2024年初三中考第一次模擬考試試題：數學（山西卷）（全解全析）

2024年中考第一次模擬考試（山西卷）

數學?全解全析

第I卷

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合

題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）

1.的相反數是（）

O

A.8B.-8C.--D.-

88

【答案】D

【解析】解：-:的相反數是:，

OO

故選：D.

2.觀察下列圖案，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

【答案】B

【解析】解：第一個圖案是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此圖案不符合題意;

第二個圖案是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此圖案符合題意；

第三個圖案是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此圖案不符合題意；

第四個圖案不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此圖案不符合題意.

故選:B.

3.下列運算正確的是（）

326226

A.a*a=aB.（加）=tz/?

C.（a-b）2=/-廬D.（。+6）（-a-Z?）=a2-b2

【答案】B

【解析】解：故選項a錯誤，不符合題意;

（al42=//，故選項2正確，符合題意；

（a-b）2=G2-lab+b2,故選項C錯誤，不符合題意;

(a+b)(-a-b)—--2ab-b2,故選項。錯誤，不符合題意；

故選：B.

【點評】本題考查整式的混合運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵，注意完全平方公式的應用.

4.“白日不到處，青春恰自來.苔花如米小，也學牡丹開.”這是清朝袁枚所寫五言絕句《苔》，這首詠物詩啟

示我們身處逆境也要努力綻放自己,要和苔花一樣盡自己所能實現人生價值.苔花也被稱為“堅韌之花'.'袁

枚所寫的“苔花”很可能是苔類抱子體的苞蔭，某抱子體的苞蔭直徑約為0.0000084處將數據0.0000084

用科學記數法表示為8.4x10",則n的值是()

A.6B.-7C.-5D.-6

【答案】D

【解析】解：0.0000084=8.4x1(/6,

則,1=-6,故選：D.

5.如圖，是一個底部呈球形的蒸儲瓶，球的半徑為6。小瓶內液體的最大深度。=3c機，則截面圓中弦A

C.cirD.8cm

【答案】C

【解析】解：由題意得：0CJ_A2,

：.AC=BC=^AB,ZOCA=90°,

2

OA=OD—6cm,CD=3cm,

：.OC=OD-CD=6-3=3(cm),

在RtAOAC中，由勾股定理得：AC=yj°N2r必_§2=3a(cm),

：.AB=2AC=6->/3(cm).

截面圓中弦48的長為6yf3cm,

故選：C.

6.如圖，將質量為10像的鐵球放在不計重力的木板。8上的A處，木板左端。處可自由轉動，在8處用

力產豎直向上抬著木板，使其保持水平，已知OA的長為Im,OB的長為尤m,g取10N/kg,則歹關于

x的函數解析式為()

AA\B

%

A.B.C.卜圓D.

XXXX

【答案】A

【解析】解：取ION/彷，鐵球質量為10彷，

.".G=m^=10x10=100(N),

OA—Im,OB=xm,

.?.由杠桿平衡原理可得：FxOB=GxOA,即尸式=100、1,

???/關于x的函數解析式為

X

故選：A,

7.某市為了方便市民綠色出行，推出了共享單車服務.圖①是某品牌共享單車放在水平地面的實物圖，圖

②是其示意圖，其中AB,C。都與地面/平行,ZBC￡)=60°,ZBAC=54°.當/肱4。為()度時,

AM與CB平行.

E

靈￡

三

F

圖①圖②

A.16B.60C:.66D.114

【答案】C

【解析】解：CD都與地面/平行，

.'.AB//CD,

???ZBAC+ZACZ)=180°,

???ZBAC+ZACB+ZBCD=180°,

u：ZBCD=60°,ZBAC=54°,

I.ZACB=66°,

???當NM4C=NAC8=66。時，AM//CB,

故選：C.

8.已知反比例函數y二,，下列結論不正確的是（）

X

A.圖象經過點（-1,1）

B.圖象在第二、四象限

C.當x<0時，y隨著x的增大而增大

D.當尤>1時，y>-1

【答案】D

【解析】解：4（-1,1）代入y=_l,得：左邊=右邊，故本選項正確；

X

8、圖象在第二、四象限內，故本選項正確；

C、在每個象限內，y隨x的增大而增大，故本選項正確；

D、當x>l時，-l<y<0,故本選項不正確；

不正確的只有選項D.

故選：D.

9.如圖1是一座立交橋的示意圖（道路寬度忽略不計），A為入口，F,G為出口，其中直行道為AB,CG,

EF,且A8=CG=EF；彎道為以點。為圓心的一段弧，且所對的圓心角均為90。，甲、乙兩車由A口同

時駛入立交橋，均以12機/s的速度行駛，從不同出口駛出，其間兩車到點O的距離y（切）與時間x（s）

的對應關系如圖2所示，結合題目信息，下列說法錯誤的是（）

A

圖1圖2

A.甲車從G口出，乙車從尸口出

B.立交橋總長為252%

C.從F口出比從G口出多行駛72〃z

D.乙車在立交橋上共行駛16s

【答案】D

【解析】解：根據兩車運行時間，可知甲車從G口出，乙車從P口出，故A正確；

由圖象可知，兩車通過黃、而、立弧時每段所用時間均為3s,

通過直行道AB,CG,EP時，每段用時為4s.

所以立交橋總長為（3x3+4x3）xl2=252m,故3正確；

根據兩車運行路線，從廠口駛出比從G口多走向，血弧長之和，

用時為6s,則多走72處故C正確；

根據題意乙車行駛時間為：4x2+3x3=17秒，故。錯誤；

故選：D.

10.如圖，在平面直角坐標系中，將邊長為1的正六邊形0ABe繞點。順時針旋轉〃個45。，得到正六

邊形OAnBnCnDnEn,當”=2030時，正六邊形OA2030B2030C2030D2030S2030的頂點。2030的坐標是（）

【解析】解：由題意可知：正六邊形繞點。順時針旋轉一圈，旋轉了8個45。,

?當”=2030時，2030+8=253........6,.,.￡>2030的坐標與的坐標相同，

如圖所示：過點。6HLOE于點H,過點。作。/Ux軸于點R

?:/DEO=120°,DE=EO=1,

：.ZEDO=Z￡)OE=30°,

,：ZDFO=90°,

；./FDE=30°,

DF

.在RtADFE中，COS30°

DE

a

-DF=DEcos300七

DF

.在R30Z)尸中,sin60°

OD

DFr-

OD6=OD=VS'NEOD6=60°,

又ZD6Ho=90。，在RtAOH￡>6中，

OHHDfi

??.c°s60°=西，sin60°二西’

-,o

?*,0H=0Dgcos60°=^HD6=ODgXsin60節(jié)，

又??,點。6在第三象限，

...點。6的坐標為(氈■,工)，

<22J

故選：B.

第n卷

二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）

11?計算：(V3W2)(V3-V2)2=---------

【解析】解：原式=（V3+V2）x（V3-V2）x（V3-V2）

=（3-2）x（73-&）

=V3-V2.

故答案為：V3-V2-

12.化學中直鏈烷煌的名稱用“碳原子數+烷”來表示，當碳原子數為1?10時，依次用天干——甲、乙、丙、

丁、戊、己、庚、辛、壬、癸一表示，其中甲烷、乙烷、丙烷的分子結構式如圖所示，則庚烷分子結

構式中“反，的個數是.

HHHHH

H

—

—

I—I

cI

-C-HCH-Cc

—

—

I—I—C—H

I

HHHHH

①②③H

【解析】解：由圖可得，

甲烷分子結構式中’的個數是2+2x1=4；

乙烷分子結構式中“"’的個數是2+2x2=6；

丙烷分子結構式中“發(fā)'的個數是2+2x3=8；

，第7個庚烷分子結構式中“發(fā)，的個數是：2+2x7=16；

故答案為：16.

13.如圖，在AABC中，按以下步驟作圖：①以點A為圓心，適當長為半徑作弧，分別交A3,AC于點

N；②分別以點M,N為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點尸；③作射線4尸交BC于點

若A8：AC=2：3,AABD的面積為2,則AABC的面積為.

【解析】解：過點。作。于點E,作DFLAC于點尸,

A

E/M

D{~

由作圖可知，射線A尸為NA4C的平分線，

：.DE=DF,

???A"AC=2：3,s△幽卷AB?DE，SAACD^AODF，

.?SAABD：SAACD—2：3,

?..△ABD的面積為2,

△AC。的面積為3,

AABC的面積為SAABD+SAACD—2+3—5.

故答案為：5.

14.有甲、乙兩把不同的鎖和A、B,C三把不同的鑰匙.其中兩把鑰匙分別能打開這兩把鎖，第三把鑰匙

不能打開這兩把鎖.隨機取出一把鑰匙開甲鎖，恰好能打開的概率是.

【解析】解：因為三把鑰匙中只有1把能打開甲鎖，

所以隨機取出一把鑰匙開甲鎖，恰好能打開的概率是工.

3

故答案為：1.

15.如圖，在正方形A8CD中，AB=3近,M為對角線8。上任意一點（不與8、。重合），連接CM,過

點M作MALLCM,交線段A8于點N.連接NC交8。于點G.若BG：MB=3：8,貝ljNG?CG=

NB

【解析】解：如圖，把繞點C逆時針旋轉90。得到ABHC,連接GH,

D

A']V75

■:叢DMC經叢BHC,ZBCD=90°,

:?MC=HC,DM=BH,/CDM=/CBH=45。,/DCM=/BCH,

：.ZMBH=90°,/MCH=9。。,

*.?ZCMN=ZCBN=90°,

：.M,N、B、C四點共圓，

/./MCN=45。,

：.NNCH=45。，

在AMCG和△〃CG中，

MC=HC

,ZMCN=ZNCH，

CG=CG

:AMCG沿AHCG(SAS),

：.MG=HG,

'：BG：MB=3：8,

：.BG：MG=3：5,

設5G=3〃，則MG=G"=5〃，

在RtZkBG“中，BH=4a,則

,/正方形ABCD的邊長為3點,

：.BD=6,

：.DM-^-MG+BG=12〃=6,

,_1

??ci——,

2

：.BG=^,MG=—,

22

ZMGC=ZNGB,NMNG=NGBC=45°,

:.叢MGNs/\CGB,

?.?GC=MG一,

GBNG

，CGWG=BG?MG=E.

4

故答案為：

4

三、解答題（本大題共8個小題，共75分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

16.（10分）（1）計算：卜1|一（萬一2022）°+［g］-2tan45°

（2）下面是小明同學進行因式分解的過程，請認真閱讀并完成相應任務.

因式分解：（3a+6）2-（a+36）2

解：^=（9a2+6ab+b2）-（a2+6ab+9b2）第一步

=8a2-8b2第二步

=8（片-勾第三步

任務一：填空：①以上解題過程中，第一步進行整式乘法用到的是公式；

②第三步進行因式分解用到的方法是法.

任務二：同桌互查時，小明的同桌指出小明因式分解的結果是錯誤的，具體錯誤是

任務三：小組交流的過程中，大家發(fā)現這個題可以先用公式法進行因式分解，再繼續(xù)完成，請你寫出正確

的解答過程.

【解析】（1）解:原式=l—l+2—2xl=0.

（2）任務一：①以上解題過程中，第一步進行整式乘法用到的是完全平方公式；

②第三步進行因式分解用到的方法是提公因式法；

任務二：小明因式分解的結果不徹底，/一/還可以進行因式分解；

任務三：原式=［（3々+〃）+（a+3Z?）］［（3a+Z?）—（a+3Z?）］

=（4a+4b）（2a—2Z?）

=8（a+b）（a—b）

故答案為：任務一：①完全平方；②提公因式；任務二：因式分解不徹底（或〃2-抉還可以進行因式分解）；

任務三：8（〃+。）（"—》）.

17.（7分）解分式方程：1」-上當

x-44-x

【解析［解：:亙，

x-44-x

去分母得：x-4-3=3-x,

解得：尤=5,

經檢驗：尤=5是分式方程的解.

18.（9分）某校在課后服務中，成立了以下社團：A.計算機，B.圍棋，C.籃球，D.書法每人只能加入

一個社團，為了解學生參加社團的情況，從參加社團的學生中隨機抽取了部分學生進行調查，并將調查

結果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，其中圖1中。所占扇形的圓心角為150°.

請結合圖中所給信息解答下列問題：

（1）這次被調查的學生共有360人;

（2）請你將條形統(tǒng)計圖補充完整；

（3）若該校共有1800學生加入了社團，請你估計這1800名學生中有多少人參加了籃球社團；

（4）在書法社團活動中，由于甲、乙、丙、丁四人平時的表現優(yōu)秀，恰好四位同學中有兩名是男同學,

兩名是女同學.現決定從這四人中任選兩名參加全市書法大賽,用畫樹狀圖求恰好選中一男一女的概率.

【解析】解：（1）所占扇形的圓心角為150。，

這次被調查的學生共有：1500出=360（人）；

360

故答案為：360.

（2）C組人數為：360-120-30-150=60（人）,

故補充條形統(tǒng)計圖如下圖：

60

⑶1800X=300（人），

360

答：這1800名學生中有300人參加了籃球社團,

（4）設甲乙為男同學，丙丁為女同學，畫樹狀圖如下:

開始

甲乙

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

???一共有12種可能的情況，恰好選擇一男一女有8種,

.._8..2

?.PD(一男一女)-12~3

19.（8分）為了響應“足球進校園”的目標，某校計劃為學校足球隊購買一批足球，已知購買2個A品牌的

足球和3個B品牌的足球共需380元；購買4個A品牌的足球和2個B品牌的足球共需360元.

（1）求A,B兩種品牌的足球的單價.

（2）2023年學校購買足球的預算為6400元，總共購買100個球且購買A品牌足球的數量不多于B品牌

足球數量的2倍，有幾種購買方案.

【解析［解：（1）設A品牌的足球的單價為尤元/個，B品牌的足球的單價為y元/個,

2x+3y=380

根據題意得:

4x+2y=360

x=40

解得:

y=100

答：A品牌的足球的單價為40元/個，B品牌的足球的單價為100元/個.

a<2(100-a)

（2）設購買A品牌足球。個，則購買B品牌足球（100-a）個.則

40a+100(100-a)<6400,

可取60,61,62,63,64,65,66共7種購買方案.

答：有7種購買方案.

20.（8分）學科綜合

我們在物理學科中學過：光線從空氣射入水中會發(fā)生折射現象（如圖1）,我們把“=皇嗎-稱為折射率

sinP

（其中a代表入射角，P代表折射角）.

觀察實驗

為了觀察光線的折射現象，設計了圖2所示的實驗，即通過細管可以看見水底的物塊C,但不在細

管所在直線上，圖3是實驗的示意圖，四邊形A2FE為矩形，點A,C,B在同一直線上，測得8尸

=12cm,DF=16cm.

（1）求入射角a的度數.

（2）若BC=】cm,求光線從空氣射入水中的折射率n.（參考數據：sin53°-cos53°-

55

圖1圖2圖3

【解析】解：（1）如圖：過點D作DGLA8,垂足為G,

由題意得：四邊形DG3F是矩形，

DG=BF=12cm,BG=DF=16cm,

在RtAOGB中，tan/B￡)G=^=E=4

DG123

NBDG=53°,

：.ZPDH=ZBDG=53°,

入射角a的度數為53°；

(2)"：BG=l6cm,BC=1cm,

:.CG=BG-BC=9(cm),

在RtACDG中，DG=12cm,

?'-DC=VCG2+DG2=V92+122=15(CM),

由（1）得：/PDH=53。,

sinZPDH=sina?—,

5

￡

.?.折射率〃=叁喋=今=4，

sinB13

5

.?.光線從空氣射入水中的折射率n約為4.

3

21.（8分）閱讀與思考

下面是小宇同學寫的一篇數學小論文，請認真閱讀并完成相應的任務：

由一道習題引發(fā)的思考——“十字架模型”的拓展研究

在我們教材上，有這樣一道習題：如圖1,四邊形A8CO是一個正方形花園，E,尸是它的兩個門，要修

建兩條路BE和AF,且使得BE1AF,那么這兩條路等長嗎？為什么？

對于上面問題，我是這樣思考的：

:四邊形ABCD是正方形，：.AB=AD,ZBAE=ZADF=90°.

XVB￡±AF,/.ZBEA+ZDAF^ZDAF+ZAFD^90°

：.ZBEA=ZAFD,（依據*）

Rt^ABE=Rt^DAF,BE=AF.

有趣的是對于兩個端點分別在正方形ABC。一組對邊上的線段，若這樣的兩條線段互相垂直，是否這兩

條線段仍然相等呢？對此我們可以做進一步探究：

如圖2,在正方形ABC。中，若點M、N、P、。分別是A3、CD、BC、AD上的任意四點，＞MN±PQ,

垂足為。，則MN仍然與P0相等.理由如下：

過點M作ME_LC。，垂足為E,過點P作PF_LAD,垂足為尸.則容易證明四邊形和48Pp均為

矩形，

：.ME=AD,PF=AB.,：AB=AD,：.ME=PF

在四邊形QOND中，*.?ZNOQ=ZD=90°,

任務：根據上面小論文的分析過程，解答下列問題:

(1)畫橫線部分的“依據*”是在等式兩邊同時加上(或減去)同一個數或同一個式子，等式仍成立.

(2)在小論文的分析過程，主要運用的數學思想有：AC.(從下面選項中填出兩項).

A.轉化思想

B.方程思想

C.由特殊到一般的思想

D.函數思想

(3)請根據小論文提供的思路，補全圖2剩余的證明過程.

圖1

【解析】解：(1)在等式兩邊同時加上(或減去)同一個數或同一個式子，等式仍成立;

(2)由正方形中的頂點A和頂點B轉變成為點M和點N,所以是由特殊到一般的轉化思想,

所以AC正確.

故選為：AC.

(3)證明：過點M作垂足為E,過點P作尸垂足為凡

則容易證明四邊形AMED和ABPF均為矩形,

；.ME=AD,PF=AB,

\'AB=AD,

：.ME=PF

在四邊形QOND中,

ZNOQ=ZD=90°,NNOQ+ND+/OQD+/OND=360°,

：.ZOQD+ZOND=180°,

,/ZFQP+ZOQD=180°,

NFQP=/OND=/MNE,

VZFQP+ZQPF=90°,ZMNE+ZNME=90°,

：.ZQPF=ZNME,

,/ZQPF=ZNME,ME=PF,NPFQ=/MEN=90。,

:.AMNE咨APQF(SAS),

：.MN=PQ.

22.(12分)綜合與實踐：

數學模型可以用來解決一類問題，是數學應用的基本途徑.通過探究圖形的變化規(guī)律，再結合其他數學

知識的內在聯系，最終可以獲得寶貴的數學經驗，并將其運用到更廣闊的數學天地.

(1)發(fā)現問題：如圖1,在AABC和AAEF中，AB=AC,AE=AF,ZBAC=ZEAF=30°,連接BE,C

F,延長BE交CF于點D.則BE與CF的數量關系：BE=CF,ZBDC=30°；

(2)類比探究：如圖2,在AABC和AAEF中，AB^AC,AE^AF,ZBAC^ZEAF^120°,連接BE,C

F,延長BE,FC交于點。.請猜想BE與CF的數量關系及/BOC的度數，并說明理由；

(3)拓展延伸：如圖3,AABC和AAEB均為等腰直角三角形，ZBAC=ZEAF^90°,連接BE,CF,

且點8,E,尸在一條直線上，過點4作4加，8F，垂足為點M.則2/，CF,AM之間的數量關系：B

F=CF+2AM；

(4)實踐應用：正方形ABC。中，48=2,若平面內存在點P滿足NBPO=90。，PD=1,則SAABP=

備用圖

理由如下：如圖1所示：

,/△ABC和AAOE都是等腰三角形,

：.AB=AC,AE=AF,

又：ZBAC=ZEAF=30°,

AAABE^AACF(SAS),

:.BE=CF,

???ZABE=ZACD,

ZAOE=/ABE+NBAC,

ZAOE=NACD+N3QC,

圖1

(2)BE=CF,ZBDC=60°,

理由如下：如圖2所示：

證明：*：ZBAC=ZEAF=120°,

：.ZBAC-ZEAC=ZEAF-ZEAC,

即NAMMNCAR

又AABC和AAEF都是等腰三角形,

：.AB=AC,AE=AF9

：.ABAEVACAF(SAS)

：.BE=CF,

：./AEB=ZAFC,

VZEAF=120°,AE=AFf

：.ZAEF=ZAFE=30°,

：.ZBDC=ZBEF-ZEFD=NAEB+30。-(ZAFC-30°)=60。；

理由如下：如圖3所示:

,/AABC和跖都是等腰三角形,

：.ZCAB=ZEAF=90°,AB=AC,AE=AF,

：.ACAB-ZCAE=ZFAE-ACAE,

即：NBAE=NCAF,

：.ABAE^ACAE(5AS),

：?BE=CF,

*：AM±BFfAE=AFfZEAF=90°,

：.EF=2AMf

?：BF=BE+EF,

：.BF=CF+2AM；

(4))如圖4所示：

連接班)，以為直徑作圓，

f

由題意，取滿足條件的點P,P,則尸0=PO=LZBPD=ZBPD=90°9

:.BD=2近,

?*-BP=VBD2-PD2=V(2>/2)2-12=*，

連接以，作于點R在8P上截取8E=PD

ZPDA^ABE,AD^AB,

：.(SAS),

：.AP=AE,ZBAE=ZDAP