2023屆天津市河東區(qū)高三二模考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1天津市河東區(qū)2023屆高三二模數(shù)學試題第I卷（選擇題共45分）一、選擇題：本題共9個小題，每小題5分，共45分．每小題給出的四個選項只有一個〖答案〗符合題目要求．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗集合，而，所以，故選C.2.設,則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件〖答案〗A〖解析〗由，得，解得．“”是“”的充分不必要條件．故選：．3.函數(shù)的大致圖象是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因為定義域為，函數(shù)是奇函數(shù)，排除選項A，C；當時，，對應點在軸下方，排除B.故選：D.4.為研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進行臨床試驗，所有志愿者的舒張壓數(shù)據（單位：）的分組區(qū)間為，將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，…，第五組，右圖是根據試驗數(shù)據制成的頻率分布直方圖．已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為（）A.8 B.12 C.16 D.18〖答案〗B〖解析〗志愿者的總人數(shù)為＝50，所以第三組人數(shù)50×0.36＝18，有療效人數(shù)為18－6＝12．故選：B.5.已知奇函數(shù)在上是增函數(shù)，若，，，則的大小關系為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意：，且：，據此：，結合函數(shù)的單調性有：，即.本題選擇C選項.6.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的側棱垂直于底面，各頂點都在同一球面上，若該棱柱的體積為，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，則此球的表面積等于（）A.8π B.9π C.10π D.11π〖答案〗A〖解析〗由AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，由余弦定理可得：BC，∴，∠ACB＝90°，∴底面外接圓的圓心在斜邊AB的中點，設三角形ABC的外接圓的半徑為r，則r1，又，所以V柱＝S△ABC?AA1，所以可得AA1＝2，因為三棱柱ABC﹣A1B1C1的側棱垂直于底面，所以三棱柱的外接球的球心是過底面外接圓的圓心作垂直于底面的直線與中截面的交點，設外接球的半徑為R，則R2＝r2+（）2＝12+12＝2，所以外接球的表面積S＝4πR2＝4π×2＝8π，故選：A．7.已知函數(shù)的圖像與軸的兩個相鄰交點的距離等于，若將函數(shù)的圖像向左平移個單位得到函數(shù)的圖像，則是減函數(shù)的區(qū)間為．A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為圖象與軸的兩個相鄰交點的距離等于所以，所以所以由得所以是減函數(shù)的區(qū)間為分析選項只有D符合，故選D.8.已知雙曲線的左焦點為，以為直徑的圓與雙曲線的漸近線交于不同原點的兩點，若四邊形的面積為，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根據題意，，雙曲線的焦點到的一條漸近線的距離為，則，所以，所以，所以，所以雙曲線的漸近線方程為.9.已知函數(shù)（，且）在上單調遞減，且關于x的方程恰有兩個不相等的實數(shù)解，則的取值范圍是（）A. B.[，] C.[，]{} D.[，）{}〖答案〗C〖解析〗由在上單調遞減可知，由方程恰好有兩個不相等的實數(shù)解，可知，，又時，拋物線與直線相切，也符合題意，∴實數(shù)的取值范圍是，故選C.第II卷（非選擇題共105分）二、填空題10.是虛數(shù)單位，數(shù)，則______．〖答案〗##〖解析〗，所以，故〖答案〗為:.11.在的展開式中，的系數(shù)是____________.〖答案〗〖解析〗由題設，展開式通項為，當時，,∴的系數(shù)是.故〖答案〗為：12.已知圓的圓心在直線上，且與直線相切于點，則圓被直線截得的弦長為______．〖答案〗8〖解析〗設圓心坐標為，則，由圓的幾何性質可得，直線的斜率為，則，解得，則圓心為，圓的半徑為，所以圓的方程為，圓心到直線的距離為，因此所求弦長為.故〖答案〗為：.13.現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1，2，2，3，4，5，6．從這7張卡片中隨機抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為，則__________，_________．〖答案〗，〖解析〗從寫有數(shù)字1,2,2,3,4,5,6的7張卡片中任取3張共有種取法，其中所抽取的卡片上的數(shù)字的最小值為2的取法有種，所以，由已知可得的取值有1，2，3，4，，，，所以,故〖答案〗為：，.14.已知實數(shù)，，，則的最小值是________.〖答案〗〖解析〗由，得，又，得，則，，當且僅當時，即取等號.故〖答案〗為：.15.如圖，在中，，，為上一點，且滿足，則的值為________；若的面積為，的最小值為________.〖答案〗〖解析〗由題意得，則，而三點共線，得，，，則，而，得，由基本不等式得，當且僅當時等號成立，故，的最小值為，故〖答案〗為：；三、解答題16.在中，角，，所對邊分別為，，，且，，.（1）求邊及的值；（2）求的值.解：（1）因為，，所以，因為，所以，又，所以，，所以，因為，即，所以.（2）在中，由（1）可知，則，所以，，則，，所以.17.如圖，且，，且，且．平面ABCD，．（1）若M為CF的中點，N為EG的中點，求證：平面CDE；（2）求平面EBC與平面BCF的夾角的正弦值；（3）若點P在線段DG上，且直線BP與平面ADGE所成的角為，求線段DP的長．（1）證明：因為平面ABCD，平面ABCD，所以，因為，所以兩兩垂直，所以以D為原點，分別以，，的方向為x軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標系（如圖），則D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F(xiàn)（0，1，2），G（0，0，2），M（0，，1），N（1，0，2）．所以=（0，2，0），=（2，0，2）．設為平面CDE的法向量，則，令，則．因為=（1，，1），所以，因為直線MN平面CDE，所以MN∥平面CDE．（2）解：依題意，可得=（–1，0，0），，=（0，–1，2）．設為平面BCE的法向量，則，令，則，設為平面BCF的法向量，則，令，則，所以，所以平面EBC與平面BCF的夾角的正弦值為（3）解：設線段DP的長為h（），則點P的坐標為（0，0，h），可得．因為，，所以平面所以=（0，2，0）為平面ADGE的一個法向量，所以，由題意，可得，解得．所以線段的長為.18.設橢圓的一個頂點與拋物線的焦點重合，，分別是橢圓的左、右焦點，離心率，過橢圓右焦點的直線與橢圓交于，兩點．（1）求橢圓的方程；（2）若，求直線的方程；（3）已知直線斜率存在，若是橢圓經過原點的弦，且，求證：為定值．（1）解：拋物線的焦點為，由題意得，解得，，所以橢圓的方程為.（2）解：由（1）可得，由題意知，直線與橢圓必相交，①當直線斜率不存在時，由，解得或，不妨令，，則，不合題意；②當直線存在時，設直線，設，，聯(lián)立，消去整理得，所以，，則，解得，所以直線方程為或.（3）證明：由（2）可得，設直線，設，，聯(lián)立，消去得，所以、，所以，所以，即為定值.19.已知等比數(shù)列的公比，且滿足，，數(shù)列的前項和，.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和.解：（1）依題意，由，，可得，因為，所以解得，，，，對于數(shù)列：當時，，當時，，當時，也滿足上式，，.（2）由題意及（1），可知：當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，，令，，則，，，兩式相減，可得，，，，，.20.已知函數(shù)，.（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間和極值；（3）若對于任意，都有成立，求實數(shù)m取值范圍.解：（1），，則所以在點處的切線方程為即（2）因為，所以，①當時，因為，所以，函數(shù)的單調增區(qū)間是，無單調減區(qū)間，無極值②當時，令，解得，當時，；當，，所以函數(shù)的單調減區(qū)間是，單調增區(qū)間是，在區(qū)間上的極小值為，無極大值.綜上，當時，函數(shù)的單調增區(qū)間是，無單調減區(qū)間，無極值當時，函數(shù)的單調減區(qū)間是，單調增區(qū)間是，極小值為，無極大值.（3）因為對于任意，都有成立，所以，即問題轉化為對于恒成立，即對于恒成立，令，則，令，，則，所以在區(qū)間上單調遞增，故，進而，所以在區(qū)間上單調遞增，函數(shù)，要使對于恒成立，只要，所以，即實數(shù)m的取值范圍是.天津市河東區(qū)2023屆高三二模數(shù)學試題第I卷（選擇題共45分）一、選擇題：本題共9個小題，每小題5分，共45分．每小題給出的四個選項只有一個〖答案〗符合題目要求．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗集合，而，所以，故選C.2.設,則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件〖答案〗A〖解析〗由，得，解得．“”是“”的充分不必要條件．故選：．3.函數(shù)的大致圖象是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因為定義域為，函數(shù)是奇函數(shù)，排除選項A，C；當時，，對應點在軸下方，排除B.故選：D.4.為研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進行臨床試驗，所有志愿者的舒張壓數(shù)據（單位：）的分組區(qū)間為，將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，…，第五組，右圖是根據試驗數(shù)據制成的頻率分布直方圖．已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為（）A.8 B.12 C.16 D.18〖答案〗B〖解析〗志愿者的總人數(shù)為＝50，所以第三組人數(shù)50×0.36＝18，有療效人數(shù)為18－6＝12．故選：B.5.已知奇函數(shù)在上是增函數(shù)，若，，，則的大小關系為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意：，且：，據此：，結合函數(shù)的單調性有：，即.本題選擇C選項.6.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的側棱垂直于底面，各頂點都在同一球面上，若該棱柱的體積為，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，則此球的表面積等于（）A.8π B.9π C.10π D.11π〖答案〗A〖解析〗由AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，由余弦定理可得：BC，∴，∠ACB＝90°，∴底面外接圓的圓心在斜邊AB的中點，設三角形ABC的外接圓的半徑為r，則r1，又，所以V柱＝S△ABC?AA1，所以可得AA1＝2，因為三棱柱ABC﹣A1B1C1的側棱垂直于底面，所以三棱柱的外接球的球心是過底面外接圓的圓心作垂直于底面的直線與中截面的交點，設外接球的半徑為R，則R2＝r2+（）2＝12+12＝2，所以外接球的表面積S＝4πR2＝4π×2＝8π，故選：A．7.已知函數(shù)的圖像與軸的兩個相鄰交點的距離等于，若將函數(shù)的圖像向左平移個單位得到函數(shù)的圖像，則是減函數(shù)的區(qū)間為．A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為圖象與軸的兩個相鄰交點的距離等于所以，所以所以由得所以是減函數(shù)的區(qū)間為分析選項只有D符合，故選D.8.已知雙曲線的左焦點為，以為直徑的圓與雙曲線的漸近線交于不同原點的兩點，若四邊形的面積為，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根據題意，，雙曲線的焦點到的一條漸近線的距離為，則，所以，所以，所以，所以雙曲線的漸近線方程為.9.已知函數(shù)（，且）在上單調遞減，且關于x的方程恰有兩個不相等的實數(shù)解，則的取值范圍是（）A. B.[，] C.[，]{} D.[，）{}〖答案〗C〖解析〗由在上單調遞減可知，由方程恰好有兩個不相等的實數(shù)解，可知，，又時，拋物線與直線相切，也符合題意，∴實數(shù)的取值范圍是，故選C.第II卷（非選擇題共105分）二、填空題10.是虛數(shù)單位，數(shù)，則______．〖答案〗##〖解析〗，所以，故〖答案〗為:.11.在的展開式中，的系數(shù)是____________.〖答案〗〖解析〗由題設，展開式通項為，當時，,∴的系數(shù)是.故〖答案〗為：12.已知圓的圓心在直線上，且與直線相切于點，則圓被直線截得的弦長為______．〖答案〗8〖解析〗設圓心坐標為，則，由圓的幾何性質可得，直線的斜率為，則，解得，則圓心為，圓的半徑為，所以圓的方程為，圓心到直線的距離為，因此所求弦長為.故〖答案〗為：.13.現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1，2，2，3，4，5，6．從這7張卡片中隨機抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為，則__________，_________．〖答案〗，〖解析〗從寫有數(shù)字1,2,2,3,4,5,6的7張卡片中任取3張共有種取法，其中所抽取的卡片上的數(shù)字的最小值為2的取法有種，所以，由已知可得的取值有1，2，3，4，，，，所以,故〖答案〗為：，.14.已知實數(shù)，，，則的最小值是________.〖答案〗〖解析〗由，得，又，得，則，，當且僅當時，即取等號.故〖答案〗為：.15.如圖，在中，，，為上一點，且滿足，則的值為________；若的面積為，的最小值為________.〖答案〗〖解析〗由題意得，則，而三點共線，得，，，則，而，得，由基本不等式得，當且僅當時等號成立，故，的最小值為，故〖答案〗為：；三、解答題16.在中，角，，所對邊分別為，，，且，，.（1）求邊及的值；（2）求的值.解：（1）因為，，所以，因為，所以，又，所以，，所以，因為，即，所以.（2）在中，由（1）可知，則，所以，，則，，所以.17.如圖，且，，且，且．平面ABCD，．（1）若M為CF的中點，N為EG的中點，求證：平面CDE；（2）求平面EBC與平面BCF的夾角的正弦值；（3）若點P在線段DG上，且直線BP與平面ADGE所成的角為，求線段DP的長．（1）證明：因為平面ABCD，平面ABCD，所以，因為，所以兩兩垂直，所以以D為原點，分別以，，的方向為x軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標系（如圖），則D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F(xiàn)（0，1，2），G（0，0，2），M（0，，1），N（1，0，2）．所以=（0，2，0），=（2，0，2）．設為平面CDE的法向量，則，令，則．因為=（1，，1），所以，因為直線MN平面CDE，所以MN∥平面CDE．（2）解：依題意，可得=（–1，0，0），，=（0，–1，2）．設為平面BCE的法向量，則，令，則，設為平面BCF的法向量，則，令，則，所以，所以平面EBC與平面BCF的夾角的正弦值為（3）解：設線段DP的長為h（），則點P的坐標為（0，0，h），可得．因為，，所以平面所以=（0，2，0）為平面ADGE的一個法向量，所以，由題意，可得，解得．所以線段的長為.18.設橢圓的一個頂點與拋物線的焦點重合，，分別是橢圓的左、右焦點，離心率，過橢圓右焦點的直線與橢圓交于，兩點．（1）求橢圓的方程；（2）若，求