安徽省蕪湖市高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題

安徽師大附中2024屆第二次模擬考試

高三年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題

考生須知：

1.本卷共5頁滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.

3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.

4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.

選擇題部分

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.已知/,8是全集U的非空子集，且/口令8,貝?。荩ǎ?/p>

A.B=AB.3￡與ZC,松cVBD.AB

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)Venn圖，結(jié)合子集和集合間的運(yùn)算理解判斷.

【詳解】由題意知2口令8,從而可得Venn圖如下圖，

對(duì)A、D：由Venn圖，可得5c/=0,故A、D錯(cuò)誤；

對(duì)B：因?yàn)?c/=0,正確，故B正確；

對(duì)C：因?yàn)?c4=0,則低4。錯(cuò)誤，故C錯(cuò)誤；

故選：B.

2.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事

休.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來分析函數(shù)的圖象

2x

特征.則函數(shù)/（x）=--二的圖象大致為（）

X+1

【答案】C

【解析】

【分析】利用排除法，根據(jù)函數(shù)奇偶性和函數(shù)值的符號(hào)性分析判斷.

【詳解】由題意可知：“X）的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

且/（一》）=一；一二二=?。?二一/（對(duì)，可知/（x）為奇函數(shù)，排除AB,

（-X）+1X+1

且/（1）=一1<0,排除D.

故選：C.

3.已知復(fù)數(shù)z=a+6i（a,6eR）且x2—（4+2i）x+4+ai=0有實(shí)數(shù)根6,則團(tuán)=（）

A.2A/3B.12C.2至D.20

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意可求得46+4+（26+a）i=0,從而得I］，，：：；。，求解得z=—4+2i,從而

可求解.

【詳解】由題意知6為V—（4+2i）x+4+ai=0的實(shí)數(shù)根,

則(4+2i)b+4+ai=0,即廿-44+4+(a-2班=0,

助+4=0\b=2

則《解得〈,，所以2=4+2i,

(?-2Z))i=0a=4

所以,1=42+22=20,故D正確.

故選：D.

4.已知等邊的邊長為2,點(diǎn)。、E分別為45,8。的中點(diǎn)，若痂=2而，則而?萬（）

465

A.1B.—C.—D.一

554

【答案】A

【解析】

【分析】取次、而為基底，利用平面向量基本定理表示出麗，萬，進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算即可.

【詳解】在中，取正，方為基底，貝"％|=|詬|=2,%,方=60°.

因?yàn)辄c(diǎn)。、E分別為/氏8。的中點(diǎn)，

—>1—>1—,

EF=—DE=—AC,

24

AF=AE+EF=-（AB+AC）+-AC=-AB+-AC,

2、>424

2

EF.AF=-AC-（-AB+^AC）=-AC.-AB+^AC

4U4J816

13

二一x2x2xcos60°+—x4=1

816

故選：A

5.已知片，金是雙曲線q—方=1（?！?/〉o）的左、右焦點(diǎn),若雙曲線上存在點(diǎn)尸滿足朋?兩=—2/,

則雙曲線離心率的最小值為（）

A.V6B.V5C.2D.V3

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)尸的坐標(biāo)，代入雙曲線的方程，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合雙曲線離心率的計(jì)算公式求解即得.

22

【詳解】設(shè)尸（X。,外）,雙曲線的半焦距為C,則有|%臺(tái)。，4-4=1,1（一c,0）,8（c,0）,

ab

于是尸g=（。一%0,-%）,尸耳二（一。一%0，-%），

____222

因此麗?西=x；-02+需=焉+(烏-1為2—°2=gx~2_。2>_/_》2_二2=_/,

aaa

當(dāng)且僅當(dāng)|%|=。時(shí)取等號(hào)，貝U—2a22—/，即122,離心率e=§=Jl+衛(wèi)2百，

a~a\a"

所以雙曲線離心率的最小值為

故選：D

6.在數(shù)列｛4｝中，S,為其前〃項(xiàng)和，首項(xiàng)為=1,且函數(shù)/(力=_?—q“+]Sinx+(2a“+l)x+l的導(dǎo)函

數(shù)有唯一零點(diǎn)，則&=()

A.26B.63C.57D.25

【答案】C

【解析】

【分析】計(jì)算/'(x)，分析/'(x)的奇偶性，可判斷零點(diǎn)取值，代入計(jì)算可得｛4｝的遞推關(guān)系，求出前5

項(xiàng)，計(jì)算求和即可.

3

【詳解】因?yàn)?(x)=x-an+lsinx+(2a“+l)x+l,

所以/'(x)=3x2—a“+icosx+(24+1),由題意可知:/'(x)=0有唯一零點(diǎn).

令g(x)=/'(x)=3x?-a“+icosx+(2a”+1),可知g(x)為偶函數(shù)且有唯一零點(diǎn),

則此零點(diǎn)只能為0,即g(0)=0,代入化簡可得：%+i=2%+l,

又q=l,所以％=3,%=7,%=15,a5=31f所以85=57.

故選：C

2024

7.已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,且/(x+2)—2為奇函數(shù)，/(3x+l)為偶函數(shù)，/⑴=0,則2/的=

k二l

()

A.4036B.4040C.4044D.4048

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題中/(x+2)-2為奇函數(shù)，/(3x+l)為偶函數(shù)，從而可得出/(x)為周期為4的函數(shù)，從

而可求解.

【詳解】由題意得/(x+2)—2為奇函數(shù)，所以/(x+2)—2+/(—x+2)—2=0,即

/(x+2)+〃—x+2)=4,所以函數(shù)/(x)關(guān)于點(diǎn)(2,2)中心對(duì)稱，

由/(3x+l)為偶函數(shù)，所以可得/(x+1)為偶函數(shù)，則/(x+l)=/(—x+1),所以函數(shù)/(x)關(guān)于直線

X=1對(duì)稱，

所以/(x+2)=/(—x)=—/(—x+2),從而得/(x)=/(x+4),所以函數(shù)/(x)為周期為4的函數(shù)，

因?yàn)?(1)=0,所以/(1)+/(3)=4,則/(3)=4,

因?yàn)?(x)關(guān)于直線x=l對(duì)稱，所以/(3)=/(—1)=4,

又因?yàn)?(x)關(guān)于點(diǎn)(2,2)對(duì)稱，所以/(2)=2,

又因?yàn)?(4)=/(—2)=-/(0),又因?yàn)?(—2)=〃—2+4)=/(2)=2,所以

/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=8,

20242024

所以XX左)[/⑴+〃2)+〃3)+/(4)]=4048,故D正確.

k=\4

故選：D.

8.已知直線/:小+為+。=0(1+爐片0)與曲線質(zhì)y=x3_x有三個(gè)交點(diǎn)0、￡、￡且|。同=忸用=2,

則以下能作為直線/的方向向量的坐標(biāo)是().

A.(0,1)B.(1,-1)C.(1,1)D.(1,0)

【答案】C

【解析】

【分析】由函數(shù)y=d—x的性質(zhì)可得曲線少的對(duì)稱中心(0,0),即得E(0,0),再根據(jù)給定長度求出點(diǎn)。的

坐標(biāo)即得.

【詳解】顯然函數(shù)/(x)=/—%的定義域?yàn)镽,/(-x)=(-x)3-(-%)=-f(x),即函數(shù)/(x)是奇函數(shù)，

因此曲線少的對(duì)稱中心為(0,0),由直線/與曲線少的三個(gè)交點(diǎn)D,E,F滿足|￡>￡|=|所|=2,得￡(0,0),

設(shè)。(x,Y—x),則力+(/-X)2=4,令￡=t，則有戶—21+2t—4=0,即(r+2)(/—2)=0,

解得/=2,即》=±0，因此點(diǎn)。(C,后)或。(-逝,-逝)，麗=(0,0)或而=(-夜，-夜)，

選項(xiàng)中只有坐標(biāo)為(1,1)的向量與質(zhì)共線，能作為直線I的方向向量的坐標(biāo)是(1,1).

故選：c

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵首先是得到曲線對(duì)稱中心為（0,0）,從而得到￡（0,0）,然后再去設(shè)點(diǎn)。坐

標(biāo)，根據(jù)|?！陓=2,得到高次方程，利用換元法結(jié)合因式分解解出。的坐標(biāo)即可.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知由樣本數(shù)據(jù)（如弘）&=1,2,3,…，10）組成的一個(gè)樣本,得到回歸直線方程為f=f+3,且1=4.剔

除一個(gè)偏離直線較大的異常點(diǎn)（-5,-1）后，得到新的回歸直線經(jīng)過點(diǎn)（6,-4）.則下列說法正確的是

A.相關(guān)變量x,y具有正相關(guān)關(guān)系

B.剔除該異常點(diǎn)后，樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值變大

C.剔除該異常點(diǎn)后的回歸直線方程經(jīng)過點(diǎn)（5,-1）

D.剔除該異常點(diǎn)后，隨x值增加相關(guān)變量y值減小速度變小

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，求出新樣本的中心點(diǎn)，進(jìn)而求出新回歸直線的斜率，再逐項(xiàng)判斷即得.

【詳解】依題意，原樣本中，，=—4+3=—1，

剔除一個(gè)偏離直線較大的異常點(diǎn)（-5,-1）后，新樣本中，p=4x.（5）=5/=Txl；（T）=_i,

因此剔除該異常點(diǎn)后的回歸直線方程經(jīng)過點(diǎn)（5,-1）,C正確；

由新的回歸直線經(jīng)過點(diǎn)（6,-4）,得新的回歸直線斜率為a一（T）=_3,因此相關(guān)變量x,y具有負(fù)相關(guān)關(guān)

6-5

系，A錯(cuò)誤；

又3|>1,則剔除該異常點(diǎn)后，隨x值增加相關(guān)變量了值減小速度變大，D錯(cuò)誤;

由剔除的是偏離直線較大的異常點(diǎn)，得剔除該點(diǎn)后，新樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度變強(qiáng)，即樣本相關(guān)系數(shù)的

絕對(duì)值變大，B正確.

故選：BC

10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角。以坐標(biāo)原點(diǎn)。為頂點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為始邊，其終邊經(jīng)過點(diǎn)M（a,6）,

\OM\^m（m^Q）,定義/（，）==,g（3）=~,則（）

mm

A.+=lB./⑻+尸⑻“

3

八。)一2則sin26=MD./(e)g(e)是周期函數(shù)

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)題意分別求出cos，=里，sin。一，則/⑻=V^sinHg(6)=忘sin]":

mmI4JI4

從而可對(duì)A判斷求解，禾!J用換元法令f=sin，+cos6=>/2sinl6?+^je[-后,行]可對(duì)B判斷求解，由

品f(0)=而tan30+T\2,求出tan—并結(jié)合sm2「荷2t初an8而可對(duì),判斷求解‘由

/?)g(e)=—cos2?？蓪?duì)D判斷求解.

【詳解】由題意得在角。的終邊上，S.\OM\=m,所以cos，=t,sin。=2,

mm

貝U/(夕)=———=sin'+cos0=V2sin|e+：j,g(0)=-~~-=sin'—cos6=拒sin|'一；

對(duì)A：/f—>l+gf—>1=8111—+COS—+sin--cos—=1,故A正確;

V6JV6J6666

對(duì)B：/(，)+r(6)=sin0+cos6)+(sin6*+cos6))2，令/=sin6+cos6=V2sinf6+；Je[-后,忘],

所以/(，)+/2(，)=:+/=,+g]故B錯(cuò)誤;

對(duì)C：ZM=sine+cosO=tane+l=2,

解得tan6=3,

g⑻sin。-cos。tan3-1

2sin。cos。2tan。2x33

又由sin2。=2sin6^cos6^=一，故C正確;

sin20+cos20tan28+132+l5

對(duì)D：/(e)g(l)=(sine+cos6)(sin"cose)=sin29—cos?8=—cos2。，因?yàn)?=cos2。為周期函

數(shù)，故D正確.

故選：ACD.

11.如圖，多面體尸S—4SCZ)由正四棱錐尸—和正四面體S—尸5C組合而成，其中尸S=l,則下

列關(guān)于該幾何體敘述正確的是()

A.該幾何體的體積為注B.該幾何體為七面體

4

C.二面角/-必-C的余弦值為-gD.該幾何體為三棱柱

【答案】ACD

【解析】

【分析】選項(xiàng)A可以分別求正四棱錐P-45CD和正四面體S-P8C的體積即可；

選項(xiàng)C先確定二面角/-必-C的平面角為NZ/C,在三角形中利用余弦定理可得;

選項(xiàng)D先根據(jù)二面角A-PB-C與二面角S-PB-C的關(guān)系確定P,4民S四點(diǎn)共面,再證得平面SCB//平

面P/。，三個(gè)側(cè)面都是平行四邊形即可；

選項(xiàng)B根據(jù)選項(xiàng)D三棱柱有5個(gè)面，可判斷錯(cuò)誤.

如圖：在正四面體中S—四。中，G為PB的中點(diǎn)，連接CG,連接SG作SOLCG于

則0為APBC的中心，SO為正四面體中S-PBC的高，

因PS=1,CG=—>CO=-CG=—，SO=^SC2-CO2=—，

2333

v112s111G直應(yīng)

幾r=—x—x^BxCCjXSO=—x—xlx——X——=，

S~PBRC32322312

在正四面體中S—PBC中，G為所的中點(diǎn)，所以SG_L必，CGLPB,

故ZCGS為二面角S-PB-C的一個(gè)平面角，

cc-GC

cosZCGS=—=-4=—

SG百3

---

2

如圖：在正四棱錐P—/BCD中，由題意PC=CB=1,

連接ZC,BD交于點(diǎn)、E,連接尸￡,則PE為正四棱錐P—48CD的高,

CE=—CB=—，PE=^PC2-CE2=112-(—=—，

22NI2)2

V,=-xCDxBCxPE=-xlxlx—=—,

P-ABRCDr3326

該幾何體的體積為匕ABCD~SPBC+ABCD~----'----=---,故正確,

riJHS—AD^L)0—rDL-r—AD^U1c/AA

1264

取尸3的中點(diǎn)尸，連接/方，CF,

由題意正四棱錐P—/BCD的棱長都為I,所以CFLPB,

故NAFC即為二面角A-PB-C的一個(gè)平面角，

其中AF=CF=2BC=?AC=6BC=6,

22

AF?+CF?-AC?

在中,cos/AFC=L,故C正確,

2AFCF3

因cosZCGS=-=-cosZAFC,可知二面角S-PB-C與二面角A-PB-C所成角互補(bǔ),

3

故平面P5S與陽4為同一平面，同理，平面尸和平面PDS也為同一平面,

故該幾何體有5個(gè)面，B錯(cuò)誤,

因P,48,S四點(diǎn)共面，且叢PDC和APCS都為等邊三角形，易知SC//PD,且SC=，故側(cè)面PDCS

為平行四邊形,

又尸。U平面尸NO,SC<Z平面P/。，所以SC//平面P/。，

同理SB//平面PAD，且側(cè)面PABS為平行四邊形，

又SCnS8=S,SCu平面SC6,SBu平面SC6,

所以平面SCBII平面PAD,又側(cè)面ABCD為正方形,

故多面體PS—A8c。即為三棱柱4DP—BCS,故D正確,

故選：ACD

非選擇題部分

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.從某工廠生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取11個(gè)，其尺寸值為43,45,45,45,49,50,50,51,51,53,57(單

位：mm),現(xiàn)從這11個(gè)零件中任取3個(gè)，則3個(gè)零件的尺寸剛好為這11個(gè)零件尺寸的平均數(shù)、第六十百

分位數(shù)、眾數(shù)的概率為.

【答案】卷

【解析】

【分析】分別求出11個(gè)零件的平均數(shù)49、第六十百分位數(shù)50,眾數(shù)45,然后分別求出取出3個(gè)零件有165

種，3個(gè)零件符合平均數(shù)、第六十百分位數(shù)、眾數(shù)有6種情況，再利用古典概率從而可求解.

43+45+45+45+49+50+50+51+51+53+57

【詳解】由題意知11個(gè)零件的平均數(shù)為=49,

11

第六十百分位數(shù)的位置為11x60%=6.6,即取第7位數(shù)50,故第六十百分位數(shù)為50,

由題可知眾數(shù)為45,

所以當(dāng)從11中取出3個(gè)零件共有C：］=165種情況,

則3個(gè)數(shù)分別為平均數(shù)49、第六十百分位數(shù)50,眾數(shù)45共有C；C；C；=6種情況，

所以其概率為2=2,

16555

故答案為：—.

55

13.已知偶函數(shù)/(x)=sin(5+e)(o>0)的圖像關(guān)于點(diǎn)?中心對(duì)稱，且在區(qū)間0,：上單調(diào)，則

a)=.

3

【答案】-##1.5

2

【解析】

兀3

【分析】根據(jù)題意°=^+—，再由對(duì)稱中心求出。=3k+—,比eZ,最后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性確定口.

22

兀

【詳解】因?yàn)榕己瘮?shù)/(X)=sin(ox+0）（G>0）,所以。=knH—9k￡Z,

即f（X）=COSGX或/（x）=—COSCDX,

又/(x)=sin(s+0)(G>0)的圖像關(guān)于點(diǎn)序oj中心對(duì)稱，

所以以)5烏刃=0,即色69=?+?■，左￡Z,

332

-3

所以g=3kH—,keZ,

2

因?yàn)?,-函數(shù)單調(diào)，所以0<5?改"二，即0<@《2,

4J42

3

所以當(dāng)左=0時(shí)，—符合條件.

2

3

故答案為：一

2

14.若實(shí)數(shù)x,>滿足f+j?=25,則j50+8x+6歹+,50+8x-6歹的最大值為

【答案】6710

【解析】

【分析】利用向量不等式并結(jié)合X的范圍求最值.

【詳解】設(shè)1=(x,y),B=(l,l),

則展B=x+”同忖=萬正+/,當(dāng)且僅當(dāng)》=了20等號(hào)成立

故-^50+8x+6v+,50+8十-6y4-yfl-46x+100，

又V+y2=25,所以國<5,

所以0-J16x+lOO<72-716x5+100=6710,

當(dāng)且僅當(dāng)x=5,歹=0等號(hào)成立.

故答案為：6A/TO

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用向量不等式求最值，關(guān)鍵是兩次運(yùn)用不等式且保證等號(hào)成立.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

a

15.已知函數(shù)/(x)=lnx+——ax,

(1)若/(x)在定義域內(nèi)是減函數(shù)，求。的取值范圍；

(2)當(dāng)。＜!■時(shí)，求/(x)的極值點(diǎn).

【答案】(1)

(2)答案見解析.

【解析】

【分析】(1)先由/(x)在定義域內(nèi)是減函數(shù)得出對(duì)于Vxe(O,+s),/'(x)VO恒成立，進(jìn)而分離參數(shù)將問

10＜^—＜-

題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值；再利用基本不等式得出x+—22,1-2即可解答.

xx+一

X

(2)分。＜0和0＜。＜；兩種情況討論，在每一種情況中借助導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)/(x)的單調(diào)性即可求解.

【小問1詳解】

由/(x)=lnx+N—分可得：函數(shù)定義域?yàn)?0,+”)，/⑴必一心

XXXX

因?yàn)?(X)在定義域內(nèi)是減函數(shù)，

所以對(duì)于Vxe(0,+oo),f'(x)40恒成立，即對(duì)于Vxe(0,+oo),^:一工+口之。恒成立.

]

則對(duì)Vxe(0,+oo),a~1恒成立.

XH

X

因?yàn)閤＞0,

所以x+』N2,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)等號(hào)成立，

X

X

所以［之工

2

故。的取值范圍為-.

【小問2詳解】

rj-.sr./、1acix^—x+ci(門.\

因?yàn)閞r(x)=----7-a=-----------，xe(0,+oo),

所以當(dāng)a<0時(shí)，#(x)>0,則函數(shù)/(x)=lnx+3-ax在(0,+司上單調(diào)遞增，此時(shí)/(x)無極值點(diǎn);

X

當(dāng)0<a<1?時(shí)，方程"2—x+a=O的判別式△=1—4/=。—2a)(l+2a)>0,方程兩根為

l-Jl-4a21+J1—4/n

玉二---------->0，x2=---------->0-

令解得1—11一4/<x<l+Jl—4《；

2a2a

令廣a)<o,解得,<］一口11或

la2a

1-Jl-4a匚品、國』什十1-Jl-4a1+Jl-4a2、

則函數(shù)/(x)在0,----------上單調(diào)遞減，在----------上單調(diào)遞增，在

2a2a2a

7\

,1+41-4/

,+00上單調(diào)遞減,

2a

7

所以函數(shù)/(X)的極小值點(diǎn)為,極大值點(diǎn)為l+Jl—4a-

2a2a

綜上可得：當(dāng)a<0時(shí)，/(x)無極值點(diǎn);

當(dāng)0<a<,時(shí)，函數(shù)/(x)的極小值點(diǎn)為IzMZIZ,極大值點(diǎn)為—'I—>？.

22a2a

16.據(jù)新華社北京2月26日?qǐng)?bào)道，中國航天全年預(yù)計(jì)實(shí)施100次左右發(fā)射任務(wù)，有望創(chuàng)造新的紀(jì)錄，我國

首個(gè)商業(yè)航天發(fā)射場將迎來首次發(fā)射任務(wù)，多個(gè)衛(wèi)星星座將加速組網(wǎng)建設(shè)；中國航天科技集團(tuán)計(jì)劃安排近

70次宇航發(fā)射任務(wù)，發(fā)射290余個(gè)航天器，實(shí)施一系列重大工程任務(wù).由于航天行業(yè)擁有廣闊的發(fā)展前景，

有越來越多的公司開始從事航天研究，某航天公司研發(fā)了一種火箭推進(jìn)器，為測試其性能，對(duì)推進(jìn)器飛行

距離與損壞零件數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，數(shù)據(jù)如下：

飛行距離x(kkm)5663717990102110117

損壞零件數(shù)y(個(gè))617390105119136149163

88

參考數(shù)據(jù)：元=86,歹=112,?上=82743,=62680

i=li=l

(1)建立y關(guān)于x的回歸模型?=欣+&,根據(jù)所給數(shù)據(jù)及回歸模型，求y關(guān)于x的回歸方程(A精確到

0.1,a精確到1)；

(2)該公司進(jìn)行了第二項(xiàng)測試，從所有同型號(hào)推進(jìn)器中隨機(jī)抽取100臺(tái)進(jìn)行等距離飛行測試，對(duì)其中60

臺(tái)進(jìn)行飛行前保養(yǎng)，測試結(jié)束后，有20臺(tái)報(bào)廢，其中保養(yǎng)過的推進(jìn)器占比30%,請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成2x2

列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為推進(jìn)器是否報(bào)廢與保養(yǎng)有關(guān)?

保養(yǎng)未保養(yǎng)合計(jì)

報(bào)廢20

未報(bào)廢

合計(jì)60100

可（乂-刃

附：回歸方程？=&+&中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為/=1_____________________

8=d=y-bx>

￡（西-于）2

yn^ad-bey

n=a+b+c+d；

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

p(K>k0)0.250.10.050.0250.010.001

k。1.3232.7063.8415.0246.63510.828

【答案】（1）y=1.6x-26

（2）2x2列聯(lián)表見解析；是否報(bào)廢與保養(yǎng)有關(guān)，理由見解析.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意可求出A=1.6，a=-26,從而可求解.

（2）根據(jù)題意可將2x2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并求得K2=9.375〉6.635,從而求解判斷是否報(bào)廢與是否保

養(yǎng)有關(guān).

【小問1詳解】

元)(%-刃

2：1卬_8亞

由題意得￡=上匕-------------82743-8x86x112^1

二后-對(duì)62680-8x86??''

，二1

則2=112—1.6x86^—26,

所以J=1.6x-26.

【小問2詳解】

設(shè)零假設(shè)為80：是否報(bào)廢與是否保養(yǎng)無關(guān),

由題意，報(bào)廢推進(jìn)器中保養(yǎng)過的共20x30%=6臺(tái)，未保養(yǎng)的推進(jìn)器共20-6=14臺(tái),

補(bǔ)充2x2列聯(lián)表如下:

保養(yǎng)未保養(yǎng)合計(jì)

報(bào)廢61420

未報(bào)廢542680

合計(jì)6040100

,2n(ad-bcY100x(6x26-14x54?

2

則K=-———^――-....?=--------------------匚=9.375>6.635,

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20x40x60x80

根據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷笈。不成立，即認(rèn)為是否報(bào)廢與保養(yǎng)有關(guān)，

此推斷的錯(cuò)誤概率不大于0.01.

17.在三棱錐P—中，必，平面NBC,/B=5C=BP=2,點(diǎn)E在平面ABC內(nèi)，且滿足平面

PAE1平面PBE,BA垂直于.

兀71

(1)當(dāng)NABEe時(shí)，求點(diǎn)E的軌跡長度;

83

(2)當(dāng)二面角E-尸/-8的余弦值為上時(shí)，求三棱錐￡—PC3的體積.

3

5兀

【答案】(1)—

12

⑵t

【解析】

【分析】(1)先通過垂直關(guān)系得到然后建立空間直角坐標(biāo)系得到點(diǎn)E的軌跡，根據(jù)角度求軌跡

的長；

(2)利用向量法求面面角，解方程求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，進(jìn)而利用體積公式求解即可.

【小問1詳解】

作BHLPE交PE于H,

因?yàn)槠矫鍶_平面P2E，且平面P/EC平面尸8E=PE,BHu面PBE,

所以Aff,平面上4￡,又因?yàn)閆Eu平面產(chǎn)/￡,所以BH±AE，

因?yàn)楸兀矫?8C,且/Eu平面48C,所以

因?yàn)锽HL4E，PB1AE,PB、BHu平面PBE,PB^BH=B,

所以ZE_L平面尸3￡,又因?yàn)锽Eu平面P3E,所以4ELBE.

分別以直線B48C,AP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則3(0,0,0),P(0,0,2),C(0,2,0),42,0,0),

設(shè)E(x,y,0),因?yàn)閆EJ_8E,所以瓦.屁=0,

5LAE=(x-2,j,0))BE=(x,y,0)，

所以(x-2>x+〉?〉=0,即(x-l『+/=1,

設(shè)48中點(diǎn)為N,則N(l,0),如圖:

兀兀71227兀1

又NABEe,所以ZANEe

4'3

I2IT71i5TL

因此，E的軌跡為圓弧QE,其長度為[三——Ix1=-；

【小問2詳解】

由(1)知，可設(shè)E(x,y,O),方=(2,0,-2),ZE=(x-2,j,0).

設(shè)平面產(chǎn)/￡的一個(gè)法向量為為=(。,8c),

n-PA=0f2a-2c=0

則〈—，即/7八，令a=y得拓=(y,2—x,y).

n-AE=Q[a(x—2)+如=0

BC=(0,2,0)為平面PAB的一個(gè)法向量，令二面角E-P4-B為角e,

\H-BC\2|x-2|g，又2+y』,

COS0=

\n\\BC\2d(x-2)2+2y2

解得x=2,y=0(舍去)或x=l,y=±l,

則E(l,l,0)或E(l,—1,0),

從而可得三棱錐E-PCB的體積VE_PCB=；S&CB-/z=|x|x2x2xl=1.

22

18.在平面直角坐標(biāo)系x0y中，橢圓，：二+-=l(a〉b〉0)的離心率為e,已知橢圓長軸長是短軸長

ab

的2倍，且橢圓少過點(diǎn)(l,e).

(1)求橢圓少的方程；

(2)已知平行四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)均在沙上，求平行四邊形/BCD的面積S的最大值.

丫2

【答案】(1)—+y2=1(2)4

4?

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意可得」\7+二e二二\二1，從而求出。=2,即可求解.

a2b2b2

（2）分情況討論直線48斜率存在與不存在的情況，然后與橢圓方程式聯(lián)立，再結(jié)合韋達(dá)定理求出相應(yīng)關(guān)

系式，并利用基本不等式求出最值，從而可求解.

【小問1詳解】

Ie21c2b1+c21

由題思知/+乒=/+不=下廠=廬=1'解得6=1,

由長軸長是短軸長的2倍，則a=2,

2

所以橢圓少的方程為土+V?=1.

4.

【小問2詳解】

當(dāng)直線48斜率存在，這48的方程為^=履+叫，/（國,%），

因?yàn)?8||CD,故可設(shè)CD方程為y=依+掰2,

y=kx+ml

222）12

由<x，得（1+4左+8左加]x+4加:-4二0,

彳+了=

8hU[4m,2-4

則A=8（2左2—加；+1）〉0,X[+x2=

22

所以以同=-\/l+kyj（xl+x2）-4XJX2=J1+左24+1'

同理\CD\=J1H土手

因?yàn)?所以加；=加；，因?yàn)榧邮?，所以叫+加2=0,

4k之一加:+1+加;

J（4左2-鬲+1）加；

-冽：+1\2m\

所以S=M§M==8<8______2________4，

1+4左21+4公1+4左2

當(dāng)且僅當(dāng)4/+1=2喈時(shí)，平行四邊形45C。取得最大值為4.

當(dāng)直線Z5的斜率不存在時(shí)，此時(shí)平行四邊形45。。為矩形，設(shè)/（國,乃），易得8=4%印,

又因?yàn)?=?+了；22小,義凹2="%|,所以S<4,當(dāng)且僅當(dāng)西=%時(shí)取等.

綜上所述：平行四邊形45CD的面積S的最大值為4.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：

（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（國,y）,（//2）；

（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x（或V）的一元二次方程，注意△的判斷；

（3）列出韋達(dá)定理；

（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為西+々、X1X2（或%+%、%必）的形式；

（5）代入韋達(dá)定理求解.

19.對(duì)稱變換在對(duì)稱數(shù)學(xué)中具有重要的研究意義.若一個(gè)平面圖形K在%（旋轉(zhuǎn)變換或反射變換）的作用下

仍然與原圖形重合，就稱K具有對(duì)稱性，并記加為K的一個(gè)對(duì)稱變換.例如，正三角形R在叫（繞中心

。作120。的旋轉(zhuǎn)）的作用下仍然與R重合（如圖1圖2所示），所以加1是R的一個(gè)對(duì)稱變換，考慮到變換

「123、

前后R的三個(gè)頂點(diǎn)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，記叫=：又如，R在4（關(guān)于對(duì)稱軸八所在直線的反射）的

212）

（123）

作用下仍然與R重合（如圖1圖3所示），所以4也是火的一個(gè)對(duì)稱變換，類似地，記/】=.記

U32J

正三角形R的所有對(duì)稱變換構(gòu)成集合S.一個(gè)非空集合G對(duì)于給定的代數(shù)運(yùn)算.來說作成一個(gè)群，假如同時(shí)

滿足：

I.\/a,beG,a°b&G-,

II.X/a,b,ceG,（a°b）°c=a°（b°c）；

III.3eeG,VaeG,a°e=eoa=a-

IV.X/aeG,3a^eG>a°ax=a1Oa=e-

對(duì)于一個(gè)群G,稱III中的e為群G的單位元，稱W中的為。在群G中的逆元.一個(gè)群G的一個(gè)非空子

集〃叫做G的一個(gè)子群，假如〃對(duì)于G的代數(shù)運(yùn)算。來說作成一個(gè)群.

(1)直接寫出集合S(用符號(hào)語言表示S中的元素);

(2)同一個(gè)對(duì)稱變換的符號(hào)語言表達(dá)形式不唯一，如

(123、r132、(213、(23n6312、(32n

㈣=.對(duì)于集合S中的元

012；(321JU32J23J(231J(2iv

/、Mb3/

axa2a32ax

素，定義一種新運(yùn)算*,規(guī)則如下:

b

273

①證明集合S對(duì)于給定的代數(shù)運(yùn)算*來說作成一個(gè)群;

②已知H是群G的一個(gè)子群，e,e'分別是G,〃的單位元，a&H,ax"分別是。在群G,群〃中

的逆元.猜想e,e'之間的關(guān)系以及a-、"之間的關(guān)系，并給出證明;

③寫出群S的所有子群.

【答案】(1)答案見解析；

(2)①證明見解析；②答案見解析，證明見解析；③證明見解析.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)給定信息，按旋轉(zhuǎn)變換、對(duì)稱變換分別求出對(duì)應(yīng)變換，再寫出集合S.

(2)①根據(jù)群的定義條件，逐一驗(yàn)證即得；②按照群定義III、IV分別推理計(jì)算即得；③寫出S的所有子群

即可.

【小問1詳解】

(\23)

依題意，正三角形R的對(duì)稱變換如下：繞中心。作120。的旋轉(zhuǎn)變換叫=；

口12)

(\23、

繞中心。作240°的旋轉(zhuǎn)變換加2=；

(23\)

(123、

繞中心。作360。的旋轉(zhuǎn)變換加3=,c.；

23、

關(guān)于對(duì)稱軸4所在直線的反射變換4=

v32J

「123、

關(guān)于對(duì)稱軸々所在直線的反射變換4=

(32\)

(\23、

關(guān)于對(duì)稱軸々所在直線的反射變換c,.

ri23、23、23、23、23、a23、

綜上，S=《\.(形式不唯一)

212J(231JU2vU32；(321J(2134

【小問2詳解】

、‘生、

bb

‘qa2?32a2%、2b1

①I.V