復(fù)變函數(shù)期末考試復(fù)習(xí)題及答案詳解

《復(fù)變函數(shù)》考試試題（一）三.計(jì)算題（40分）:

1

/（Z）二________________

1、|-zl=l{z—z}n-----------（w為自然數(shù)）

zoL設(shè)（z-l）（z-2）,求/⑶在。二仁：°七1<1}

sin2z+cos2z=

2..內(nèi)的羅朗展式.

3.函數(shù)sinz的周期為.dz.

Izl=lCOSZ

2.

4.設(shè)Z2+1,則/（Z）的孤立奇點(diǎn)有,設(shè)“z曰儂士X其中C={z：lzl=3},試求/'（l+z）

3.

z—1

5.哥級數(shù)分nzn的收斂半徑為.w二----

4.求復(fù)數(shù)Z+1的實(shí)部與虛部.

6.若函數(shù)f（z）在整個(gè)平面上處處解析，則稱它是.四.證明題.（20分）

1,函數(shù)/⑵在區(qū)域。內(nèi)解析.證明：如果在。內(nèi)為常數(shù),

z+z+…+z

limz=[lim—i--------3------------------

幾

7.71—>00"貝（|n->oo

那么它在"內(nèi)為常數(shù).

Res（—,0）=

2.試證：/（z）=Jz（l—Z）在割去線段OWRezW1的z平面內(nèi)能分出兩

8.Z",其中n為自然數(shù).

sinz個(gè)單值解析分支，并求出支割線OWRezWl上岸取正值的那支在z=-l

9..的孤立奇點(diǎn)為.的值.

《復(fù)變函數(shù)》考試試題（二）

二.填空題.（20分）

zf（z）M（z）=

io.若。是的極點(diǎn)，貝嚴(yán)-%

1,設(shè)z=T,貝Jzl=—,argz=—W=—1.求函數(shù)sm（2z3）的幕級數(shù)展開式.

2.設(shè)f(z)=(%2+2xy)+z(l-sin(x2+y2),V^=x+iyeC，則2.在復(fù)平面上取上半虛軸作割線.試在所得的區(qū)域內(nèi)取定函數(shù)或在正

實(shí)軸取正實(shí)值的一個(gè)解析分支，并求它在上半虛軸左沿的點(diǎn)及右沿的點(diǎn)

1『（Z）曲.

zfl+i工二?處的值.

jdz_

3-i^i=i（Z-Z>"-----------.（〃為自然數(shù)）

oo3.計(jì)算積分：,=「?z?dz,積分路徑為（1）單位圓Jz1=1）

-i

4.累級數(shù)》"Z"的收斂半徑為.的右半圓.

〃=0

Lsinz」

b------------dz

5.若％是段）的山階零點(diǎn)且機(jī)>0，則q是/'（Z）的零點(diǎn).揭仁-"

4.求2

6.函數(shù)次的周期為.

四.證明題.（20分）

7.方程2z5-Z3+3z+8=o在單位圓內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_____.

1.設(shè)函數(shù)/（Z）在區(qū)域。內(nèi)解析，試證：/（z）在。內(nèi)為常數(shù)的充要條件是了㈤

8.設(shè)/（Z）=」一，則/（Z）的孤立奇點(diǎn)有.

在。內(nèi)解析.

2.試用儒歇定理證明代數(shù)基本定理.

9.函數(shù)/（Z）=lzl的不解析點(diǎn)之集為.

《復(fù)變函數(shù)》考試試題（三）

填空題.（20分）

10Res（匚Ll）=—

1.設(shè)/（Z）=」：，則f（z）的定義域?yàn)開________.

4

-zZ2+1

三.計(jì)算題.（40分）2.函數(shù)ez的周期為.

2

.r\1

3.若Z=~——+z(l+_)?,則limz=.+oonl

n1—nrinZn

An—>oo2.試求幕級數(shù)*—的收斂半徑.

幾〃

4.sin2z+cos2z=.n=

Idz_

j"dz?|=i

5

-lz-zol=l(z-z。)"---------?(〃為自然數(shù))3.算下列積分：CZ2（Z2—9），其中是

6.哥級數(shù)不nxn的收斂半徑為.

4.求Z9―2^6+Z2_82_2=0在,〈］內(nèi)根的個(gè)數(shù).

f⑶=1四.證明題.（20分）

7.設(shè)''，，則f（力的孤立奇點(diǎn)有1,函數(shù)/'⑵在區(qū)域。內(nèi)解析.證明：如果"⑵I在。內(nèi)為常

8.設(shè)ez=-1,則2=——.數(shù)，那么它在°內(nèi)為常數(shù).

2.設(shè)/（［）是一整函數(shù)，并且假定存在著一個(gè)正整數(shù)n,以及兩個(gè)正數(shù)

9.若“0是/（2）的極點(diǎn)，則“m/（z）=

R及M,使得當(dāng)時(shí)

10Res（±,0）=—

\<M\z\n

'zn"(z)

三.計(jì)算題.（40分）證明f（Z）是一個(gè)至多n次的多項(xiàng)式或一常數(shù)。

1

1.將函數(shù)/（Z）=Z2Cz在圓環(huán)域。＜何＜8內(nèi)展為Laurent級數(shù).

《復(fù)變函數(shù)》考試試題（四）

3

二.填空題.（20分）

1?設(shè)1二1，則Rez=—,Imz=—

2.設(shè)/（z）=---，求Res（/（z）,<?）.

Z2-1

1zdz.

2.若limz=自，則lim4*%+….J.

nH

n—>con—>oo3,lzl=2（9-Z2）（z+i）

3.函數(shù)式的周期為.

4.函數(shù)/（Z）=的累級數(shù)展開式為___________1_1

4.函數(shù)/（z）=ez-lZ有哪些奇點(diǎn)？各屬何類型（若是極點(diǎn)，指明它

5.若函數(shù)/U）在復(fù)平面上處處解析，則稱它是.

6,若函數(shù)/（z）在區(qū)域。內(nèi)除去有限個(gè)極點(diǎn)之外處處解析，則稱它是。內(nèi)的階數(shù)）.

的.四.證明題.（20分）

1.證明：若函數(shù)/（Z）在上半平面解析，則函數(shù)「（?）在下半平面解

7.設(shè)d則?（z-1）也=一

C析.

sinz

2.證明Z4—6z+3=0方程在1<1Z1<2內(nèi)僅有3個(gè)根.

8..的孤立奇點(diǎn)為.

9,若%是/（2）的極點(diǎn)，則“m/（z）=----.

《復(fù)變函數(shù)》考試試題（五）

二.填空題.（20分）

三.計(jì)算題.（40分）1.設(shè)z=l_W則lzl=—，argz=_*=_

1.解方程理+1=0

4

2.當(dāng)2=——時(shí)，ez為實(shí)數(shù).Z-1

1.求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部.

3.設(shè)心二—1,則2=__.z+］

2.計(jì)算積分:

4.ez的周期為_.

5設(shè)C:lz1=1則J（z-l）dz=---Rezdz

L

C在這里乙表示連接原點(diǎn)到1+i的直射.

Gz—12兀

6Res（,0）=—

z3.求積分：1=oi—2acos9+〃2'其中

7.若函數(shù)八z）在區(qū)域。內(nèi)除去有限個(gè)極點(diǎn)之外處處解析，則稱它是。內(nèi)4.應(yīng)用儒歇定理求方程％=中（％）,在團(tuán)＜1內(nèi)根的個(gè)數(shù)，在這里

的。

8.函數(shù)/（Z）=二」的幕級數(shù)展開式為______.平（z）在上解析，并且卜

sinz四.證明題.（20分）

9..的孤立奇點(diǎn)為.1.證明函數(shù)"z）Tz12除去在z二°外，處處不可微

1,2.設(shè)/（Z）是一整函數(shù)，并且假定存在著一個(gè)正整數(shù)m以及兩個(gè)數(shù)R

10.設(shè)C是以為a心，r為半徑的圓周，則」。丘77^7——?

及M,使得當(dāng)?"&時(shí)

（n為自然數(shù)）"(z)\<M\z\n

三.計(jì)算題.（40分）

5

證明:/（Z）是一個(gè)至多n次的多項(xiàng)式或一常數(shù).

10.公式etx=cosx+zsinx稱為.

二、計(jì)算題（30分）

《復(fù)變函數(shù)》考試試題（六）

1.

一、填空題（20分）

1,若z=^―+z（l+-）",則limz=__________.2、設(shè)/（z）=j認(rèn)；+"+。九,其中C=』：|W=3},試求/'（1+i）.

c人一Z

〃1-nnn

2.設(shè)/（Z）=^-，則/⑵的定義域?yàn)?/p>

Z2+13、設(shè)/心）=-^二，求Res（7（z）,i）.

二+1

3.函數(shù)sinz的周期為.

sin73

4、求函數(shù)一^―在。＜同＜8內(nèi)的羅朗展式.

4.sin2z+cos2z=.

z—1

5、求復(fù)數(shù)w=—7的實(shí)部與虛部.

5.幕級數(shù)*雙"的收斂半徑為.Z+1

〃=0H.

6、求〃3’的值.

6.若Z是/（Z）的機(jī)階零點(diǎn)且7〃＞1,則Z是/'（Z）的零

00三、證明題（20分）

點(diǎn).

1、方程Z7+9Z6+6空-1=0在單位圓內(nèi)的根的個(gè)數(shù)為6.

7.若函數(shù)/（Z）在整個(gè)復(fù)平面處處解析，則稱它是____________.

2、若函數(shù)/仁）=〃（羽?。?詁（%了）在區(qū)域如內(nèi)解析,v（x,y）等于常數(shù),

8.函數(shù)/（Z）=|Z|的不解析點(diǎn)之集為.

則/（z）在。恒等于常數(shù).

9.方程225-23+37+8=0在單位圓內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_________.

6

試卷一至十四參考答案

1

3、若Z。是/⑶的加階零點(diǎn)，則Z是的機(jī)階極點(diǎn).

。/⑵

《復(fù)變函數(shù)》考試試題（一）參考答案

二.填空題

2Kin=l

1.＜c,；2.1；3.2kn,（kez）；4.Z=+i-5.

0nwl

6.計(jì)算下列積分.（8分）

1

rZ2-2

(2)J--------dz.

(3)1

14Z2Z-6.整函數(shù)；7.&；8.—；9.0；

（〃T）!

10.8.

7.計(jì)算積分1711小6.（6分）

o5+3cosU三.計(jì)算題.

8.求下列累級數(shù)的收斂半徑.（6分）

1.解因?yàn)?＜月＜1,所以。＜同〈1

?(n!)2

(1)X(li)?.

+nZ⑵乙------.

nn1

n=ln=l

-7

(Z-1)(Z-2)T^72(1-1)

9.設(shè)/（1）=〃少3+〃%2）；+?3+/孫2）為復(fù)平面上的解析函數(shù)，試確定/,

m,n的值.（6分）2.解因?yàn)?/p>

三、證明題.

n

Z+—]

1.設(shè)函數(shù)〃z）在區(qū)域。內(nèi)解析，773在區(qū)域。內(nèi)也解析，證明/（z）必

Resf(z)=lim----=lim------二-1,

工工coszt-sinz

為常數(shù).（5分）Z=ZfcZ->-

2.試證明遼z+a7+b=0的軌跡是一直線，其中。為復(fù)常數(shù)，b為實(shí)常

數(shù).（5分）

7

71令/(z)=a+，v,則|〃z)|2=K2+V2=。2

z——1

Res/(z)=lim-----=lim-------=1.

工工cosza一sinzUU+VV=0(1)

z=_2zf—2z>2兩邊分別對羽y求偏導(dǎo)數(shù)，得"1八0、

uu+vv=0(2)

Iyy

所以〕—-dz=2nz(Re5/(z)+Re5/(z)=0.

IL工

LL2COSz因?yàn)楹瘮?shù)在。內(nèi)解析，所以“=□,"=-？x.代入(2)則上述方程組變

z-2Z~2xyy

為

3.解令(p(>)=3入2+7入+1,則它在z平面解析，由柯西公式有在|z|<3

uu+vv=0

內(nèi)，＜工x消去a得3+”2)V=0.

vu—uv=0%%

/(z)=J萼%=2兀即(2).

。人一Z

1)若t/2+v2=0,則/(z)=0為常數(shù).

所以「(l+i)=27ii(p'(z)|=271J(13+6Z)=2K(-6+13Z).

z=l+i

2)若v=0,由方程⑴⑵及C—R方程有a=0,"=0,

4.解令2=。+初，則xxy

v=0.

y

Z-1224+i-bi)2^1)b2

W=-----=11-=----=1■=--------------T1—=-------------=1=-----------.

z+1z+1(a+I)+bQ+21)+>&+2I)，)所以"=C,V=C.(C,C為常數(shù)).

1212

,,口八―1、12(?+l)/ZT、2b所以/(z)=c+ic為常數(shù).

故Re(-----)=1----------------,Im(------)=--------------12

z+1(a+l)2+Z;25\+r(a+l)2+Z;2

2.證明/(z)=Jz(l—z)的支點(diǎn)為z=0」.于是割去線段OWRezWl的

四.證明題.

Z平面內(nèi)變點(diǎn)就不可能單繞0或1轉(zhuǎn)一周，故能分出兩個(gè)單值解析分支.

1.證明設(shè)在。內(nèi)|/(z)|=C.

由于當(dāng)Z從支割線上岸一點(diǎn)出發(fā)，連續(xù)變動(dòng)到Z=0,l時(shí)，只有z的幅角

8

增加兀.所以LL.tLEZxlL

則/(z)=6=a‘2,(左=0,1).

I71

/(z)=yjz(l-z)的幅角共增加-.由已知所取分支在支割線上岸取正值,

又因?yàn)樵谡龑?shí)軸去正實(shí)值，所以k=0.

Y兀

于是可認(rèn)為該分支在上岸之幅角為0,因而此分支在Z=-l的幅角為所以/?)=￡.

c兀C兀

故/(-1)=加，=".3.單位圓的右半圓周為Z=",--<0<_.

所以J'|z口z=?"=例；=2z.

-i--

22

《復(fù)變函數(shù)》考試試題(二)參考答案4.解

smz,

二.填空題廢=27iz(sinz)'K=211ZCOSZ兀

=2(z--)2-z=一

n..[2nzn=l22=o.

1.L---,i；2.3+(1-sin2)z；3.S；4.1；

2[0四.證明題.

1.證明(必要性)令〃z)=c+ic，則/(z)=c-ic,(c9c為實(shí)常數(shù)).

5.m-1.121212

令〃(x,y)=c,u(x,y)=-c.貝=v=u=v=0.

6.2kni,(kez).7.0；8.±i；9.R；12xyyx

即滿足C.—R,且a,v,u,v連續(xù)，故/(z)在。內(nèi)解析.

xyyx

10.0.

(充分性)令/(z)=a+iv,則/(z)=u-iv,

三.計(jì)算題

因?yàn)?(z)與7r面在。內(nèi)解析，所以

L解2)工苦手工先中U-V.Z4=-V,且K=(-v)=-v,U=-(-V)=-V.

xyyxxyyyxx

n=0n=0比較等式兩邊得W=v=u=v=0：從而在。內(nèi)均為常數(shù)，故

“yyx

/(z)在。內(nèi)為常數(shù).

2,解令2=%舊.

2,即要證任一n次方程aZ?+tzz?-i+???+az+a=0(a/0)

01n-1n0

9

有且只有〃個(gè)根

22.解linU?-=lin\(n+1冰iIUIJ(+e.)

m-?-----------

證明令/(Z)=。Z〃+4Z〃T+???+。Z+〃=0,取

01n-1nn—>ooCn—?oonn(n+1)n—>co〃nsn

1n+11

所以收斂半徑為e.

7?-——^1,1>,當(dāng)z在。：z=H上時(shí)，有

Q1

k1o1J3.解令/⑶二三』，則R：；/（Z）=/

|cp(z)|<|tz\Rn-i4——卜|R+|Q|<(|Q]H——卜\a|)7?n-i<\a\Rn,9

z=。

2兀i

=|/(z)|.故原式=2兀z,Res/（z）=-=-.

z=o9

由儒歇定理知在圓\z\＜R內(nèi)，方程發(fā)，+1……+%z+a,=O與

4.解令/（z）=zs-2z6+Z2-2,（p（z）=—8z.

4Z"=0有相

0則在C：目=1上/（Z）與＜P（Z）均解析，且|「（2）|?6＜卜（2）|=8,故

同個(gè)數(shù)的根.而在同＜尺內(nèi)有一個(gè)〃重根.因止匕〃

azn=0z=0由儒歇定理有

次方程在閆＜尺內(nèi)有〃個(gè)根.N（/+（p,C）=N（盧p,6）.即在崗＜1內(nèi)，方程只有一個(gè)根.

四.證明題.

《復(fù)變函數(shù)》考試試題(三)參考答案1.證明證明設(shè)在。內(nèi)|/（z）|=C

二.善空題.令令（z）="+iv,則|〃z）F="2+V2=。2.

1.U|z*±z,JELzeCJ；2.2kni(左cZ)；3.-1+ei；4.1;5.

UU+VV=0（1）

2Kin—\兩邊分別對羽y求偏導(dǎo)數(shù)，得\二%八0、

uu+vv=0（2）

[0n^VIyy

6.1;7.±i;8.z=(2k+W；9.8；

因?yàn)楹瘮?shù)在。內(nèi)解析，所以瓦=□,〃=-v.代入（2）則上述方程組變

1