2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義+練習(xí)：二次函數(shù)與一元二次方程、不等式一（解析版）

專題8二次函數(shù)與一元二次方程、不等式（1）

題型一解含有參數(shù)的一元二次不等式

1.已知不等式ax2-3x+2>0的解集為｛小<1或%>。｝

（1）求。、b；

（2）解關(guān)于x的不等式〃—+（ac+b）x+bc<0.

【答案】（1）2,（2）見解析

【解析】（1）由題意知。>0且1,b是方程依2一3%+2=0的根,

l+b=-

所以,“，解得"=1，b=2.

b=—

.a

（2）不等式可化為無2+（c+2）x+2c>0,即（尤+c）（尤+2）>0.

當(dāng)2,即c>2時，不等式的解集為｛尤|-c<x<—2｝,

當(dāng)-c=-2,即c=2時，不等式的解集為｛x|xw-2｝,

當(dāng)-c>-2,即c<2時，不等式的解集為｛xl-2〈尤〈-c｝.

2.已知函數(shù)/（x）=必-5ax+6a2（。eR）.

（1）解關(guān)于x的不等式/（尤）<0；

（2）若關(guān)于％的不等式，（元）22。的解集為4或尤41｝,求實數(shù)。的值.

【答案】（1）①當(dāng)。=0時，不等式的解集為0；

②當(dāng)。>0時，由3。>2。，則不等式的解集為（2a,3a）；

③當(dāng)。<0時，由3a<2“，則不等式的解集為（3a,2a）；

（2）a=l

【解析】（1）不等式可化為：（x-2a）（x—3。）<0.

①當(dāng)。=0時，不等式的解集為0；

②當(dāng)。>0時，由3。>2。，則不等式的解集為（2a,3a）；

③當(dāng)q<0時，由3a<2a,則不等式的解集為（3a,2a）；

(2)不等/(x)N2a可化為：X2-5ax+6a2-2a>0.

由不等式/（x）22a的解集為｛x|x24或xV1｝可知，1和4是方程￡一5分+—2“=0的兩根.

5a=1+4

故有解得4=1.

6a2-2a=1x4

由〃=1時方程為了2—5x+4=0的根為1或4,則實數(shù)"的值為1.

3.已知以2一（。+1）工+1<（）,求不等式的解集.

【答案】見解析

【解析】當(dāng)a=0時，不等式化為T+1V0,則不等式的解集為

當(dāng)awO時，不等式可因式分解為。（尤-、（無-1）<0

當(dāng)”0時，不等式可化為則不等式的解集為｛x|x>l或無<4｝；

aa

當(dāng)“=1時，不等式可化為（x-l）2<0,則不等式的解集為九

當(dāng)。>1時，不等式可化為（X-工則不等式的解集為｛x[L<x<l｝；

aa

當(dāng)0<。<1時，不等式可化為（x-3（x-l）<0,則不等式的解集為｛x|l<x<L

aa

題型二由一元二次不等式的解確定參數(shù)

1.不等式以2—Zu+c>0的解集為｛刈-2<%<1｝,則函數(shù)>=以2+法+。的圖像大致為（）

【解析】???不等式o^+bx+oO的解集為｛x|-2<x<l｝,

-2+1」

ab=-a

-2xl=-c=-2a,

a

a<Q

。<0

y=ax2+bx+c=ax2-ax—2a=a(x2-x-2),圖象開口向下，兩個零點為2,-1.

故選：C.

X2-x-2>Q

2.若不等式組的整數(shù)解只有一2,則上的取值范圍是

2%2+(5+2k)x+5k<0

【答案】-3少<2

【解析】不等式/一天一2>0的解集為（2,y）,

不等式2x?+（2左+5）x+5左<0可轉(zhuǎn)化為：（x+左）（2x+5）<0,

根據(jù)已知條件不等式組的整數(shù)解只有-2,

不等式2/+(2左+5)彳+5左<0的解集為<一左

再借助數(shù)軸可得上的取值范圍為-2〈-左<3,解得-3"<2,

3.設(shè)函數(shù)/(%)=加+(?-2)x+3(aw0).

(1)若不等式/(力>。的解集(Tl),求。，6的值；

(2)若/(1)=2,

14

①a>0,b>0,求一+7的最小值；

ab

②若/(">1在R上恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

伍=一3

【答案】⑴]C；(2)①9；②3-2后<〃<3+2后.

【解析】(1)由已知可得，G：2+U_2)X+3=0的兩根是—1,1

^^=-1+1=0

a=-3

所以a，解得

b=2

-=(-l)xl=-l

、a

(2)①/(l)=a+Z?—2+3=2=>a+b=l

144lJ。4aLe

—l—=+a++——+5>2J—xF5=9

ablb1uab

〃

當(dāng)2b=《4時等號成立,

ab

19

因為a+b=l,a>0,b>0,解得〃=§,匕=§時等號成立,

14

此時±+；的最小值是9.

ab

②cu3+(/?—2)x+3>1=>cu3+(/?—2)%+2>0在R上f旦成立,

[a>G/、2

?"△<0="一2)一8。<。，

又因為Q+b=l代入上式可得(a+l)2-8〃<0=/一6々+1V。

解得：3-2&<〃<3+2后.

4.若關(guān)于1的不等式(1—a)x2—4x+6<0的解集是{x|x<—3或x>1}.

(1)求實數(shù)〃的值；

(2)解關(guān)于1的不等式2x?+(2—a)x—a>0.

【答案】(1)3(2)卜爾一1或81]

【解析】(1)由題意，知1—a<0且一3和1是方程(1—a)x?—4x+6=0的兩根,

l-a<0

解得a=3.

(2)由(1)得不等式2x?+(2—a)x—a>0即為2x2—x—3>0,

解得X<—1或x>g.所求不等式的解集為1x|或.

5.關(guān)于了的不等式〃解一2元+利<0,其中優(yōu)為大于0的常數(shù).

(1)若不等式的解集為0,求實數(shù)小的取值范圍；

(2)若不等式的解集為A,且A中恰好含有三個整數(shù)，求實數(shù)，"的取值范圍.

Q3

【答案】(1)m>7；(2)—<m<-

175

【解析】(1)由題意得一元二次不等式對應(yīng)方程的判別式A=4-4/K0,

結(jié)合相>0,解得根21.

(2)由題意得一元二次不等式對應(yīng)方程的判別式/=4-4毋>0,解得-1V小vl.

又加>0,所以0<機<1.

^f(x)=mx2-2x+m,其對稱軸為％=’.

m

注意至U/(l)=2m-2<0,/(0)=m>Q,對稱軸x=—>1,

m

所以不等式如2_2x+相v0解集A中恰好有三個整數(shù)只能是1、2、3,

/(2)=5m-4<0

Qq

此時A中恰好含有三個整數(shù)等價于：/⑶=10*6<0,解得皆<加<：.

,(4)=17*820'

題型三一元二次方程根的分布問題

1.若實數(shù)。，/為方程一2如+根+6=0的兩根，則(。-1)2+(2-1)2的最小值為()

49

A.8B.14C.-14D.——

4

【答案】A

【解析】A=(-2m)2-4(m+6)..0,

/.m2-m-6..O,「.帆..3或圖,-2.

(Q—1尸+(/7—1尸=a2+p2+(3)+2=(a+j3)2--2aB一2(a+4)+2=(2m)2

49

-2(m+6)-2(2m)+2=4m2-6m-10=--

V

機.3或列，-2,且3離對稱軸更近，

當(dāng)%=3時，(a-1)?+(￡-1)?取得最小值8.

故選：A.

2.若關(guān)于1的方程/+(m-1)%+/-2=0的一個實根小于—1,另一個實根大于1,則實數(shù)用的取值范

圍是()

A.1m|-2<m<21B.1m|—2<m<01

C.1m|—2<m<11D.^m|0<m<11

【答案】D

【解析】令y=f+(a—1)%+機2_2,作出函數(shù)大致的圖象如圖所示,

.由圖象知，當(dāng)％=-1時；y=m2-m＜0,解得0＜相＜1；

2

當(dāng)％=1時，y=m+m-2＜0f解得一2＜〃z＜l.

綜上可得，0＜用＜1,故選D.

3.已知關(guān)于元的方程無2+(相-3)尤+m=0,下列結(jié)論正確的是()

A.方程/+(根-3卜+%=0有實數(shù)根的充要條件是用￡｛同加＜1,或加＞9｝

B.方程尤2+(m-3)x+相=。有一正一負根的充要條件是相￡｛時機＜。｝

C.方程尤?+(m-3)x+相=。有兩正實數(shù)根的充要條件是機￡｛司0＜機01｝

D.方程/+(m-3卜+根=。無實數(shù)根的必要條件是根直同根＞1｝

E.當(dāng)根=3時，方程的兩實數(shù)根之和為0

【答案】BCD

【解析】在A中，由A=(m—3)2一4功N0得加￡1或加29,故A錯誤；

在8中，當(dāng)％=0時，函數(shù)y=f+(加-3卜+機的值為加，由二次函數(shù)的圖象知，方程有一正一負根的充要條件

是機w｛司機＜0｝,故S正確；

A=(m-3)2-4m>0,

在C中，由題意得＜3-m>0,解得0<m41,故C正確；

m>0,

在D中，由A=(〃L3)2-4〃?<0得1<〃?<9,又{〃巾<m<9}a{沖w>l},故Z)正確;

在E中，當(dāng)m=3時,方程為f+3=0,無實數(shù)根，故E錯誤.

故選：BCD.

4.若方程上/-(2k+3)》+4k+2=0的根滿足下列條件，分別求出實數(shù)上的取值范圍.

(1)方程兩實根均大于1；

(2)方程有一根比1大，一根比1小.

【答案】(1)(2)

363

【解析】設(shè)x=t+l,原方程可化為％產(chǎn)-3f+34-1=0,

A>0

(1)由題意，關(guān)于/的方程的兩根均為正數(shù)，得卜+巧〉。，

印2〉0

32-4A:(3A:-l)>0

B|J<|>0,解得

k36

型>0

、k

故當(dāng)[〈左《二工也時，原方程兩實根均大于1;

36

(2)因為關(guān)于f的方程的兩根為一正根和一負根，

[A>0[32-4^-1)>0

所以，,八，即3k—1八，解得0<k<q,

m<o—<o3

、k

故當(dāng)?！慈?lt;:時，原方程有一根比1大，一根比1小.

5.已知關(guān)于龍的一元二次方程/+(2俏-l)x+蘇一3=0有實數(shù)根.

(1)求實數(shù)機的取值范圍；

(2)當(dāng)機=2時，方程的根為小%，求代數(shù)式(無：+2占)(%+4々+2)的值.

13

【答案】(1)m<—；(2)1.

4

【解析】(1)△=(2m-l)2-4xlx(m2-3)=4m2-4m+l-4m2+12=-4m+13

???原方程有實根，???△=Ym+1320

解得加(下

4

(2)當(dāng)加二2時，方程為N+3x+l=0,

Xl+X2=-3,X1X2=1,

???方程的根為XI,X2,

/.xi2+3xi+l=0,%22+3X2+1=0,

(xi2+2xi)(X22+4X2+2)

=(X12+2為+X\-X\)(X22+3X2+JC2+2)

=(-1-X1)(-1+X2+2)

=（-1-X1）（垃+1）

=-X2-XiX2-l-Xl

=-X2-Xl-2

=3-2

=1.

題型四一元二次不等式與二次函數(shù)、一元二次方程的關(guān)系

1.若關(guān)于X的不等式-爐+3―L0有解，則實數(shù)加的取值范圍是

A.｛訓(xùn)小，一2或m.2｝B.2｝

C.｛切m<—2或m>2｝D.|m|-2<m<2|

【答案】A

【解析】因為關(guān)于工的不等式-爐+如_Lo有解，所以△=/—4.o,解得m.2或辦，-2.

故選A.

2.已知函數(shù)y二一+雙+人（。>0）有且只有一個零點，則（）

A.

1

B.a29+->4

b

C.若不等式f+辦-6<o的解集為（%<三），則為尤2>0

D.若不等式x2+ox+b<c的解集為｛x|xi<x<w｝（占<馬），且上一%|=4,貝!Jc=4

【答案】ABD

【解析】因為,=/+辦+6（a>0）有且只有一個零點，

故可得公=/一4方=0,即。2=46>0,

對A：〃-加W4等價于〃-46+420,顯然（6-2y20,故A正確；

2

對8：a+l=4/7+->2.4/7X-I-=4,故5正確；

bb\b

對C：因為不等式爐+辦_6<0的解集為（X],尤2）,

故可得芯％=-》<0,故C錯誤；

對。：因為不等式尤2+G+6<C的解集為（X],%）,且上-々|=4,

則方程x?+ox+b-c=0的兩根為網(wǎng)，x2>

故可得+3）2=yja2—4（fo-c）=A/4C=2-Jc=4,

故可得c=4,故。正確.

故選：ABD.

3.己知函數(shù)y=（a，-1）尤2+（a+l）x+l

（1）若對任意x,有V>0,求實數(shù)。的取值范圍；

（2）若y能取到不小于0的任意值，求實數(shù)”的取值范圍.

【答案】(1){x[a<T或。；(2)ja

【解析】⑴當(dāng)a2-1=0時，得。=±1

若。=1,y=2x+l>0不恒成立，不合題意；若。=-1,y=l>0恒成立，符合題意

—1>04

當(dāng)/Two時，<22八，解得：或。>二

△二(〃+1)-4(〃-1)<0:

綜上所述：”的取值范圍為徊。4-1或

⑵當(dāng)。2_1=0時，得。=±1

若。=1,y=2x+leR,符合題意；若。=-1,>=1,不合題意

—1>05

當(dāng)/Two時，<,、,解得：1<〃工彳

A=(〃+l)2-4(a2-l)>03

綜上所述：”的取值范圍為{alWawg}

4.若關(guān)于x的不等式加+法+00的解集為{無卜3<x<4},求關(guān)于x的不等式法?+2依-c-3)<0的解

集.

【答案】卜-3<尤<5}

【解析】,?*ax2+bx+c>0的解集為{x|-3Vx<4},

/.。<0且-3和4是一元二次方程依2+bx+c=o的兩根,

-3+4=--

ab=-a

解得

c=-12Q

-3x4=-

a

*,?不等式"2+2ax—c—3Z?<0可化為一ax?+2ax+\