解析】
【分析】首先求出男女生各1名的概率,再應(yīng)用對立事件概率求法求至少有1名男生的概率,最后應(yīng)用條
件概率公式求概率.
【詳解】若A表示“2名中至少有1名男生”,2表示“2名中有1名女生”,
P(AB)
所以2名中有1名是男生的條件下,另1名是女生的概率為尸(314)=^^,
P(A)
C1C13C27
而P(AB)=T&=—,P(A)=1一~|■一,故P(B|A)=。.
C5C;10
故答案為:!
15.已知/(x)=2sin(ox+G)10〉O,[d<m
|的部分圖象如圖所示,A[:,",等,④]為
y=/(x)的圖象上兩點(diǎn),則〃2兀)=_____.
【答案】-1
【解析】
【分析】首先根據(jù)題意得到丁=3兀,從而得到0==,根據(jù)孚=1得到夕=-g再計(jì)算“2兀)即可.
3J6
【詳解】因?yàn)锳,為y=/(x)的圖象上兩點(diǎn),
11兀兀3兀CC
------------------------71---,兀2
所以82_46>解得7=3兀=——,即。=—
-不-=~①3
T2兀
所以/(x)=2sin]gx+0
又因?yàn)?||J=2sin[l+Gj=l,5皿[三+夕)=5,
TTTTTT)TT
所以—+°=—+2而,左£2或一+夕=——+2依次wZ,
3636
TT兀
即0=----F2左兀,keZ或(p=—+2kit,kuZ,
62
因?yàn)閼?lt;g,所以0=_‘,即/(x)=2sin[;x_g]
266J
471
=2sin—71------=2sin-=-2sin-=-1.
3666
故答案為:-1
3
16.已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為尸,經(jīng)過拋物線上一點(diǎn)P,作斜率為a的直線交。的準(zhǔn)線于點(diǎn)。,
R為準(zhǔn)線上異于。的一點(diǎn),當(dāng)=時(shí),上周=
37
2
99-
【解析】
【分析】根據(jù)題設(shè)條件確定P在第一象限內(nèi),且"_LQP,設(shè)尸(七,加)且加>0,結(jié)合門?/。=0得
4
到關(guān)于m的方程并求值,又=|尸司=?+1即可得結(jié)果.
不妨令R為過尸點(diǎn)垂直于準(zhǔn)線的垂足,又NPQR=NPQF,即QE為NFQR角平分線,
3
。是斜率為一的直線與拋物線準(zhǔn)線的交點(diǎn),則尸在第一象限內(nèi),
4
而PRLQR,且|m|二|。尸I,根據(jù)角平分線性質(zhì)知:PhQF,如上圖示,
2Q2
vnSn?16m—3m2-12
令尸附且加>0,則直線尸。為y-加=z(%--^-),令k=-1,則=
16
,__尸八m21、/與I6m-3m2-12__m216m2-3m3-I2m八
由".尸Q=(z彳—l,m)?(-2,----------------)=2--+----------------二0,
Q
整理可得3m3-8m~+12相—32=(zn2+4)(3m-8)=0,則加=耳,
故|尸碼=|尸目=]+1=曰.
25
故答案為:百~
四、解答題:共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.“不以規(guī)矩,不能成方圓”,出自《孟子?離婁章句上》.“規(guī)”指圓規(guī),“矩”指由相互垂直的長短兩條直尺構(gòu)
成的角尺,是用來測量、畫圓和方形圖案的工具。有一塊圓形木板,以“矩”量之,較長邊為10cm,較短邊
為5cm,如圖所示,將這塊圓形木板截出一塊三角形木塊,三角形頂點(diǎn)A,瓦C都在圓周上,角A瓦C的對
邊分別為。,b,c,滿足c=46cm
X
(1)求sinC;
(2)若ABC的面積為8cm叱且”>c,求ABC的周長
4
【答案】(1)j
(2)12+4百cm
【解析】
【分析】(1)根據(jù)題意可求圓的直徑2R=5岔,再結(jié)合正弦定理運(yùn)算求解;
(2)根據(jù)題意結(jié)合面積公式和余弦定理運(yùn)算求解.
【小問1詳解】
設(shè),ABC的外接圓半徑為R,貝U2R=,1。2+52=54(cm),
Cc4J54
由正弦定理——=27?,可得sinC='一=學(xué)=
sinC2R5V55
【小問2詳解】
?:a>c,則A>C,故。為銳角,
cosC=A/1-sin2C=g,
114
由面積公式S=—absinC,即8=—ab?—,可得〃Z?=20,
225
由余弦定理cose=a?+萬一》=(a+b)2—2ab-c\即3_("4-40-80
2ab2ab540
可得(a+b『=144,解得a+/?=12(cm),
故.ABC的周長為a+b+c=12+4A后(cm).
18.某新能源汽車公司從2018年到2022年汽車年銷售量》(單位:萬輛)的散點(diǎn)圖如下:
九
80-
70-
60-
50-
40-
30-
20-
10-
O20182019202020222022辜份
記年份代碼為X(X=1,2,3,4,5)
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,模型①y"與模型②丁二仁十公2,哪一個(gè)更適宜作為年銷售量y關(guān)于年份代
碼x的回歸方程?(給出判斷即可,不必說明理由)
(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果,建立y關(guān)于x的回歸方程;
(3)預(yù)測2023年該公司新能源汽車銷售量.
參考數(shù)據(jù):
5555
y
Z=1?=1Z=1Z=1
34559796572805
參考公式:回歸方程y=a+bx中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:
2(%——y)皂%/一〃%?y
b='T——=個(gè)丁,B=y一/
Y^xj-nx
z=li=l
【答案】(1)y^c+dx2
(2),=6.5+2.5f
(3)預(yù)測2023年該公司新能源汽車銷售量96.5萬輛
【解析】
【分析】(1)根據(jù)散點(diǎn)圖結(jié)合一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象特征分析判斷;
(2)換元令/=/,結(jié)合題中數(shù)據(jù)與公式運(yùn)算求解;
(3)令1=6,代入回歸方程運(yùn)算求解.
【小問1詳解】
由散點(diǎn)圖可知:散點(diǎn)圖與一次函數(shù)偏差較大,與二次函數(shù)較接近,故模型②丁二,+弓犬更適合.
【小問2詳解】
5555_1515
令/=必,則=979,Z%“=ZX?=2805j=wZq=^Zx;=1L9=34,
i=li=li=li=l3i=l?i=l
對于回歸方程§=也+加,
5_
2805-5x11x34935
可得:----------=2.5,6=亍—際=34-2.5x11=6.5,
979-5xll2374
Z=1
故回歸方程為§=6.5+25t,即4=6.5+2.5%2.
【小問3詳解】
由(2)可得:,=6.5+2.5_?,
令x=6,則§=6.5+2.5x62=96.5,
預(yù)測2023年該公司新能源汽車銷售量96.5萬輛.
19.已知數(shù)列{?!保那啊?xiàng)和為5元,q=;,且滿足("T)S“+2解=0
(1)設(shè)證明:仙“}是等比數(shù)列
(2)設(shè)C〃=22,數(shù)列{%}的前幾項(xiàng)和為北,證明:Tn<2
4,an+1
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【解析】
S1S
【分析】(1)由題設(shè)可得("—l)S"+2”(S,,+]—S〃)=0,整理變形得*L=-結(jié)合等比數(shù)列定義即
n+12n
可證結(jié)論;
(2)根據(jù)4,5“的關(guān)系求與通項(xiàng)公式,進(jìn)而可得。=二,在〃上放縮g<,1八,結(jié)合裂項(xiàng)求和證
n-n(n-l)
結(jié)論.
【小問1詳解】
由題設(shè),(〃-l)S”+2〃(S)+i-S”)=0,則2g,+1=(〃+1電,
V1C1C1
所以—=X。,即%=彳2,而4=摩=%=;,
n+12n212
故{%}是首項(xiàng)與公比都為3的等比數(shù)列.
【小問2詳解】
由⑴+=G)”,即S"="g)",
1
當(dāng)心2時(shí),an=Sn-Sn_r=?.(1)?--1),(I)-=(2-?).(1)",
顯然勾=」?jié)M足上式,
2
所以。"=(2—〃)?(3)",貝u=[(2—〃一2)?(g)"2]2=1.4-2,
1111111
則G=4"+27=4"+2"2=/,又“22時(shí)G=—<—~-=--一一,
4.。計(jì)24?〃?4nnn(n—l)n—1n
所以(<1+(1-----1-------------------------)=2—S.n>2,故看<2.
223n-1nn
20.如圖,直四棱柱ABC?!?與。]口中,ABC是等邊三角形,ABLAD
B
(1)從三個(gè)條件:9ACJ.BD;②NA£>C=120。;③應(yīng))=2AZ)中任選一個(gè)作為已知條件,證明:
BC±DC[.
(2)在(1)的前提下,若AB=Ji4A,P是棱8月的中點(diǎn),求平面PDC]與平面所成角的余弦
值.
【答案】(1)證明見詳解
⑵—
10
【解析】
【分析】(1)根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理分析證明;
(2)建系,利用空間向量求面面夾角.
【小問1詳解】
對①:設(shè)AC與3D的交點(diǎn)為E,
?;是等邊三角形,且AC13。,則E為AC的中點(diǎn),
可得ZM=DC,且AB=BC,BD=BD,則KWMBCD,
故NBCD=N84r>=90。,即BCCD,
又???cq1平面ABCD,3CU平面ABCD,
BCICC,,且CDICQ=C,CD,CC,u平面CDDXCX,
故3cl平面CDRG,
注意到DC,u平面CDDg,故3C,DC1;
r?i
B
對②:VZADC+ZABC=180°,則/500+/£^4£)=180°,
又:AB_LAD,即NaM)=90°,
可得/BCD=90°,即5CLCD,
又eq±平面ABCD,BCU平面ABCD,
BCICQ,且CDICq=C,CD,CCXu平面CDD£,
故3cl平面CD2C,
注意到DC]u平面CDD}CX,故5c_LDC】;
對③:VABLAD,即ZfiAD=90°,
AT)1
在Rt54。中,則sinNA3£>=—=-,可得NABD=30。,
BD2
故ZABDMNCmMBOO.ABnBCBDnB。,貝h5AD=BCD,
故ZBCD=Zfi4D=90。,即BCLCD,
又???eq±平面ABCD,BCu平面ABCD,
BCICQ,且CDICQ=C,CD,CCXu平面CDDg,
故3cl平面C£>QG,
注意到DC]u平面CDDG,故BC,£>G?
【小問2詳解】
如圖,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,設(shè)A4=2,
則。(0,2,0),〃(0,2,2),P(2百,0,1),G(3,3,21
UUULUUULz_、UUUL(_、
可得DDX=(0,0,2),DCX=(V3,1,2),DP=(2V3,-2,1)
n-Dq=下>X[+%+2Z]=0
設(shè)平面PDG的法向量為〃=(玉,x,4)則《
n-DP=2\/3xj-2yl+z1=0
令石=5,則X=3』,Z]=TQ,即Jz=S,36,一4君),
m-DD]=2Z2=0
設(shè)平面法向量為加=(9,%*2),則<
m-DP-2S/3X2—2y2+z2=0
令W=l,則%=6*2=0,即加=(1,百,0),
I11
/trYl'YYl5+97
貝Ucos(n,m
2x10To1
7
故平面PDQ與平面PDD}所成角的余弦值為—.
21.已知過點(diǎn)(l,e)的橢圓£:=l(a〉》〉0)的焦距為2,其中e為橢圓E的離心率.
/b2
(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn),直線/與E交于AC兩點(diǎn),以。4,0C為鄰邊作平行四邊形Q鉆C,且點(diǎn)B恰
好在E上,試問:平行四邊形Q鉆C的面積是否為定值?若是定值,求出此定值;若不是,說明理由.
【答案】(1)—+/=1
2
(2)是定值,定值為Y5
2
【解析】
【分析】(1)根據(jù)題意列式求解/仇。,即可得結(jié)果;
4km2m
(2)根據(jù)題意結(jié)合韋達(dá)定理求點(diǎn)C,代入橢圓方程可得4〃/1+2左2,結(jié)合弦長公式
1+242'1+242
求面積即可,注意討論直線的斜率是否存在.
【小問1詳解】
c1
設(shè)橢圓E的焦距為2c,則c=1,e=—=一,
aa
J_
1/"2=2
由題意可得《二+年=1,解得{2,
ab廿=i
a2=b2+l
故E的標(biāo)準(zhǔn)方程為L+y2=l.
2一
【小問2詳解】
平行四邊形。的面積為定值且,理由如下:
2
由(1)可得:a—5/2,Z?=1,則有:
當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí),設(shè)A(%,x),C(玉,一%),
若Q46c為平行四邊形,則點(diǎn)B為長軸頂點(diǎn),不妨設(shè)3(、歷,0卜
[二正[二變
可得,;2,解得,12
故平行四邊形Q45C的面積S=2XLX0X,3=Y&;
222
當(dāng)直線/的斜率存在時(shí),設(shè)/:y=Ax+m(mwO),A(石,%),8(%2,%),
y—kx+m
2
聯(lián)立方程V21消去y得(1+242)f+4kmx+2m-2=0,
——+V=1
12J
4km2m2一2
則2左(療)(2-ZTI2
A=16knr-4(
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