云南省昆明市2023屆“三診一模”高三復(fù)習(xí)教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)（解析版）

昆明市2023屆“三診一模”高三復(fù)習(xí)教學(xué)質(zhì)量檢測

數(shù)學(xué)

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1,已知集合-={=123,可,3={x|lnx<l},則AB=()

A.{1,2}B.{0,1,2}C.{1,2,3}D.{0,1,2,3)

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)對數(shù)求解集合8,再求交集即可得結(jié)果.

【詳解】由題意可得：B={x|lnx<l}={x|0<x<e},

故AB={1,2}.

故選：A.

2.歐拉公式：e'?=cos，+*in6?將復(fù)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)聯(lián)系起來，在復(fù)變函數(shù)中占有非常重要的地

位，根據(jù)歐拉公式，復(fù)數(shù)e%在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義結(jié)合象限角的三角函數(shù)值的符號分析判斷

【詳解】由題意可得：=cos3+i-sin3對應(yīng)點(diǎn)為(cos3,sin3),

則cos3<0,sin3>0,

故(cos3,sin3)位于第二象限.

故選：B.

3.某單位職工參加某APP推出的“二十大知識問答競賽”活動，參與者每人每天可以作答三次，每次作答

20題，每題答對得5分，答錯(cuò)得0分，該單位從職工中隨機(jī)抽取了10位，他們一天中三次作答的得分情況

如圖：

得分

100

95~?-?-第三次作答

一第二次作答

9§0鄉(xiāng)H廠、_第一次作答

12345678910職主編號

根據(jù)圖，估計(jì)該單位職工答題情況，則下列說法正確的是()

A.該單位職工一天中各次作答平均分保持一致

B.該單位職工一天中各次作答的正確率保持一致

C.該單位職工一天中第三次作答得分的極差小于第二次的極差

D.該單位職工一天中第三次作答得分的標(biāo)準(zhǔn)差小于第一次的標(biāo)準(zhǔn)差

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)給出統(tǒng)計(jì)圖數(shù)據(jù)，分別計(jì)算出三次作答的平均分、正確率、極差、標(biāo)準(zhǔn)差，即可作出判斷.

【詳解】由題可得，該單位抽取的10位員工三次作答的得分分別為:

1號員2號員3號員4號員5號員6號員7號員8號員9號員10號員

工工工工工工工工工工

第一次

65808580909090859090

作答

第二次

80859090959095909595

作答

第三次

8590959510010010095100100

作答

對于A：第一次作答的平均分為：,X(65+80+85+80+90+90+90+85+90+90)=84.5,

第二次作答的平均分：焉x(80+85+90+90+95+90+95+90+95+95)=90.5,

第三次作答的平均分：^x(85+90+95+95+100+100+100+95+100+100)=96,

故該單位職工一天中各次作答的平均分不一致，故A錯(cuò)誤；

845x10-5

對于B：第一次作答的正確率：x100%=84.5%,

20x10

905x1f)-5

第二次作答的正確率：-x100%=90.5%,

20x10

96x10-5

第三次作答的正確率：xl正％=96%,

20x10

故該單位職工一天中各次作答的正確率不一致，故B錯(cuò)誤；

對于C：該單位職工一天中第三次作答得分的極差：100-85=15,

該單位職工一天中第二次作答得分的極差：95-80=15,

故該單位職工一天中第三次作答得分的極差等于第二次的極差，故C錯(cuò)誤；

對于D：該單位職工一天中第三次作答得分的標(biāo)準(zhǔn)差：

2222

S3=x[(85-96)+(90-96)+(95-96)x3+(100-96)x5]=276,

該單位職工一天中第一次作答得分的標(biāo)準(zhǔn)差：

Si=，木x[(65-84.5)2+(80-84.5)2x2+(85-84.5)2x2+(90-84.5)2x5]=457.25>后=246,

故該單位職工一天中第三次作答得分的標(biāo)準(zhǔn)差小于第一次的標(biāo)準(zhǔn)差，故D正確，

故選：D.

4.已知｛4｝和也｝均為等差數(shù)列，%=La=2,%O+4O=39,則數(shù)列｛%+〃｝的前50項(xiàng)的和為

()

A.5000B.5050C.5100D.5150

【答案】B

【解析】

【分析】由題設(shè)易知｛4+2｝為等差數(shù)列，結(jié)合已知求公差，應(yīng)用等差數(shù)列前“項(xiàng)和公式求和即可.

【詳解】由題設(shè)｛4+包｝也為等差數(shù)列，且公差d為｛4｝、也,｝公差的和，

39-3

又Q+4=3,%。+—39,故d=—=4,

/、SOx49

所以｛%+〃｝前50項(xiàng)和為50x3+—^—x4=5050.

故選：B

5.已知直線xcos8+ysine=l(〃eR)與圓。：12+,2=4交于4,3兩點(diǎn)，則NAO§=()

A.eB.20C.-D.—

33

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)垂徑定理求弦長|A理，再結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解.

【詳解】圓。：爐+產(chǎn)=4的圓心為0(0,0),半徑r=2,

?.?圓心0(0,0)到直線xcos，+ysin。-1=0的距離d=,,+2力=1,

則|AB|=2y1r2—d2=2^/3,

|OA|2+|OB|2-|AB|24+4—12￡

可得cosNA03=且NAO5w(0,7i),

2\OA\-\OB\2x2x22

2兀

???ZAOB=——

3

故選：D.

6.函數(shù)y=sin尤ln(e*+ef)在區(qū)間［―私兀］上的圖象大致為()

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性排除B、D,再取特值x=W排除C.

2

【詳解】對于函數(shù)/(x)=sinxln(eX+eT),

/(%)+/(-x)=sinxln(e*+ex)+sin(-x)ln(e「*+e*)=sinxln(e*+-sin尤In(e*+b)=0,

故了(尤)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，B、D錯(cuò)誤;

nA1itit、

71It

1

又：=sin-Ine+e5=Ine?+e萬且6萬＞e,e萬＞0，

2J\7

故/[]J=lne2+e2>ln(e+O)=l,C錯(cuò)誤；

故選：A.

7.已知函數(shù)〃%),g(x)的定義域均為R,4%)為偶函數(shù)且〃x)+/(x+2)=3,g(x)+g(10—x)=2,

9

則Z[F(")+gG)]=()

；=i

4547

A.21B.22C.——D.—

22

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意證明/(x)+/(10—x)=3,結(jié)合對稱性分析運(yùn)算即可.

【詳解】?."(％)為偶函數(shù)且〃x)+/(x+2)=3,則〃f)+/(x+2)=3,

故/(%)關(guān)于點(diǎn)]qJ對稱，

XV/(x+2)+/(x+4)=3,則〃力=〃％+4),

則"％)是以周期為4的周期函數(shù)，故〃%)關(guān)于點(diǎn)對稱，

A/(x)+/(10-x)=3,

則

>(，)=[〃1)+〃9)]+[〃2)+〃8)]+卜(3)+〃7)]+卜(4)+八6)]+；[〃5)+〃5)]=3*4+9司

又?:g(%)+g(10-X)=2,

則

91

Zg(^)=[g⑴+g⑼]+[g⑵+g⑻]+[g⑶+g⑺[+[g⑷+g⑹]+不[g(5)+g⑸]=2x4+l=9

i=l/

故￡9[/a)+g(i)]=9￡/(，)+9!>(，)=彳?7+9=47S.

1=11=11=1/乙

故選：C.

8.某機(jī)床廠工人利用實(shí)心的圓錐舊零件改造成一個(gè)正四棱柱的新零件，且正四棱柱的中心在圓錐的軸上,

下底面在圓錐的底面內(nèi).已知該圓錐的底面圓半徑為3cm,高為3cm,則該正四棱柱體積（單位：cm3）

的最大值為（）

A.54（10-7A/2）B.8C.yD.9

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)。C=x,借助于圓錐的軸截面分析可得CF=3-x,利用柱體體積公式可求得V=2（3%2-%3）,

求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求最值.

【詳解】顯然當(dāng)正四棱柱的上底面頂點(diǎn)在圓錐表面時(shí)的體積較大，

如圖，借助于圓錐的軸截面，

由題意可得：OA=OB=OP=3cm,

0ApnACOP

設(shè)底面對角線0。=口111,%€（0,3）,則——■=——■,可得CE=-----------=AC=（3-x）cm,

v7ACCFOAv7

故該正四棱柱體積V=g（2x『?（3—x）=2（3X2-X3）,

構(gòu)建/（X）=2（3V—J?）,則r（x）=6x（2-x）,

V%e（0,3），

當(dāng)0<x<2時(shí)，/^）>0；當(dāng)2<%<3時(shí)，尸（力<0；

則/（x）在（0,2）上單調(diào)遞增，在（2,3）上單調(diào)遞減，

A/（x）</（2）=8,

故該正四棱柱體積的最大值為8（cm3）.

【點(diǎn)睛】方法定睛：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟

⑴建模：分析實(shí)際問題中各量之間的關(guān)系，列出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)

系式、=加）.

(2)求導(dǎo)：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)廣(x),解方程廣(x)=0.

(3)求最值：比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和使1(x)=0的點(diǎn)的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值.

(4)作答：回歸實(shí)際問題作答.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是

符合題目要求的，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯(cuò)的得0分.

Illiuuur/rr\

9.已知。力=0，忖=忖=1,設(shè)。4=。，OB=b，OC=c(cwO),則下列正確的是()

A.若a-c=b-c，貝Uc=a+6

B.c-a+b則o-c=Z?,c

C.以Q4,OC為鄰邊的平行四邊形的面積為

D.若(a——c),則J°的最大值為也擔(dān)

【答案】BCD

【解析】

【分析】對A、B、C：根據(jù)平面向量的數(shù)量積分析判斷；對D：根據(jù)題意求得點(diǎn)C的軌跡方程，結(jié)合圓的

性質(zhì)分析判斷.

【詳?軍】對A：若a.c=6c，貝Ua-c-4c=(a—人)?c=0,可得(a-6)_Lc,

YYY

注意到W=W=1,可得c=4(〃+b),XwO,A錯(cuò)誤；

iiiirzrrxzrrxzrnr2r2

對B：若c=a+b，且M==則c,(a—=(a+/?),(a-Z?)=a—b=1—1=0,

rzrr、rrrr

則c-a—6=c-〃_c-6=0,故=B正確；

對C：以Q4,OC為鄰邊的平行四邊形的面積

1|UWuumr

S=2x—xOAxOCx|sinZAOC|=ac|sinZAOC\=\c\|sinZAOC\,

2I

b?=|/?||c|cosZ.BOC-c|cosZBOC\,

JT

「則〃J_b，即NAO3=5，則有:

當(dāng)ZAOC=]+ZBOC時(shí)，則卜inZAOC|=sin^+NBOc)=\cosZBOC\,

當(dāng)ZAOC=-|-ZBOC時(shí)，則卜inZAOC\=sm\^~ZBOcj=|cosZBOC\,

故S="c；

當(dāng)ZAOC=］+ZBOC時(shí)，貝］sinZAOC=—=\cosZBOC\,

故S=〃?(?；

綜上所述：以。4,OC為鄰邊的平行四邊形的面積為卜式卜C正確；

對D：不妨設(shè)4(1,0),3(0,1),C(x,y),則】=(l,O)?=(O,l)：=(x,y),

1111

可得a_c=(l_jv,_y),Z?_c=(一%,］-y),

—c)M?！猚),貝ij(l—%)(—%)+(—y)(l—y)=0,整理得［一￡|=g,

點(diǎn)C(x,y)的軌跡為以為圓心，半徑廠=1的圓

又=由圓可知x<^+r=叵匕，

22

故a.c的最大值為叵U，D正確；

2

故選：BCD.

22

10.已知雙曲線E：丹一2=1(。〉0］〉0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳，B，過原點(diǎn)的直線/與雙曲線交

于A,3兩點(diǎn)，若四邊形月為矩形且|A4|=2|Ag|,則下列正確的是()

A.\AB\=245aB.E的漸近線方程為y=±岳

4

C.矩形445月的面積為4a2D./的斜率為土耳

【答案】AD

【解析】

【分析】對A、C：根據(jù)題意結(jié)合雙曲線的定義可求得|A娟=2|A閶=4a,|A@=|4閶=2氐，分析運(yùn)算；

對B：由°=氐，可得b=2a,進(jìn)而可求E的漸近線方程；對D：利用余弦定理可求COS/AO8,進(jìn)而

可求tanNA。瑪，注意結(jié)合雙曲線的對稱性分析判斷.

【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，

如圖，由題意可得：四邊形人43層為平行四邊形,

由雙曲線的定義可得：|A￡H"|=2|"H"l=l"l=2a，則|明|=2|9|=4a,

對A：；四邊形罵為矩形，則|A3|=|耳目=用2=收療+伽丫=2氐，A正

確；

對B：由選項(xiàng)A可得：2c=2y[5a，則c=y[5a.b-yjc2—a2—2a,

b

注意到雙曲線E的焦點(diǎn)在x軸上，則石的漸近線方程為y=±—x=±2x,B錯(cuò)誤;

a

對C：矩形AfjB8的面積為S=2xg|A周義M閶=4424=8〃，c錯(cuò)誤；

對D：可知：|Q4|=|（詞=J5alA閭=2〃，

5/+5。2—443

則2〃」*瑞;;『「且NAOKeO,'

W-5

/------2-------4qin/AOF4

可得sinZAOF2=Jl-COSZAOF2=—,故tanZAOF2=-------=

-5cosZAOF3

4

由雙曲線的對稱性可得：/的斜率為土一，D正確；

3

故選：AD.

11.三棱錐P—ABC中，R4,平面ABC,PBLBC,記NPC4=a,NPCB=0,ZACB=y,則

下列正確的是（）

A.cosa<cosf3B.cosP<cosy

C.COS7=%2D.若tantz=sin/,則24與平面尸5c所成的角為

cosa

45°

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)題意結(jié)合線面垂直可證8C，AB,利用直角三角形的余弦值的定義與取值范圍分析可判斷A、

sin0=,

B、C；對D：建系，利用空間向量求線面夾角可得IrU/°丫，根據(jù)題意分析判斷.

詳解】平面ABC，且AC,5Cu平面ABC,則上4_LAC,PALBC,

PB±BC,PAIPB=P,PA,PBu平面PAB，

3cl平面R43,

由A3u平面R43，可得3CLAB,

設(shè)AB=a,3C="PA=c,則=y/a2+c2,AC=J/+加,PC=y/a2+b2+c2，

22

可得costz=4￡y/a+bnBCbBCb

—卜,cosp-=—/,cosy-=—,--

PCVa2+^2+c2PC力2+/+。2AC777^

,,COS/?口Lc

故cosy----,即cosp=cosacos/,

cosa

0,1,則cosa,cos/￡（0,1）,

cosp<cosa.cos/3<cos/,

故A錯(cuò)誤，B、C正確;

如圖，以3為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則4(040),5(0,0,0)，。魚0,0),P(0,a,c),

UUULUllUUU

可得3C=(d0,0),3P=(0,a,c),AP=(0,0,c),

設(shè)平面尸3。的法向量為〃=(x,y,z),貝!,

n-BP=ay+cz=0

令y=c,則％=0,z=—〃，即〃=(0,G—a),

IT

設(shè)以與平面尸5c所成的角為0,-,

PAAB

當(dāng)tanCL-sin/時(shí)，即---=----，則PA-AB，即。=〃，

ACAC

此時(shí)￡=1,Sin6?=—,則6=45°,

a2

即Q4與平面P5C所成的角為45。，D正確.

故選：BCD.

12.對于函數(shù)/(%),若存在兩個(gè)常數(shù)。，b,^f(a+x)-f(a-x)=b,則稱函數(shù)/(%)是“J函

數(shù)”，則下列函數(shù)能被稱為“J函數(shù)”的是()

A./(x)=eT

C./(x)=3x-lD./(x)=tanx

【答案】ABD

【解析】

14-2〃

【分析】對A：根據(jù)題意結(jié)合指數(shù)哥運(yùn)算分析判斷;對B：根據(jù)題意整理得/(〃+%)./(〃-x)+1

ya2-x2

分析判斷；對C：根據(jù)題意整理得“a+力"(a—x)=—9尤2+(3a—l廣，分析判斷，對口：根據(jù)題意結(jié)合

兩角和差的正切公式運(yùn)算分析.

【詳解】對A：若〃x)=e"則/(。+分/(。_'=y'4-=62\

即存在兩個(gè)常數(shù)aeR，b=e2a，使得使得/(a+a/(a—x)=b成立,

故/(x)=e"為“/函數(shù)”，A正確;

對B：若/⑺=小一,則

2-(a+x)2-(a-x)_4-2a+a2-x24-2a,

f(a+x)-f(a-x)=

a+xVa-xa2-x2二L’

±^<+1為定值，則4—2a=0,解得a=2,且4一2。一

若

a-x

故存在兩個(gè)常數(shù)a=2力=1,/(2+x)-/(2-x)=L

上方為“/函數(shù)”，B正確;

則〃x)=

X

對C：若/(x)=3x-l,則/(a+x)"(a—x)=[3(a+無一九)-1]=—9/+(3?-1)"

：-9尤2+(3a-l)2不為定值,

即不存在兩個(gè)常數(shù)。，b,使得x)=b,

〃x)=3x-l不為“/函數(shù)”，C錯(cuò)誤;

對D：若/(x)=tanx,則

“、“、/、/、tana+tan%tantz-tanxtan2?-tan2x

j(a+x)-jla-x)=tanla-bx)-tanla-x)=----------------------------x-------------------------------=-----------------------------

1-tanatanx1+tanatanx1-tanatanx

22

若tan61__tanx=匕，gp(^tan2?-Z?^-(l-Z?tan2ajtan2x=0,

1-tan2tztan2x

tan2a-b=0

可得《解得b=tan2a=l，

1-Z?tan2a=0

即存在兩個(gè)常數(shù)4=弓+￡/€2,。=1,使得使得/(a+x>/(a—力=人成立,

故〃x)=tanx為“J函數(shù)”，D正確;

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于新定義問題要充分理解定義，嚴(yán)格按照定義的要求推理、運(yùn)算，注意區(qū)別我們已

學(xué)的相近知識.該題型重點(diǎn)考查學(xué)生的思維邏輯能力.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若函數(shù)/(x)=2x+〃cosx在定義域R上不單調(diào)，則正整數(shù)九的最小值是.

【答案】3

【解析】

2

【分析】求導(dǎo)，令/'(1)=0,得到”=^,再根據(jù)sinxe[—1,1],且〃eN*求解.

sinx

【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=2x+〃cosx,

所以/'(x)=2-wsin%,

7

令/''(x)=0，^n=--，

sinx

因?yàn)閟inxe[-l,l],且〃eN*，

所以〃22,

當(dāng)九=2時(shí)，/,(x)=2-2sin%>0,則〃尤)單調(diào)遞增，

當(dāng)〃>2時(shí)，當(dāng)/'(x)=2—〃sinx>。時(shí)，sinx<—；

n

2

當(dāng)了'(X)=2—〃sinx<0時(shí)，sinx>—,

n

所以了(%)不單調(diào)遞增，

所以正整數(shù)〃的最小值是3,

故答案為：3

14.一個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組共有2名男生3名女生，從中隨機(jī)選出2名參加交流會，在已知選出的2名中有1

名是男生的條件下，另1名是女生的概率為.

【答案】|

【解析】

【分析】首先求出男女生各1名的概率，再應(yīng)用對立事件概率求法求至少有1名男生的概率，最后應(yīng)用條

件概率公式求概率.

【詳解】若A表示“2名中至少有1名男生”，2表示“2名中有1名女生”，

P(AB)

所以2名中有1名是男生的條件下，另1名是女生的概率為尸(314)=^^,

P(A)

C1C13C27

而P(AB)=T&=—,P(A)=1一~|■一，故P(B|A)=。.

C5C；10

故答案為：!

15.已知/(x)=2sin(ox+G)10〉O,[d<m

|的部分圖象如圖所示，A[：，"，等，④]為

y=/(x)的圖象上兩點(diǎn)，則〃2兀)=_____.

【答案】-1

【解析】

【分析】首先根據(jù)題意得到丁=3兀，從而得到0==，根據(jù)孚=1得到夕=-g再計(jì)算“2兀)即可.

3J6

【詳解】因?yàn)锳，為y=/(x)的圖象上兩點(diǎn),

11兀兀3兀CC

------------------------71---，兀2

所以82_46>解得7=3兀=——，即。=—

-不-=~①3

T2兀

所以/(x)=2sin]gx+0

又因?yàn)?||J=2sin[l+Gj=l,5皿[三+夕)=5，

TTTTTT)TT

所以—+°=—+2而，左￡2或一+夕=——+2依次wZ,

3636

TT兀

即0=----F2左兀,keZ或(p=—+2kit,kuZ,

62

因?yàn)閼?lt;g，所以0=_‘，即/(x)=2sin[；x_g]

266J

471

=2sin—71------=2sin-=-2sin-=-1.

3666

故答案為：-1

3

16.已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為尸，經(jīng)過拋物線上一點(diǎn)P,作斜率為a的直線交。的準(zhǔn)線于點(diǎn)。，

R為準(zhǔn)線上異于。的一點(diǎn)，當(dāng)=時(shí)，上周=

37

2

99-

【解析】

【分析】根據(jù)題設(shè)條件確定P在第一象限內(nèi)，且"_LQP,設(shè)尸（七,加）且加＞0,結(jié)合門?/。=0得

4

到關(guān)于m的方程并求值，又=|尸司=?+1即可得結(jié)果.

不妨令R為過尸點(diǎn)垂直于準(zhǔn)線的垂足，又NPQR=NPQF,即QE為NFQR角平分線,

3

。是斜率為一的直線與拋物線準(zhǔn)線的交點(diǎn)，則尸在第一象限內(nèi)，

4

而PRLQR,且|m|二|。尸I,根據(jù)角平分線性質(zhì)知：PhQF,如上圖示，

2Q2

vnSn?16m—3m2-12

令尸附且加＞0,則直線尸。為y-加=z（%--^-）,令k=-1,則=

16

,__尸八m21、/與I6m-3m2-12__m216m2-3m3-I2m八

由".尸Q=（z彳—l,m）?（-2,----------------）=2--+----------------二0，

Q

整理可得3m3-8m~+12相—32=（zn2+4）（3m-8）=0,則加=耳，

故|尸碼=|尸目=]+1=曰.

25

故答案為：百~

四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.“不以規(guī)矩，不能成方圓”，出自《孟子?離婁章句上》.“規(guī)”指圓規(guī)，“矩”指由相互垂直的長短兩條直尺構(gòu)

成的角尺，是用來測量、畫圓和方形圖案的工具。有一塊圓形木板，以“矩”量之，較長邊為10cm,較短邊

為5cm,如圖所示，將這塊圓形木板截出一塊三角形木塊，三角形頂點(diǎn)A,瓦C都在圓周上，角A瓦C的對

邊分別為。，b,c,滿足c=46cm

X

（1）求sinC；

（2）若ABC的面積為8cm叱且”>c,求ABC的周長

4

【答案】（1）j

（2）12+4百cm

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意可求圓的直徑2R=5岔，再結(jié)合正弦定理運(yùn)算求解；

（2）根據(jù)題意結(jié)合面積公式和余弦定理運(yùn)算求解.

【小問1詳解】

設(shè)，ABC的外接圓半徑為R,貝U2R=，1。2+52=54（cm）,

Cc4J54

由正弦定理——=27?,可得sinC='一=學(xué)=

sinC2R5V55

【小問2詳解】

?：a>c,則A>C,故。為銳角，

cosC=A/1-sin2C=g,

114

由面積公式S=—absinC,即8=—ab?—,可得〃Z?=20,

225

由余弦定理cose=a?+萬一》=（a+b）2—2ab-c\即3_（"4-40-80

2ab2ab540

可得（a+b『=144,解得a+/?=12（cm）,

故.ABC的周長為a+b+c=12+4A后（cm）.

18.某新能源汽車公司從2018年到2022年汽車年銷售量》（單位：萬輛）的散點(diǎn)圖如下:

九

80-

70-

60-

50-

40-

30-

20-

10-

O20182019202020222022辜份

記年份代碼為X(X=1，2,3,4,5)

(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，模型①y"與模型②丁二仁十公2,哪一個(gè)更適宜作為年銷售量y關(guān)于年份代

碼x的回歸方程？(給出判斷即可，不必說明理由)

(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果，建立y關(guān)于x的回歸方程;

(3)預(yù)測2023年該公司新能源汽車銷售量.

參考數(shù)據(jù)：

5555

y

Z=1?=1Z=1Z=1

34559796572805

參考公式：回歸方程y=a+bx中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:

2(%——y)皂％/一〃％?y

b='T——=個(gè)丁，B=y一/

Y^xj-nx

z=li=l

【答案】(1)y^c+dx2

(2)，=6.5+2.5f

(3)預(yù)測2023年該公司新能源汽車銷售量96.5萬輛

【解析】

【分析】(1)根據(jù)散點(diǎn)圖結(jié)合一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象特征分析判斷;

(2)換元令/=/，結(jié)合題中數(shù)據(jù)與公式運(yùn)算求解;

(3)令1=6,代入回歸方程運(yùn)算求解.

【小問1詳解】

由散點(diǎn)圖可知：散點(diǎn)圖與一次函數(shù)偏差較大，與二次函數(shù)較接近，故模型②丁二,+弓犬更適合.

【小問2詳解】

5555_1515

令/=必，則=979，Z%“=ZX?=2805j=wZq=^Zx；=1L9=34,

i=li=li=li=l3i=l?i=l

對于回歸方程§=也+加,

5_

2805-5x11x34935

可得：----------=2.5,6=亍—際=34-2.5x11=6.5,

979-5xll2374

Z=1

故回歸方程為§=6.5+25t，即4=6.5+2.5%2.

【小問3詳解】

由(2)可得：，=6.5+2.5_?,

令x=6,則§=6.5+2.5x62=96.5，

預(yù)測2023年該公司新能源汽車銷售量96.5萬輛.

19.已知數(shù)列｛?！保那啊?xiàng)和為5元,q=；，且滿足("T)S“+2解=0

(1)設(shè)證明：仙“｝是等比數(shù)列

(2)設(shè)C〃=22，數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和為北，證明：Tn<2

4,an+1

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【解析】

S1S

【分析】(1)由題設(shè)可得("—l)S"+2”(S,,+]—S〃)=0,整理變形得*L=-結(jié)合等比數(shù)列定義即

n+12n

可證結(jié)論；

(2)根據(jù)4,5“的關(guān)系求與通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得。=二，在〃上放縮g<,1八，結(jié)合裂項(xiàng)求和證

n-n(n-l)

結(jié)論.

【小問1詳解】

由題設(shè)，(〃-l)S”+2〃(S)+i-S”)=0,則2g,+1=(〃+1電，

V1C1C1

所以—=X。，即％=彳2，而4=摩=%=；,

n+12n212

故｛%｝是首項(xiàng)與公比都為3的等比數(shù)列.

【小問2詳解】

由⑴+=G)”，即S"="g)"，

1

當(dāng)心2時(shí)，an=Sn-Sn_r=?.(1)?--1),(I)-=(2-?).(1)",

顯然勾=」?jié)M足上式，

2

所以。"=(2—〃)?(3)"，貝u=[(2—〃一2)?(g)"2]2=1.4-2,

1111111

則G=4"+27=4"+2"2=/，又“22時(shí)G=—<—~-=--一一，

4.。計(jì)24?〃?4nnn(n—l)n—1n

所以(<1+(1-----1-------------------------)=2—S.n>2,故看<2.

223n-1nn

20.如圖，直四棱柱ABC?！?與。]口中，ABC是等邊三角形，ABLAD

B

（1）從三個(gè)條件：9ACJ.BD；②NA￡>C=120。；③應(yīng)）=2AZ）中任選一個(gè)作為已知條件，證明：

BC±DC[.

（2）在（1）的前提下，若AB=Ji4A，P是棱8月的中點(diǎn)，求平面PDC]與平面所成角的余弦

值.

【答案】（1）證明見詳解

⑵—

10

【解析】

【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理分析證明；

（2）建系，利用空間向量求面面夾角.

【小問1詳解】

對①：設(shè)AC與3D的交點(diǎn)為E,

?；是等邊三角形，且AC13。，則E為AC的中點(diǎn),

可得ZM=DC,且AB=BC,BD=BD,則KWMBCD,

故NBCD=N84r>=90。，即BCCD,

又???cq1平面ABCD,3CU平面ABCD,

BCICC,,且CDICQ=C,CD,CC,u平面CDDXCX,

故3cl平面CDRG，

注意到DC,u平面CDDg,故3C，DC1；

r?i

B

對②：VZADC+ZABC=180°,則/500+/￡^4￡)=180°,

又：AB_LAD,即NaM)=90°,

可得/BCD=90°,即5CLCD,

又eq±平面ABCD,BCU平面ABCD,

BCICQ,且CDICq=C,CD,CCXu平面CDD￡,

故3cl平面CD2C，

注意到DC]u平面CDD}CX,故5c_LDC】；

對③：VABLAD,即ZfiAD=90°,

AT)1

在Rt54。中，則sinNA3￡>=—=-,可得NABD=30。，

BD2

故ZABDMNCmMBOO.ABnBCBDnB。，貝h5AD=BCD,

故ZBCD=Zfi4D=90。，即BCLCD,

又???eq±平面ABCD,BCu平面ABCD,

BCICQ,且CDICQ=C,CD,CCXu平面CDDg,

故3cl平面C￡>QG，

注意到DC]u平面CDDG,故BC，￡>G?

【小問2詳解】

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,設(shè)A4=2,

則。（0,2,0）,〃（0,2,2）,P（2百,0,1）,G（3,3,21

UUULUUULz_、UUUL（_、

可得DDX=（0,0,2）,DCX=（V3,1,2）,DP=（2V3,-2,1）

n-Dq=下＞X[+%+2Z]=0

設(shè)平面PDG的法向量為〃=（玉，x,4）則《

n-DP=2\/3xj-2yl+z1=0

令石=5,則X=3』,Z]=TQ,即Jz=S，36,一4君）,

m-DD]=2Z2=0

設(shè)平面法向量為加=（9,％*2），則<

m-DP-2S/3X2—2y2+z2=0

令W=l，則%=6*2=0，即加=（1，百,0）,

I11

/trYl'YYl5+97

貝Ucos（n,m

2x10To1

7

故平面PDQ與平面PDD｝所成角的余弦值為—.

21.已知過點(diǎn)（l,e）的橢圓￡：=l（a〉》〉0）的焦距為2,其中e為橢圓E的離心率.

/b2

（1）求E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線/與E交于AC兩點(diǎn)，以。4,0C為鄰邊作平行四邊形Q鉆C,且點(diǎn)B恰

好在E上，試問：平行四邊形Q鉆C的面積是否為定值？若是定值，求出此定值；若不是，說明理由.

【答案】（1）—+/=1

2

（2）是定值，定值為Y5

2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意列式求解/仇。，即可得結(jié)果;

4km2m

（2）根據(jù)題意結(jié)合韋達(dá)定理求點(diǎn)C，代入橢圓方程可得4〃/1+2左2,結(jié)合弦長公式

1+242'1+242

求面積即可，注意討論直線的斜率是否存在.

【小問1詳解】

c1

設(shè)橢圓E的焦距為2c,則c=1,e=—=一,

aa

J_

1/"2=2

由題意可得《二+年=1,解得｛2，

ab廿=i

a2=b2+l

故E的標(biāo)準(zhǔn)方程為L+y2=l.

2一

【小問2詳解】

平行四邊形。的面積為定值且，理由如下:

2

由（1）可得：a—5/2,Z?=1,則有：

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，設(shè)A（%，x）,C（玉,一%）,

若Q46c為平行四邊形，則點(diǎn)B為長軸頂點(diǎn)，不妨設(shè)3（、歷,0卜

［二正［二變

可得,；2,解得，12

故平行四邊形Q45C的面積S=2XLX0X，3=Y&；

222

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)/:y=Ax+m（mwO）,A（石,%）,8（%2，%），

y—kx+m

2

聯(lián)立方程V21消去y得(1+242)f+4kmx+2m-2=0,

——+V=1

12J

4km2m2一2

則2左(療)(2-ZTI2

A=16knr-4(