專題37隨機(jī)事件的概率古典概型與幾何概型（學(xué)生版）

專題37隨機(jī)事件的概率、古典概型與幾何概型（核心考點精講精練）1.近幾年真題考點分布概率與統(tǒng)計近幾年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2022年全國乙（文科），第4題,5分莖葉圖計算平均數(shù)、中位數(shù)、概率2022年全國乙（文科），第14題,5分計數(shù)原理、排列、組合與概率2022年全國乙（理科），第10題,5分互斥事件、獨立事件求概率2022年全國乙（理科），第13題,5分計數(shù)原理、排列、組合與概率2022年全國乙（理科），第19題,12分2022年全國乙（文科），第19題,12分（1）求平均數(shù)；（2）求相關(guān)系數(shù)（3）估算樣本量2022年全國甲（文科），第17題,12分（1）求概率；（2）獨立性檢驗2022年全國甲（文科），第6題,5分古典概型2022年全國甲（理科），第19題,12分（1）求概率；（2）離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望2022年全國甲（理科），第15題,5分古典概型立體幾何2022年全國甲（理科），第2題,5分2022年全國甲（文科），第2題,5分眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)比較，求極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差2023年全國乙（文科），第9題,5分計數(shù)原理、排列、組合與概率2023年全國乙（理科），第5題,5分2023年全國乙（文科），第7題,5分幾何概型圓環(huán)面積2023年全國乙（理科），第9題,5分計數(shù)原理與排列、組合2023年全國乙（理科），第17題,12分2023年全國乙（文科），第17題,12分（1）求樣本平均數(shù)，方差；（2）統(tǒng)計新定義2023年全國甲（文科），第4題,5分計數(shù)原理、排列、組合與概率2023年全國甲（理科），第6題,5分條件概率2023年全國甲（理科），第9題,5分計數(shù)原理與排列、組合2023年全國甲（理科），第19題,12分（1）離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）獨立性檢驗2023年全國甲（文科），第20題,12分（1）求樣本平均數(shù)；（2）獨立性檢驗2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】1.隨機(jī)事件與樣本空間：首先，我們要明確什么是隨機(jī)事件，樣本空間又是什么。隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件；而樣本空間則是所有可能結(jié)果組成的集合;2.古典概型與概率的古典定義：在古典概型中，每個基本事件發(fā)生的可能性完全相同。古典概型的概率定義為事件A包含的基本事件數(shù)除以樣本空間的基本事件總數(shù);3.幾何概型與等可能事件的概念：如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積或度數(shù)）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型。幾何概型的特點是無限性和等可能性;【備考策略】1.理解樣本點和有限樣本空間的含義,理解隨機(jī)事件與樣本點的關(guān)系.2.了解隨機(jī)事件的并、交與互斥的含義,能結(jié)合實例進(jìn)行隨機(jī)事件的并、交運算.3.了解兩個互斥事件的概率加法公式.4.理解古典概型及其概率計算公式.5.會計算一些隨機(jī)事件所包含的樣本點及事件發(fā)生的概率.6.掌握概率的基本性質(zhì).【命題預(yù)測】1.概率論與數(shù)理統(tǒng)計的內(nèi)容十分廣泛，包括了古典概型、幾何概型、隨機(jī)變量的分布等;2.命題可能會涉及到互斥事件、對立事件的概率求法，古典概型的概率公式的應(yīng)用，或者幾何概型的等可能事件的概念等;3.通過對整個學(xué)科的深入理解和掌握，以及對歷年真題的解析來推斷; 知識講解一、樣本點的樣本空間定義字母表示樣本點我們把隨機(jī)試驗的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點

用ω表示樣本點

樣本空間全體樣本點的集合稱為試驗的樣本空間用Ω表示樣本空間

有限樣本空間若一個隨機(jī)試驗有個可能結(jié)果,,…,,則稱樣本空間為有限樣本空間二、三種事件的定義隨機(jī)事件我們將樣本空間的子集稱為隨機(jī)事件,簡稱事件,并把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件.隨機(jī)事件一般用大寫字母,,,…表示.在每次試驗中,當(dāng)且僅當(dāng)中某個樣本點出現(xiàn)時,稱為事件發(fā)生

必然事件作為自身的子集,包含了所有的樣本點,在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生,所以總會發(fā)生,我們稱為必然事件不可能事件空集?不包含任何樣本點,在每次試驗中都不會發(fā)生,我們稱?為不可能事件

三、事件的關(guān)系和運算事件的關(guān)系和運算含義符號表示包含發(fā)生導(dǎo)致發(fā)生相等關(guān)系且并事件(和事件)與至少有一個發(fā)生A∪B或A+B

交事件(積事件)與同時發(fā)生A∩B或AB

互斥(互不相容)與不能同時發(fā)生A∩B=?

互為對立與有且僅有一個發(fā)生A∩B=?,A∪B=Ω四、頻率的穩(wěn)定性一般地,隨著試驗次數(shù)的增大,頻率偏離概率的幅度會縮小,即事件發(fā)生的頻率會逐漸穩(wěn)定于事件發(fā)生的概率.我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此,我們可以用頻率估計概率.1.從集合的角度理解互斥事件和對立事件(1)幾個事件彼此互斥,是指由各個事件所含的結(jié)果組成的集合的交集為空集.(2)事件的對立事件所含的結(jié)果組成的集合,是全集中由事件所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集.2.概率加法公式的推廣當(dāng)一個事件包含多個結(jié)果且各個結(jié)果彼此互斥時,要用到概率加法公式的推廣,即.1.判斷一個事件是哪類事件要看兩點一看條件,因為三種事件都是相對于一定條件而言的;二看結(jié)果是否發(fā)生,一定發(fā)生的是必然事件,不一定發(fā)生的是隨機(jī)事件,一定不發(fā)生的是不可能事件.2.不重不漏地列舉試驗的所有樣本點的方法(1)結(jié)果是相對于條件而言的,要弄清試驗的結(jié)果,必須首先明確試驗中的條件.(2)根據(jù)日常生活經(jīng)驗,按照一定的順序列舉出所有可能的結(jié)果,可應(yīng)用畫樹狀圖、列表等方法解決.判別互斥事件、對立事件一般用定義判斷,不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件;兩個事件,若有且僅有一個發(fā)生,則這兩個事件為對立事件,對立事件一定是互斥事件.求復(fù)雜的互斥事件的概率的兩種方法(1)直接求解法,將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和,運用互斥事件的概率求和公式計算.(2)間接求解法,先求此事件的對立事件的概率,再用公式,即運用逆向思維(正難則反).特別是“至多”“至少”型題目,用間接求解法就顯得較簡便.五、古典概型具有以下特征的試驗叫作古典概型試驗,其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型,簡稱古典概型.(1)有限性:樣本空間的樣本點只有有限個;

(2)等可能性:每個樣本點發(fā)生的可能性相等.

六、古典概型的概率公式一般地,設(shè)試驗是古典概型,樣本空間包含個樣本點,事件包含其中的個樣本點,則定義事件的概率.

其中,和分別表示事件和樣本空間包含的樣本點個數(shù).七、幾何概型1、定義：如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型。

2、特點：

(1)試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）有無限多個。

(2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等八、概率的性質(zhì)性質(zhì)1:對任意的事件,都有.性質(zhì)2:必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即,(?).性質(zhì)3:如果事件與事件互斥,那么P(A)+P(B).

性質(zhì)4:如果事件與事件互為對立事件,那么,1P(B).

性質(zhì)5:如果,那么,由該性質(zhì)可得,對于任意事件,因為???,所以0≤P(A)≤1.性質(zhì)6:設(shè),是一個隨機(jī)試驗中的兩個事件,有.概率的一般加法公式中,易忽視只有當(dāng)?,即,互斥時,,此時.1.古典概型的概率求解步驟(1)求出所有基本事件的個數(shù);(2)求出事件包含的所有基本事件的個數(shù);(3)代入公式求解.2.基本事件個數(shù)的確定方法有列舉法,樹狀圖法,排列組合法等.1.求解本題的關(guān)鍵是正確判斷各事件之間的關(guān)系,以及把所求事件用已知概率的事件表示出來.2.求互斥事件的概率可以將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和,運用互斥事件的概率公式計算,也可以先求此事件的對立事件的概率,再用公式求出所求概率.解決古典概型與幾何圖形、函數(shù)(方程)、解析幾何的交匯問題,其關(guān)鍵是利用幾何圖形中的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為概率模型,利用函數(shù)的性質(zhì)、方程根的存在性化為不等式組的解的情況,找到滿足解析幾何中圖形的代數(shù)關(guān)系,通過列舉法找到滿足條件的情況,再按照求古典概型的步驟求解.考點一、隨機(jī)事件與樣本空間1．（2017年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（新課標(biāo)2卷））從分別寫有的張卡片中隨機(jī)抽取張，放回后再隨機(jī)抽取張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為（）A． B． C． D．2．已知集合A是集合B的真子集，則下列關(guān)于非空集合A，B的四個命題：①若任取，則是必然事件；②若任取，則是不可能事件；③若任取，則是隨機(jī)事件；④若任取，則是必然事件．其中正確的命題有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．“不怕一萬，就怕萬一”這句民間諺語說明（

）.A．小概率事件雖很少發(fā)生，但也可能發(fā)生，需提防；B．小概率事件很少發(fā)生，不用怕；C．小概率事件就是不可能事件，不會發(fā)生；D．大概率事件就是必然事件，一定發(fā)生．4．某學(xué)校共有教職工120人，對他們進(jìn)行年齡結(jié)構(gòu)和受教育程度的調(diào)查，其結(jié)果如下表：本科研究生合計35歲以下4030703550歲27134050歲以上8210現(xiàn)從該校教職工中任取1人，則下列結(jié)論正確的是（

）A．該教職工具有本科學(xué)歷的概率低于60％B．該教職工具有研究生學(xué)歷的概率超過50％C．該教職工的年齡在50歲以上的概率超過10％D．該教職工的年齡在35歲及以上且具有研究生學(xué)歷的概率超過10％1．在3張卡片上分別寫上3位同學(xué)的學(xué)號后，再把卡片隨機(jī)分給這3位同學(xué)，每人1張，則恰有1位學(xué)生分到寫有自己學(xué)號卡片的概率為（

）A． B． C． D．2．（2023屆河南省模擬理科數(shù)學(xué)試題）世界數(shù)學(xué)三大猜想：“費馬猜想”、“四色猜想”、“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“費馬猜想”已經(jīng)分別在1976年和1994年榮升為“四色定理”和“費馬大定理”．281年過去了，哥德巴赫猜想仍未解決，目前最好的成果“1＋2”由我國數(shù)學(xué)家陳景潤在1966年取得．哥德巴赫猜想描述為：任何不小于4的偶數(shù)，都可以寫成兩個質(zhì)數(shù)之和．在不超過17的質(zhì)數(shù)中，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其和為奇數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．3．已知袋中有大小、形狀完全相同的4個紅色、3個白色的乒乓球，從中任取4個，則下列判斷錯誤的是（

）A．事件“都是紅色球”是隨機(jī)事件B．事件“都是白色球”是不可能事件C．事件“至少有一個白色球”是必然事件D．事件“有3個紅色球和1個白色球”是隨機(jī)事件4．考慮擲硬幣試驗，設(shè)事件“正面朝上”，則下列論述正確的是（

）A．?dāng)S2次硬幣，事件“一個正面，一個反面”發(fā)生的概率為B．?dāng)S8次硬幣，事件A發(fā)生的次數(shù)一定是4C．重復(fù)擲硬幣，事件A發(fā)生的頻率等于事件A發(fā)生的概率D．當(dāng)投擲次數(shù)足夠多時，事件A發(fā)生的頻率接近5．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1423石，驗得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得268粒內(nèi)夾谷32粒.則這批米內(nèi)夾谷約為（

）A．157石 B．164石 C．170石 D．280石考點二、事件的關(guān)系及運算1．拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，記事件為“向上的點數(shù)為1或4”，事件為“向上的點數(shù)為奇數(shù)”，則下列說法正確的是（

）A．與互斥 B．與對立C． D．2．下列敘述正確的是（

）A．互斥事件一定不是對立事件，但是對立事件一定是互斥事件B．若事件發(fā)生的概率為，則C．頻率是穩(wěn)定的，概率是隨機(jī)的D．5張獎券中有一張有獎，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有獎獎券的可能性小3．在一個質(zhì)地均勻的正四面體木塊的四個面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4．連續(xù)拋擲這個正四面體木塊兩次，并記錄每次正四面體木塊朝下的面上的數(shù)字，記事件為“兩次記錄的數(shù)字之和為奇數(shù)”，事件為“第一次記錄的數(shù)字為奇數(shù)”，事件為“第二次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（

）A．事件與事件是對立事件 B．事件與事件不是相互獨立事件C． D．4．（2023年山東省模擬數(shù)學(xué)試題）已知P（B），，，則=（

）A． B． C． D．1．口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個形狀相同小球，從中取出2球，事件“取出的兩球同色”，事件“取出的2球中至少有一個黃球”，事件“取出的2球至少有一個白球”，事件“取出的2球不同色”，“取出的2球中至多有一個白球”.下列判斷中正確的是（

）A． B．C． D．2．（2023屆上海市模擬數(shù)學(xué)試題）已知事件A與事件B互斥，如果，，那么．3．下列說法正確的是（

）A．從裝有個紅球和個白球的口袋內(nèi)任取個球，記事件為“恰有個白球”，事件為恰有個白球”，則與互斥B．甲?乙二人比賽，甲勝的概率為，則比賽場，甲勝場C．隨機(jī)試驗的頻率與概率相等D．拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，記事件為“向上的點數(shù)為或”，事件為“向上的點數(shù)為奇數(shù)”，則與對立考點三、互斥與對立事件的概率計算1．（2023屆四川省模擬數(shù)學(xué)（文科）試題）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件1表示“骰子向上的點數(shù)為奇數(shù)”，事件2表示“骰子向上的點數(shù)為偶數(shù)”，事件3表示“骰子向上的點數(shù)大于3”，事件4表示“骰子向上的點數(shù)小于3”則（

）A．事件1與事件3互斥 B．事件1與事件2互為對立事件C．事件2與事件3互斥 D．事件3與事件4互為對立事件2．從裝有2個紅球和2個黑球的袋子內(nèi)任取2個球，下列選項中是互斥而不對立的兩個事件的是（

）A．“至少有1個紅球”與“都是黑球”B．“恰好有1個紅球”與“恰好有1個黑球”C．“至少有1個黑球”與“至少有1個紅球”D．“都是紅球”與“都是黑球”3．假定生男孩和生女孩是等可能的，現(xiàn)考慮有3個小孩的家庭，隨機(jī)選擇一個家庭，則下列說法正確的是（

）A．事件“該家庭3個小孩中至少有1個女孩”和事件“該家庭3個小孩中至少有1個男孩”是互斥事件B．事件“該家庭3個孩子都是男孩”和事件“該家庭3個孩子都是女孩”是對立事件C．該家庭3個小孩中只有1個男孩的概率為D．當(dāng)已知該家庭3個小孩中有男孩的條件下，3個小孩中至少有2個男孩的概率為1．（2023年湖北省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）某小組有1名男生和2名女生，從中任選2名學(xué)生參加圍棋比賽，事件“至多有1名男生”與事件“至多有1名女生”（

）A．是對立事件 B．都是必然事件C．不是互斥事件 D．是互斥事件但不是對立事件2．對于一個古典概型的樣本空間和事件A，B，C，D，其中，，，，，，，，則（

）A．A與B不互斥 B．A與D互斥但不對立C．C與D互斥 D．A與C相互獨立3．隨著北京冬奧會的舉辦，中國冰雪運動的參與人數(shù)有了突飛猛進(jìn)的提升.某校為提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)、大力推廣冰雪運動，號召青少年成為“三億人參與冰雪運動的主力軍”，開設(shè)了“陸地冰壺”“陸地冰球”“滑冰”“模擬滑雪”四類冰雪運動體驗課程.甲、乙兩名同學(xué)各自從中任意挑選兩門課程學(xué)習(xí)，設(shè)事件“甲乙兩人所選課程恰有一門相同”，事件“甲乙兩人所選課程完全不同”，事件“甲乙兩人均未選擇陸地冰壺課程”，則（

）A．A與B為對立事件 B．A與C互斥C．A與C相互獨立 D．B與C相互獨立考點四、古典概型1．（2023屆河南省適應(yīng)性考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題）安排，，，，五名志愿者到甲，乙兩個福利院做服務(wù)工作，每個福利院至少安排一名志愿者，則，被安排在不同的福利院的概率為．2．為推動就業(yè)與培養(yǎng)有機(jī)聯(lián)動、人才供需有效對接，促進(jìn)高校畢業(yè)生更加充分更高質(zhì)量就業(yè)，教育部今年首次實施供需對接就業(yè)育人項目．現(xiàn)安排甲、乙兩所高校與3家用人單位開展項目對接，若每所高校至少對接兩家用人單位，則兩所高校的選擇涉及到全部3家用人單位的概率為（

）A． B． C． D．3．（2023屆云南省模擬數(shù)學(xué)試題）在給某小區(qū)的花園綠化時，綠化工人需要將6棵高矮不同的小樹在花園中栽成前后兩排，每排3棵，則后排的每棵小樹都對應(yīng)比它前排每棵小樹高的概率是（

）A． B． C． D．不放回問題4．一個盒子中裝有5個電子產(chǎn)品，其中有3個一等品，2個二等品，從中不放回地抽取產(chǎn)品，每次取1個，求：(1)取兩次，兩次都取得一等品的概率；(2)取三次，第三次才取得一等品的概率．有放回問題5．（2021年全國新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題）有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（

）A．甲與丙相互獨立 B．甲與丁相互獨立C．乙與丙相互獨立 D．丙與丁相互獨立1．上海某高校哲學(xué)專業(yè)的4名研究生到指定的4所高級中學(xué)宣講習(xí)近平新時代中國特色社會主義思想．若他們每人都隨機(jī)地從4所學(xué)校選擇一所，則4人中至少有2人選擇到同一所學(xué)校的概率是．（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）2．（2023年慕華優(yōu)策聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題）學(xué)校高一年級從6個班各自選出2名同學(xué)參加市里組織的朗讀比賽.若從這12名同學(xué)選出6人參加決賽，其中預(yù)賽成績優(yōu)秀的一（1）班甲和一（2）班乙兩名同學(xué)必須參加，其余任選，則這6人恰好僅有兩名同學(xué)來自相同班級的概率為.3．有一道樓梯共10階，小王同學(xué)要登上這道樓梯，登樓梯時每步隨機(jī)選擇一步一階或一步兩階，小王同學(xué)7步登完樓梯的概率為.4．（2023年湖北省模擬數(shù)學(xué)試題）袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取2個球都是白球的概率為，現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時終止，每個球在每一次被取出的機(jī)會是等可能的，用X表示取球終止時所需要的取球次數(shù)．(1)求袋中原有白球的個數(shù)；(2)求甲取到白球的概率．考點五、幾何概型1．如圖，陰影部分由四個全等的直角三角形組成的圖形是三國時代吳國趙爽創(chuàng)制的“勾股弦方圖”，也稱“趙爽弦圖”.若直角三角形中較大銳角的正弦值為，則在大正方形內(nèi)隨機(jī)取一點，這一點落在小正方形內(nèi)的概率為.2．住在同一城市的甲、乙兩位合伙人,約定在當(dāng)天下午：00間在某個咖啡館相見商談合作事宜，他們約好當(dāng)其中一人先到后最多等對方10分鐘,若等不到則可以離去,則這兩人能相見的概率為．3．對稱性是數(shù)學(xué)美的重要征，是數(shù)學(xué)家追求的目標(biāo)，也是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造中的重要的美學(xué)因素．著名德國數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家魏爾說：“美和對稱緊密相連”．現(xiàn)用隨機(jī)模擬的方法來估算對稱蝴蝶（如圖中陰影區(qū)域所示）的面積，做一個邊長為2dm的正方形將其包含在內(nèi)，并向該正方形內(nèi)隨機(jī)投擲1000個點，已知恰有395個點落在陰影區(qū)域內(nèi)，據(jù)此可估計圖中對稱蝴蝶的面積是．1．關(guān)于圓周率，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的蒲豐實驗和查理斯實驗．受其啟發(fā)，我們也可以通過設(shè)計下面的實驗來估計的值：先請120名同學(xué)，每人隨機(jī)寫下一個x、y都小于1的正實數(shù)對，再統(tǒng)計x、y兩數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形時的數(shù)對的個數(shù)m，最后再根據(jù)m來估計的值．假如統(tǒng)計結(jié)果是，那么的估計值為．2．甲訂了一份報紙，送報人可能在早上之間把報紙送到甲家，而甲取報紙的時間在早上之間，則甲能得到報紙的概率為.3．（2023屆四川省診斷性考試數(shù)學(xué)（文）試題）《定理匯編》記載了諸多重要的幾何定理，其中有一些定理是關(guān)于鞋匠刀形的，即由在同一直線上同側(cè)的三個半圓所圍成的圖形，其被阿基米德稱為鞋匠刀形.如圖所示，三個半圓的圓心分別為，，，半徑分別為，，（其中），在半圓О內(nèi)隨機(jī)取一點，此點取自圖中鞋匠刀形（陰影部分）的概率為，則.4．（2023屆四川省模擬文科數(shù)學(xué)試題）四葉草也被稱為幸運草、幸福圖，其形狀被廣泛用于窗戶、壁紙、地板等裝修材料的圖案中．如圖所示，正方形地板上的四葉草圖邊界所在的半圓都以正方形的邊長為直徑．隨機(jī)拋擲一粒小豆在這塊正方形地板上，則小豆落在四葉草圖（圖中陰影部分）上的概率為．5．明朝著名易學(xué)家來知德以其太極圖解釋一年、一日之象的圖式，一年氣象圖將二十四節(jié)氣配以太極圖，說明一年之氣象，來氏認(rèn)為“萬古之人事，一年之氣象也，春作夏長秋收冬藏，一年不過如此”.上圖是來氏太極圖，其大圓半徑為4，大圓內(nèi)部的同心小圓半徑為1，兩圓之間的圖案是對稱的，若在大圓內(nèi)隨機(jī)取一點，則該點落在黑色區(qū)域的概率為.考點六、概率的基本性質(zhì)1．（2023屆陜西省模擬理科數(shù)學(xué)試題）某中學(xué)舉行疾病防控知識競賽，其中某道題甲隊答對該題的概率為，乙隊和丙隊答對該題的概率都是.若各隊答題的結(jié)果相互獨立且都進(jìn)行了答題.則甲、乙、丙三支競賽隊伍中恰有一支隊伍答對該題的概率為（

）A． B． C． D．2．甲、乙二人爭奪一場圍棋比賽的冠軍，若比賽為“三局兩勝”制，甲在每局比賽中獲勝的概率均為，且各局比賽結(jié)果相互獨立，則在甲獲得冠軍的情況下，比賽進(jìn)行了三局的概率為（

）A． B． C． D．3．甲、乙兩人各有一個袋子，且每人袋中均裝有除顏色外其他完全相同的2個紅球和2個白球，每人從各自袋中隨機(jī)取出一個球，若2個球同色，則甲勝，且將取出的2個球全部放入甲的袋子中；若2個球異色，則乙勝，且將取出的2個球全部放入乙的袋子中.則兩次取球后，甲的袋子中恰有6個球的概率是（

）A． B． C． D．4．甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球(球除顏色外，大小質(zhì)地均相同)．先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以和表示由甲罐中取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機(jī)取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是紅球的事件．下列結(jié)論正確的個數(shù)是（

）①事件與相互獨立；②，，是兩兩互斥的事件；③；④；⑤A．5 B．4 C．3 D．21．甲乙兩選手進(jìn)行象棋比賽，已知每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，若采用三局二勝制，則甲最終獲勝的概率為（

）A． B． C． D．2．甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球．甲先投且先投中者獲勝，約定有人獲勝或每人都已投球2次時投籃結(jié)束．設(shè)甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響．則投籃結(jié)束時，乙只投了1個球的概率為（

）A． B． C． D．3．某社團(tuán)開展“建黨100周年主題活動——學(xué)黨史知識競賽”，甲、乙兩人能得滿分的概率分別為、，兩人能否獲得滿分相互獨立，則下列說法正確的是（

）．A．兩人均獲得滿分的概率為B．兩人至少一人獲得滿分的概率為C．兩人恰好只有甲獲得滿分的概率為D．兩人至多一人獲得滿分的概率為4．現(xiàn)將除顏色外其他完全相同的6個紅球和6個白球平均放入A、B兩個封閉的盒子中，甲從盒子A中，乙從盒子B中各隨機(jī)取出一個球，若2個球同色，則甲勝，且將取出的2個球全部放入盒子A中；若2個球異色，則乙勝，且將取出的2個球全部放入盒子B中．按上述規(guī)則重復(fù)兩次后，盒子A中恰有8個球的概率是（

）A． B． C． D．考點七、概率的綜合應(yīng)用1．某一電子集成塊有三個元件a，b，c并聯(lián)構(gòu)成，三個元件是否有故障相互獨立．已知至少1個元件正常工作，該集成塊就能正常運行．若每個元件能正常工作的概率均為，則在該集成塊能夠正常工作的情況下，有且僅有一個元件出現(xiàn)故障的概率為（

）．A． B． C． D．2．（2023屆河北衡水中學(xué)模擬檢測數(shù)學(xué)試題）甲、乙兩人下圍棋，若甲執(zhí)黑子先下，則甲勝的概率為；若乙執(zhí)黑子先下，則乙勝的概率為．假定每局之間相互獨立且無平局，第二局由上一局負(fù)者先下，若甲、乙比賽兩局，第一局甲、乙執(zhí)黑子先下是等可能的，則甲、乙各勝一局的概率為．3．（2023年四川省模擬理科數(shù)學(xué)試題）小明與小紅兩位同學(xué)計劃去養(yǎng)老院做義工．如圖，小明在街道E處，小紅在街道F處，養(yǎng)老院位于G處，小明與小紅到養(yǎng)老院都選擇最短路徑，兩人約定在老年公寓門口匯合，事件A：小明經(jīng)過F；事件B：小明經(jīng)過H；事件C：從F到養(yǎng)老院兩人的路徑?jīng)]有重疊部分（路口除外），則下面說法正確的個數(shù)是（

）（1）；（2）；（3）．A．3 B．2 C．1 D．04．中國古塔矗立在大江南北，為城市山林增光添彩，被譽為中國古代杰出的高層建筑.如圖是位于陜西省西安市的大慈恩寺大雁塔，其塔身為四邊形，底面邊長為a米.現(xiàn)一游人站在距離塔底中心a米的圓周上任取一點觀看，則他能同時看到塔的兩個側(cè)面（即圖2中的正方形的兩邊）的概率為.1．（2023屆云南省教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）一個數(shù)學(xué)興趣小組共有2名男生3名女生，從中隨機(jī)選出2名參加交流會，在已知選出的2名中有1名是男生的條件下，另1名是女生的概率為．2．（2023年上海市模擬數(shù)學(xué)試題）某興趣小組有10名學(xué)生，若從10名學(xué)生中選取3人，則選取的3人中恰有1名女生的概率為，且女生人數(shù)超過1人，現(xiàn)在將10名學(xué)生排成一排，其中男生不相鄰，且男生的左右相對順序固定，則共有種不同的站隊方法.3．（2023屆四川省適應(yīng)性考試（二診）理科數(shù)學(xué)試題）在二項式的展開式中，二項式的系數(shù)和為256，把展開式中所有的項重新排成一列，有理項都互不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．4．（2023年四川省模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題）如圖，將半徑為1分米的圓分成相等的四段弧，再將四段弧圍成星形放在圓內(nèi)（陰影部分）.現(xiàn)在往圓內(nèi)任投100顆豆子，則落在星形區(qū)域內(nèi)的豆子數(shù)大約為.【基礎(chǔ)過關(guān)】1．（2023年浙江省寧模擬數(shù)學(xué)試題）袋內(nèi)裝有大小、形狀完全相同的3個白球和2個黑球，從中不放回地摸球，設(shè)事件A=“第一次摸到白球”，事件B=“第二次摸到白球”，事件C=“第一次摸到黑球”，則下列說法中正確的是（

）A．A與B是互斥事件 B．A與B不是相互獨立事件C．B與C是對立事件 D．A與C是相互獨立事件2．一個質(zhì)地均勻的正四面體木塊的四個面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4.連續(xù)拋擲這個正四面體木塊兩次，并記錄每次正四面體木塊朝下的面上的數(shù)字，記事件A為“第一次向下的數(shù)字為2或3”，事件B為“兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．事件A與事件B互斥C．事件A與事件B相互獨立 D．3．甲、乙兩所學(xué)校舉行了某次聯(lián)考，甲校成績的優(yōu)秀率為30%，乙校成績的優(yōu)秀率為35%，現(xiàn)將兩所學(xué)校的成績放到一起，已知甲校參加考試的人數(shù)占總數(shù)的40%，乙校參加考試的人數(shù)占總數(shù)的60%，現(xiàn)從中任取一個學(xué)生成績，則取到優(yōu)秀成績的概率為（

）A． B． C． D．4．某同學(xué)做立定投籃訓(xùn)練，共3組，每組投籃次數(shù)和命中的次數(shù)如下表：第一組第二組第三組合計投籃次數(shù)100200300600命中的次數(shù)68125176369命中的頻率根據(jù)表中的數(shù)據(jù)信息，用頻率估計一次投籃命中的概率，那么誤差較小的可能性的估計是（

）A． B． C． D．5．壇子中放有3個白球、2個黑球，從中不放回地取球2次，每次取1個球，用表示“第一次取得白球”，表示“第二次取得白球”，則和是（

）A．互斥的事件 B．相互獨立的事件C．對立的事件 D．不相互獨立的事件6．從裝有兩個紅球和兩個白球的口袋內(nèi)任取兩個球，那么互斥而不對立的事件是（）A．恰好有一個白球與都是紅球 B．至多有一個白球與都是紅球C．至多有一個白球與都是白球 D．至多有一個白球與至多一個紅球7．奧林匹克會旗中央有5個互相套連的圓環(huán)，顏色自左至右，上方依次為藍(lán)、黑、紅，下方依次為黃、綠，象征著五大洲．在手工課上，老師將這5個環(huán)分發(fā)給甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)制作，每人分得1個，則事件“甲分得紅色”與“乙分得紅色”是（）A．對立事件 B．不可能事件C．互斥但不對立事件 D．不是互斥事件8．某校為宣傳《中華人民共和國未成年人保護(hù)法》，特舉行《中華人民共和國未成年人保護(hù)法》知識競賽，規(guī)定兩人為一組，每一輪競賽中，小組兩人分別答兩題，若答對題數(shù)不少于3，則被稱為“優(yōu)秀小組”，已知甲、乙兩位同學(xué)組成一組，且同學(xué)甲和同學(xué)乙答對題的概率分別為，．若，，則在第一輪競賽中他們獲得“優(yōu)秀小組”的概率為（

）A． B． C． D．9．盒中有個質(zhì)地，形狀完全相同的小球，其中個紅球，個綠球，個黃球；現(xiàn)從盒中隨機(jī)取球，每次取個，不放回，直到取出紅球為止.則在此過程中沒有取到黃球的概率為.10．2021年神舟十二號、十三號載人飛船發(fā)射任務(wù)都取得圓滿成功，這意味著我國的科學(xué)技術(shù)和航天事業(yè)取得重大進(jìn)步．現(xiàn)有航天員甲、乙、丙三個人，進(jìn)入太空空間站后需要派出一人走出太空站外完成某項試驗任務(wù)，工作時間不超過10分鐘，如果10分鐘內(nèi)完成任務(wù)則試驗成功結(jié)束任務(wù)，10分鐘內(nèi)不能完成任務(wù)則撤回再派下一個人，每個人只派出一次．已知甲、乙、丙10分鐘內(nèi)試驗成功的概率分別為，，，每個人能否完成任務(wù)相互獨立，該項試驗任務(wù)按照甲、乙、丙順序派出，則試驗任務(wù)成功的概率為（

）A． B． C． D．11．由1，2，3，4，5組成的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，從中任意抽取一個，則其恰好為“前3個數(shù)字保持遞減，后3個數(shù)字保持遞增”（如五位數(shù)“43125”，前3個數(shù)字“431”保持遞減，后3個數(shù)字“125”保持遞增）的概率是（

）A． B． C． D．12．屈原是中國歷史上第一位偉大的愛國詩人，中國浪漫主義文學(xué)的奠基人，“楚辭”的創(chuàng)立者和代表作者，其主要作品有《離騷》《九歌》《九章》《天問》等.某校于2022年6月第一周舉辦“國學(xué)經(jīng)典誦讀”活動，計劃周一至周四誦讀屈原的上述四部作品，要求每天只誦讀一部作品，則周一不讀《天問》，周三不讀《離騷》的概率為（

）A． B． C． D．13．某校為落實“雙減”政策.在課后服務(wù)時間開展了豐富多彩的體育興趣小組活動，現(xiàn)有甲?乙?丙?丁四名同學(xué)擬參加籃球?足球?乒乓球?羽毛球四項活動，由于受個人精力和時間限制，每人只能等可能的選擇參加其中一項活動，則恰有兩人參加同一項活動的概率為（

）A． B． C． D．14．若隨機(jī)事件、互斥，、發(fā)生的概率均不等于0，且分別為，，則實數(shù)a的取值范圍為．15．在拋擲一顆骰子（一種正方體玩具，六個面分別標(biāo)有字樣）的試驗中，事件表示“不大于3的奇數(shù)點出現(xiàn)”，事件表示“小于4的點數(shù)出現(xiàn)”，則事件的概率為．16．（2020年天津市高考數(shù)學(xué)試題）已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為和．假定兩球是否落入盒子互不影響，則甲、乙兩球都落入盒子的概率為；甲、乙兩球至少有一個落入盒子的概率為．17．已知從某班學(xué)生中任選兩人參加農(nóng)場勞動，選中兩人都是男生的概率是，選中兩人都是女生的概率是，則選中兩人中恰有一人是女生的概率為．18．第24屆冬奧會于2022年2月4日至20日在北京和張家口舉行，中國郵政陸續(xù)發(fā)行了多款紀(jì)念郵票，其圖案包括“冬夢”“飛躍”“冰墩墩”"雪容融”等，小明現(xiàn)有“冬夢”"飛躍”“冰墩墩”"雪容融”郵票各2張，他打算從這8張郵票中任選3張贈送給同學(xué)小紅，則在選中的3張郵票中既有“冰墩墩”郵票又有“雪容融”郵票的概率為.19．（2023屆江西省聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題）魯洛克斯三角形是指分別以正三角形的頂點為圓心，以其邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形，如圖①.魯洛克斯三角形的特點是：在任何方向上都有相同的寬度，即能在距離等于其圓弧半徑（等于正三角形的邊長）的兩條平行線間自由轉(zhuǎn)動，并且始終保持與兩直線都接觸.由于這個性質(zhì)，機(jī)械加工中把鉆頭的橫截面做成魯洛克斯三角形的形狀，就能在零件上鉆出圓角正方形（視為正方形）的孔來.圖②是魯洛克斯三角形鉆頭（陰影部分）與它鉆出的圓角正方形孔洞的橫截面，現(xiàn)有一個質(zhì)點飛向圓角正方形孔洞，則其恰好被鉆頭遮擋住，沒有穿過孔洞的概率為.20．已知圓的半徑為2，在圓內(nèi)隨機(jī)取一點M，則過點M的所有弦的長度都大于的概率為.21．寒假即將來臨，小明和小強(qiáng)計劃去圖書館看書，約定上午8：00~8：30之間的任何一個時間在圖書館門口會合．兩人商量好提前到達(dá)圖書館的人最多等待對方10分鐘，如果對方10分鐘內(nèi)沒到，那么等待的人先進(jìn)去．則兩人能夠在圖書館門口會合的概率是．22．在上隨機(jī)地取一個數(shù)，則事件“直線與圓相交”發(fā)生的概率為．【能力提升】1．（2023屆上海市模擬數(shù)學(xué)試題）某個家庭中有若干個小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，設(shè)事件M：該家庭中有男孩、又有女孩，事件N：該家庭中最多有一個女孩，則下列說法正確的是．①若該家庭中有兩個小孩，則M與N互斥；

②若該家庭中有兩個小孩，則M與N不相互獨立；③若該家庭中有三個小孩，則M與N不互斥；

④若該家庭中有三個小孩，則M與N相互獨立．2．有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6．從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個球，A表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，B表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”．C表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，D表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則下列命題正確的序號有．①A與C互斥；②；③A與D相互獨立；④B與C相互獨立．3．我們通常所說的ABO血型系統(tǒng)是由A，B，O三個等位基因決定的，每個人的基因型由這三個等位基因中的任意兩個組合在一起構(gòu)成，且兩個等位基因分別來自父親和母親，其中AA，AO為A型血，BB，BO為B型血，AB為AB型血，OO為O型血.比如：父親和母親的基因型分別為AO，AB，則孩子的基因型等可能的出現(xiàn)AA，AB，AO，BO四種結(jié)果，已知小明的爺爺、奶奶和母親的血型均為AB型，不考慮基因突變，則小明是A型血的概率為（

）A． B． C． D．4．甲?乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲?乙各猜一個成語，已知甲每輪猜對的概率為，乙每輪猜對的概率為.在每輪活動中，甲和乙猜對與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響，則“星隊”在兩輪活動中猜對3個成語的概率為.5．（2023屆廣東省教學(xué)質(zhì)量檢測（一）數(shù)學(xué)試題）國家于2021年8月20日表決通過了關(guān)于修改人口與計劃生育法的決定，修改后的人口計生法規(guī)定，國家提倡適齡婚育?優(yōu)生優(yōu)育，一對夫妻可以生育三個子女，該政策被稱為三孩政策.某個家庭積極響應(yīng)該政策，一共生育了三個小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，記事件：該家庭既有男孩又有女孩；事件：該家庭最多有一個男孩；事件：該家庭