2023年高考第一次模擬考數(shù)學(xué)試卷（甲卷（文））（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE12023年高考第一次模擬考試卷（甲卷（文））數(shù)學(xué)一、單選題1．已知集合則（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗由題意，，故選：A.2．若（，為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋?，故，則.故選：B.3．北斗導(dǎo)航系統(tǒng)由55顆衛(wèi)星組成，于2020年6月23日完成全球組網(wǎng)部署，全面投入使用.北斗七星自古是我國人民辨別方向判斷季節(jié)的重要依據(jù)，北斗七星分別為天樞、天璇、天璣、天權(quán)、玉衡、開陽、搖光，其中玉衡最亮，天權(quán)最暗.一名天文愛好者從七顆星中隨機(jī)選兩顆進(jìn)行觀測，則玉衡和天權(quán)至少一顆被選中的概率為（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗因?yàn)橛窈夂吞鞕?quán)都沒有被選中的概率為，所以玉衡和天權(quán)至少一顆被選中的概率為.故選：B.4．若平面向量與的夾角為，則（）A． B．． C．1 D．2〖答案〗D〖解析〗，故選D.5．已知，，動(dòng)點(diǎn)C在曲線T：上，若△ABC面積的最小值為1，則不可能為（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗設(shè)，因?yàn)椋?，?直線的方程為，即.因?yàn)?，，所?則點(diǎn)到直線的距離為.因?yàn)?，，所?所以.當(dāng)時(shí)，，可得當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，可得當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，可得當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，可得當(dāng)時(shí)，，不符合題意.故不可能為.故選:D.6．定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，其值域?yàn)椋瑒t的取值范圍是（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，由可得，，則，由題意可得，解得.故選：D.7．函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．〖答案〗B〖解析〗由得或，故C錯(cuò)；又，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在處取得極大值，在處取得極小值，故AD錯(cuò)；故選：B.8．已知數(shù)列滿足：，，.若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．2022〖答案〗A〖解析〗令，則故，為常數(shù)，故數(shù)列是等差數(shù)列故選：A.9．在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且，若，則△ABC的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形〖答案〗C〖解析〗△ABC中，，則又，則由，可得，代入則有，則，則又，則△ABC的形狀是等邊三角形故選：C.10．已知函數(shù)與函數(shù)的部分圖象如圖所示，且函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到，則（

）A． B．1 C． D．〖答案〗C〖解析〗由題意可知，將函數(shù)圖象上的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度，可得的圖象與軸負(fù)半軸的第一個(gè)交點(diǎn)為，因?yàn)榈膱D象與軸正半軸的第一個(gè)交點(diǎn)為，所以，得，則，又，所以，由知，，則，，故.故選：C.11．已知雙曲線的兩條漸近線與直線分別相交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的長等于它的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗雙曲線的兩條漸近線方程為，則焦點(diǎn)到漸近線的距離為又兩條漸近線與直線分別相交于A，B兩點(diǎn)，所以則，所以，故漸近線方程為.故選：B.12．，則a，b，c的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．〖答案〗A〖解析〗令，則，，，而且，即時(shí)單調(diào)增，時(shí)單調(diào)減，又，∴，.若有兩個(gè)解，則，，即，，令，則，即在上遞增，∴，即在上，，若即，故，有∴當(dāng)時(shí)，，故，綜上：.故選：A二、填空題13．已知向量，若，則____________.〖答案〗5〖解析〗由題可知，，則，由于，則，即：，解得：.故〖答案〗為：5.14．若圓平分圓的周長,則直線被圓所截得的弦長為____________．〖答案〗6〖解析〗兩圓相減得公共弦所在的直線方程為由題知兩圓的公共弦過圓的圓心,所以即,又,所以到直線的距離所以直線被圓所截得的弦長為故〖答案〗為:615．若定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足，則的〖解析〗式為___________.〖答案〗〖解析〗由題意得：，即①，②，②-①得：，解得：.故〖答案〗為：16．已知函數(shù)，在點(diǎn)處的切線與直線平行，則的值為___________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，即函?shù)在點(diǎn)處切線的斜率為，因?yàn)榍芯€與直線l平行，所以，即.故〖答案〗為：三、解答題17．芯片作為在集成電路上的載體，廣泛應(yīng)用在手機(jī)、軍工、航天等多個(gè)領(lǐng)域，是能夠影響一個(gè)國家現(xiàn)代工業(yè)的重要因素．根據(jù)市場調(diào)研與統(tǒng)計(jì)，某公司七年時(shí)間里在芯片技術(shù)上的研發(fā)投入x（億元）與收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：（1）根據(jù)折線圖的數(shù)據(jù),求y關(guān)于x的線性回歸方程(系數(shù)精確到整數(shù)部分);（2）為鼓勵(lì)科技創(chuàng)新,當(dāng)研發(fā)技術(shù)投入不少于16億元時(shí),國家給予公司補(bǔ)貼5億元,預(yù)測當(dāng)芯片的研發(fā)投入為17億元時(shí)公司的實(shí)際收益．附:其回歸方程的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為,．參考數(shù)據(jù),．解：（1）由折線圖中數(shù)據(jù)知,,,因?yàn)?所以所以y關(guān)于x的線性回歸方程為（2）當(dāng)時(shí),億元,此時(shí)公司的實(shí)際收益的預(yù)測值為億元．18．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）當(dāng)，，故，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，,兩式相減得：，即，故數(shù)列為等比數(shù)列，公比，所以．（2），故，故，令①，②，①-②得即，故．19．如圖①，在菱形ABCD中，，，E為AD的中點(diǎn)，將折起至使，如圖②所示.（1）求證：平面平面；（2）若P為上一點(diǎn)，且平面BPD.求三棱錐的體積.（1）證明：，，，又，，，，，，即，又平面，又平面，∴平面平面.（2）解：連接CE，得平面平面，如圖，又平面BPD，，由知，即，，，即.20．已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若，證明:.（1）解：，若，，即，此時(shí)在R上單調(diào)遞減．若，解得，解得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）證明：∵，設(shè)，

，設(shè)

，∴在上單調(diào)遞增，，．∴，在上單調(diào)遞增．∴．∴．21．如圖，已知點(diǎn)是焦點(diǎn)為的拋物線：上一點(diǎn)，，是拋物線上異于的兩點(diǎn)，且直線，的傾斜角互補(bǔ)，若直線的斜率為.（1）證明：直線的斜率為定值；（2）在中，記，，求最大值.（1）證明：將點(diǎn)代入拋物線方程可得：，拋物線：設(shè)直線方程為：，與拋物線方程聯(lián)立可得：，所以，用代可得：，因此，即，故直線的斜率為定值.（2）解：由（1）可知，，將帶入直線方程，解得則，用代可得：，因此直線方程：，到直線的距離所以因?yàn)?，所以，令，易得此函?shù)在時(shí)為單調(diào)增函數(shù)，則，所以當(dāng)且僅當(dāng)（負(fù)值舍去）時(shí)取等號(hào)22．在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線：（t為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為，直線l與曲線C的交點(diǎn)為A，B，求的值．解：（1）由,得.兩邊同乘,即.由,得曲線的直角坐標(biāo)方程為；（2）將代入,得,設(shè)A,B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，則所以.由參數(shù)的幾何意義得.23．已知函數(shù)．（1）解不等式；（2）若關(guān)于的不等式的解集不是空集，求的取值范圍．解：（1）由題意可得，當(dāng)時(shí)，，得，無解；當(dāng)時(shí)，，得，即；當(dāng)時(shí)，，得，即.所以不等式的解集為.（2），則由題可得，解得或.2023年高考第一次模擬考試卷（甲卷（文））數(shù)學(xué)一、單選題1．已知集合則（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗由題意，，故選：A.2．若（，為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋?，故，則.故選：B.3．北斗導(dǎo)航系統(tǒng)由55顆衛(wèi)星組成，于2020年6月23日完成全球組網(wǎng)部署，全面投入使用.北斗七星自古是我國人民辨別方向判斷季節(jié)的重要依據(jù)，北斗七星分別為天樞、天璇、天璣、天權(quán)、玉衡、開陽、搖光，其中玉衡最亮，天權(quán)最暗.一名天文愛好者從七顆星中隨機(jī)選兩顆進(jìn)行觀測，則玉衡和天權(quán)至少一顆被選中的概率為（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗因?yàn)橛窈夂吞鞕?quán)都沒有被選中的概率為，所以玉衡和天權(quán)至少一顆被選中的概率為.故選：B.4．若平面向量與的夾角為，則（）A． B．． C．1 D．2〖答案〗D〖解析〗，故選D.5．已知，，動(dòng)點(diǎn)C在曲線T：上，若△ABC面積的最小值為1，則不可能為（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗設(shè)，因?yàn)?，所以，?直線的方程為，即.因?yàn)?，，所?則點(diǎn)到直線的距離為.因?yàn)?，，所?所以.當(dāng)時(shí)，，可得當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，可得當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，可得當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，可得當(dāng)時(shí)，，不符合題意.故不可能為.故選:D.6．定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，其值域?yàn)椋瑒t的取值范圍是（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，由可得，，則，由題意可得，解得.故選：D.7．函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．〖答案〗B〖解析〗由得或，故C錯(cuò)；又，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在處取得極大值，在處取得極小值，故AD錯(cuò)；故選：B.8．已知數(shù)列滿足：，，.若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．2022〖答案〗A〖解析〗令，則故，為常數(shù)，故數(shù)列是等差數(shù)列故選：A.9．在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且，若，則△ABC的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形〖答案〗C〖解析〗△ABC中，，則又，則由，可得，代入則有，則，則又，則△ABC的形狀是等邊三角形故選：C.10．已知函數(shù)與函數(shù)的部分圖象如圖所示，且函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到，則（

）A． B．1 C． D．〖答案〗C〖解析〗由題意可知，將函數(shù)圖象上的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度，可得的圖象與軸負(fù)半軸的第一個(gè)交點(diǎn)為，因?yàn)榈膱D象與軸正半軸的第一個(gè)交點(diǎn)為，所以，得，則，又，所以，由知，，則，，故.故選：C.11．已知雙曲線的兩條漸近線與直線分別相交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的長等于它的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗雙曲線的兩條漸近線方程為，則焦點(diǎn)到漸近線的距離為又兩條漸近線與直線分別相交于A，B兩點(diǎn)，所以則，所以，故漸近線方程為.故選：B.12．，則a，b，c的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．〖答案〗A〖解析〗令，則，，，而且，即時(shí)單調(diào)增，時(shí)單調(diào)減，又，∴，.若有兩個(gè)解，則，，即，，令，則，即在上遞增，∴，即在上，，若即，故，有∴當(dāng)時(shí)，，故，綜上：.故選：A二、填空題13．已知向量，若，則____________.〖答案〗5〖解析〗由題可知，，則，由于，則，即：，解得：.故〖答案〗為：5.14．若圓平分圓的周長,則直線被圓所截得的弦長為____________．〖答案〗6〖解析〗兩圓相減得公共弦所在的直線方程為由題知兩圓的公共弦過圓的圓心,所以即,又,所以到直線的距離所以直線被圓所截得的弦長為故〖答案〗為:615．若定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足，則的〖解析〗式為___________.〖答案〗〖解析〗由題意得：，即①，②，②-①得：，解得：.故〖答案〗為：16．已知函數(shù)，在點(diǎn)處的切線與直線平行，則的值為___________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋?，所以，即函?shù)在點(diǎn)處切線的斜率為，因?yàn)榍芯€與直線l平行，所以，即.故〖答案〗為：三、解答題17．芯片作為在集成電路上的載體，廣泛應(yīng)用在手機(jī)、軍工、航天等多個(gè)領(lǐng)域，是能夠影響一個(gè)國家現(xiàn)代工業(yè)的重要因素．根據(jù)市場調(diào)研與統(tǒng)計(jì)，某公司七年時(shí)間里在芯片技術(shù)上的研發(fā)投入x（億元）與收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：（1）根據(jù)折線圖的數(shù)據(jù),求y關(guān)于x的線性回歸方程(系數(shù)精確到整數(shù)部分);（2）為鼓勵(lì)科技創(chuàng)新,當(dāng)研發(fā)技術(shù)投入不少于16億元時(shí),國家給予公司補(bǔ)貼5億元,預(yù)測當(dāng)芯片的研發(fā)投入為17億元時(shí)公司的實(shí)際收益．附:其回歸方程的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為,．參考數(shù)據(jù),．解：（1）由折線圖中數(shù)據(jù)知,,,因?yàn)?所以所以y關(guān)于x的線性回歸方程為（2）當(dāng)時(shí),億元,此時(shí)公司的實(shí)際收益的預(yù)測值為億元．18．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）當(dāng)，，故，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，,兩式相減得：，即，故數(shù)列為等比數(shù)列，公比，所以．（2），故，故，令①，②，①-②得即，故．19．如圖①，在菱形ABCD中，，，E為AD的中點(diǎn)，將折起至使，如圖②所示.（1）求證：平面平面；（2）若P為上一點(diǎn)，且平面BPD.求三棱錐的體積.（1）證明：，，，又，，，，，，即，又平面，又平面，∴平面平面.（2）解：連接CE，得平面平面，如圖，又平面BPD，，由知，即，，，即.20．已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若，證明:.（1）解：，若，，即，此時(shí)在R上單調(diào)遞減．若，解得，解得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）證明：∵，設(shè)，

，設(shè)

，∴在上單調(diào)遞增，，．∴，在上單調(diào)遞增．∴．∴．21．如圖，已知點(diǎn)是焦點(diǎn)為的拋物線：上一點(diǎn)，，是拋物線上異于的兩點(diǎn)，且直線，的傾斜角互補(bǔ)，若直線的斜率為.（1）證明：直線的斜率為定值；（2）在中，記，，求最大值.（1）證明：將點(diǎn)代入拋物線方程可得：，拋物線：設(shè)直線方程為：，與拋物線方程聯(lián)立可得：，所以，用代可得：，因此，即，故直線的斜率為定值.（2）解：由（1）可知，，將帶入直線方程，解得則，用代可得：，因此直線方程：，到直線的距離所以因?yàn)椋?，令，易得此函?shù)在時(shí)為單調(diào)增函數(shù)，