山東省淄博市臨淄區(qū)（五四制）2022-2023學年八年級下學期期中考試數學試題

山東省淄博市臨淄區(qū)（五四制）2022-2023學年八年級下學期期中考試數學試題

一、選擇題。（本題共io小題，在每小題所給出的四個選項中，評價評卷人只有一個是正確的，請把正確

的選項填在下面的表中，每小題4分，滿分40分，錯選、不選或選出的答案超過一個，均記0分。）

1.若二次根式向三在實數范圍內有意義，則實數尤的取值范圍是（）

A.x<3B.尤>3C.尤W3D.尤W3

2.下列二次根式是最簡二次根式的是（）

A.Vx2+1B.V12C.^2x3

3.跳水是一項難度很大又極具觀賞性的運動，我國跳水隊多次在國際跳水賽上摘金奪銀，被譽為跳水

“夢之隊”.為了方便研究，跳水運動員在開始下落至入水前可近似看作自由落體運動，其下落高度h

（單位：m）與下落時間t（單位：s）滿足的關系，g（單位：m/?）為重力加速度，計算時取

2

10,若運動員從10加高的跳臺，不做動作，直接跳入水中，則他在空中運動的時間是（）

A.IsB.y/2sC.VS-vD.2s

4.一元二次方程x2-9=0的解是（）

A.x=3B.X1—X2—3

,D.xi—3,xi--3

Cxj=V3X2=-V3

5.下列說法正確的是（）

A.方程8/-7=0的一次項系數為-7

B.一元二次方程的一般形式是o?+6x+c=o

C.當。=3且6W-1且cWO時，方程（°-3）x?+（b+1）無+c=0是關于x的一元二次方程

D.當初取所有實數時，關于x的方程（相2+1）7Hx-3=0為一元二次方程

6.如圖，已知A8〃C￡）〃EF,它們依次交直線A,/2于點A,D,尸和點B,C,E,如果A￡）=6,DF=3,

BC=5,那么BE的值為（）

C.9D.11

7.2022年卡塔爾世界杯足球賽掀起校園足球熱，某市青少年校園足球聯(lián)賽采用單循環(huán)賽，每支球隊都要

跟其他各支球隊進行一場比賽，整個單循環(huán)比賽共計進行28場，則參加校園足球聯(lián)賽的隊伍共有

()支.

A.7B.8C.9D.10

8.若方程：+4x+a=0無實根，化簡Ji6_8a+a2等于()

A.4-aB.a-4C.-(a+4)D.無法確定

9.十四屆國際數學教育大會UCME-14)會徽的主題圖案有著豐富的數學元素，展現了我國古代數學的

文化魅力，其右下方的“卦”是用我國古代的計數符號寫出的八進制數3745.八進制是以8作為進位基

數的數字系統(tǒng)，有0?7共8個基本數字.八進制數3745換算成十進制數是3X83+7X82+4X81+5X8°

=2021,表示/CME-14的舉辦年份.小華設計了一個〃進制數143,換算成十進制數是120,〃的值為

()

A.7B.8C.9D.10

10.已知A=X2+6X+/,B=2x2+4x+2n2+3,下列結論正確的個數為()

①若4=尤2+6了+層是完全平方式，則〃=±3；

②B-A的最小值是2；

③若n是A+B=0的一個根，則12/+20〃=-3；

④若(2023-A)(A-2020)=2,貝!](2023-A)2+(A-2020)2=4.

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、填空題。(每小題4分，共20分)

11.已知兔=￡_=且=2,B.b+d+f^Q,則a+c+e=

bdfb+d+f

12.最簡二次根式心近與3遍是同類二次根式，則°=.

13.某種童鞋原價為100元，由于店面轉讓要清倉，現連續(xù)兩次降價處理，共降價64元后出售，已知兩次

降價的百分率相同，則每次降價的百分率為.

14.如圖，△ABC中，AD：0c=1：4,AE=EF,貝！|B八FC=

15.已知關于x的一元二次方程x2-4x+m=0的實數根xi,尤2滿足3尤1尤2-xi-X2>2,則m的取值范圍

是.

三、解答題。（第16,17,18,19題每題10分；第20,21題每題12分，第22,23題每題13分：滿分

90分）解答要寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.

16.（10分）計算：

（1）VT2+V27+718-V32；

（2）XV6-Vs；

（3）解方程：（尤-3）2-6（x-3）+8=0.

17.（10分）閱讀材料：古希臘數學家海倫利用三角形三條邊的邊長直接求出了三角形的面積.如果一個

三角形的三邊長分別為a,b,c,記p上*,那么這個三角形的面積（p-b）（p-c）

?2

（海倫公式）.中國古代數學家秦九韶也得出了類似的公式，稱之為“三斜求積術”，三角形面積為S

I222

=槎［a2b2-（且二當口二產］（秦九韶公式）.故由三角形三邊求面積的公式又被稱為“海倫一一

秦九韶公式”.請完成下列問題：

（1）一個三角形的三邊長依次為7,8,9,任選以上一個公式求這個三角形的面積；

（2）一個三角形的三邊長依次為代，巫,任選以上一個公式求這個三角形的面積.

18.（10分）如圖，利用22米長的墻為一邊，用籬笆圍成一個長方形倉庫ABC。，中間用籬笆分割出兩個

小長方形，在與墻平行的一邊要開兩扇1米寬的門，總共用去籬笆34米，為了使這個長方形ABC。的面

積為96平方米，求A8和8c的長.

AED

BT\~J_1rc

19.（10分）已知關于x的一元二次方程：J?-（7/7-3）x-m=0.

（1）證明：無論機為何值，原方程有兩個不相等的實數根；

（2）當方程有一根為1時，求根的值及方程的另一根.

20.（12分）閱讀與計算：請閱讀以下材料，并完成相應的問題.

角平分線分線段成比例定理：如圖①，在△ABC中，4。平分NBAC,則坐型_.

ACCD

下面是這個定理的部分證明過程.

證明：如圖②，過點C作CE〃/M,交8A的延長線于點E……

任務：（1）請按照上面的證明思路，寫出該證明過程的剩余部分；

（2）如圖③，在△ABC中，AD是角平分線，AB^5cm,AC^4cm,BC=】cm.求的長.

E

21.（12分）知識回顧:

（1）對于一元二次方程a^+bx+c=0（aWO）,當b2-\ac20時，它的求根公式

為,求根公式不僅可以由方程的系數求出方程的根，而且反映了根與系數之

間的關系.若方程的兩個根為XI,XI,則滿足：①尤1+尤2=；②X1X2

=.（這也稱作韋達定理，是由16世紀法國數學家韋達發(fā)現的）.請利用一元二

次方程的求根公式證明韋達定理；

知識應用：

（2）已知一元二次方程2?-3x-1=0的兩根分別為機，n,求根2〃+7""2的值.

22.（13分）為積極響應新舊動能轉換，提高公司經濟效益，某科技公司近期研發(fā)出一種新型高科技設備，

每臺設備成本價為30萬元，經過市場調研發(fā)現，每臺售價為40萬元時，年銷售量為600臺；每臺售價

為45萬元時，年銷售量為550臺.假定該設備的年銷售量y（單位：臺）和銷售單價無（單位：萬元）

成一次函數關系.

（1）求年銷售量y與銷售單價尤的函數關系式；

（2）根據相關規(guī)定，此設備的銷售單價不得高于70萬元，如果該公司想獲得10000萬元的年利潤，則

該設備的銷售單價應是多少萬元？

23.（13分）如圖，一艘輪船以30bw/a的速度沿既定航線由南向北航行，途中接到臺風警報，某臺風中心

正以10hw//z的速度由東向西移動，距臺風中心2006的圓形區(qū)域（包括邊界）都屬臺風影響區(qū)，當這艘

輪船接到臺風警報時，它與臺風中心的距離8c=500初7,此時臺風中心與輪船既定航線的最近距離AB

=300km.

（1）如果這艘輪船不改變航向，經過10小時，輪船與臺風中心相距多遠？它此時是否受到臺風影響？

(2)如果這艘船不改變航向，那么它會不會進入臺風影響區(qū)？請說明理由；

(3)如果你認為這艘輪船會進入臺風影響區(qū)，那么從接到警報開始，經過多長時間它就會進入臺風影響

區(qū)？

(4)假設輪船航向不變，輪船航行速度不變，求受到臺風影響的時間為多少小時？

北

山東省淄博市臨淄區(qū)（五四制）2022-2023學年八年級下學期期中考試數學

試題

參考答案與試題解析

一、選擇題。（本題共10小題，在每小題所給出的四個選項中，評價評卷人只有一個是正確的，請把正確

的選項填在下面的表中，每小題4分，滿分40分，錯選、不選或選出的答案超過一個，均記0分。）

1.若二次根式我三在實數范圍內有意義，則實數尤的取值范圍是（）

A.x<3B.x>3C.xW3D.xW3

【分析】根據二次根式的被開方數是非負數列出不等式，解不等式得到答案.

【解答】解：由題意得：3-x^O,

解得：啟3,

故選：C.

【點評】本題考查的是二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開方數是非負數是解題的關鍵.

2.下列二次根式是最簡二次根式的是（）

A.Vx2+1B.V12C.^2x3

【分析】根據最簡二次根式的定義逐個判斷即可.

【解答】解：A.是最簡二次根式，故本選項符合題意；

B.被開方數中含有能開得盡方的因數，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；

C.被開方數中含有能開得盡方的因式，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；

D.被開方數中的因數不是整數，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；

故選：A.

【點評】本題考查了最簡二次根式的定義，能熟記最簡二次根式的定義是解此題的關鍵，注意：滿足下

列兩個條件的二次根式叫最簡二次根式：①被開方數中的因數是整數，因式是整式，②被開方數中不含

有能開得盡方的因數和因式.

3.跳水是一項難度很大又極具觀賞性的運動，我國跳水隊多次在國際跳水賽上摘金奪銀，被譽為跳水

“夢之隊”.為了方便研究，跳水運動員在開始下落至入水前可近似看作自由落體運動，其下落高度h

（單位：m）與下落時間t（單位：s）滿足的關系，g（單位：mis1｝為重力加速度，計算時取

2

10,若運動員從10機高的跳臺，不做動作，直接跳入水中，則他在空中運動的時間是（)

A.IsB.C.D.2s

【分析】根據下落高度/，（單位：相）與下落時間f（單位：s）滿足的關系，結合跳臺的高度為

2

10%即可得出關于r的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論.

【解答】解：依題意得工X10/2=10,

2

解得：/1=&,/2=-（不符合題意，舍去），

.??他在空中運動的時間是Ms.

故選：B.

【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵.

4.一元二次方程9=0的解是（）

A.x=3B.XI=X2=3

=_

C,X1=向'X2V3D.XI=3,X2=~3

【分析】利用直接開平方法解出方程.

【解答】解：7-9=0,

則/=9,

.?.尤=±3,

??Xi=3,X2==-3,

故選：D.

【點評】本題考查的是一元二次方程的解法，熟記直接開平方法解一元二次方程的一般步驟是解題的關

鍵.

5.下列說法正確的是（）

A.方程87-7=0的一次項系數為-7

B.一元二次方程的一般形式是a/+6x+c=（）

C.當a—3且6W-1且cWO時，方程（a-3）/+（b+1）x+c=O是關于尤的一元二次方程

D.當機取所有實數時，關于尤的方程（加2+1）7nx-3=0為一元二次方程

【分析】根據一元二次方程的一次項系數的定義對A選項進行判斷；根據一元二次方程的定義對反C、

。選項進行判斷.

【解答】解：A、方程8?-7=0的一次項系數為0,所以A選項不符合題意；

B、一元二次方程的一般形式是a^+bx+c—0（aWO）,所以B選項不符合題意；

C、當a=3且bW-1,cWO時，方程（a-3）/+（b+1）x+c=O可化為（6+1）x+c=0為一元一

次方程，所以C選項不符合題意；

D、當m取所有實數時，關于x的方程（機2+1）/-g-3=0為一元二次方程，所以。選項符合題

意.

故答案為：D.

【點評】本題考查了一元二次方程的一般式：要確定二次項系數，一次項系數和常數項，必須先把一元

二次方程化成一般形式.也考查了一元二次方程的定義.

6.如圖，已知〃斯，它們依次交直線A,/2于點A,D,尸和點B,C,E,如果4D=6,DF=3,

BC=5,那么BE的值為（）

A.7.5B.8.5C.9D.11

【分析】由A。，。歹的長，可求出AF的長，由再利用“三條平行線截兩條直線，所得

的對應線段成比例”，即可求出的長.

【解答】W：'：AD=6,DF=3,

：.AF=AD+DF=6+3=9.

'：AB//CD//EF,

???BE-A―F,aPn?|-JB-E_9?iiiy

BCAD56

：.BE=7.5.

故選：A.

【點評】本題考查了平行線分線段成比例，牢記“三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例”是

解題的關鍵.

7.2022年卡塔爾世界杯足球賽掀起校園足球熱，某市青少年校園足球聯(lián)賽采用單循環(huán)賽，每支球隊都要

跟其他各支球隊進行一場比賽，整個單循環(huán)比賽共計進行28場，則參加校園足球聯(lián)賽的隊伍共有

）支.

A.7B.8C.9D.10

【分析】設共有X支隊伍，根據單循環(huán)比賽規(guī)則，每支隊伍需比賽/(X-1)場，由此列一元二次方程，

即可求解.

【解答】解：設共有X支隊伍，由題意知：

yx(x-1)=2小

解得：x=8或x=-7(舍去)，

即參加校園足球聯(lián)賽的隊伍共有8支.

故選:B.

【點評】本題考查一元二次方程的實際應用，根據單循環(huán)比賽規(guī)則列出一元二次方程是解題的關鍵.

8.若方程^+以+^二。無實根，化簡416-8a+a2等于()

A.4-flB.a-4C.-(a+4)D.無法確定

【分析】先根據方程無實根判斷出。的取值范圍，再代入原代數式計算即可.

【解答】解：?.?方程/+4尤+。=0無實根，,A=42-4a<0,?">4.

V16-8a+a2=V(a-4)2=|fl-4l,

V?>4,/.\a-4|=〃-4.

故選：B.

【點評】本題主要考查了根據二次根式的意義化簡.

二次根式規(guī)律總結：當時，當aWO時，

9.十四屆國際數學教育大會UCME-14)會徽的主題圖案有著豐富的數學元素，展現了我國古代數學的

文化魅力，其右下方的“卦”是用我國古代的計數符號寫出的八進制數3745.八進制是以8作為進位基

數的數字系統(tǒng)，有0?7共8個基本數字.八進制數3745換算成十進制數是3X83+7X82+4X81+5X8°

=2021,表示/CME-14的舉辦年份.小華設計了一個“進制數143,換算成十進制數是120,〃的值為

()

A.7B.8C.9D.10

【分析】根據題意，可以得到1義層+4乂儲+3乂〃0=120,然后求解即可.

【解答】解：由題意可得，

lXn2+4XM1+3X?°=120,

解得m=9,〃2=-11(不合題意，舍去)，

故選：C.

【點評】本題考查一元二次方程的應用，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的方程.

10.已知A=/+6無+//，B=2x2+4x+2n2+3,下列結論正確的個數為()

①若A=/+6x+〃2是完全平方式，則〃=土3；

②B-A的最小值是2；

③若n是A+B=0的一個根，則12層+20w=-3；

④若(2023-A)(A-2020)=2,貝!|(2023-A)2+(A-2020)2=4.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】①利用完全平方公式即可求出”的值；

②先利用整式的加減求出B-A,再利用配方法即可求出B-A的最小值；

③先利用整式的加減求出A+B,根據n是4+2=0的一個根，代入方程后即可求出答案；

④先設Af=2023-A,N=A-2020,求出M+N=3,再利用完全平方式求出研+砰=5即可判斷.

【解答】解：①：A=d+6x+后是完全平方式，

n2=9,即〃=±3,故①正確；

②；B-A—2X2+4X+2W2+3-(x2+6x+w2)

=/-2尤+扇+3

—(x-1)^+n~+2,

,:(%-1)W^O,

.?.B-A的最小值是2,故②正確；

③根據題意知，A+B=J?+6x+〃~+2尤2+4x+2〃~+3=3/+10尤+3”2+3,

?.,“是4+2=0的一個根，

??.把代入3X2+1Ox+3M2+3=0可得：3/+10〃+3/+3=0,即6/+10〃+3=0,

.?.6〃2+10”=-3,故③錯誤；

④令M=2023-A,N=A-2020,

則MN=2,M+N=3,

：.(M+N)2=9,即M2+2MN+N2=9,

：.M2+N2=5,即(2023-A)2+(A-2020)2=5,故④錯誤；

綜上所述，正確的個數有2個；

故答案選：B.

【點評】本題主要考查了完全平方公式和配方法的應用，解題關鍵：熟練掌握完全平方公式以及公式的

應用.

二、填空題。(每小題4分，共20分)

11.已知包=￡=且=2,且6+方后0,則a+c+e=2.

bdfb+d+f

【分析】根據已知條件得出。=26,c=2d,e=2f,再代入要求的式子進行計算即可得出答案.

【解答】解：..?包=￡=且=2,

bdf

??ct~~2Z?jc='2d,e'='2f,

...a+c+巳—2b+2d+2f_?

??b+d+fb+d+f-

故答案為：2.

【點評】此題考查了比例的性質，熟練掌握比例的性質是解題的關鍵.

12.最簡二次根式J“工與3遙是同類二次根式，則。=3.

【分析】根據題意，它們的被開方數相同，列出方程求解.

【解答】解：???最簡二次根式心近與3泥是同類二次根式，

/.?+2=5,

解得a=3.

故答案為：3.

【點評】此題主要考查了同類二次根式的定義，即：二次根式化成最簡二次根式后，被開方數相同的二

次根式叫做同類二次根式.

13.某種童鞋原價為100元，由于店面轉讓要清倉，現連續(xù)兩次降價處理，共降價64元后出售，己知兩次

降價的百分率相同，則每次降價的百分率為40%.

【分析】設每次降價的百分率為x,第一次降價后價格變?yōu)?00(1-%),第二次在第一次降價后的基礎

上再降，變?yōu)?00(1-x)(1-%),即100(1-X)2元，從而列出方程，求出答案.

【解答】解:設每次降價的百分率為無，第二次降價后價格變?yōu)?00(1-x)2元，根據題意，得

100(1-X)2=100-64

即(1-%)2=0.36

解之，得xi=1.6,X2—0.4.

因x=1.6不合題意，故舍去，所以x=0.4.

即每次降價的百分率為04即40%.

故答案為：40%.

【點評】本題主要考查一元二次方程的應用，解答本題的關鍵在于分析降價后的價格，要注意降價的基

礎，另外還要注意解的取舍，難度一般.

14.如圖，△ABC中，AD-.。。=1：4,AE=EF,貝l|BEFC=-1.

一3一

A

【分析】過點尸作FH〃8。交AC于“，根據平行線分線段成比例定理得到AD=Z）H,求出』旦=』，根

HC3

據平行線分線段成比例定理解答即可.

【解答】解：過點F作FH//BD交AC于H,

則AD=AE=1,

DHEF

：.AD=DH,

'：AD：DC=l：4,

?DH=2,

"HCT

\'FH//BD,

?BF_DH_1

FCHC3

故答案為：1.

3

【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理，找準對應關系是解題的關鍵.

15.已知關于尤的一元二次方程X?-4尤+優(yōu)=0的實數根xi,X2滿足3XIX2-xi-尤2>2,則機的取值范圍是

2<mW4.

【分析】根據題意可知：△20且3龍1尤2-（X1+X2）>2,然后根據根與系數的關系和ANO,可以列出關

于機的不等式組，從而可以求得機的取值范圍.

【解答】解：依題意得，

（-4）2-4ID00

3m-4>2

解得2<MIW4,

故答案為：2<mW4.

【點評】本題考查了一元二次方程的根的判別式的應用，解此題的關鍵是得出關于”的不等式，注意：

一元二次方程辦（a、b、c為常數，aWO）①當d-4ac>0時，一元二次方程有兩個不相等的

實數根；②當臣-4也=0時，一元二次方程有兩個相等的實數根；③當/-4砒<0時，一元二次方程

沒有實數根.

三、解答題。(第16,17,18,19題每題10分；第20,21題每題12分，第22,23題每題13分：滿分

90分)解答要寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.

16.(10分)計算：

(1)712+727+718-732；

(2)xV6W8;

(3)解方程：(x-3)2-6(x-3)+8=0.

【分析】(1)先化簡二次根式，再合并同類二次根式即可；

(2)先計算二次根式的乘法、化簡二次根式，再合并同類二次根式即可得出答案；

(3)利用因式分解法求解即可.

【解答】解：⑴原式=2爪+3我+3加-4、回

=573-V2；

(2)原式=g/l_+Yl_-2&

33

='/3-2A/2；

(3),/(%-3)2-6(x-3)+8=0,

Cx-3-2)(x-3-4)=0,即(尤-5)(%-7)=0,

.,.x-5=0或尤-7=0,

貝！1x1=5,尤2=7.

【點評】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因式分解法、

公式法及配方法，解題的關鍵是根據方程的特點選擇簡便的方法.

17.(10分)閱讀材料：古希臘數學家海倫利用三角形三條邊的邊長直接求出了三角形的面積.如果一個

三角形的三邊長分別為a,b,c,記p=a+b+c,那么這個三角形的面積5=Vp(p-a)(p-b)(p-c)

(海倫公式).中國古代數學家秦九韶也得出了類似的公式，稱之為“三斜求積術”，三角形面積為S

I222

22bC2

=[ab---)](秦九韶公式).故由三角形三邊求面積的公式又被稱為“海倫一一

V42

秦九韶公式”.請完成下列問題：

(1)一個三角形的三邊長依次為7,8,9,任選以上一個公式求這個三角形的面積；

(2)一個三角形的三邊長依次為畬，如,任,任選以上一個公式求這個三角形的面積.

【分析】(1)運用三角形的面積：S=Vp(p-a)(p-b)(p-c)(海倫公式)計算即可；

I222

(2)運用三角形面積：5=｛工h2b2-(2上b=)2](秦九韶公式)，計算即可.

V42

【解答】解：(1),??一個三角形的三邊長依次為7,8,9,

?_a+b+c_7+8+9=]2

，，p=22，

???海倫公式：

S="p(p-a)(p-b)(p-c)

=V12X(12-7)X(12-8)X(12-9)

=720；

(2)c=V^，

22

a=3f序=5,C=6,

?,?秦九韶公式：

r2-2~2

一(：-c)2]

=加義5-(

V乙

=E

~2~'

【點評】本題考查的是二次根式的應用，熟練掌握二次根式的性質與方法是解題的關鍵.

18.(10分)如圖，利用22米長的墻為一邊，用籬笆圍成一個長方形倉庫A8CQ,中間用籬笆分割出兩個

小長方形，在與墻平行的一邊要開兩扇1米寬的門，總共用去籬笆34米，為了使這個長方形ABC。的面

積為96平方米，求AB和BC的長.

AED

BT-1rc

【分析】設48為尤米，然后表示出BC的長為(36-3尤)米，利用矩形的面積計算方法列出方程求解即

可.

【解答】解:設為x米，貝為(36-3x)米，

尤(36-3尤)—96,

解得：xi=4,X2=8,

當x=4時，

36-3x=24>22(不合題意，舍去)，

當x—8時，

36-3x=12.

答：的長為8米，BC的長為12米.

【點評】本題考查了一元二次方程的應用，設出一邊的長，并用未知數表示出另一邊的長是解題的關

鍵.

19.（10分）已知關于x的一元二次方程：%2-（7/2-3）x-m—0.

（1）證明：無論相為何值，原方程有兩個不相等的實數根；

（2）當方程有一根為1時，求機的值及方程的另一根.

【分析】（1）只要證明△>0恒成立即可；

（2）可將該方程的已知根1代入方程，求出機的值，即可求出方程的另一根

【解答】（1）證明：△=（5-3）2-4（-“2）

=m-6m+9+4m

—m-2m+9

=（機-1）2+8,

（m-1）2>0,

（w-1）2+8>0,即A>0,

方程有兩個不相等的兩個實數根；

（2）解：是方程/-（初-3）x-"2=0的一個根，

/.1-Cm-3）-m=0,

解得：機=2,

貝!1方程為：/+尤-2=0

解得：Xi—1,Xi--2,

方程的另一根為-2.

【點評】此題考查了一元二次方程的解和根的判別式，解決此類題目時要認真審題，根據根的判別式列

出式子.

20.（12分）閱讀與計算：請閱讀以下材料，并完成相應的問題.

角平分線分線段成比例定理：如圖①，在aABC中，平分/BAC,則絲

ACCD

下面是這個定理的部分證明過程.

證明：如圖②，過點C作CE〃/交54的延長線于點E……

任務：（1）請按照上面的證明思路，寫出該證明過程的剩余部分；

（2）如圖③，在△ABC中，是角平分線，AB=5cm,AC=4cm,BC=1cm.求8。的長.

DCDC

①②③

【分析】（1）過點C作CE//DA,交BA的延長線于點E,由CE//DA,可求證坨型，ZCAD=Z

CDEA

ACE,NBAD=/E,可得AE=AC,即可求解；

（2）根據（1）中的結論即可求解.

【解答】（1）證明：如圖②，過點C作CE〃/交8A的延長線于點E,

'：CE//DA,

ZCAD=ZACE,ZBAD=ZE,

CDEA

平分NA4C,

：.ZBAD=ZCAD,

：.ZACE^ZE,

：.AE=AC,

?ABBD.

ACCD

（2）解：是角平分線，

???A-B二BD，，

ACCD

AB=5cm,AC=4cm,BC=lcm,

.5BD

"7=7-BD）

解得BD=^-cm.

9

【點評】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，角平分線的定義，熟練掌握平行線分線段成比例定

理是解決問題的關鍵.

21.（12分）知識回顧：

（1）對于一元二次方程a^+bx+c—0（aWO）,當b2-4ac20時，它的求根公式為x=

山士'J-4ac,求根公式不僅可以由方程的系數求出方程的根，而且反映了根與系數之間的關

2a一

系.若方程的兩個根為XI,尤2,則滿足：①Xl+X2=-±；②X1X2=_￡_.（這也稱作韋達定理，是

aa

由16世紀法國數學家韋達發(fā)現的）.請利用一元二次方程的求根公式證明韋達定理；

知識應用：

（2）已知一元二次方程Zv2-3x-1=0的兩根分別為〃3n,求相?葉利層的值.

【分析】（1）利用一元二次方程的求根公式和根與系數的關系求解；

（2）先利用根與系數的關系得加+w=3,-L再把加2〃+機”2變形為%〃（%+〃），然后利用整體

22

代入的方法計算.

【解答】解：（1）對于一元二次方程a^+bx+c—O（aWO）,當b2-4czc^0時，它的求根公式為x—

-bivb^-4ac

2a

若方程的兩個根為XI,X2,則滿足①Xl+X2=-電；②X1X2=￡.

aa

證明如下：一元二次方程/+灰+°=0(〃#0),

當層-4ac>0時，x=/±Jb2-4ac,

2a

?丫］=-b+Jb乙4ac,<2=bHb乙-4ac,

2a2a

.?.；a+x2=RWb2-4ac+-bWb2-4ac=3=_A,

2a2a2aa

-

--b+vb^~4ac?-b-vb^-4ac(b)-(vb2-4ac)乙一-b^+4acc.

2a2a4a24a2a

故答案為：尸葛士、b2-4ac,-上，義；

2aaa

(2)根據根與系數的關系得"什〃=旦，/?〃=-2，

22

所以nrn+mn^—mnCm+n)--Ax(-3)=3.

224

【點評】本題考查了根與系數的關系：若xi,X2是一元二次方程ox2+bx+c=0(aWO)的兩根時，xi+x2

=-—,X1X2=—.也考查了公式法解一元二次方程.

aa

22.(13分)為積極響應新舊動能轉換，提高公司經濟效益，某科技公司近期研發(fā)出一種新型高科技設備，

每臺設備成本價為30萬元，經過市場調研發(fā)現，每臺售價為40萬元時，年銷售量為600臺；每臺售價

為45萬元時，年銷售量為550臺.假定該設備的年銷售量y(單位：臺)和銷售單價x(單位：萬元)

成一次函數關系.

(1)求年銷售量y與銷售單價x的函數關系式；

(2)根據相關規(guī)定，此設備的銷售單價不得高于70萬元，如果該公司想獲得10000萬元的年利潤，則

該設備的銷售單價應是多少萬元？

【分析】(1)根據點的坐標，利用待定系數法即可求出年銷售量y與銷售單價x的函數關系式；

(2)設此設備的銷售單價為x萬元/臺，則每臺設備的利潤為(尤-30)萬元，銷售數量為(-lOx+lOOO)

臺，根據總利潤=單臺利潤X銷售數量，即可得出關于x的一元二次方程，解之取