2024年高考第二次模擬數(shù)學(xué)試題及答案（廣東專用2024新題型）

2024年高考第二次模擬考試

高三數(shù)學(xué)

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第?卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證

號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無效。

3.回答第n卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的.

1.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝中，若生=9,則10834+1083%=（）

A.2B.3C.4D.9

l,x>0

2.已知符號(hào)函數(shù)sgn(x)=<0,x=0,則1sgn（d：）xsgn（/?）>ab>^^］（）

—1,x<0

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

3.設(shè)”(1，b=log0.2,c=log

030。.4,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

4.若拋物線/=2py（p>0）上一點(diǎn)以（〃,6）到焦點(diǎn)的距離是4p,則〃的值為（）

5.若將函數(shù)%5布8+?。?>0）的圖像向右平移（個(gè)單位長度后，與函數(shù)y=cos"+?）的圖像重合,

則①的最小值是（）

15

D.

T

6.某小組兩名男生和兩名女生邀請(qǐng)一名老師排成一排合影留念，要求兩名男生不相鄰，兩名女生也不相

鄰，老師不站在兩端，則不同的排法共有（）

A.48種B.32種C.24種D.16種

7.已知a,"c為不共線的平面向量，\b^c\若a+6+d=0，則6在d方向上的投影向量為（

1.111

A.——aB.——aC.—aD.——a

4422

8.已知定義在R上的偶函數(shù)”可滿足：當(dāng)04x41時(shí),/(X)=-X3+3X-1,</(X+1)=/(X-1),則方

程〃x)=logs(國+1)實(shí)根個(gè)數(shù)為()

A.6B.8C.9D.10

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知zeC］是z的共輾復(fù)數(shù)，貝I］（）

什l+3i,_-4-3i

A.z=--,n貝°Z=---

l-3i5

B.若z為純虛數(shù)，則z2<0

C.若z-（2+i）>0,則z>2+i

D.若知={2||2+即<3},則集合M所構(gòu)成區(qū)域的面積為6兀

10.關(guān)于下列命題中，說法正確的是（）

A.若事件A、B相互獨(dú)立,則尸（4忸）=尸（A）

B.數(shù)據(jù)63,67,69,70,74,78,85,89,90,95的第45百分位數(shù)為78

C.已知P（A）=0.65,P（AB）=0.32,則萬）=0.33

D.已知若尸（。41）=。，則P（-14j40）=；-p

11.如圖，在棱長為2的正方體ABC。-4耳G0中，M,N,尸分別是人4，CG，GR的中點(diǎn)，。是線

段上的動(dòng)點(diǎn)，則（）

A.存在點(diǎn)。使2,N,P,。四點(diǎn)共面

B.存在點(diǎn)。，使尸?！ㄆ矫鍹BN

C.過。M,N三點(diǎn)的平面截正方體ABCD-44G。所得截面面積的取值范圍為[2",30]

,9兀

D.經(jīng)過C,M,B,N四點(diǎn)的球的表面積為二

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知集合A={(x,y)|x-y=l},B=|(x,y)|(x-2)2+(y+3)2=91,則AcB的子集個(gè)數(shù)為.

13.函數(shù)〃x)=旦，如果-(%)為奇函數(shù)，則。的取值范圍為

smx

22

14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C:*-2=l(a>0,%>0)的右焦點(diǎn)為尸，過。的直線/與C的左

ab

、右兩支分別交于A2兩點(diǎn)，F(xiàn)B±AB,ZAFB+ZAOF=n,則C的離心率為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCQ是邊長為2的正方形，PC1PD,二面角A-CD-尸為

直二面角.

⑴求證：PBLPD；

(2)當(dāng)尸C=PD時(shí)，求直線尸C與平面上4B所成角的正弦值.

16.(15分)2023年11月，世界首屆人工智能峰會(huì)在英國舉行，我國因?yàn)樵谠擃I(lǐng)域取得的巨大成就受邀

進(jìn)行大會(huì)發(fā)言.為了研究不同性別的學(xué)生對(duì)人工智能的了解情況，我市某著名高中進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，

分別抽取男、女生各50人作為樣本.設(shè)事件4=“了解人工智能”，8="學(xué)生為男生”，據(jù)統(tǒng)計(jì)

P(A|B)=-,P(B|A)=土

57

(1)根據(jù)已知條件，填寫下列2x2列聯(lián)表，是否有99%把握推斷該校學(xué)生對(duì)人工智能的了解情況與性別有

關(guān)？

了解人工智能不了解人工智能合計(jì)

男生

女生

合計(jì)

(2)①現(xiàn)從所抽取的女生中利用分層抽樣的方法抽取20人，再從這20人中隨機(jī)選取3人贈(zèng)送科普材料，

求選取的3人中至少有2人了解人工智能的概率；

②將頻率視為概率，從我市所有參與調(diào)查的學(xué)生中隨機(jī)抽取20人科普材料，記其中了解人工智能的人數(shù)

為X,求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望和方差.

n^ad-bc^

參考公式：/=.常用的小概率值和對(duì)應(yīng)的臨界值如下表:

(〃+Z?)(c+d)(〃+4(Z?+d)

a0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001

Xa2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

1O

17.(15分)設(shè)〃尤)=alnx+?1x+l曲線y=/(x)在點(diǎn)處取得極值.

(1)求。的值；

(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.

22

18.(17分)已知等軸雙曲線N的頂點(diǎn)分別是橢圓C：L+匕=1的左、右焦點(diǎn)《、F2.

62

(1)求等軸雙曲線N的方程；

(2)。為該雙曲線N上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，直線。耳和Q8與橢圓C的交點(diǎn)分別為E,尸和G,H,

求|砂|+41GHi的最小值.

19.(17分)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差都大于或等于4,則稱這個(gè)數(shù)列為

“D數(shù)列”.

⑴已知等差數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為1,其前〃項(xiàng)和S“滿足對(duì)任意的〃eN*都有E,<2〃2+加(4>0),若數(shù)列

｛4｝為“。數(shù)列”，求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)已知等比數(shù)列｛c,J的首項(xiàng)Q和公比［均為正整數(shù)，若數(shù)列｛%｝為“。數(shù)列”，且G>q,q-C1<5,設(shè)

b.=(10”N*),若數(shù)列也｝也為“。數(shù)列”，求實(shí)數(shù)f的取值范圍.

2024年高考第二次模擬考試

局二數(shù)學(xué)

全解全析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.

1.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝中，若4=9,貝口嗅&+1嗚。<,=()

A.2B.3C.4D.9

【答案】C

【分析】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合等比中項(xiàng)求解即可.

【詳解】由題意得logsq+log3a6=1。83(。4。6)，由等比中項(xiàng)性質(zhì)得=4=81，

故log3a4+log3a6=log3(a4a6)=log381=4.

故選：C

l,x>0

2.已知符號(hào)函數(shù)sgn(x)=<0,無=0,貝！J“sgn(a)xsgn(b)>O，^“">(F^()

-1,x<0

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)題目所給的符號(hào)函數(shù)直接得到sgn(a)xsgn(6)>0等價(jià)于而>0即可.

【詳解】若sgn(a)xsgn(6)>0,則sgn(a),sgn(b)同號(hào),

sgn(a)=lfsgn(a)=-l

所以

sgn。)=1_sgn(Z?)=-1

a>0Ja<o

即b>0叫0<0即必>0,

所以“sgn(a)xsgn㈤>0”是“ab>0”的充要條件.

故選:A

口，b=log0.2,c=log0.4,貝i］。，b,c的大小關(guān)系為()

3.設(shè)a0303

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

【答案】D

【分析】首先將對(duì)數(shù)式和指數(shù)式與臨界值比較，再判斷大小關(guān)系.

【詳解［0=?。?lt;1,即0<a<g,Z7=log030.2>l,即b>l,

因?yàn)镺4<0.3,所以loggS,？>k>go.30.3=1,即題.。4〉：，

且10go,30.4<10go.30.3=1,貝Ijg<c<1,

所以b>c>a.

故選：D

4.若拋物線x2=2py（p>0）上一點(diǎn)M（〃,6）到焦點(diǎn)的距離是4p,則P的值為（）

,12「7

A.—B.—C.-D.一

71276

【答案】A

【分析】根據(jù)題意結(jié)合拋物線的定義分析求解.

【詳解】因?yàn)閽佄锞€尤2=2刀5>0）的準(zhǔn)線為廣后,

由題意可得：6+j=4p,解得P=］.

故選：A.

5.若將函數(shù)丫=5E（。彳+：［。>0）的圖像向右平移（個(gè)單位長度后，與函數(shù)y=cos（s+"的圖像重合，

則。的最小值是（）

15

人21D19L17c

A?—D.—C.—L）.—

4444

【答案】B

【分析】先得到平移后的解析式，再由題中條件，列出等式，求出。，即可得出結(jié)果.

【詳解】將函數(shù)『111+力0>0）的圖像向右平移3個(gè)單位長度后得到函數(shù)『《小-3+力的

圖像，

即y=COS^X-y?-^,與函數(shù)y=COs（0X+?）的圖像重合

兀冗兀__

即CDX------CD--------COXH----F2k兀,左￡Z

346

..7T7C7C___

故co=——卜2k兀、keZ

346

?**co=—6k—,左￡Z

4

19

所以。的最小值為

4

故選：B.

6.某小組兩名男生和兩名女生邀請(qǐng)一名老師排成一排合影留念，要求兩名男生不相鄰，兩名女生也不相鄰,

老師不站在兩端，則不同的排法共有（）

A.48種B.32種C.24種D.16種

【答案】B

【分析】由排列組合以及分類分步計(jì)數(shù)原理即可得解.

【詳解】當(dāng)老師從左到右排在第二或第四位時(shí)，共有C；C；A；=16種排法，

當(dāng)老師從左到右排在第三位時(shí)，共有C：C；A；=16種排法，于是共有16+16=32種排法.

故選：B.

7.已知。力，。為不共線的平面向量，|b|=|c|,若a+6+c=0，則6在a方向上的投影向量為（）

11cl1

A.—uB.—ciC.—aD.—a

4422

【答案】D

【分析】根據(jù)向量的加法法則，結(jié)合投影向量的求解即可求解.

【詳解】由a+b+c=0可得。=-,+。），

又|切=|。|,如圖所示，由平行四邊形法則可得四邊形MCO為菱形，

故AC互相垂直平分，所以〃在。方向上的投影向量為-;a,

8.已知定義在R上的偶函數(shù)“可滿足：當(dāng)0W1時(shí)，/（^）=-X3+3X-1,M/（X+1）=/（X-1）,則方程

〃X）=lOg5（W+l）實(shí)根個(gè)數(shù)為（）

A.6B.8C.9D.10

【答案】B

【分析】由題知函數(shù)〃尤)為周期函數(shù)，周期為2,在［?！簧蠁握{(diào)遞增，再令g(x)=log5(國+1),易得g(x)

在R上為偶函數(shù)，進(jìn)而作出函數(shù)與g(x)的圖象，數(shù)形結(jié)合求解即可.

【詳解】解:因?yàn)楹瘮?shù)“X)滿足〃x+l)=〃x—1),

所以，/(x+2)=/(%),即函數(shù)/(X)為周期函數(shù)，周期為2,

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，/(X)=-'X3+3x-1,

所以，當(dāng)OWxWl時(shí)，r(x)=—3f+3=3(l—同(1+耳20恒成立，

所以，函數(shù)“X)在［0』上單調(diào)遞增，

因?yàn)椤癤)為定義在R上的偶函數(shù)，

令g(x)=log5(|x|+l),則定義域?yàn)镽,g(-x)=logs(|-x|+1)=log5(|x|+l)=g(x),

所以函數(shù)g(x)=log5(|尤|+1)為定義在區(qū)上的偶函數(shù)，

/\［logs(x+l),x>0

因?yàn)間X=15I、n

^log5(-x+l),x<0

因?yàn)椤?)=〃3)=/⑴=l,g(3)=log54<l,g(5)=log56>l,

所以g(5)>/(5)J(3)>g(3)

由圖象可知，當(dāng)xNO時(shí)，函數(shù)〃x)與g(x)圖象有4個(gè)交點(diǎn)，

所以，由偶函數(shù)的對(duì)稱性可知，當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)“X)與g(x)圖象有4個(gè)交點(diǎn),

所以，方程/⑺=1。&(國+1)實(shí)根個(gè)數(shù)為8個(gè).

故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵在于結(jié)合題意，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，得到函數(shù)/（尤）是周期為

2的周期函數(shù)，且在［05上單調(diào)遞增，進(jìn)而作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分.

9.已知zeC,5是z的共輾復(fù)數(shù)，則（）

什l+3i,_-4-3i

A.若2=------,貝nl]z=----------

l-3i5

B.若Z為純虛數(shù)，則z2<0

C.若z-(2+i)>0,貝>Jz>2+i

D.若知={2||2+3g3},則集合M所構(gòu)成區(qū)域的面積為6兀

【答案】AB

【分析】根據(jù)共根復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)四則運(yùn)算可判斷A；z為純虛數(shù)，可設(shè)2=歷。#0）,根據(jù)復(fù)數(shù)的四

則運(yùn)算可判斷B；由z-（2+i）>。結(jié)合數(shù)大小比較只能在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)可判斷C；設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi,根據(jù)復(fù)數(shù)

模長定義計(jì)算可判斷D.

2

l+3i(l+3i)-4+3i，所以彳=三故正確;

【詳解】3,A

T^3i-(l-3i)(l+3i)-5

由z為純虛數(shù)，可設(shè)z=bi（beR,6wO）,

所以22=濟(jì)2,因?yàn)?2=_1且分°,

所以z2<0,故B正確；

由z-（2+i）>0,得2=“+乂。>2）,

因?yàn)閦=a+i（a>2）與2+i均為虛數(shù)，

所以二者之間不能比較大小，故C錯(cuò)誤；

設(shè)復(fù)數(shù)z=a+6i,q,6eR,所以a+（b+3）i

由|z+3i|《3得/+（6+3）249,

所以集合M所構(gòu)成區(qū)域是以（0,-3）為圓心3為半徑的圓,

所以面積為9兀，故D錯(cuò)誤.

故選：AB.

10.關(guān)于下列命題中，說法正確的是（）

A.若事件A、B相互獨(dú)立，則尸（A|8）=尸⑷

B.數(shù)據(jù)63,67,69,70,74,78,85,89,90,95的第45百分位數(shù)為78

C.已知尸（A）=0.65,尸（AB）=0.32,則尸（麗）=0.33

D.已知€~N（0,l）,若尸CWl）=p,則尸（一l4JW0）=；-p

【答案】AC

【分析】根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式以及條件概率的概率公式可判斷A；根據(jù)百分位數(shù)的定義求出第45百分

位數(shù)判斷B；根據(jù)對(duì)立事件的概率公式以及條件概率的概率公式可判斷C；根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可判斷

D.

【詳解】對(duì)于A,若事件A、B相互獨(dú)立，則尸（42）=尸（A）尸（8）,

P(AB)P(A)P(B)

而尸（4忸）==P（A）,A正確;

P(B)P(B)

對(duì)于B,數(shù)據(jù)63,67,69,70,74,78,85,89,90,95已為從小到大排列，共10個(gè)數(shù),

又45%X10=4.5,故第45百分位數(shù)為第5個(gè)數(shù)74,B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,由于尸（A）=0.65,P（AB）=0.32,

故尸⑻A)=今黑=熊啜,則P?A)=1-尸==

產(chǎn)(A)Q65656565

故P(AB)=P(BA)=P(B|A)P(A)=||x0.65=0.33,C正確；

對(duì)于D,由于P(^<l)=p,

故尸=故尸=尸=1一p,

故尸(一14440)=；-PC<-1)=<一(l—p)=0—g,D錯(cuò)誤,

故選：AC

11.如圖，在棱長為2的正方體ABC。-4BGA中，M,N,P分別是&A，CC,,CQ的中點(diǎn)，。是線段2A

上的動(dòng)點(diǎn)，貝1（）

A.存在點(diǎn)。，使8,N,P,。四點(diǎn)共面

B.存在點(diǎn)Q,使PQ〃平面M2N

C.過Q,M,"三點(diǎn)的平面截正方體43。-4耳￡。所得截面面積的取值范圍為［2",3百］

9兀

D.經(jīng)過C,M,B,N四點(diǎn)的球的表面積為1

【答案】AB

【分析】作出過氏N,尸的截面判斷選項(xiàng)A；取AR中點(diǎn)為。，證明其滿足選項(xiàng)B；當(dāng)。在AR運(yùn)動(dòng)時(shí)，確

定截面的形狀，引入?yún)?shù)（如4。=x）計(jì)算出面積后可得取值范圍，判斷選項(xiàng)C,過與底面平行的平面

截正方體得出的下半部分為長方體，其外接球也是過C,M,B,N四點(diǎn)的球，由此求得球半徑，得表面積,

判斷選項(xiàng)D.

【詳解】選項(xiàng)A,連接4民4尸，CD,,正方體中易知C2/M.B,

P,N分別是GR，GC中點(diǎn)，則尸N〃CR,所以即A，P,N,B四點(diǎn)共面，當(dāng)。與4重合時(shí)滿足8,

N,P,。四點(diǎn)共面，A正確；

選項(xiàng)B,如圖，取AA中點(diǎn)為。，連接尸Q,QM，AG，

因?yàn)镸,N分別是A4,,CG中點(diǎn)，則A"與GN平行且相等，AGMW是平行四邊形,

所以MN//AG，又P是GR中點(diǎn)，所以P0〃4G，所以尸Q//MV,

肱Vu平面尸。0平面所以尸?！ㄆ矫鍮AW,B正確;

選項(xiàng)C,正方體中，M,N分別是M，CG中點(diǎn)，則MN//AG〃AC,

。在AA上，如圖，作QE〃AG交G2于E,連接EN,延長交DC延長線于點(diǎn)K,連接?！把娱L交D4延

長線于點(diǎn)T,連接7X交A3于點(diǎn)G,交BC于點(diǎn)F,。硒尸GU為所過M,N,Q三點(diǎn)的截面,

由正方體的對(duì)稱性可知梯形QENM與梯形FGMN全等,

由面面平行的性質(zhì)定理，TK//QE,從而有TK〃AC,由正方體性質(zhì)，

設(shè)￡>?=x,0<x<2,則。IE=_D1Q=X,CtE=2-x,

N是CG中點(diǎn)，C,N//CK,則CK=GE=2-尤，所以CF=CK=2-x,同理AG=2—==x,

QE=y[2x,MN=2近,EN=712+(2-x)2=ylx2-4x+5，

梯形QENM是等腰梯形，高為九=JEMT=&=2X+3,

截面面積S=2xg(QE+MN)h='犬―6V+8x+24，

設(shè)了(尤)=6-6/+8彳+24,xe[0,2],/\^)=4x3-12x+8=4(.r-1)2(x+2)>0,

/(x)在[0,2]上遞增，/(無)a=〃2)=32,/(尤焉=/(0)=24,

所以Se[2",40],C錯(cuò)；

取陽中點(diǎn)。，中點(diǎn)V,連接MV,MU,NV,NU,則〃卯\/-4?8是正四棱柱（也是長方體），它的

外接球就是過8,CM，N四點(diǎn)的球，所以球直徑為,2?+2?+力=3,半徑為尺=彳，表面積為S=4加個(gè)=9萬,

D錯(cuò).

故選：AB.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知集合&={(羽丫),->=1},B={(x,y)|(x-2)2+(y+3)2=91,則AcB的子集個(gè)數(shù)為.

【答案】4

【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求出集合AcB的元素個(gè)數(shù)，再求解子集個(gè)數(shù)即可.

【詳解】集合A表示直線x-y=l上點(diǎn)的集合，集合2表示圓(尤-2)?+(y+3)2=9上點(diǎn)的集合.

圓(x-2)2+(y+3)2=9的圓心坐標(biāo)為(2,-3),半徑為3,

12+3-11廠

點(diǎn)(2,-3)到直線尤-y=1的距離為"+(_］『=2,2<3,

所以直線x-y=l與圓(％-2)2+(y+3)2=9相交，

所以共有2個(gè)元素，所以AcB的子集個(gè)數(shù)為2?=4.

故答案為：4.

13.函數(shù)/(%)=竟^，如果廣(x)為奇函數(shù)，則。的取值范圍為

【答案】R

【分析】求出尸(x),結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義判斷可得出結(jié)果.

【詳解】由sinxwO可得xwE(左eZ),即函數(shù)的定義域?yàn)楹螣o#E,%eZ},

e、4sinx一以cosx

貝°/(%)=———，

sinx

又因?yàn)楹瘮?shù)/(X)為奇函數(shù)，對(duì)任意的,

，/、asin(—x)-a(―x)cos(―x)<7SinX-6ZXCOSX

f(F=sin2(-^)=-/'(尤),

sin2x

對(duì)任意的實(shí)數(shù)。都滿足條件，故實(shí)數(shù)。的取值范圍是R.

故答案為：R.

22

14.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知雙曲線C:臺(tái)表■?(a〉。*〉。)的右焦點(diǎn)為P,過。的直線/與C的左、

右兩支分別交于A8兩點(diǎn)，F(xiàn)B±AB,ZAFB+^AOF=K,則C的離心率為.

【答案】一

【分析】設(shè)雙曲線焦距為2c,B(m,n),A{-m,-n),m>0,n>0,利用產(chǎn)g.AB=0，可得病+1=〃右，由

ZAFB+ZAOF=n,結(jié)合兩角和的正切公式，推出根=:〃=變c,再根據(jù)8點(diǎn)在雙曲線方程上，化簡運(yùn)算

33

的解.

【詳解】設(shè)雙曲線焦距為2c,則/（c,0）,設(shè)3（私”），機(jī)>0,〃>0,

則FB=（機(jī)—九）,AB=（2m,2H）,

因?yàn)樗允?AB=2制加一。）+2川=。，即/+*=MC,

因?yàn)镹AF6+NAO9=兀，所以NAFB=TI—NAO尸=NBO分，

tanZAFO+tanZBFO

因?yàn)閠anNAF5=tan(ZAFO+ZBFO)=

1-tanZAFO?tan/BFO

租+cc_m____2〃c_____2，c_2H

2222

如幾c-(^m+n^c-mec-m

m+cc-m

V）n

因?yàn)閠an/3QF=—,所以tan/50b=—,

mm

所以根=￡,力=-c,

33

因?yàn)?點(diǎn)在雙曲線方程上，所以=即竺=1,

a2b29a29b2

因?yàn)樨?°2-儲(chǔ)，所以°,一12”2c2+9.4=0,

兩邊同時(shí)除以/,得e4-12/+9=0,

3A/2±A/6

2

2

35/2+V6

故答案為:

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)tanZAFB=tan（ZAOF+ZBOF）結(jié)合題中已知

條件FB1AB,ZAFB+ZAOF=兀建立等式求解.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，尸C_LPD,二面角A-CD-P為直

二面角.

⑴求證：PBLPD；

（2）當(dāng)PC=PD時(shí)，求直線PC與平面PAB所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；

⑵①

5

【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得BC人平面PC。，進(jìn)而得出BCLPD.然后即可根據(jù)線面垂直的

判定定理得出PD，平面PBC,然后即可得出P3，PD；

（2）取8中點(diǎn)為。，連結(jié)尸。.取A3中點(diǎn)為E,連結(jié)0E.由已知可證尸平面ABC。，OE_LCD.以點(diǎn)。

為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面八皿的一個(gè)法向量〃=（0/,2）,即可根據(jù)向

量法求出答案.

【詳解】（1）由題意知平面PCDJ■平面ABCD,

又平面PC￡＞〕平面ABCD=CD,BC±CD,BCu平面ABCD,

所以2C/平面PCD

因?yàn)镻Du平面尸CD,所以3C_LPD...........................................4分

又因?yàn)镻C_LPD,BCcPC=C,PCu平面P3C,BCu平面尸BC,

所以PD_L平面PBC.

因?yàn)镻3u平面PBC,所以PDLPB...........................................6分

（2）取CO中點(diǎn)為O,連結(jié)尸。.取AB中點(diǎn)為E,連結(jié)OE.

因?yàn)镻C=PD,點(diǎn)。是CO中點(diǎn)，所以尸OLCD.

又因?yàn)槠矫鍼CD_1_平面ABC。，平面PCD1平面ABCD=CD,尸Ou平面尸CD,

所以PO1平面ABCD...........................................8分

因?yàn)辄c(diǎn)。、E分別是8、A3的中點(diǎn)，所以O(shè)E//AD,則OELCD.

則。尸=18=1,OE=AD=2.

2

Z1

以點(diǎn)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，瓦OP所在直線分別為％y，z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

則。（0,0,0）,0（1,0,0）,C（-l,0,0）,B（-l,2,0）,尸（0,0,1）,￡（0,2,0）,A（l,2,0）,AP=（-1,-2,1）,

AB=(-2,0,0),PC=(-l,0,-l)..............................................9分

設(shè)”=（x,y,z）是平面R4B的一個(gè)法向量,

n-AP=-x-2y+z=0

則取y=l,貝！Jz=2,

n?AB=-2x=0

所以"=2）是平面的一個(gè)法向量.

設(shè)直線PC與平面A4s所成的角為。，則

.?I/__\|n-PC-2y/10

sin6?=cos（n,PC）=pn~r―,..............................................12分

1'〃MPCJ5xj25

所以直線PC與平面所成的角的正弦值為亞........................13分

5

16.（15分）2023年11月，世界首屆人工智能峰會(huì)在英國舉行，我國因?yàn)樵谠擃I(lǐng)域取得的巨大成就受邀進(jìn)

行大會(huì)發(fā)言.為了研究不同性別的學(xué)生對(duì)人工智能的了解情況，我市某著名高中進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，分別

抽取男、女生各50人作為樣本.設(shè)事件4=“了解人工智能”，8="學(xué)生為男生”，據(jù)統(tǒng)計(jì)

「(A|B)=|,P(B|A)=1.

（1）根據(jù)已知條件，填寫下列2x2列聯(lián)表，是否有99%把握推斷該校學(xué)生對(duì)人工智能的了解情況與性別有關(guān)?

了解人工智能不了解人工智能合計(jì)

男生

女生

合計(jì)

（2）①現(xiàn)從所抽取的女生中利用分層抽樣的方法抽取20人，再從這20人中隨機(jī)選取3人贈(zèng)送科普材料，求

選取的3人中至少有2人了解人工智能的概率；

②將頻率視為概率，從我市所有參與調(diào)查的學(xué)生中隨機(jī)抽取20人科普材料，記其中了解人工智能的人數(shù)為

X,求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望和方差.

參考公式：/=

（"黑露…）.常用的小概率值和對(duì)應(yīng)的臨界值如下表:

a0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001

Xa2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】（1）列聯(lián)表見解析；沒有

⑵①黑；②E（x）=14,Z）（x）=￡.

ZOJD

【分析】（l）根據(jù)兩個(gè)條件概率值求出2x2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，利用卡方公式計(jì)算/的值，再與對(duì)應(yīng)的小概

率值比較即得結(jié)論；

（2）①先利用分層抽樣確定所抽取的20名女市民中了解和不了解人工智能的人數(shù)，再利用古典概率模型概

率公式計(jì)算即得；

②根據(jù)2x2列聯(lián)表推理得到從我市高中生中任意抽取一人，恰好抽到了解人工智能學(xué)生的概率為自，每次

抽的結(jié)果僅有“了解“與“不了解”兩種，隨機(jī)抽取20人，相當(dāng)于完成20次伯努利試驗(yàn)，故利用二項(xiàng)分布期望

與方差公式即可求得.

【詳解】（1）因?yàn)镻（A豆）=g,尸（而A）=:

3也-70

所以了解人工智能的女生為50x==30,了解人工智能的總?cè)藬?shù)為?4一小，

5

則了解人工智能的男生有70—30=40人，.......................3分

結(jié)合男生和女生各有50人，填寫2x2列聯(lián)表為:

了解人工智能不了解人工智能合計(jì)

男生401050

女生302050

合計(jì)7030100

100(40x20-10x30)2100

因/4.762<6.635

50x50x30x70~21

故沒有99%把握推斷該校學(xué)生對(duì)人工智能的了解情況與性別有關(guān).........................7分

30

（2）①由題意可知，所抽取的20名女市民中，了解人工智能的有20x而=12人，

不了解人工智能的有20x2^0=8人，.......................9分

所以，選取的3人中至少有2人了解人工智能的概率為p=理坐=或:；

..............................................11分

707

②由2x2列聯(lián)表可知，抽到了解人工智能的學(xué)生的頻率為臺(tái)，

7

將頻率視為概率，所以，從我市高中生中任意抽取一人，恰好抽到了解人工智能學(xué)生的概率為正，

/7\77321

由題意可知，X?420,而J,所以，E（X）=20x而=14,D（X）=20x—X—.

..............................................15分

1Q

17.（15分）設(shè)〃口=。1門+（-］元+1曲線y=/（x）在點(diǎn)處取得極值.

（1）求。的值；

（2）求函數(shù)“X）的單調(diào)區(qū)間和極值.

【答案】（1）2；⑵〃力在區(qū)間（of和。,內(nèi)）單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增；〃尤）的極大值為"1）=0；

的極小值為了@=2-2歷3.

【分析】（1）根據(jù)（⑴=0,即可容易求得

（2）根據(jù)（1）中所求，求得廣（力，即可容易求得單調(diào)區(qū)間和極值.

【詳解】⑴因?yàn)椤▁）="lnx+；-V+l,故可得廣⑺―-白-；，

又因?yàn)棰?0,故可得a-2=0,解得。=2,經(jīng)檢驗(yàn)符合題意..............................6分

（2）由（1）可知,

/(x)=2/nx+-1--jx+l,y,(x)=-^3%

令_f(x)=0,解得玉=：,%=1,

又因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)椋?,+8），

故可得了（X）在區(qū)間（0，￡|和（1,+⑹單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增.

故“X）的極大值為/（1）=0；〃X）的極小值為/W=2-2歷3.............................................................15分

【點(diǎn)睛】本題考查利用極值點(diǎn)求參數(shù)值，以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，屬綜合基礎(chǔ)題.

18.(17分)已知等軸雙曲線N的頂點(diǎn)分別是橢圓C：《+￡=l的左、右焦點(diǎn)耳、F2.

62

(1)求等軸雙曲線N的方程；

(2)Q為該雙曲線N上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，直線的和。月與橢圓C的交點(diǎn)分別為E,尸和G,H,求

|所|+41GM的最小值.

【答案】(1)—-^=1；(2)旭

442

【分析】(1)直接由橢圓的焦點(diǎn)得雙曲線的定點(diǎn)，再根據(jù)a=6可得解；

(2)設(shè)EQ[,%),F(X2,%),G(X3,%),口(x4,%)，設(shè)直線QF、的方程為x=my-2,直線Q%的方程為x=ny+2,

分別與橢圓聯(lián)立得韋達(dá)定理，進(jìn)而可表示弦長，聯(lián)立直線少;和。鳥可得焦點(diǎn)，代入雙曲線化簡得加=1,

進(jìn)而得即+4防=2廂療+4*會(huì))=2小%出m2+1m2+31+3m2后4工日巾廿

+4x------xz+「一)展開x利用基

1+3m2m2+1m2+1

本不等式求解即可.

22______

【詳解】(1)由橢圓C:土+二=1可得c=，6-2=2,

62

所以等軸雙曲線N的頂點(diǎn)為(？20),

22

設(shè)等軸雙曲線N為鼻-斗=1,所以Q=Z?=2,

所以等軸雙曲線"的方程為316

..............................................6分

(2)設(shè)項(xiàng)工,％),F(x2,y2),G(x3,y3),H(x4,yJ,

設(shè)直線用的方程為％=啊-2,直線。工的方程為x=〃y+2,

x=my—2

由V必＞2得:(/n2+3)y2—4my—2=0,..............................................8分

162

4"z2

所以A>0顯然成立，所以％+%=卡7，%%=-一”

m+3m+3

4n2

同理可得…=-可，%”=一..............................................10分

n2+3

2阿小+1

所以但司=J(1+/)[(%+%/-4＞跖]=[(16m28

1+m2---------5--

療+3)一”+3m2+3

2n(小+1)

B叫"(1+叫](%+%)-%%]=。+〃2)含干白

川+3

2m+2n

x=----------

x=my—2m-n

聯(lián)立直線死和。工:G，解得

x=ny+24

y=

m-n

所以Q(包今

..............................................13分

m—nm—n

(2加+2〃y16

因?yàn)镼在雙曲線上，所以=1,解得mn=1,

4(m-nf4(m-n)2

J_+1

所以|EF|+41GM=2"++—)

m