山東省威海市2022-2023學年高二年級下冊期末數學試題（解析版）

山東省威海市2022-2023學年高二下學期期末數學試題

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時，選出每小題（答案』后，用鉛筆把答題卡上對應題目的k答案』標號

涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他K答案》標號.回答非選擇題時，將K答案』

寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知集合A={xly=log2（x2-X-2）},則@A）N=（）

A.{-1,0,1,2}B.{-1,1,2}

C.{0,1,2}D.{1,2}

K答案UC

K解析U由——+

解得X<—1或%>2,所以A=（—co,—l）u（2,+co）,

所以4A=[-l,2],所以@A）IN={0,1,2}.

故選：C

2.若隨機變量X5（〃,p）,且E（X）=6,O（X）=5,則0的值為（）

11i5

A.—B.—C.-D.一

6326

（答案XA

K解析X因為￡（X）=〃p=6,D（X）=np（l-p）=5,所以1—p=W，解得p=；.

66

故選：A.

3.某雜交水稻種植研究所調查某水稻的株高，得出株高X（單位：。加）服從正態(tài)分布,

(X—110)2

1-200-

其概率分布密度函數為/（%）=%￡(-00,+8),若尸(X>130)=〃，則

10后

P(90<X<110)=()

1

A.PB.——p

2

C.1-2PD.2p

K答案1B

K解析工依題意得，該正態(tài)曲線的對稱軸是x=110,根據正態(tài)曲線的對稱性,

故尸(90<X<110)=尸(110<X<130)=g-尸(X>130)=g—p.

故選：B

2

4.函數y(x)=)Y-xY+3J在區(qū)間(o,+1的最小值為()

X

A.2A/2B.2A/3

C.2-72-1D.2^-1

［答案』D

(2x-V)x-^x2

K解析X/(%)=

所以/(x)在區(qū)間(0,⑹J'(x)<O,〃x)遞減,

在區(qū)間(6+oo}/'(x)>0J(x)遞增,

3—6+3^=2^-1.

v3

故選：D

5.某新能源汽車企業(yè)基于領先技術的支持，從某年起改進并生產新車型，設改進后該企業(yè)

第X年的生產利潤為y(單位：億元)，現(xiàn)統(tǒng)計前7年的數據為(1,%),(2,%),L,(7,%),

7

根據該組數據可得＞關于％的回歸直線方程為y=0.5x+“，且工％=30」，預測改進后該

i=l

企業(yè)第8年的生產利潤為(

A.10.8億元B.1。3億元

C.6.8億元D.6.3億元

［答案XD

1+2+3+4+5+6+730.1

K解析Ux==4,y=4.3,

7

所以4.3=0.5x4+a,a=2.3，所以￡=0.5x+2.3，

當x=8時，y=0.5x8+2.3=6.3億元.故選：D

6.從正六邊形的六個頂點中任取三個頂點，則這三個頂點可以構成直角三角形的概率為

()

K答案』C

K解析》如圖，在六個頂點中任取三個頂點，有ABC,ABD,ABE,ABF,ACD,ACE,

ACF,ADE,ADF,AEF,BCD,BCE,BCF,BDE,BDF,BEF,CDE,CDF,CEF,DEF,

共20種情況，

因為在正六邊形中，過中心的對角線所對的角為直角，

所以有ABD,ACD,ADF,ADE,ABE,BEF,BDE,BCE,ACF,BCF,CEF,CDF,

123

共12種情況，故所求概率P=—=—.

205

故選：C.

7.已知函數AM及其導函數/,（%）的定義域均為R,則“一（X）為奇函數”是“/'（x）為偶函數”

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

K答案XA

K解析》當/（X）為奇函數時，則“X）與/（X）的定義域關于原點對稱，且/（-x）=-/（x）,

兩邊同時求導，即（/（T））'=（-/（X））',

得—r（—x）=-/'（幻，即/‘（—x）=r（x）,所以/（X）為偶函數；

反之，當/'（X）為偶函數時，取/。）=爐+1,

則尸（x）=%2,顯然滿足條件，但"X）顯然不是奇函數，

所以“了⑺為奇函數”是“/（X）為偶函數”的充分不必要條件.

故選：A.

8.已知函數/（%）=3叫^a=/（log52）,6=c=/（log2510）,貝|（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<c<aD.b<a<c

K答案》A

MO^O=log5l<log52=log5^<log5^=|,

由于lg；=|-Ig4|=lg4,Ig4=lgjl%>lgji6=g,

lg4=lg^/64<lg^/100=j,所以;vlg4<g,

log2510=log25^>log25^625=|,

所以0<k>g52<lg4<k?g2510,

因為函數/(x)=3E在(0,+”)上為增函數，

則/(logs2)</(lg4)<log2510,

所以/(Iog52)</(lg：)<log2510.

故選：A

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分.

9.下列求導運算正確的是()

A.(cosxY-sinxB.(tanx)=--；—

')cos'x

C.(2向，=(了+1)2，D.(e2Ty=2e2x

［答案』BD

K解析HA選項，(cosx)=-sinx,A錯誤；

22

R徘前l(fā)tc,nv\sinx^j_(sinx)-cosx-sinx-(cosx)_cosx+sinx_1

\7VCOSXJcos2Xcos2xcos2x

B正確；

C選項，(2")=2*.ln2,C錯誤；

D選項，付)'=e2，.(2x)'=2e?"D正確.

故選：BD

10.在12/-的展開式中()

A.常數項為60B.各項二項式系數的和為32

C.各項系數的和為1D.各項系數的絕對值之和為729

K答案』ACD

K解析L)的展開式通項為心=《?(2必產］—口=C/26￡(一球.”3,

其中壯{0,1,2,3,4,5,6},

對于A選項，令12-34=0,可得太=4,則展開式中的常數項為c>22.（7）4=60,A對;

對于B選項，各項二項式系數的和為26=64，B錯；

對于C選項，各項系數的和為（2-1）6=1,C對；

對于D選項，令x=-1,則TM=C/愛t>o,

因此，各項系數的絕對值之和為（2+1）6=729,D對.

故選：ACD.

11.已知實數加，〃滿足加>〃>1,則（）

m+1m

A.----<—B.2m-2n<3n-T

n+1n

C.Inm>1--D.mlnn>n]nm

n

K答案1AC

K解析U依題意，m>n>L

m+1mn-mm+1m

A選項,-------------=-----------<一,A選項正確.

n+1n+n

B選項，函數y=2、+3”在R上單調遞增,

所以2根+3加>2〃+3〃,2m—2〃>3〃—3―B選項錯誤.

C選項，設/(%)=111%+工一1(%21),/(1)=0,

x

11X―]

/'(x)=----y=——3-,所以/(無)在區(qū)間(1,+8)上r(x)〉。,

XXX

)(X)遞增,所以當尤>1時,/(%)>/(1),

即Inx~\----1>0,In%>1—,

xx

所以In相>1—■-,由于函數y=l-工在(1,+8)上單調遞增，

mx

所以1---〉1---，則ln/n>l—,所以C選項正確.

mn幾

D選項，當根=4,〃=2時，mlnn=41n2=lnl6,nlnm=21n4=lnl6,

mlnn=nlnmf所以D選項錯誤.

故選：AC

12.已知函數=（左￡Z）,則（）

A.存在k,使/(x)不存在極小值

B.當左＜0時，f(x)在區(qū)間(―雙。)單調遞減

c.當左＞o時，/a)在區(qū)間(o,+“)單調遞增

D.當左＞0時，關于x的方程/(%)=〃a實數根的個數不超過4

K答案XACD

K解析》對于選項A：當左=0時，則/(x)=e，'x°=e*(xwo),

可知在(《,0),(0,”)上單調遞增，所以了(力不存在極小值，故A正確;

因為/(%)=eV+依"I=eV-1(x+左)，

對于選項B：若左為負偶數，則左—1為奇數，

因為尤＜0,則e*＞0,兀1＜0,x+左＜0,可得/'(x)=e""i(x+左)＞0,

所以/⑺在區(qū)間(—應0)單調遞增，故B錯誤；

對于選項C：當左＞0時，則左一120,

因為x＞0,則e、＞0,/T＞0,x+左＞0,可得/'(%)=爐兀"|(%+左)＞0,

所以了⑴在區(qū)間(0,+”)單調遞增，故C正確；

對于選項D：因為/(x)=e'x*=爾，則有：

當x=0時，則0=0,即x=0為方程/(%)=〃a實數根；

當x力0時，則可得—"2=0，

令g(x)=e"'T-m,則g'(x)=e*x"i+(左—l)e"x"2=exxk~2(x+左—1),

令g'(x)=0,解得x=0或x=l—左，

即g'(x)至多有2個零點，則g(x)至多有三個單調區(qū)間，

故y=g(%)至多有三個零點，即/(%)=〃a實數根至多有三個根；

綜上所述：當左＞0時，關于％的方程/。)=蛆實數根的個數不超過4.

故［答案X為：ACD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知函數fO)=(x-l)2+分是偶函數，則實數。=.

K答案U2

K解析X/(%)=(x-I)2+ax=x2+(a-2)x+1,

由題意該二次函數是偶函數，則對稱軸為y軸，

/7—2

即對稱軸方程x=-----=0,解得。=2.

2

故(答案』為：2

14.有甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排合影留念，若甲和乙相鄰，則不同的排法共有

種(用數字作答).

K答案』48

K解析》依題意，不同的排法有A；A：=48種.

故［［答案》為：48

15.寫出曲線y=(2x+l)e"過坐標原點的一條切線方程.

［答案』丁=44或丁=1》(任寫一個即可)

e

K解析Hy=(2x+3)d,設切點為“,⑵+l)e),

故切線方程為y-(2t+l)e'=⑵+3)?e'(xT),

由于切線過原點,故0-⑵+l)e'=⑵+3>e'(O-1),

整理得2/+”1=(/+1)⑵—1)=0,解得/=—1或”;.

當/=一1時，切線方程為y+(x+1),即丫=！》.

e

當/=g時，切線方程為y—2e5=4,即y=4五x.

故［答案X為：y=4j嬴或y=(任寫一個即可)

e

16.已知函數〃%),g(x)的定義域均為R,/(%)為奇函數，g(x+D為偶函數，/(—1)=2,

2023

g(x+2)-/(x)=l,貝|］口。)=.

Z=1

K答案U2023

k解析U因為g(x+l)為偶函數，則g(x+l)=g(—x+l),

又因為g(x+2)-〃x)=l,則g(x+l)=/(x-l)+l,g(-%+l)=/(-x-l)+l,

即/(x-l)+l=f{-x-1)+1,可得f(x—1)=/(-x-1),

因為/(X)為奇函數，貝U/(X)=-/(X),且/(。)=0,

可得f(xT)=-/(x+l),即y(x+l)=_/(xT),則/(x+2)=-/(x),

nJW/(^+4)=-/(x+2)=-［-/(%)］=/(x),

所以函數人元)是以4為周期的周期函數，

由〃x+2)=—/(x),可得/(x+2)+/(x)=0,/(x+3)+/(x+l)=0,

則/XT+z■⑴=0，

即/~(x)+/'(x+l)+/(x+2)+/(x+3)=0,

202320232023

所以Xg?)=X-2)+1]=X-2)+2023=/(-1)+/(0)+/(1)+2023=2023.

z=li=\i=\

故k答案I為：2023.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.已知函數/(x)=log2(4*+l).

⑴求不等式log23>l的解集；

(2)若關于x的方程/。)=1。氏(次2,-2)有兩個不相等的實數根，求實數M的取值范圍.

解:(1)由題意知，Iog2(2"+l)>log26,可得2*+1>6,

即2工>5，

解得x>log,5,

所以不等式的解集為｛x\x>log25).

(2)/(x)=log2(〃/2"-2),

可得4"+1=加2-2,

即4「恒2,+3=0有兩個不相等的實數根，

令2工=/，則〃一7".7+3=0有兩個不相等正實數根，

A>0fm2-12>0

所以<。+?2>。，可得<相>0,

44>03>0

解得m>2A/3.

18.某大學在一次調查學生是否有自主創(chuàng)業(yè)打算的活動中，獲得了如下數據.

男生/人女生/人

有自主創(chuàng)業(yè)打算16m

無自主創(chuàng)業(yè)打算64n

(1)若加=24,”=36,根據調查數據判斷，是否有99%的把握認為該校學生有無自主

創(chuàng)業(yè)打算與性別有關；

(2)若/徨=15,?=60,從這些學生中隨機抽取一人.

(i)若已知抽到的人有自主創(chuàng)業(yè)打算，求該學生是男生的概率；

(ii)判斷“抽到的人無自主創(chuàng)業(yè)打算”與“抽到的人是男生”是否獨立.

n(ad-bc)2

附：K?=n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K°>k)0.100.050.010.0050.001

k2.7063.8416.6357.87910.828

2

如2(16+64+24+36)(16x36-64x24)

角牛：(])K-——------=---6-.-7--2-->--6--.-6--3--5--,---------------------

(16+64)(24+36)(16+24)(64+36)25

所以有99%的把握認為該校學生有無自主創(chuàng)業(yè)打算與性別有關

(2)(i)記A為“抽到的人有自主創(chuàng)業(yè)打算”，5為“抽到的人是男生”.

16+153111616

尸(A)=-------------------=-----=-,P(AB)=--------------------=,

"716+15+64+6015551716+64+15+60155

后”P(A3)161616

所以產的闔=飛行=立(或際=乳).

(ii)記。為“抽到的人無自主創(chuàng)業(yè)打算”，。為“抽到的人是男生”,

法一：尸(00=獸

64+1616

又P(D)=

16+15+64+6031

所以P(￡>)=P(0C),

所以“抽到的人無自主創(chuàng)業(yè)打算”與“抽到的人是男生”獨立.

644

法二：P(C|D)=—=-,

oUJ

又P(C)=16+15+64+60-5，

所以P(C)=P(C|￡>),

所以“抽到的人無自主創(chuàng)業(yè)打算”與“抽到的人是男生”獨立.

法三：P(CD)=---------..........=—,

16+15+64+60155

_64+60_4”八、64+16_16

)-16+15+64+605*16+15+64+60-31'

所以P(C)P(D)=-x--—,

315155

所以P(CD)=P(C)P(D),

所以“抽到的人無自主創(chuàng)業(yè)打算”與“抽到的人是男生”獨立.

壯皿2_(16+64+15+60)(16x60-64xl5產

(16+64)(15+60)(16+15)(64+60)

所以該校學生有無自主創(chuàng)業(yè)打算與性別無關,

所以“抽到的人無自主創(chuàng)業(yè)打算”與“抽到的人是男生”獨立.

19.根據《國家學生體質健康標準》，六年級男生和女生一分鐘跳繩等級如下(單位：次).

一分鐘跳繩等級六年級男生六年級女生

優(yōu)秀147及以上152及以上

良好135-146136-151

及格65-13466-135

不及格64及以下65及以下

從某學校六年級男生和女生中各隨機抽取10名進行一分鐘跳繩測試，將他們的成績整理如

下：

男生/次15013216012215211115498158157

女生/次151162143100168166158170122100

(1)從這10名男生中任取2名，求取到的2名男生成績都優(yōu)秀的概率；

(2)若以成績優(yōu)秀的頻率代替成績優(yōu)秀的概率，且每名同學的測試相互獨立.從該校全體六

年級學生中隨機抽取1名男生和2名女生，設X為這3名學生中一分鐘跳繩成績優(yōu)秀的人數,

求X的概率分布與期望.

解：(1)由題意知，10名男生中一分鐘跳繩成績優(yōu)秀的有6名，

記“抽到的2名男生成績都優(yōu)秀”為事件A，則NR=圣耳=:

3

(2)由題意知，從該校六年級學生中任取一名男生，一分鐘跳繩成績優(yōu)秀的概率為-；

5

任取一名女生，一分鐘跳繩成績優(yōu)秀的概率為，

X的可能取值有0、1、2、3,

7

20

所以X的概率分布為

X0123

1723

P

W20520

17938

所以，E（X）=Ox—+lx—+2x-+3x—=-.

、,10205205

20.已知函數f(x)=ax3-6x2+2.

(1)當。=1時，求/(x)在區(qū)間［—1,5］的最大值；

(2)若/(尤)存在唯一的零點吃,且不<0,求實數。的取值范圍.

解：(1)當a=l時，/(x)=x3-6x2+2,

則八x)=3X2-12X=3X(X-4),

由/'(x)>0,可得x<0或尤>4,f\x)<0,可得0cx<4,

因此/(x)在區(qū)間(-1,0)單調遞增，在區(qū)間(0,4)單調遞減，在區(qū)間(4,5)單調遞增,

所以/a)在區(qū)間［—1,5］的最大值為/(0)、f(5)中較大者，

因為/(0)=2,%5)=-23,

所以/⑴在區(qū)間［-1,5］的最大值為2；

(2)法一：f'(x)=3ax2—12x=3x(ax—4),

①當a=0時，/(x)=-6x2+2,令/(x)=0,可得x=±YI,不合題意；

3

4

②當〃<0時，解不等式/(元)>。，可得一<%<0,

a

4

解不等式廣(x)<。，可得％<—或%>0,

a

所以/(X)在［-8,單調遞減，在單調遞增，在(0,+8)單調遞減，

又因為/(0)=2>。，所以〃丈)在(0,+8)存在零點，不合題意；

4

③當。>0時，解不等式/(1)>0,可得xvO或無>—,

a

4

解不等式r(x)<。，可得

a

所以/⑴在(一”,0)單調遞增，在［(),：)單調遞減，在單調遞增，

又因為/(O)=2>0,所以/(X)在(—8,0)存在零點XO,

若/(x)存在唯一的零點吃,且不<0,則

6496

可得不—-+2>0,即解得QV-4或a>4,所以々>4.

aa

綜上，a>4.

法二：依題意知方程改3-6爐+2=0有唯一的負根，

即a=------有唯一負根，

xx

所以丁=。與〉=9-3的圖象有唯一交點且位于〉軸左側，

XX

令，二工，貝hwo,g(1)=—2戶+61,g'⑺=—6”+6=—6?+l)?—1)

x

解不等式g")>0,可得—

解不等式g'⑺<0,可得/<—1或/>1，

所以g⑺在(y,—1)單調遞減，在(—1,0),(0,1)單調遞增，在(L+8)單調遞減，

所以a>g⑴,

又g(l)=4,所以a>4.

21.在信道內傳輸0,1信號,信號的傳輸相互獨立.發(fā)送。時，收到1的概率為。(0<戊<1),

收到。的概率為1—夕；發(fā)送1時，收到。的概率為，(。<，<1),收到1的概率為1-，.考

慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每

個信號重復發(fā)送3次.收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為

譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數多的即為譯碼(例如，若依次收到1,0,1,

則譯碼為1).

(1)當々=工，夕"時，

(i)采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1,求依次收到1,0,1的概率；

(ii)采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,求譯碼為1的概率；

(2)若發(fā)送0,采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率，

求戊的取值范圍.

解：(1)(i)記“采用單次傳輸方案，依次發(fā)送1,0,1,依次收到1,0,1”為事件A,

(ii)記“采用三次傳輸方案，發(fā)送1,譯碼為1”為事件B,

120

則P(B)=x—=

327

(2)記“發(fā)送0,采用三次傳輸方案譯碼為0”為事件C,

記“發(fā)送0,采用單次傳輸方案譯碼為0”為事件。，

則p(C)=(l-(z)3+C|(l-?)2Cf=(l-"(1+2?)，

p(r>)=i-a,所以(1一a)2(1+2團>1_0，

因為Ovavl,整理得2〃一1<o,

解得0<2V,.

2

22.已知函數/(尤)=出土.

x-a

(1)若人無)在區(qū)間(o,a)上單調遞減，求實數a的取值范圍;

(2)若/(X)存在兩個極值點石,馬.

(i)求實數。的取值范圍；

(ii)證明：/+々>2a.

若函數于(x)在(0,a)上單調遞減，則f(x)V0對任意xe(0,a)恒成立,

即l-1-lnx《O對任意xe(O,a)恒成立，

令夕(x)=1—--Inx,xe(0,a),

因為d(x)==二=行>0,所以9(x)在(O,a)上單調遞增，