電磁場(chǎng)與電磁波3

第3章靜電場(chǎng)分析以矢量分析和亥姆霍茲定理為根底，討論靜電場(chǎng)〔包括恒定電場(chǎng)〕的特性和求解方法。2024/5/291主要內(nèi)容建立真空、電介質(zhì)和導(dǎo)電媒質(zhì)中電場(chǎng)的根本方程，以及電介質(zhì)和導(dǎo)電媒質(zhì)的特性方程、電場(chǎng)的邊界條件。(3.1靜電場(chǎng)分析的根本變量3.2真空中靜電場(chǎng)的根本方程3.8電介質(zhì)的極化極化強(qiáng)度 3.9介質(zhì)中的高斯定律邊界條件3.10恒定電場(chǎng)的根本方程邊界條件)2024/5/292主要內(nèi)容將靜電場(chǎng)的求解歸結(jié)為電位問(wèn)題的求解，導(dǎo)出電位的微分方程，邊值問(wèn)題的求解(3.3電位函數(shù)3.4泊松方程拉普拉斯方程3.7唯一性定理)電場(chǎng)根本方程在電磁工程問(wèn)題中的應(yīng)用〔3.11導(dǎo)體系統(tǒng)的電容3.12電場(chǎng)能量靜電力〕2024/5/2933.1靜電場(chǎng)分析的根本變量分析靜電場(chǎng)的根本變量一個(gè)源變量:ρ(r)(標(biāo)量性質(zhì)的)兩個(gè)場(chǎng)變量:E(r)和D(r)或J(r)E(r)表示電場(chǎng)對(duì)帶電質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生作用的能力。D(r)或J(r)描述構(gòu)成物質(zhì)的帶電粒子在電場(chǎng)作用下出現(xiàn)移動(dòng)或運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象的另一場(chǎng)量。2024/5/2943.1靜電場(chǎng)分析的根本變量電介質(zhì)內(nèi)束縛電荷在電場(chǎng)作用下出現(xiàn)移動(dòng)現(xiàn)象，電位矢量D(r),電介質(zhì)的特性方程D(r)=

E(r),ε為電介質(zhì)的介電常數(shù)。真空中的電位移D0(r)=

0E(r)。導(dǎo)體內(nèi)自由電子在電場(chǎng)的作用下運(yùn)動(dòng)形成電流，電流密度矢量J(r),導(dǎo)體的特性方程J(r)=

E(r),

為導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)率。2024/5/2953.2真空中靜電場(chǎng)的根本方程分析求解電磁場(chǎng)問(wèn)題的兩種方法：積分方程法微分方程法矢量場(chǎng)的根本方程積分形式：矢量在閉合面上的通量特性和矢量在閉合回路上的環(huán)流特性。微分形式：矢量的散度和矢量的旋度2024/5/2963.2真空中靜電場(chǎng)的根本方程真空中靜電場(chǎng)的根本方程積分形式真空中的高斯定理靜電場(chǎng)的環(huán)路定理真空中的特性方程2024/5/2973.2真空中靜電場(chǎng)的根本方程證明：立體角球面上面元對(duì)球心的立體角

Sr(球面度)

整個(gè)球面對(duì)球心的立體角為4π。2024/5/2983.2真空中靜電場(chǎng)的根本方程非球面上面元對(duì)球心的立體角立體角是一個(gè)代數(shù)量

任意閉合面對(duì)一點(diǎn)的立體角為4π〔點(diǎn)在閉合面內(nèi)〕或0〔點(diǎn)在閉合面外〕2024/5/2993.2真空中靜電場(chǎng)的根本方程閉合面的電位移通量無(wú)界真空中的點(diǎn)電荷q在閉合面內(nèi)q在閉合面外2024/5/29103.2真空中靜電場(chǎng)的根本方程無(wú)界真空中的點(diǎn)電荷系N個(gè)點(diǎn)電荷，其中k個(gè)閉合面S2024/5/29113.2真空中靜電場(chǎng)的根本方程無(wú)界真空中的體電荷 靜電場(chǎng)的閉合面的通量?jī)H與面內(nèi)的電荷有關(guān)。2024/5/29123.2真空中靜電場(chǎng)的根本方程閉合回路的環(huán)流無(wú)界真空中的點(diǎn)電荷

由電場(chǎng)的可疊加性，可知點(diǎn)電荷系或連續(xù)分布的電荷的電場(chǎng)也滿足上式。即靜電場(chǎng)的閉合回路的環(huán)流為零。2024/5/29133.2真空中靜電場(chǎng)的根本方程物理意義：靜電場(chǎng)E穿過(guò)閉合面S的通量只與閉合面內(nèi)所圍電荷量有關(guān)在靜電場(chǎng)中將單位電荷沿任一閉合路徑移動(dòng)一周，靜電力做功為零——靜電場(chǎng)為保守場(chǎng)?！搽娏€不構(gòu)成閉合回路〕靜電場(chǎng)的根本性質(zhì)： 真空中的靜電場(chǎng)是有散無(wú)旋場(chǎng)，其散度源是電荷體密度。2024/5/29143.2真空中靜電場(chǎng)的根本方程微分形式由散度定理和斯托克斯定理可得 根據(jù)亥姆霍茲定理，在場(chǎng)源的條件下，通過(guò)D0＝0E聯(lián)立求解兩矢量方程可求得E。2024/5/29153.2真空中靜電場(chǎng)的根本方程當(dāng)電荷分布具有一定稱性，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使

D0或E只有一個(gè)坐標(biāo)分量，具僅是該坐標(biāo)的函數(shù)時(shí)，可以證明E自動(dòng)滿足因此，可由或獲得場(chǎng)解。2024/5/29163.2真空中靜電場(chǎng)的根本方程利用高斯定理求解靜電場(chǎng) 關(guān)鍵：高斯面的選擇。 高斯面的選擇原那么：場(chǎng)點(diǎn)位于高斯面上；高斯面為閉合面；在整個(gè)或分段高斯面上， E或E·dS為恒定值。2024/5/29173.2真空中靜電場(chǎng)的根本方程靜電場(chǎng)的根本方程： 完整地反映出了靜電場(chǎng)的根本性質(zhì)， 是分析求解靜電場(chǎng)問(wèn)題的根底。根本方程的積分形式和微分形式可互相轉(zhuǎn)換。積分形式反映了一定區(qū)域內(nèi)的整體性質(zhì)，而微分形式反映出場(chǎng)中每一點(diǎn)的特性。在不同媒質(zhì)的分界面上或有面電荷分布之處，微分形式方程不適用，而積分形式仍適用。2024/5/29182024/5/29192024/5/29202024/5/29212024/5/29222024/5/29233.3電位函數(shù)電位函數(shù)的定義由可令2024/5/29243.3電位函數(shù)兩點(diǎn)的電位差

兩點(diǎn)之間的電位差等于在電場(chǎng)力作用下移動(dòng)單位正電荷從起點(diǎn)到終點(diǎn)所作的功。假設(shè)選P點(diǎn)為電位的參考點(diǎn)〔P＝0〕，有2024/5/29253.3電位函數(shù)說(shuō)明：電位函數(shù)為電場(chǎng)的輔助函數(shù)，是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)；“－”表示電場(chǎng)指向電位減小最快的方向。電位具有明確的物理意義，它表示將正電荷從場(chǎng)點(diǎn)移動(dòng)到參考點(diǎn)時(shí)電場(chǎng)力所做的功。

電位具有相對(duì)意義，在同一個(gè)靜電場(chǎng)中，各點(diǎn)的電位值與參考點(diǎn)的選取有關(guān)。但場(chǎng)中兩點(diǎn)之間的電位差是絕對(duì)的，與參考點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)。2024/5/29263.3電位函數(shù)電位的計(jì)算公式點(diǎn)電荷的電位2024/5/29273.3電位函數(shù)假設(shè)電位參考點(diǎn)在無(wú)窮遠(yuǎn)處， 即 式中2024/5/29283.3電位函數(shù)體電荷面電荷線電荷式中：當(dāng)電荷分布在有限區(qū)域，假設(shè)參考點(diǎn)在無(wú)窮遠(yuǎn)處，c=0。上三式可分別由〔〕、〔〕、〔〕直接給出。2024/5/29293.3電位函數(shù)關(guān)于電位參考點(diǎn)的說(shuō)明：電位參考點(diǎn)的選擇具有一定的任意性，但要使電位的表達(dá)式有意義，即除個(gè)別特殊的點(diǎn)外，不能出現(xiàn)無(wú)窮大的電位值；應(yīng)使電位的表達(dá)式盡可能簡(jiǎn)單。當(dāng)電荷分布在有限區(qū)域內(nèi)時(shí)，通常選擇無(wú)窮遠(yuǎn)處為電位參考點(diǎn)；在電荷分布到無(wú)限遠(yuǎn)時(shí)，選有限區(qū)域中的點(diǎn)作為參考點(diǎn)。工程上一般取大地為電位參考點(diǎn)。同一個(gè)問(wèn)題中只能選擇一個(gè)電位參考點(diǎn)。2024/5/29303.3電位函數(shù)電位由源分布的標(biāo)量積分計(jì)算。一般情況下較矢量積分簡(jiǎn)單。 引入電位函數(shù)的意義：簡(jiǎn)化電場(chǎng)的求解！求解電場(chǎng)時(shí)，可先求電位函數(shù)，然后計(jì)算電位函數(shù)的負(fù)梯度便得到電場(chǎng)變量。2024/5/29312024/5/29322024/5/29332024/5/29342024/5/29353.4泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯運(yùn)算標(biāo)量場(chǎng)的拉普拉斯運(yùn)算 對(duì)標(biāo)量場(chǎng)的梯度求散度的運(yùn)算稱 為拉普拉斯運(yùn)算。記作： 式中稱為拉普拉斯算符。式中：2024/5/29363.4泊松方程拉普拉斯方程在直角坐標(biāo)系中：2024/5/29373.4泊松方程拉普拉斯方程柱面坐標(biāo)系下的拉普拉斯運(yùn)算球面坐標(biāo)系下的拉普拉斯運(yùn)算2024/5/29383.4泊松方程拉普拉斯方程矢量場(chǎng)的拉普拉斯運(yùn)算 在直角坐標(biāo)系中：2024/5/29393.4泊松方程拉普拉斯方程靜電場(chǎng)電位方程的建立即：電位的泊松方程在無(wú)源區(qū)域，電位的拉普拉斯方程2024/5/29403.4泊松方程拉普拉斯方程場(chǎng)的求解：無(wú)界空間：僅由源分布可確定場(chǎng)分布，采用場(chǎng)源積分法。有界空間：由源分布和邊界條件確定場(chǎng)分布。在給定邊界條件下求解有界區(qū)域內(nèi)的場(chǎng)分布問(wèn)題，稱為邊值問(wèn)題〔第4章〕。2024/5/29413.4泊松方程拉普拉斯方程靜電場(chǎng)的邊值問(wèn)題： 在給定邊界條件下求解拉普拉斯方程或泊松方程。即電位的偏微分方程可用于求解靜電場(chǎng)的邊值問(wèn)題。邊值問(wèn)題的求解方法： 直接求解法〔偏微分方程退化或通過(guò)別離變量法轉(zhuǎn)化為常微分方程〕和間接求解法〔等效法〕，不同方法適合不同的問(wèn)題。2024/5/29422024/5/29432024/5/29443.4泊松方程拉普拉斯方程小結(jié)：求空間電場(chǎng)分布的方法場(chǎng)源積分法 積分困難，對(duì)大多數(shù)問(wèn)題不能得出解析解。應(yīng)用高斯定理求解 只能應(yīng)用于電荷成對(duì)稱分布的問(wèn)題。間接求解法 先求解空間電位分布，再求解空間電場(chǎng)。在實(shí)際應(yīng)用中，間接求解法應(yīng)用最為廣泛，適用于邊值問(wèn)題的求解。2024/5/29453.5點(diǎn)電荷的

函數(shù)表示格林函數(shù)單位點(diǎn)電荷的函數(shù)表示:〔將點(diǎn)電荷視為分布電荷的特例。〕2024/5/29463.5點(diǎn)電荷的

函數(shù)表示格林函數(shù)格林函數(shù) 單位點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電位函數(shù)應(yīng)滿足的泊松方程為格林函數(shù)的定義和滿足的微分方程2024/5/29473.5點(diǎn)電荷的

函數(shù)表示格林函數(shù)由無(wú)界空間中單位點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電位可得在無(wú)界空間內(nèi)格林函數(shù)的解為2024/5/29483.6格林定理泊松方程的積分公式格林定理 由矢量場(chǎng)的散度定理 令2024/5/29493.6格林定理泊松方程的積分公式可得格林第一恒等式格林第二恒等式2024/5/29503.6格林定理泊松方程的積分公式引入格林函數(shù)后，可以把微分方程轉(zhuǎn)化為積分方程。利用格林第二恒等式和

函數(shù)的性質(zhì)可得有限空間內(nèi)泊松方程的積分解為2024/5/29513.6格林定理泊松方程的積分公式無(wú)界空間內(nèi)泊松方程的積分解為有界空間內(nèi)拉普拉斯方程的積分解為2024/5/29523.7唯一性定理靜電場(chǎng)的邊值問(wèn)題在給定邊界條件下求泊松方程或拉普拉斯方程的解，這種求解稱為偏微分方程法。2024/5/29533.7唯一性定理解的存在性： 從工程實(shí)際中抽象出的電位邊值問(wèn)題，其解是一定存在的。解的唯一性： 在什么條件下，邊值問(wèn)題才有唯一的解。2024/5/29543.7唯一性定理邊界條件的類型第一類，給定整個(gè)邊界上電位的值。第二類，給定整個(gè)邊界上電位的法向?qū)?shù)值。第三類，給定一局部邊界上電位的值，而給定另一局部邊界上電位的法向?qū)?shù)值。2024/5/29553.7唯一性定理對(duì)于導(dǎo)體邊界，上述三類邊界為：給定各導(dǎo)體外表的電位； 給定各導(dǎo)體的總電量; 給定一局部導(dǎo)體的電位和另一局部 導(dǎo)體的電荷量。說(shuō)明：假設(shè)對(duì)同一面積，同時(shí)給定和的值，那么不存在唯一解。2024/5/29563.7唯一性定理唯一性定理 當(dāng)在場(chǎng)域中電位滿足泊松方程或拉普拉斯方程，在邊界上滿足三類邊界條件之一時(shí)，電位是唯一的。2024/5/29573.7唯一性定理證明格林第一恒等式令式中得2024/5/29583.7唯一性定理對(duì)于拉普拉斯方程，有得2024/5/29593.7唯一性定理 利用反證法，假定有兩個(gè)解

和

'

滿足拉普拉斯方程和邊界條件,兩解的差

"=

-

'

也滿足所以有2024/5/29603.7唯一性定理在第一類邊界條件下，在邊界S上

"=

-

'=0即故即

"為常數(shù)。由于

"在S上為零，所以

"為零，證明

=

'

，即解是唯一的。2024/5/29613.7唯一性定理在第二類邊界條件下，在邊界S上有同樣有即"為常數(shù)。-'=C，對(duì)于電場(chǎng)來(lái)說(shuō)，解也是唯一的。假設(shè)與'取同一個(gè)參考點(diǎn)，那么在參考點(diǎn)處那么C=0，即='在第三類邊界條件下，可以得到同樣的結(jié)果。2024/5/29623.7唯一性定理對(duì)于泊松方程仍假設(shè)有兩個(gè)解

和

'滿足泊松方程和邊界條件,即有兩式相減得到即

"應(yīng)是拉普拉斯方程的解，用同樣的方法可以證明解的唯一性。2024/5/29633.7唯一性定理唯一性定理的意義指出了靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題具有唯一解的條件。為靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題求解方法提供了理論依據(jù)，為結(jié)果正確性提供了判據(jù)。唯一性定理是間接法求解拉普拉斯方程〔泊松方程〕的理論依據(jù)。2024/5/29643.7唯一性定理在電荷分布和媒質(zhì)具有一定對(duì)稱性，使電位僅和一個(gè)坐標(biāo)有關(guān)，即電位為一元函數(shù)時(shí)，偏微分方程退化為常微分。直接求解常微分方程，再由邊界條件確定積分常數(shù)。2024/5/29652024/5/29662024/5/29672024/5/29683.8電介質(zhì)的極化極化強(qiáng)度真空中的電場(chǎng)物質(zhì)〔媒質(zhì)〕中的電場(chǎng)導(dǎo)電媒質(zhì)〔導(dǎo)電體或?qū)w，自由電荷〕電介質(zhì)〔絕緣體，束縛電荷〕有極性分子〔單個(gè)分子有電偶極矩，大量分子的統(tǒng)計(jì)平均呈電中性〕無(wú)極性分子(呈電中性)半導(dǎo)體2024/5/29693.8電介質(zhì)的極化極化強(qiáng)度電場(chǎng)中的導(dǎo)體自由電荷在電場(chǎng)的作用下發(fā)生移動(dòng)，外表出現(xiàn)感應(yīng)電荷，導(dǎo)體內(nèi)外的電場(chǎng)發(fā)生變化，很快到達(dá)靜電平衡。到達(dá)靜電平衡后，導(dǎo)體內(nèi)凈電荷為零，導(dǎo)體內(nèi)電場(chǎng)為零，導(dǎo)體是等位體，導(dǎo)體外表是等位面，外表上的電場(chǎng)與外表垂直。導(dǎo)體殼可以起靜電屏蔽作用。2024/5/29703.8電介質(zhì)的極化極化強(qiáng)度電介質(zhì)的極化 電介質(zhì)在的外電場(chǎng)的作用下，介質(zhì)中分子和原子的正負(fù)電荷在外加電場(chǎng)力的作用下發(fā)生小的位移，形成定向排列的電偶極矩；或原子、分子固有電偶極矩不規(guī)那么的分布，在外場(chǎng)作用下形成規(guī)那么排列。出現(xiàn)電偶極矩的統(tǒng)計(jì)平均值不為零的現(xiàn)象。2024/5/29713.8電介質(zhì)的極化極化強(qiáng)度介質(zhì)極化的種類第一種，電子極化〔電子云相對(duì)于原子核發(fā)生位移，存在于單原子介質(zhì)和所有化合物〕第二種，離子極化〔正、負(fù)離子間發(fā)生位移，存在于所有化合物〕第三種，取向極化〔固有電矩在電場(chǎng)中定向排列，存在于局部化合物〕2024/5/29723.8電介質(zhì)的極化極化強(qiáng)度2024/5/29733.8電介質(zhì)的極化極化強(qiáng)度電場(chǎng)中的電介質(zhì)發(fā)生極化，電介質(zhì)極化的結(jié)果是產(chǎn)生宏觀的附加電場(chǎng)，從而改變?cè)瓉?lái)的電場(chǎng)分布。2024/5/29743.8電介質(zhì)的極化極化強(qiáng)度描述電介質(zhì)極化的兩種模型〔等價(jià)的〕電偶極矩極化強(qiáng)度的定義

〔C/m2〕pav為分子的平均電矩，N為分子密度數(shù)。2024/5/29753.8電介質(zhì)的極化極化強(qiáng)度兩種電介質(zhì)對(duì)于通常的介質(zhì)，P受到介質(zhì)中總的電場(chǎng)控制，實(shí)驗(yàn)證明其受控關(guān)系為 式中E為介質(zhì)極化中的總電場(chǎng)，e稱為極化系數(shù)，是一個(gè)無(wú)單位的比例系數(shù)。對(duì)于永久性極化體〔駐極化〕，P才是獨(dú)立的變量。2024/5/29763.8電介質(zhì)的極化極化強(qiáng)度極化電偶極矩在真空中產(chǎn)生的電位為2024/5/29773.8電介質(zhì)的極化極化強(qiáng)度束縛電荷利用矢量恒等式和高斯定理，上式可改寫(xiě)為

式中(n由介質(zhì)內(nèi)指向介質(zhì)外)分別稱為束縛電荷體密度和面密度。2024/5/29783.8電介質(zhì)的極化極化強(qiáng)度區(qū)域

中的束縛電荷為2024/5/29793.8電介質(zhì)的極化極化強(qiáng)度如果介質(zhì)不均勻或介質(zhì)內(nèi)存在場(chǎng)源電荷分布，那么介質(zhì)內(nèi)將會(huì)出現(xiàn)束縛電荷分布。介質(zhì)均勻極化時(shí)，束縛電荷體密度為零。束縛電荷只出現(xiàn)在介質(zhì)外表。2024/5/29803.9介質(zhì)中的高斯定律邊界條件無(wú)論是自由電荷，還是極化電荷，它們都激發(fā)電場(chǎng)，服從同樣的庫(kù)侖定律和高斯定律。介質(zhì)的極化過(guò)程包括兩個(gè)方面：一方面外加電場(chǎng)的作用使介質(zhì)極化，產(chǎn)生極化電荷；另一方面，極化電荷反過(guò)來(lái)激發(fā)電場(chǎng)，兩者相互制約，并到達(dá)平衡狀態(tài)。介質(zhì)中的電場(chǎng)應(yīng)該是外加電場(chǎng)和極化電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)的疊加。2024/5/29813.9介質(zhì)中的高斯定律邊界條件介質(zhì)中的高斯定理由真空中的高斯定理

2024/5/29823.9介質(zhì)中的高斯定律邊界條件 引入輔助的電位移矢量有 上式為介質(zhì)中的高斯定律。表示任意閉合曲面電位移矢量D的通量等于該曲面包含自由電荷的代數(shù)和。 其微分形式為說(shuō)明電位移矢量的源是自由電荷。2024/5/29833.9介質(zhì)中的高斯定律邊界條件當(dāng)媒質(zhì)與電荷分布具有相同的特殊對(duì)稱性時(shí)，即自由電荷、束縛電荷或/和感應(yīng)電荷都具有相同的特殊對(duì)稱性時(shí)，可以用介質(zhì)中的高斯定理方便地計(jì)算電場(chǎng)。2024/5/29843.9介質(zhì)中的高斯定律邊界條件物質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系 介質(zhì)中的電場(chǎng)的最終求解必須知道電場(chǎng)E和電位移矢量D之間的關(guān)系〔物質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系〕。 對(duì)于線性均勻各向同性介質(zhì)，極化強(qiáng)度P和電場(chǎng)強(qiáng)度E有簡(jiǎn)單的線性關(guān)系 稱為電介質(zhì)的介電常數(shù)，r稱為相對(duì)介電常數(shù)，反映物質(zhì)極化性能和存儲(chǔ)電能能力的重要參數(shù)。2024/5/29853.9介質(zhì)中的高斯定律邊界條件對(duì)于線性各向異性介質(zhì)，結(jié)構(gòu)方程為

這里的D和E不再平行。2024/5/29863.9介質(zhì)中的高斯定律邊界條件介質(zhì)中的靜電場(chǎng)的環(huán)流量 束縛電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)與自由電荷的電場(chǎng)有同樣的性質(zhì)，所以介質(zhì)中的靜電場(chǎng)的環(huán)流量也為零，即其微分形式為同樣可引入電位標(biāo)量函數(shù)2024/5/29873.9介質(zhì)中的高斯定律邊界條件在均勻、線性和各向同性的電介質(zhì)內(nèi)，

為常數(shù)由有即代入得介質(zhì)中的泊松方程在自由電荷為零處有2024/5/29883.9介質(zhì)中的高斯定律邊界條件場(chǎng)與源的關(guān)系：E的源是自由電荷和束縛電荷P的源是束縛電荷D的源是自由電荷2024/5/29892024/5/29902024/5/29913.9介質(zhì)中的高斯定律邊界條件靜電場(chǎng)的邊界條件不同媒質(zhì)的分界面上總是要出現(xiàn)束縛電荷或感應(yīng)電荷面密度，其結(jié)果是使電場(chǎng)在分界面兩側(cè)發(fā)生躍變。分界面兩側(cè)場(chǎng)變量之間的關(guān)系稱為媒質(zhì)交界面上的邊界條件。邊界條件是邊值問(wèn)題定解的必要條件。2024/5/29923.9介質(zhì)中的高斯定律邊界條件在兩種不同媒質(zhì)的分量面上，場(chǎng)量會(huì)產(chǎn)生突變，根本方程的微分形式不適用于媒質(zhì)分界面。邊界條件由電場(chǎng)的根本方程的積分形式導(dǎo)出。把分界面上的場(chǎng)分量分解為切向分量和法向分量，分界面的法線正方向?yàn)橛擅劫|(zhì)2〔2〕指向媒質(zhì)1〔1〕。2024/5/29933.9介質(zhì)中的高斯定律邊界條件D的邊界條件

為分界面上自由電荷面密度，不包括極化電荷。2024/5/29943.9介質(zhì)中的高斯定律邊界條件假設(shè)媒質(zhì)為理想媒質(zhì)， 邊界面上不存在自由電荷， =0 那么 即D法向連續(xù)。2024/5/29953.9介質(zhì)中的高斯定律邊界條件E的邊界條件〔E在圖面內(nèi)〕結(jié)論：E的切向總是連續(xù)。2024/5/29963.9介質(zhì)中的高斯定律邊界條件討論：理想介質(zhì)分界面的邊界條件〔＝0〕電場(chǎng)與法線的夾角關(guān)系2024/5/29973.9介質(zhì)中的高斯定律邊界條件導(dǎo)體分界面的邊界條件導(dǎo)體內(nèi) 導(dǎo)體外2024/5/29983.9介質(zhì)中的高斯定律邊界條件電位邊界條件由于介面處的電場(chǎng)為有限值，當(dāng)兩點(diǎn)距離?l0時(shí)，有2024/5/29993.9介質(zhì)中的高斯定律邊界條件理想介質(zhì)分界面的邊界條件〔＝0〕導(dǎo)體外表2024/5/291002024/5/291012024/5/291023.9介質(zhì)中的高斯定律邊界條件電容的兩種計(jì)算方法：假設(shè)極板上的電荷Q， 按的步驟計(jì)算。 當(dāng)場(chǎng)分布具有對(duì)稱性時(shí)，這種方法最簡(jiǎn)便；假設(shè)極板間的電壓U，解電位

的邊值問(wèn)題，按的步驟計(jì)算。2024/5/291033.10恒定電場(chǎng)的根本方程邊界條件恒定電場(chǎng)恒定電流空間存在的電場(chǎng)。恒定電場(chǎng)的根本量 E、J恒定電流種類導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電流(傳導(dǎo)電流)真空中電子或離子形成的電流〔運(yùn)流電流〕2024/5/291043.10恒定電場(chǎng)的根本方程邊界條件恒定電場(chǎng)的根本方程電流連續(xù)方程保守場(chǎng)方程2024/5/291053.10恒定電場(chǎng)的根本方程邊界條件特性方程 由歐姆定律 和 得〔歐姆定律的微分形式〕其中為導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)率。 恒定電場(chǎng)不同于靜電場(chǎng)，可存在于導(dǎo)體內(nèi)部和外部。2024/5/291063.10恒定電場(chǎng)的根本方程邊界條件導(dǎo)電媒質(zhì)的分類當(dāng)，為理想導(dǎo)體，E＝0。＞1107S/m，為良導(dǎo)體〔≈0〕。＜＜1，〔漏電〕電介質(zhì)，實(shí)際上任何材料都有一定的電導(dǎo)率和介電常數(shù)。0，為理想〔完純〕電介質(zhì)。2024/5/291073.10恒定電場(chǎng)的根本方程邊界條件2024/5/291083.10恒定電場(chǎng)的根本方程邊界條件均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中，

、為常量

由可得 即穩(wěn)態(tài)下均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中沒(méi)有自由電荷密度。2024/5/291093.10恒定電場(chǎng)的根本方程邊界條件導(dǎo)電媒質(zhì)焦耳功率損耗密度。 小體積元內(nèi)，產(chǎn)生的焦耳熱功率為：?jiǎn)挝粸閃/m2。2024/5/291103.10恒定電場(chǎng)的根本方程邊界條件電源的電動(dòng)勢(shì) 要保持穩(wěn)定的電流，必須為 電荷運(yùn)動(dòng)提供能量。電源為 穩(wěn)恒電流提供能量。電源內(nèi)外：恒定電場(chǎng)E

電源內(nèi)：非庫(kù)侖力F'的等效電場(chǎng)E'＝

F'/q2024/5/291113.10恒定電場(chǎng)的根本方程邊界條件恒定電場(chǎng)的邊界條件在導(dǎo)體或不同導(dǎo)體的分界面上，一般有面電荷分布，所以在分界面處J和E是不連續(xù)的。由恒定電場(chǎng)的兩個(gè)根本方程的積分形式可導(dǎo)出邊界條件。用類比方法推導(dǎo)恒定電場(chǎng)邊界條件。2024/5/291123.10恒定電場(chǎng)的根本方程邊界條件J的邊界條件

2024/5/291133.10恒定電場(chǎng)的根本方程邊界條件E的邊界條件2024/5/291143.10恒定電場(chǎng)的根本方程邊界條件E或J的折射關(guān)系 結(jié)合J和E的邊界條件可得 在理想導(dǎo)體外表上， ，10 J和E都垂直于邊界面 (與靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體一樣)。2024/5/291153.10恒定電場(chǎng)的根本方程邊界條件電位的邊界條件2024/5/291163.10恒定電場(chǎng)的根本方程邊界條件靜電場(chǎng)和恒定電場(chǎng)性質(zhì)比較相同點(diǎn)： 場(chǎng)性質(zhì)相同，均為保守場(chǎng)； 場(chǎng)均不隨時(shí)間改變； 場(chǎng)均不能存在于理想導(dǎo)體內(nèi)部。2024/5/291173.10恒定電場(chǎng)的根本方程邊界條件不同點(diǎn)： 源不同。靜電場(chǎng)的源為靜止電荷，恒定電場(chǎng)的源為運(yùn)動(dòng)電荷(均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中，凈電荷只出現(xiàn)在導(dǎo)電媒質(zhì)外表)。 存在區(qū)域不同。靜電場(chǎng)只能存在于導(dǎo)體外，恒定電場(chǎng)可以存在于非理想導(dǎo)體〔為有限值〕內(nèi)。2024/5/291183.10恒定電場(chǎng)的根本方程邊界條件 靜電場(chǎng)是靜止電荷產(chǎn)生的場(chǎng)，帶電體充有電荷后，就不再需要外電源提供能量。恒定電場(chǎng)是恒定流動(dòng)的電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng)，由于導(dǎo)體內(nèi)的電荷流動(dòng)要消耗能量，所以必須有外電源提供能量才能維持導(dǎo)體中的電荷作恒定流動(dòng)。 恒定電場(chǎng)中，導(dǎo)電媒質(zhì)內(nèi)存在恒定電流，各點(diǎn)的電位不同。因而，導(dǎo)體不再是等位體，導(dǎo)體外表也不是等位面，這一點(diǎn)與靜電場(chǎng)是完全不同的。恒定電場(chǎng)中的理想導(dǎo)體與靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體一樣。2024/5/291193.10恒定電場(chǎng)的根本方程邊界條件在導(dǎo)電媒質(zhì)中，兩電極間的電導(dǎo)(電阻的倒數(shù))定義為2024/5/291203.10恒定電場(chǎng)的根本方程邊界條件導(dǎo)電媒質(zhì)中，計(jì)算電導(dǎo)的三種方法：假設(shè)兩電極間流過(guò)電流I， 按的步驟計(jì)算；假設(shè)兩電極間的電壓U， 按的步驟計(jì)算；根據(jù)靜電比較， 利用計(jì)算。2024/5/291212024/5/291222024/5/291232024/5/291242024/5/291252024/5/291263.11導(dǎo)體系統(tǒng)的電容在線性、各向同性電介質(zhì)中，兩個(gè)導(dǎo)體電極形成的電容器的電容定義為

電容的大小與導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置以及周圍介質(zhì)有關(guān)，與電荷和電壓無(wú)關(guān)。2024/5/291273.11導(dǎo)體系統(tǒng)的電容在多導(dǎo)體靜電系統(tǒng)中，電容的概念有所擴(kuò)展，引入局部電容的概念。 局部電容又分為自(有局部)電容和互(有局部)電容。N個(gè)位置、形狀與周圍介質(zhì)不變的多導(dǎo)體系統(tǒng)和一個(gè)接地導(dǎo)體的結(jié)構(gòu)，取接地導(dǎo)體的電位為零。2024/5/291283.11導(dǎo)體系統(tǒng)的電容設(shè)各導(dǎo)體帶有電量qi,各導(dǎo)體的電位為

式中pij為常數(shù)(為正值)，稱為電位系數(shù)，與所有導(dǎo)體的形狀、位置以及周圍的介質(zhì)等幾何條件有關(guān)。2024/5/291293.11導(dǎo)體系統(tǒng)的電容對(duì)上面N個(gè)方程求解，可得各導(dǎo)體上的電荷量

βii稱為電容系數(shù)βij稱為感應(yīng)系數(shù)〔具有互易性〕2024/5/291303.11導(dǎo)體系統(tǒng)的電容引入符號(hào)Cij=-βij,Cii=βi1+βi2+…+βiN,方程組可改寫(xiě)為多導(dǎo)體系統(tǒng)中，每一導(dǎo)體與地之間和它與其他導(dǎo)體間均存在局部電容。Cij稱為互有局部電容〔具有互易性〕，Cii稱為自有局部電容。2024/5/291313.11導(dǎo)體系統(tǒng)的電容一個(gè)多導(dǎo)體靜電系統(tǒng)等效為一個(gè)多端電容網(wǎng)絡(luò)。導(dǎo)體1、2兩端的電容導(dǎo)體1和地兩端的電容導(dǎo)體2和地兩端的電容 用實(shí)驗(yàn)測(cè)得C1、C2及C3后，由此可算得各局部電容。2024/5/291323.11導(dǎo)體系統(tǒng)的電容假設(shè)多導(dǎo)體系統(tǒng)的介質(zhì)是漏電媒質(zhì)(有一定的電導(dǎo)率)，且設(shè)導(dǎo)體電極為理想導(dǎo)體，那么在恒定電場(chǎng)的條件下，引入局部電導(dǎo)(自電導(dǎo)和互電導(dǎo))的概念，利用對(duì)偶關(guān)系，可將多導(dǎo)體恒定電場(chǎng)系統(tǒng)等效為一個(gè)多端電導(dǎo)網(wǎng)絡(luò)。2024/5/291333.11導(dǎo)體系統(tǒng)的電容二導(dǎo)體系統(tǒng)的等效電導(dǎo)網(wǎng)絡(luò)其中G11、G22為自電導(dǎo)，G12為互電導(dǎo)。2024/5/291343.12電場(chǎng)能量靜電力電場(chǎng)能量電場(chǎng)對(duì)電荷有作用力，這說(shuō)明電場(chǎng)具有能量。電場(chǎng)能量存在于電場(chǎng)所在區(qū)域內(nèi)。電場(chǎng)能量來(lái)源于建立電荷系統(tǒng)過(guò)程中外界提供的能量。2024/5/291353.12電場(chǎng)能量靜電力電場(chǎng)能量的計(jì)算式假設(shè)導(dǎo)體及介質(zhì)的位置都是固定的，介質(zhì)是線性的，系統(tǒng)最終建立時(shí)，自由電荷分布為

，電位為

在充電過(guò)程中，設(shè)各點(diǎn)的電荷和電位按同一因子

增加，整個(gè)充電過(guò)程對(duì)應(yīng)

從0到1。在

到

+d

微分過(guò)程中，整個(gè)空間增加的能量為2024/5/291363.12電場(chǎng)能量靜電力整個(gè)充電過(guò)程增加的能量就是系統(tǒng)的總能量假設(shè)電荷分布在外表上，那么 (盡管積分僅限于電荷不為零的區(qū)域，但不能認(rèn)為靜電能量?jī)H存在于帶電體內(nèi)，其被積函數(shù)也并不表示電場(chǎng)能量密度。)2024/5/291373.12電場(chǎng)能量靜電力假設(shè)是帶電導(dǎo)體系統(tǒng)，那么假設(shè)是點(diǎn)電荷系統(tǒng)，那么注意：前面給出的靜電場(chǎng)的能量是靜止電荷所具有的靜電位能，與參考點(diǎn)有關(guān)。 式中的

i為除第i個(gè)點(diǎn)電荷之外的其余電荷在點(diǎn)電荷qi處所產(chǎn)生的電位之和。2024/5/291383.12電場(chǎng)能量靜電力對(duì)于電容器即可由電容器的靜電能計(jì)算電容器的電容。2024/5/291393.12電場(chǎng)能量靜電力靜電場(chǎng)能量的另一表達(dá)式2024/5/291403.12電場(chǎng)能量靜電力 只要電荷分布在有限區(qū)域內(nèi)，當(dāng)閉合面S無(wú)限擴(kuò)大時(shí)， 故 由于E、D與電位位參考點(diǎn)無(wú)關(guān)，上式給出的靜電場(chǎng)能的唯一確定值。 對(duì)于不能選無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)為電位參考點(diǎn)的問(wèn)題，上式不適用。2024/5/29141